灰簡易模型與迴歸分析之比較研究
楊振昌
修平技術學院工業管理系
林房儹
國立台灣體育學院運動管理系
摘 要
迴歸分析經常被用來做簡單的線性預測，但多數自然界或工商業界所存在 的現象均屬非線性函數，故勉強使用線性預測，可能造成極大的誤差。而使用 複迴歸分析的困難處是在於尋找最佳之迴歸模式，以及需有相當數量的樣本方 易求得較佳迴歸模式。為了克服使用者的困難和提高預測的精度，本研究使用 灰色模型，以導數法求出灰簡易模型的發展係數（a）與灰作用量（b），使用 者僅需套入 a、b 灰簡易模型公式求值，並代入灰預測方程式即可。由於灰簡 易模型具有簡易性、實用性和高精確性，且在不需大樣本的特性下，常有比迴 歸分析較佳的表現。因此，在樣本數極為有限的情形下，灰簡易模型是一值得 嘗試使用的預測方法，非常適合產品生命週期短促且沒有太多歷史資料的新興 科技產業廣泛運用在管理上，如銷售預測和生產預測等。
關鍵詞：灰簡易模型（GSM）、迴歸分析（RAM）。
THE COMPARATIVE STUDY BETWEEN GREY SIMPLE MODEL AND REGRESSION ANALYSIS
Chen-Chang Yang
Department of Industrial Management Hsiuping Institute of Technology
Taichung, Taiwan 412, R.O.C.
Fang-Tsan Lin
Department of Sport Management
National Taiwan College of Physical Education and Sports Taichung, Taiwan 404, R.O.C.
Key Words: grey simple model, regression analysis method.
ABSTRACT
Regression analysis is often used for simple linear forecasting. But the phenomena existing most in nature or industry are non-linear functions.
Therefore, the exclusive use of linear forecasting models may very possibly cause tremendous errors. The difficulty in using multiple regression analysis is to find a best regression model as well as to have a sufficient number of samples to find a better regression model. To overcome users,
difficulties and increase the accuracy of forecasting, this study shall utilize a grey model to calculate the development coefficient(a) and the grey ac- tion capacity(b) of the grey simple model by derivative methods. Users only need to implement formulas of a and b of the grey simple model to calculate its value and then the apply the grey model forecasting equation.
