實驗六 梅爾得實驗
目的
觀察在弦上形成的駐波，並且研究繩子張力與波長的關係。
原理
一、駐波：
設有兩列振幅、頻率完全相同的波沿相對方向在介質中行進，在某些特定情 況下，當兩行進波重疊時會產生駐波（standing wave）。描述波動的波函數通常 可用 sin(kx±ωt−φ 或 ±) cos(kx ±ωt−φ±) 來表示，其中，k =2π λ 稱為波數
（ wave number ） ；ω =2 vπ ，v 為 波 動 的 頻 率 ，ω 稱 為 角 頻 率 （ angular frequency ）。ωt 之前若取負號，表示向正 x 方向傳遞的行進波；取正號時則表 示 向 負 x 方 向 傳 遞 的 波 。φ± 表 示 對 應 的 起 始 相 位（ initial phase） 。 由 於 e±iθ =cosθ±isin θ，c o sθ = R e (eiθ)，sinθ = I m (eiθ) 。為了演算方便，我們往 往採用複數 e±i kx( ± −ω φt ±) 來表示波函數。可是虛數是無法在實驗中量得的，因此運 算完成之後取實數部份，即得到所要求的結果。現在，我們以複數的方式來討 論在一條兩端固定且張緊的弦線（或細繩）上，行進波產生駐波的條件。
假設在長度為 l 的弦線上，有一個橫波（可藉音 叉產生之）自 x= 0 處 +x$ 方向傳遞（見圖１）。其 數學形式可寫成：
( )
y+ = ym⋅ − ⋅kx− −t + e i ω φ
( )
= ym⋅ei⋅ωt kx− +φ+ ， (1) 式中 ym 為振幅，這個波傳遞至 x
= l
處時，會產生一個反射波。如果在 x =l 處，是個固定端，波的能量可以完全反射（即不被吸收），反射波的振幅應該 與前進波的相同，但是相位可能改變，故可將反射波表示為( )
y− = ym ⋅ei⋅ kx+ωt+φ− 。 (2) 弦線上的波是由前進波與反射波的線性重疊所形成，即
y= y+ +y−
( ) ( )
=ym⋅e− ⋅i kx− −ωt φ+ + ⋅ym ei⋅kx+ +ωt φ− 。 (3) 如果 x= 0 處是個固定端，表示 y x( =0)=0，則
ym⋅ei(ωt−φ+)+ym ⋅ei(ωt−φ−) =0 ，
圖１
音叉 固定端
0 l x
∴
eiφ− = −eiφ+ =eiπ⋅eiφ+ =ei(φ++π) ，⇒ φ φ−− + = π 。 (4)
因此，我們可以將 (3) 式的波函數化簡為：
ym = ymeiωt(eikx−e−ikx) eiφ+ 。 (5) 假定 x=l 處也是個固定端，即 y x( =l)=0 ，即
eikl−e−ikl = ⋅2i sin kl=0 ， 由此可得 kl 必須滿足的條件：
kl= πn n =1 2 3, , ,L (6)
由 於 波 數 k ≡2π /λ ， 所 以 在 定 長 的 弦 上 形 成 的 條 件 是 k⋅ =l nπ 或 l=nπ/k= ⋅nπ λ/ π(2 )= ⋅n (λ/2)，即弦線長為半波長的整數倍 。此時合成波之 數學形式為
y=2 iym ei(φ +ω+ t) sinkx ，
取其實數部分，可將 (5) 式之波函數改寫為
y=(2ymsinkx) sin(⋅ ωt+φ ，+) (7)
式中 2 ym 為合成波的最大振幅。由(7)式可看出合成波在 x = λ 2 λ 3λ 2/ , , / ,L 處產 生 節 點 （ node ） ， 即 弦 線 振 動 時 ， 弦 線 上 不 隨 時 間 移 動 位 置 的 點 ； 在 x = λ 4 3λ 4/ , / ,L 處，弦上各質點隨著時間在 ±2 ym 之間做正弦變化的位移運 動，稱為波腹（antinode），如圖２所示，圖中 N 為節點，A 為波腹。
N N N
N N N
A
A
A
A
T 4 0
T 2
3 4
T
：入射波
：反射波
：合成波
：入射波與反射波經同一位置
(a)
(b)
(c)
(d)
二、波傳遞的速率與弦線所受張力的關係：
