Lur e 型非線性系統之
H∞控制與迴路轉 移 回 復 設 計 與 其 在 水下無
人載具之應用
Design of Nonlinear
H /LTR and its Applications on Unmanned
∞Under water Vehicles
黃正能 計畫編號: NSC 90-2611-E-006-017
國立成功大學造船暨船舶機械工程學系副教授
中文摘要
在本文中，我們針對非線性系統來 設 計 一個 可 追 蹤 預 定 參 考 輸入 之 強健 ∞H
-非線性控制器,而在此非線性控制補 償器中亦將包含一個伺服補償器（用以完 美的追蹤確知之參考輸入且/或排除確知 之干擾函數）與一個非線性觀測器（用以 估測系統之狀態）。在加入此非線性控制 補償器後，所形成之非線性開迴路系統將 被化為標準的 Lu’re 型系統結構，然後， 我 們 將 使 用 多 變 數 圓 穩 定 準 則 （Multivariable Circle criterion）來分析此 非線性系統的穩定性，並探討不確定非線 性項之可容許範圍。本文中所設計的非線 性控制器，乃是將所探討之非線性系統轉 化為可使用線性H
∞-控制理論的模式， 進而求得H
∞-非線性控制器；然而為了 使此非線性系統可達預定之規格，因此也 詳細地推導H
∞/LTR 理論；最後藉由水 下無人載具系統模擬，來驗證H
∞/LTR 理論對各種雜訊的強健性。 為了驗證所推導的非線性H
∞-控制器理 論，在本文中對水下無人載具之潛水面非 線性動態系統，依以上之理論程序加以模 擬，將H
∞/LTR 設計法所到得的H
∞-控 制增益與觀測增益代回原來的非線性系 統中，以檢驗是否滿足設計規格的要求； 並驗證當系統具有之非線性不確定項在 可允許的區間內時，系統仍滿足為絕對穩 定。 關鍵詞：Lu’re 非線性系統、H
∞-非線性 控制器、H
∞/LTR 理論、水下 無人載具Abstr act
In this research, a robust H∞-nonlinear controller, capable of tracking desired reference input, is designed for a general nonlinear system. This nonlinear controller contains a servo-compensator, which can track certain reference input while rejecting certain disturbance signals perfectly, and a nonlinear observer for estimating plant states.
After adding the proposed nonlinear
open-loop nonlinear system will be formulated to a Lu’re type problem, and then the Multivariable Circle Criterion can be applied to analyze the stability of the closed-loop nonlinear system. Thus, the allowable sector for plant uncertainties can be discussed.
To obtain a robust nonlinear controller, the nonlinear system is first formulated into a standard H∞-problem form. Besides, in order
to obtain a pre-specified closed-loop
performance for output feedback case, the H ∞/LTR methodology is derived. Finally, the H ∞ /LTR techniques will be illustratedby using a physical example of an autonomous underwater vehicle (AUV)system. In fact, a nonlinear diving plane system of autonomous underwater vehicle (AUV) is going to be used to test the feasibility of the proposed nonlinear H ∞ -controller. The robustness property of H ∞ /LTR design can be demonstrated in this example especially while
encountering various disturbance, i.e.,
non-white gaussian noises. The computer simulation results will reveal that the closed-loop nonlinear AUV system is absolutely stable if its nonlinear, uncertain terms remain in a proper sector.
Keywor d：Lu’re type nonlinear system、 H∞-nonlinear controller、H ∞/LTR theory
1. 緒論
在現今的控制界中，各種控制方法到 最後都會探討其強健性，而H
∞-控制理 論即屬於強健控制的範疇﹔H
∞-控制理 論到目前已發展得相當成熟，且順利地應 用在太空大型結構物控制與彈道飛彈的 飛行控制等﹔而在需要科技提昇的台 灣，我們希望能更深入了解H