After comparison with regression analysis, the grey simple model is ac- knowledged for its characteristics of simplicity, broad applicability, high accuracy and ease of use. Therefore, under the circumstances of limited samples, the grey simple model is a good choice of forecasting method, right for products with short life cycles and limited historical data. The management of newly emerging technology has been broadly using the model for sale and production forecasting.
㆒、研究動機與目的
自從 1982 年大陸華中理工大學鄧聚龍教授發表“灰 色系統的控制問題”（control problems of grey systems）[1]
論文之後，在這十餘年來，灰色系統理論就被逐漸應用在 自動控制、農經、地質、氣象及軍事等用途。
在管理及工業工程領域中，經常使用線性預測模型來 預測應變數（dependent variable），但大部分自然界現象均 屬非線性函數，故勉強使用線性預測模型，可能造成極大 的誤差。而使用統計複迴歸分析的困難處是在於尋找最佳 之迴歸模式，以及需有相當數量的樣本方易求得較佳迴歸 模式，但在現今資訊產業不斷創新下，產品生命週期
（product life cycle）極為短促，如軟體開發業或中央處理 器（CPU）等，並沒有太多的歷史資料。
由於上述因素，本文將引用灰簡易模型（grey simple model）解決上述問題，而原灰預測建模過程事實上也有其 困 難 度 ， 主 要 在 於 灰 建 模 的 過 程 中 ， 其 發 展 係 數
（development coefficient）與灰作用量（grey action capa- city）的推導不易。所以本研究以導數法求出灰簡易模型的 發展係數與灰作用量，使用者僅需套入灰簡易模型公式求 值，並代入灰預測方程式即可。如此可以提供使用者預測 的便利性、實用性及高精確性。
㆓、文獻探討
自然現象或社會現象中，若系統信息完全明確，稱為 白色系統，例如銀行存款。反之，若系統信息完全不明確，
稱為黑色系統，例如外星生物。介在兩者之間朦朧、混沌 地帶，系統信息一部份明確、一部份不明確，則稱為灰色 系統，例如人口數的成長、經濟的成長、垃圾量的成長及 人體生理系統等[2]。人類生存在一個高維度的灰色信息關 係空間之中，其思維也經常處於朦朧、混沌狀態，所以人 類的行為也經常是灰色的。自然界給人類帶來了許多難 題，為了生存的目的，人類要對灰色系統進行了解和研究。
古典物理學家透過假設，甚至以人為方式試圖將該不可期
的因素摒除於外，發展出僅適用於可完全控制、完美的環 境下所適用的理論模型，而這樣的理論模型只是原始灰色 系統的近似。人類為此而努力完全出自無奈，因為人類受 到知識的限制，只能掌握灰色系統的部份信息，但那些被 摒除於外、被忽略、無法掌控的因素往往造成實際狀態與 預期狀態甚大的差異，更甚者將造成無法預期的災難。基 於上述問題，大陸學者鄧聚龍教授提出灰色系統理論，揭 開人類認識灰色系統本質的面紗，提出在部份已知信息狀 態下，處理灰色系統問題的思考和解決方法[3-4]。
灰色系統理論強調系統在信息貧乏狀態下挖掘系統的 本質，強調對系統的信息補充，使系統的灰色狀態向白色 狀態轉化，是灰色系統理論研究的主旋律。灰色系統的理 論基石是灰色朦朧集[5]，灰色朦朧集的基本特徵是透明 態、朦朧態、白化態及實證態。灰色朦朧集具有兼容性、
實證性、時效性、信息性及可構造性。灰色朦朧集是完全 不同於康托集（cantor set）、模糊集（fuzzy set）的新型集 合，而康托集僅是灰色朦朧集的含核透明態。如果僅以系 統信息的多寡這個角度去認識經典系統理論和模糊系統理 論，那麼經典系統理論和模糊系統理論是系統灰色度等於 零的灰色系統理論。如果從灰色系統理論和模糊系統理論 它們各自所依賴的數學根基來看，灰色系統理論和模糊系 統理論是不同的兩回事。正因為灰色朦朧集具有良好的特 性，真實地反映自然界動態和靜態面貌，而建立在灰色朦 朧集之上的灰色系統理論，才能得到廣泛地應用[4]。