以一個在弦線上傳送的脈波為例，弦線相 對於靜止的觀測者並沒有移動，但觀測者看到 脈波向右傳遞。現在想像成弦線很長，而且整 個系統以脈波的速率向左平移則觀測者所看到 的現象如同脈波停在空間不動一樣，如圖３所 示。設 µ 為此弦線單位長度的質量，弦線上 張力 F 使長為 ∆l 之弦線段的質量做半徑為 R 的圓周運動。圓周運動之向心力為
2F⋅sinθ≈2F⋅θ ，
這裡討論的 θ 很小，亦即 ∆l / R 很小。
按 照 牛 頓 第 二 定 律 ， 向 心 力 F =ma ， m 為 長 ∆l 之 弦 線 質 量 ， 即 m = ⋅µ ∆l，故
向心力= ⋅µ ∆lv2 R ， 由圖３知 ∆l= ⋅R 2θ ，因此
2F 2R R
⋅ ≈ ⋅θ µ θ⋅v2
，
化簡後可得圓周運動之速率，即脈波傳遞之速率。
v= F
µ 。 (8)
三、弦線振動頻率與其張力的關係：
假設線長為 l ，在弦上生成的駐波有 n 段，（如圖４），則 l= ⋅n λ/ 2。由 v= ⋅f λ（波速＝頻率×波長）的關係得：
f = ⋅1 F = n ⋅ F
λ µ 2l µ ， (9)
若音叉的頻率是固定的，而且弦線單位長度的質量也固定，由 (9) 式知道
F f
λ2 = ⋅µ 2 ， (10)
張力與波長平方的比值恆為一常數，這個關係在本實驗中可以驗證。
R
∆l F F
0 v
θ
圖３
儀器
梅爾得（Melde）裝置（包括一個電音叉及直尺，參考圖４a.），電子稱，直 流電源供應器，滑輪，砝碼（共 14 個）與砝碼吊盤，全對數紙，方格紙。
圖４
方法說明
圖4b. 為儀器裝置示意圖，弦線 S 之一端固定在音叉 F 的一腳 P 上，另一端 跨過滑輪 P' 懸一重物 W。音叉的振動利用電磁鐵來激發，電源 E 的一端通過開 關 K、電磁鐵的線圈 C 和可調螺絲 K'，調節 K' 可使之與音叉接觸，此時電路相 通（音叉本身為導線的一部分），電磁鐵吸引音叉。音叉一被吸動後，螺絲與 音叉即分開，電流中斷，此時電磁鐵失去引力，不吸引音叉，音叉又回到原來 接觸的位置。這樣反復作用的結果，就使音叉開始按其固有頻率振動起來。
步驟
1. 如儀器圖示裝置好，將電源供應器接通（電壓應小於 3 V），調節螺絲 K' 使 音叉振動。
2. 調節托盤上的重量 W（即張力），使駐波產生。
3. 稍微增加或減少弦的張力，使駐波波腹的振幅約有一公分寬（你也可試著節 整 PP' 之距離）。
4. 反覆步驟 2 ∼ 3，使產生駐波波腹數為 2，3，4 及 5 個，並記錄波長 λ 與張 力 F 之值。
5. 剪下受張力作用的線，量其長度並以電子稱測其質量，計算線密度。
6. 由式 (9) 計算頻率 f 之值。
7. 畫出 F 與 λ2 之關係圖，由其斜率及 (10) 式，求頻率 f1 並和步驟 6 之結果 比較。
8. 將 裝 置 改 成 音 叉 與 線 垂 直 ， 重 覆 步 驟 1 ∼ 7。（音叉裝置如圖５）。
a. b.
E
K
P K'
S
P'
W
F C
預習問題
1. 如果線上有打上不同間隔的數個結，問是否會產生駐波？為什麼？
2. 兩個波傳遞方向相反，而產生一駐波，其各波函數如下：
y1=4sin(3x−2t) y2 =4sin(3x+2t) ， 其中 x 和 y 的單位為 cm ，t 為 sec。
問： (1).這兩個波的方向各為何？傳遞速度多大？
(2).求出位置在 x =2 3. cm 的最大振幅。
(3).求出波節與波腹的位置。
記錄
1. 音叉與線平行
線長： cm；線質量： g。
波腹數 1 2 3 4 5
張力 (F) 波長 ( )λ 頻率 ( )f 2. 音叉與線垂直
線長： cm；線質量： g。
波腹數 1 2 3 4 5
張力 (F) 波長 ( )λ 頻率 ( )f
思考問題
1. 實驗中，“音叉與線平行”和“音叉與線垂直”有何不同之處，試解釋之。
2. 步驟 6 和 7 所得之是否相同？若不同，請解釋誤差來源？你認為那個較準 確？為什麼？
3. 在全對數紙上畫出 F 對 λ 圖，看一看你是不是可得到一直線，斜率是多 少？和理論值比較誤差多大？