∞-控制理 論，並期望有朝一日能將其應用於工業或 船舶的實際控制上。 當下 LQG/LTR【3】【8】【17】【19】【20】 技術應用在飛機導航上相當地成功，但因 LQG 理論對外擾已先設限為白雜訊(white noise)，而面對比飛機所受之外擾還嚴重 的船舶海況來說，此限制將無法滿足，也 因此在本文中將以漸進迫近法推導能忍 受各種形式的外擾與雜訊影響之 ∞H
/LTR 設計技術【1】【14】【18】。一般 所看到在時域的H
∞-控制理論，到最後 都是利用二個 Riccati 方程式循H
∞-控制 法則反覆求解，來求解出H
∞-最佳控制 增益﹔在本文中，將探討權重函數的選 擇；當系統具有各種不確定性時，權重函 數扮演著不確定性之角色，而對權重函數 的規範能確保系統滿足強健穩定。然而由 擴增系統之控制問題，權重函數的功能就 是在使系統外界輸入對控制輸出的影響 壓到最小，亦即在使得系統滿足強健性 能；而由系統的強健性能問題，可推演出 迴路整型的觀念；所以在本文中，可很直 覺地看出H
∞-制器的設計規範。 對於在 我們週遭所控可見到的系統中，幾乎都是 非線性系統，因此在本文中將針對一非線 性系統來分析﹔而為了要求得非線性控 制器，首先將原非線性系統化為可使用∞
H
-控制理論之形式，然後以 LQG/LTR 或H
∞/LTR 技術來求解狀態回授增益K 與觀測增益 L，分別代回原非線性系統之 穩定補償器與非線性觀測器中，最後並將 補償後的系統化為 Lu’re 型控制結構【11】 【12】，配合 Multivariable Circle criterion 來判斷保持閉迴路系統絕對穩定之 nonlinearity 可允許之分佈範圍。 最後藉 由船舶非線性動態系統的模擬，探討本文 理論的可行性﹔在本文中，將首先探討為 何 LQR 狀態回授系統具有大增益餘裕 (gain margin；GM)與高相位餘裕(phase margin；PM)即 PM＞60
o之強健穩定性 【8】【17】；由設計狀態回授控制器，來 形成符合預先設定性能規格的目標回授 迴路(target feedback loop，TFL)；然後經 由迴路函數回復 LTR 技術，將受到白雜 訊干擾的輸出回授 LQG 系統回復(趨近) 到 LQR 狀態回授之目標回授迴路上﹔如 此的設計技術，可預想而知：系統之閉迴 路必然滿足設計規格，並擁有強健穩定 性。但 LQG 之白雜訊干擾限制，在富而 多變的海況下，並不太能滿足我們的設計 需求，因此我們將再引入H
∞/LTR 設計 理論（其能容忍各型雜訊或干擾的作用且 對具有不確定性或參數漂移的系統仍然 擁有優越的強健性能）；在本文中將以漸 進迫近法推導能忍受各種形式的外擾與 雜訊影響之H
∞/LTR 設計技術。 ∞H
/LTR 技術主要是在將輸出回授的系 統回復到能保證強健性之H
∞-狀態回授 之目標回授迴路上。然後，我們將正式面 對一模式化後的非線性系統，在加入伺服 補償器和非線性觀測器後，將此非線性開 迴路系統轉化為含有線性與非線性部份 的標準 Lu’re 型系統結構；然後再利用多 變數圓穩定準則來分析此非線性系統之 穩定性（其中，為了順利地應用多變數圓 穩定準則，我們將有系列地介紹 SPR 定 理【12】），並探討不確定之非線性項之可 容許分佈範圍。 最後將藉由一實際的水下無人載具 非線性模型來模擬，依照本文中之設計程 序來求得一非線性H
∞-控制器，再將此 非線性H
∞-控制器代回原來的非線性系 統中，並模擬此非線性系統的響應，與驗 證是否能達到我們預先設定的性能規 格，並探討不確定之非線性項可允許的分 佈區間(sector)。然後為了再突顯H
∞/LTR 之強健性能，將再對此系統以 LQG/LTR 設計法來設計，並與本文中之H
∞/LTR 做一比較，希望經模擬結果證實H
∞/LTR 設計法對各種形式的干擾或雜訊(尤其是 非白雜訊)具有較優良的強健性能。2.
H∞-狀態回授之目標回授迴路計
考慮一個經W 、1 W 、2 W 加權後之擴3 增系統如下： ) ( ) ( ) ( ) (t Axt B1wt B2u t x& = + + ) ( ) ( ) (t C1x t D11w D12u t z = + +(1)
u D t w D t x C t y( )= 2 ( )+ 21 ( )+ 22其中 n t x( )∈ℜ ， p t y( )∈ℜ ， m t u( )∈ℜ ， q t z( )∈ℜ 分別代表系統狀態、系統輸出、 控制訊號與受控輸出；而 r t w( )∈ℜ 則為 限制 w2 ≤1之干擾訊號，通常包含了參 考輸入、外界干擾及感測器雜訊；z(t)則 包含了加權過後的誤差訊號、控制訊號與 系統輸出。
H
∞-狀態回授控制問題即在找 出一控制律 u=−Kx (2)使得 ) (A−B2K 為穩定矩陣，且讓 γ < + − − = ∞ − ∞ 1 1 2 12 1 )( ) (C D K sI A BK B Twz 亦即讓 w 對 z 之影響愈小愈好，在求解控 制增益 K 時，依 Rawson【18】之假設：(a) (A,B1)＆(A,B2) are stablizable pairs；
(b) (A,C1)＆(A,C2) are detectable pairs；
(c) D12TC1 =0 ； (d) D12TD12 =R ； 經由解一 Riccati 方程式 0 ) ( 2 1 1 − 2 1 2 + 1 1= + +XA X −BB BR−B X C C X AT γ T T T (4) 可得狀態回授增益K=−R−1B2TX (5) 其中 X 為(4)式之正定解；並取R=ρI； ] [ ] [I+KΦB2 ∗ I+KΦB2 2 1 1 2 2 2 1 2 1 1[C B][C B] B XBB X B I+ Φ Φ + Φ T Φ = ∗ − ρ γ ρ 其中Φ(jω)=(jωI −A)−1 當γ →∞時，上式蛻變為 LQR 狀態回 授的形式；且由於上式比 LQR 多了半正 定項： 2 1 1 2 2 B X B XB BΦ T Φ − ρ γ ，因此H∞-狀 態回授之 GM、PM 穩定性將可比 LQR 狀 態回授還要好。如此可得在輸入端砍斷之 開迴路轉移函數
L
(s
)=K
Φ(s
)B
2。 (7)3.