許多的灰色系統是廣義的能量系統，例如：社會系統、
生態系統、經濟系統、交通系統、人體生理系統等。能量 系統必須符合慣性、質量大及能量大的特性，在狀態運動 的領域內，不易受突發事件或外部力量改變其系統的軌跡 [6]，雖然影響該系統慣性的因素並非完全可知，然而透過 該系統所呈現的歷史資料值，可建立影響該系統慣性之模 型，此一模型稱為灰預測模型[3]。灰預測模型利用灰色系 統的慣性特性進行預測，不將該系統不可期的因素摒除於 外，使得預測的結果更具有實用性。
在國內相關文獻中，林房儹[7]提出，以灰色模型處理 人體計測遺漏值及異常值的平均精確度高達 98.5%優於最 小平方法。施東河等[8]在台灣地區家庭用電量預測與影響
因子之研究中，提出灰色系統的 GM（1,1）及 GM（1,N）
預測精確度較迴歸模型為佳。溫坤禮等[9]提出，GM（1,1）
模型對跳動的數據做外插迴歸分析，其能力僅次於多項式 法，而優於其他傳統方法。江可達等[10]提出，灰色動態 模型在數值分析的精確度高達 99.91%，優於馬克勞林多項 式、柴比雪夫多項式及有理函數近似式。許巧鶯等[11]以 台灣往來 11 個國家歷年航空公司運量為例，灰色預測精確 度高達 97.136%。施東河等[12]以台灣地區民國 72 年至民 國 84 年壽險需求量為例，灰色預測精確度高達 97.74%。
在國外相關文獻中，Hsu 等[13]以 1974 至 1993 年跨 越太平洋飛航旅客人數為例，提出灰色預測精確度高於 ARIMA（auto regressive integrated moving average model）
模型及統計複迴歸分析，同時也預測年平均成長率為 11%。Huang 等[14]以機器人（robot）移動精確度為例，不 管是角度的誤差或 X 軸、Y 軸及 Z 軸移動量的誤差，改良 式的灰色模糊控制器均比一般模糊控制器（Fuzzy con- troller）精確。Wong 等[15]比較了多種模糊控制器，所有 的評估指標均以灰色模糊控制器最佳。Zhang 等[16]以 GM
（1,N）模型預測水果產量具有高精確度，同時也分析出影 響果樹產量最主要的影響因子為化學肥料的使用。Sheu 等 [17]利用灰色模型，提出有效的動態線路分配（virtually dynamic channel assignment ; VDCA）方法，有效降低網路 阻塞及提高線路利用率。Wang[18]以 1990 年至 1997 年中 國大陸山西省太原市空氣中懸浮微粒密度為例，灰色模型 精確度高達 98.12%，並指出最主要的影響因子為工業污 染。
根據上述文獻探討，灰色模型精確度常有比迴歸分析 及其他傳統方法較佳的表現，且灰色模型僅需 4 筆資料即 可進行預測。故本文將以導數法提供簡易的公式，配合灰 色模型的高精確度，提供新興資訊業廣泛運用在銷售預測 和生產預測上。
㆔、研究限制
本文主要應用在樣本較少下之研究。由於資訊產業不 斷創新，產品生命週期極為短促，新興資訊產業並沒有太 多的歷史資料，故本文運用灰簡易模型，針對樣本數較少 時作比較研究，以適應在現今多變的產業環境使用。
㆕、研究方法
1.灰預測建模過程及求解
灰預測建模過程以灰色系統理論為依據，其主要的數 學基礎是灰色朦朧集，雖然灰色朦朧集十分艱深，但在數 列預測的應用並不困難。本研究除依林房儹[7]所列之灰建 模過程，並以導數法求解發展係數及灰作用量，以作為灰 簡易模型的基礎，其步驟如下：
步驟 1： 蒐集原始數列，依原來順序構成數列（最少 4 筆 以上），記為式(1)：
)) ( , ), 1 (
( (0) (0)
) 0
( X X n
X = L n≥4 (1)
X(0)表示原始數列，以區別在後的累加生成數列。
步驟 2： 由原始數列，構成累加生成（AGO：Accumulated generating operation）數列，記為式(2)：
)) ( , ), 1 (
( (1) (1)
) 1
( X X n
X = L (2)
此處 ∑
=
= k
i
i X k X
1 ) 0 ( )
1
( ( ) () k=1,L,n
X(1)表示累加生成數列。
步驟 3： 由累加生成數列，構成平均值數列，記為式(3)：
)) ( , ), 2 (
( (1) (1)
) 1
( Z Z n
Z = L (3)
此處 2
) 1 ( ) ) (
)(
1
( = X k X k
k Z
) 1 ( ) 1
( + − k=2,L,n
Z(1)表示平均值數列。
步驟 4： 建構原始數列與平均值數列之灰差分方程式，記 為式(4)：
b k aZ k
Xˆ(0)( )=− (1)( )+ k=2,L,n (4)
此處 a 為灰預測模型的發展係數，b 為灰預測模
型的灰作用量。
步驟 5： 用導數法求解 a、b：
設 X(0)(k)為原始數列的第 k 個實際值， 為 原始數列的第k 個預測值，取其誤差的平方和，
計為式(5)，對 D 微分得到最小值，使其誤差的平 方和最小。
) ˆ(0)(k X
∑= −
= n
k
k X k X D
2
2 ) 0 ( ) 0
( ( ) ˆ ( )]
[ (5)
{ }
∑= − − +
=
∴ n
k
b k aZ k X D
2
) 2 1 ( )
0
( ( ) [ ( ) ]
{
( ) [ ( ) ]}
( )2 (1)
2
) 1 ( )
0
( k aZ k b Z k
a X
D n
k∑
= − − +
∂ =
∂
{
( ) [ ( ) ]}
( 1)2
2
) 1 ( )
0
( − − + −
∂ =
∂ ∑
= n k
b k aZ k b X
D
令 =0
∂
∂ a
D 及 =0
∂
∂ b
D 得到
0 ) ( )]
( [ ) ( ) (
2 ) 1 ( 2
2 ) 1 ( 2
) 1 ( ) 0
( + ∑ − ∑ =
∑= = =
n k n
k n
k
k Z b k Z a k Z k X
(6)
0 ) 1 ( ) ( )
(
2 ) 1 ( 2
) 0
( + ∑ − − =
∑= = n k n
k
b n k Z a k
X (7)
式(6)乘(n−1 )，式(7)乘∑ 得到
= n k
k Z
2 ) 1 ( ( )
∑n
∑= + − =
−
k n
k
k Z a n k Z k X n
2 2 ) 1 ( 2
) 1 ( ) 0
( ( ) ( ) ( 1) [ ( )]
) 1 (
(8)
∑= =
−
− n
k
k Z b n
2 ) 1
( ( ) 0
) 1 (
∑
∑
∑= = + =n k n
k n k
k Z a k Z k X
2 2 ) 1 ( 2
) 1 ( 2
) 0
( ( ) ( ) [ ( )]
0 (9) )
( ) 1 (
2 ) 1
( =
−
− ∑
= n k
k Z b n
由式(8)減式(9)得到
∑
∑= + − =
− n
k n
k
k Z a n k Z k X n
2
2 ) 1 ( 2
) 1 ( ) 0
( ( ) ( ) ( 1) [ ( )]
) 1 (
)]
( [ ) ( ) (
2 2 ) 1 ( 2
) 1 ( 2
) 0
( − =
−∑ ∑ ∑
=
=
=
n k n
k n
k
k Z a k Z k
X 0
∑
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
=
−
−
−
−
= n
k n
k
n k n
k n
k
k Z k
Z n
k Z k X n k Z k X a
2 2 ) 1 ( 2
2 ) 1 (
2
) 1 ( ) 0 ( 2
) 1 ( 2
) 0 (
)]
( [ )]
( [ ) 1 (
) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) (
] ) ( )
( 1[ 1
2 ) 1 ( 2
) 0
( ∑
∑= + =
= − n
k n
k
k Z a k n X
b
又 2 [ ( )] 0
2
2 ) 1 ( 2
2 = >
∂
∂ ∑
= n k
k a Z
D
0 ) 1 (
2 2
2 = − >
∂
∂ n
b
D Qn≥4
因二階導數皆大於零，故證明有極小值。
步驟 6： 累加生成數列的第 k＋1 個預測值，依式(10)求得：
a e b a X b k
Xˆ(1)( +1)=[ (0)(1)− ] −ak+ (10)
步驟 7： 經由逆累加生成（IAGO）過程，推導出原始數列 的第k＋1 個預測值，如式(11)
) ˆ ( ) 1 ˆ ( ) 1
ˆ(0)(k X(1) k X(1) k
X + = + − (11) a
2.迴歸分析[19]
迴歸分析係利用自變數（independent variable）與應變 數之間的相關性來建立彼此之間的數學函數關係，然後再
藉由此函數關係來做應變數的預測。迴歸分析方程式大部 份皆使用最小平方法（method of least squares）求得，使用 此方法必須滿足下列條件，使得預測值與實際值之間的誤 差平方和為最小：
∑=n −
i Yi Yi 1
)2
( ˆ 為最小，式中 為第 i 期的實際值，Y 為第 i 期的預測值，n 為樣本數。
Yi ˆi
(一)簡單迴歸分析
估 計 迴 歸 函 數 （ estimated regression function ） 為
i，式中 為所求的預測值，Xi為自變數，β0、 β1為迴歸係數，以最小平方法求得
i X
Yˆ =β0+β1 Yˆi
2 2 2
0 i ( i)
i i i i i
X X n
Y X X Y X
Σ
− Σ
Σ Σ
− Σ
=Σ
β (12)
2 2
1 i ( i)
i i i i
X X n
Y X Y X n
Σ
− Σ
Σ Σ
−
= Σ
β (13)
(二)二次迴歸分析
估計迴歸函數為 ，式Y 中為所
求的預測值，Xi為自變數，β0、β1及β2為迴歸係數，以最 小平方法求得
2 2 1
ˆ 0
i i
i X X
Y =β +β +β ˆi
V
=U
β2 (14)
其中
i i i i i i i
iY X X X Y X Y
X n
U= Σ 2 Σ 2−(Σ )2Σ 2 −(Σ 2)2Σ
i i i i i i i i
i XY X X XY X X Y
X
nΣ Σ +Σ Σ Σ +Σ Σ Σ
− 3 2 3 i
3 2 2 3
2 4 2
4 i ( i) i ( i ) ( i )
i X X X X n X
X n
V = Σ Σ − Σ Σ − Σ − Σ
i i
i X X
X Σ Σ Σ +2 3 2
2 2
2 3 2
1 ( )
) (
i i
i i i i
i i i
X X n
X X X n Y X Y X n
Σ
− Σ
Σ Σ
− Σ
− Σ Σ
−
= Σ β
β (15)
n X X
Yi 1 i 2 i2
0
Σ
− Σ
−
= Σ β β
β (16)
㈤、灰簡易模型的實施步驟
步驟 1： 求解灰簡易模型的發展係數（a）與灰作用量（b）：
∑
∑
∑ ∑ ∑
=
=
= = =
−
−
−
−
= n
k n
k n
k
n k n
k
k Z k
Z n
k Z k X n k Z k X
2 2 ) 1 ( 2
2 ) 1 (
2 2
) 1 ( ) 0 ( 2
) 1 ( ) 0 (
)]
( [ )]
( [ ) 1 (
) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) (
[ ( ) ( )] 1
1
2 ) 1 ( 2
) 0
( ∑
∑= + =
= − n
k n
k
k Z a k n X
b
步驟 2： 將 a、b 代入灰色累加生成數列預測式：
a e b a X b k
Xˆ(1)( +1)=[ (0)(1)− ] −ak+ X( =
步驟 3： 將灰色累加生成數列預測值，代入原始數列預測 式，即可求得預測值。
) ˆ ( ) 1 ˆ ( ) 1
ˆ(0)(k X(1) k X(1) k
X + = + −
㈥、灰簡易模型的應用實例
以台灣地區民國 76 年至民國 79 年每日垃圾清運量[20]
為實例。
步驟 1： 求解灰簡易模型的發展係數（a）與灰作用量（b）： X(0)=(14,475，16,116，17,147，18,753)
X(1)=(14,475，30,591，47,738，66,491) Z(1)=( --- , 22,533，39,164.5，57,114.5)
016 , 52 ) (
4
2 ) 0
( =
∑= k
k X
728 , 763 , 105 , 2 ) ( ) ( (1)
4
2 ) 0
( =
∑= X kZ k
k
812 , 118 ) (
4
2 ) 1
( =
∑= k
k Z
259 , 660 , 303 , 5 )) ( ( (1) 2
4
2
∑ =
= Z k
k
07643 . 812 0
, 118 259 , 660 , 303 , 5 ) 1 4 (
728 , 763 , 105 , 2 ) 1 4 ( 812 , 118 016 , 52
2 =−
−
×
−
×
−
−
= × a
78 . 311 , 1 14
4
812 , 118 ) 07643 . 0 ( 016 ,
52 =
−
×
−
= + b
步驟 2： 將 a、b 代入灰色累加生成數列預測式：
07643 . 0
78 . 311 , ) 14
07643 . 0
78 . 311 , 475 14 , 14
ˆ(1) ( (0.07643)0
+−
− ×
−
= e−− ×
X
＝14.475 同理
58 . 497 , 30 ) 2 ˆ(1)( = X
76 . 792 , 47 ) 3 ˆ(1)( = X
62 . 461 , 66 ) 4 ˆ(1)( = X
26 . 613 , 86 ) 5 ˆ 1)(
步驟 3： 將灰色累加生成數列預測值，代入原始數列預測 式，即可求得預測值。
58 . 022 , 16 475 , 14 58 . 497 , 30 ) 2
ˆ(0)( = − = X
同理
18 . 295 , 17 ) 3 ˆ(0)( = X
86 . 688 , 18 ) 4 ˆ(0)( = X
64 . 151 , 20 ) 5 ˆ(0)( = X
㈦、灰簡易模型與迴歸分析之比較
灰系統的能量系統必須符合慣性、質量大及能量大的 特性，且不易受突發事件或外部力量改變其系統的軌跡，
而台灣地區每日垃圾清運量成長符合上述特性，故選擇台 灣地區每日垃圾清運量資料，作為灰簡易模型的原始數 據，如表一[20]。同時，為了與灰簡易模型作比較，本研 究以 4 年的資料來計算判定係數，當有新的一筆資料出現 時，將新的一筆資料納入，並剔除最早的一筆資料，依此 類推做到最後一筆資料為止，經研究顯示如表二，上述資 料的線性和二次模型平均判定係數（coefficient of deter- mination）均高達 95.54%以上，在如此高的判定係數下，
若灰簡易模型的預測及迴歸能力較簡單和二次模型佳，則 證明在樣本數極為有限的情形下，灰簡易模型的預測及迴 歸能力具有高精確性。
1.光滑離散函數檢定[21]
灰色模型一般用在離散函數數列，離散函數須滿足光 滑性條件，才能保證數列符合灰指數律，若證明 X(0)符合 光滑離散函數，則可以灰色系統建模。光滑離散函數檢驗 公式如下：
∑−
=
= 1
1 ) 0 ( ) 0 (
) (
) (
k i k
i X
k
ε X (17)
εk為離散光滑度，當εk={ε3, ε4,..., εn}是遞減數列，k≧3 且 0
≦εk≦1;又當 k 足夠大時，該數列收歛於零，即稱 X(0)為光 滑離散函數，本研究實例中，εk符合遞減數列，且當k 足 夠大時，該數列收歛於零，故X(0)符合光滑離散函數條件。
εk={0.561, 0.393, 0.298, 0.253, 0.208, 0.178, 0.155, 0.134, 0.122}
表㆒ 灰簡易模型預測與迴歸分析法預測比較表
(公噸/日) 灰簡易模型預測 簡單迴歸分析法預測
Y=β0+β1X
二次迴歸分析法預測 Y=β0+β1X+β2X2 實際值
灰預測值 誤差率% 預測值 誤差率% 預測值 誤差率%
民國 76 年 14,475
民國 77 年 16,116
民國 78 年 17,147
民國 79 年 18,753
民國 80 年 19,833 20,151.64 1.6066 20,089 1.2908 20,045.25 1.0702 民國 81 年 21,861 21,404.88 2.0864 21,151.5 3.2455 21,212.75 2.9653 民國 82 年 22,513 23,475.05 4.2733 23,204 3.0693 23,731.5 5.4124 民國 83 年 23,268 24,185.48 3.9431 24,067 3.4339 23,532 1.1346 民國 84 年 23,857 23,990.34 0.5589 24,608 3.1479 23,016.75 3.5220 民國 85 年 23,870 24,585.91 2.9992 24,560.5 2.8928 24,481.75 2.5628 民國 86 年 24,525 24,270.61 1.0373 24,542 0.0693 23,614.5 3.7125
平均誤差率% 2.3578 2.4499 2.9114
註：誤差率＝
實際值 實際值－預測值
×100％
表㆓ ㆕期移動判定係數表
(公噸/日)
項 次 實際值
線性模型的 判定係數 R2 Y=β0+β1X
二次模型的 判定係數 R2 Y=β0+β1X+β2X2 民國 76 年 14,475
民國 77 年 16,116 民國 78 年 17,147
民國 79 年 18,753 99.2717% 99.2749%
民國 80 年 19,833 99.2534% 99.2607%
民國 81 年 21,861 98.6953% 99.0746%
民國 82 年 22,513 96.556% 97.0554%
民國 83 年 23,268 92.1056% 98.3218%
民國 84 年 23,857 99.7976% 99.8412%
民國 85 年 23,870 88.1439% 99.3177%
民國 86 年 24,525 90.4872% 90.6248%
平均判定係數 R2 95.5388% 97.846%
2. 灰簡易模型（GSM）與迴歸分析（RAM）之預測能 力比較
為了配合與 GSM 作比較，RAM 預測仍然以 4 筆數據 作為原始數列，求出第五筆數據的預測值，再與實際值比 較，並取絕對值，即可得到誤差率。研究結果如表一，發 現 GSM 預測平均誤差率為 2.3578%，而簡單 RAM 預測平 均誤差率 為 2.4499%，二次 RAM 預測平均誤差率為 2.9114%，以 GSM 預測方法最精確。GSM 預測精確度比 簡單 RAM 高 4%，比二次 RAM 高 23.5%。
3. 灰簡易模型（GSM）與迴歸分析（RAM）之迴歸能 力比較
RAM 仍然以 4 筆數據作為原始數列，往前求出三筆 迴歸值，再與實際值比較，並取絕對值，即可得到誤差率。
研究結果如表三，發現 GSM 迴歸平均誤差率為 0.6492%，
而簡單 RAM 平均誤差率為 0.8564%，二次 RAM 平均誤差 率為 0.6746%，以 GSM 迴歸能力最精確。GSM 迴歸精確 度比簡單 RAM 高 31.9%，比二次 RAM 高 4%。
4.其他案例研究
以美國 1790 年至 1970 年人口資料[22]為例，GSM 預 測平均誤差率 3.052%，其預測精確度顯著（t=3.048，
p=0.0087）優於簡單 RAM（平均誤差率 7.152%，平均判 定係數 98.786%），亦比二次 RAM（平均誤差率 3.6240%，
平均判定係數 99.803%）高，以 GSM 預測方法最精確。又 GSM 迴歸平均誤差率為 0.9599%，其迴歸精確度顯著
（ t=5.537 ， p=0.0001 ） 優 於 簡 單 RAM （ 平 均 誤 差 率 2.2364%），但略低於二次 RAM 之精確度（平均誤差率 0.5807%）。
又以台灣地區民國 68 年至民國 86 年人口資料[23]為 例，GSM 預測平均誤差率 0.1478%，而簡單 RAM 預測平 均誤差率為 0.15743%（平均判定係數 99.854%），二次 RAM 預測平均誤差率為 0.15022%（平均判定係數 99.9657%），
檢定結果雖不顯著，但 GSM 預測之精確度亦優於簡單或 二次 RAM。又 GSM 迴歸平均誤差率為 0.027%，而簡單 RAM 迴歸平均誤差率為 0.041%，二次 RAM 迴歸平均誤 差率為 0.020%，GSM 迴歸精確度顯著優於簡單 RAM
（t=3.768，p=0.0005），但仍略低於二次 RAM。
表㆔ 灰簡易模型迴歸與迴歸分析法迴歸比較表
(公噸/日) 年 度 77 年 78 年 79 年 80 年 81 年 82 年 83 年 84 年 85 年 86 年
實 際 值 16,116 17,147 18,753 19,833 21,861 22,513 23,268 23,857 23,870 24,525
平 均 誤差率%
灰簡易模型迴歸 (誤差率%)
16,023 (0.580)
17,295 (0.864) 17,251 (0.605)
18,669 (0.449) 18,537 (1.151) 18,594 (0.846)
19,920 (0.436) 20,097 (1.329) 20,085 (1.271)
21,720 (0.644) 21,368 (2.254) 21,845 (0.072)
22,733 (0.978) 22,538 (0.111) 22,543 (0.134)
23,253 (0.065) 23,205 (0.273) 23,366 (0.419)
23,885 (0.118) 23,663 (0.811) 23,749 (0.453)
23,965 (0.398) 24,082 (0.888)
24,420 (0.429)
0.6492
簡單迴歸分析 Y=β0+β1X
(誤差率%)
15,930 (1.157)
17,316 (0.986) 17,324 (1.035)
18,703 (0.269) 18,600 (0.815) 18,637 (0.616)
19,876 (0.216) 20,160 (1.647) 20,075 (1.218)
21,682 (0.820) 21,405 (2.084) 21,321 (2.471)
22,736 (0.991) 22,417 (0.428) 22,538 (0.109)
23,512 (1.050) 23,212 (0.241) 23,144 (0.533)
23,886 (0.122) 23,610 (1.035) 23,691 (0.697)
24,076 (0.863) 24,069 (0.935)
24,448 (0.316)
0.8564
二次迴歸分析 Y=β0+β1X+β2X2
(誤差率%)
15,938 (1.103)
17,325 (1.037) 17,312 (0.963)
18,694 (0.316) 18,588 (0.881) 18,532 (1.179)
19,888 (0.278) 20,054 (1.115) 20,182 (1.758)
21,787 (0.337) 21,512 (1.595) 21,639 (1.015)
22,629 (0.516) 22,735 (0.985) 22,553 (0.179)
23,194 (0.318) 23,228 (0.173) 23,330 (0.264)
23,870 (0.056) 23,796 (0.258) 23,674 (0.766)
23,891 (0.086) 24,053 (0.765)
24,464 (0.248)
0.6746
註：誤差率＝
實際值 實際值－預測值
×100％
依據彭昭英[22]的美國人口預測結果顯示，人口與年 數的關係是二次曲線關係，故上述人口資料的二次迴歸分 析能力較佳，但灰簡易模型迴歸精確度也高達 99.04%以 上，基於簡易性、實用性和高精確性，灰簡易模型在樣本 數極為有限的情形下，仍然是一值得嘗試使用的方法。
㈧、結論
本研究提供灰簡易模型，使用者僅需四筆資料代入灰 簡易模型公式即可進行預測，不需了解複雜的灰色模型。
由於灰簡易模型具有簡易性、實用性和高精確性，且在不 需大樣本的特性下，常有比迴歸分析較佳的表現。因此，
在樣本數極為有限的情形下，灰簡易模型是一值得嘗試使 用的預測方法，非常適合在現今資訊產業不斷創新下，產 品生命週期短促，並沒有太多歷史資料的工商業廣泛運用 在管理上，如軟體開發業或中央處理器（CPU）等產業的 銷售預測和生產預測等。
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89 年 01 月 18 日 收稿 89 年 03 月 01 日 初審 89 年 06 月 12 日 複審 89 年 07 月 04 日 接受