H∞-輸出回授
考慮(1)之擴增系統，當系統狀態無 法全部掌握時，必須使用輸出回授：藉由 找到一控制律u =−K(s)y，使得 γ < ∞ zw T 仍然成立。輸出回授控制器 ) (sK ，考慮使用 full order based 觀測器結
構： c c c w D x C y x K x C u y y L u B w B x A x 21 2 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ) ˆ ( ˆ ˆ + = − = = − + + + = &
(8)
其中wc =−γ−2B1TXxˆ；再依 Rawson【18】 再做如下之假設：(i) (A,B1)＆(A,B2) are stabilizable pairs；
(ii) (A,C1)＆(A,C2) are detectable pairs；
(iii) D12TC1 =0 ；B1D21T =0 ； 經由解一 Riccati 方程式如下 Y C D D C C C Y AY YAT T T T ] ) ( [ 2 1 21 21 2 1 1 2 − − − + + γ 0 1 1 = +BBT 可得估測增益 1 21 21 2 1 2 ) ( ) ( − − − − = T T D D YC YX I L γ (10) 其中 Y 為(9)式之正定解；經整理後可得 c wx BKx Ly LCx LDw K B x A xˆ& = ˆ+ 1 ˆ− 2 ˆ+ − 2ˆ− 2 Ly x X B LD LC K B X B B A− T − − − T + =( − − )ˆ 1 21 2 2 2 1 1 2 γ γ Ly x LC K B X B B A− T − − + =( − )ˆ 2 2 1 1 2 γ (11) 且由 u =−Kxˆ (12) 可得y(s)到u(s)間之轉移函數： ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 2 2 1 1 2 s y L LC K B X B B A sI K s y s K s u T + + ⋅ + − − = − = − − γ
− − − = − 0 ) ( 1 1 2 2 2 K L LC K B X B B A s K T γ (13) 如此可得在輸入端砍斷之開迴路轉移函數為： (14) = = ( ) ( ) ) ( 0 s K s G s L B s LC LC K B X B B A sI K T ) ( ) ( 2 1 2 2 1 1 2 + + Φ + − γ− − 由於輸出回授無法保證如狀態回授一 般：可擁有關於 PM 與 GM 之強健穩定 性，因而必須再經 LTR 的步驟。
4.
H
∞/LTR 之設計
實施 LTR 必須先滿足 matching condition：B1 =B2W (15) 其中 WWT =V>0 ，則 T T T T VB B B WW B B B1 1 = 2 2 = 2 2 (16) 經由設計D21 =µD~21 (17) 則(9)式之 Riccati 方程式可寫為： 0 ] ) ~ ~ ( [ 1 1 2 1 21 21 2 2 1 1 2 = + − + + − − − T T T T T B B Y C D D C C C Y AY YA µ γ 再利用 Kwakernaak【13】之定理： 若受控體G(s)=C2Φ(s)B2為極小相位系 統，B 與2 C 為 full rank 且2 ) dim( ) dim(u = y ，則可由定理知：當 0 → µ ⇒Y→0 ⇒ T T T VB B Y C D D C Y 2 2 2 1 21 21 2 0 ) ] ~ ~ ( [ lim − = → µ µ µ 定義 1 21 21 ) ~ ~ ( − ≡ D DT D ⇒ T T T VB B Y DC D D D C Y 2 2 2 21 21 2 0 ) ~ ~ ( lim = → µ µ µ ⇒ 2 1 2 1 2 2 0lim
Y
C
TD
=
B
V
UD
→µ
µ (18) 其中U 為任意之么正矩陣； D YC YX I DC C Y YX I K B X B B A sI K T T T 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 1 2 0 ) ( 1 ] ) ( [ lim − − − − − − → − − + + + − = γ µ µ γ γ µ D C Y YX I DC C Y YX I K B X B B s K T T T 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 1 0 ) ( ] ) ( ) ( [ lim µ γ µ γ µ µγ µ µ − − − − − − − → − − + + + Φ = D C Y YX I DC C Y YX I K B X B B I s K T T T 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 0 ) ( ] ) ( )[ ( lim µ γ µ γ µ µγ µ µ − − − − − − → − Φ − + Φ + Φ + Φ = D C Y YX I s DC C Y YX I s K T T 2 1 2 1 2 2 1 2 0 ) ( )] ( ) )[( ( lim µ γ µ γ µ − − − − − → − Φ − Φ = ) ( ) (s B2G 1 s KΦ − = ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( lim ) ( lim 2 1 2 0 0 0 s L B s K s G s G B s K s G s K s L = Φ = Φ = = − → → µ µ (19) 因此，由以上所證，我們用H -控制亦可∞ 回復原來之目標回授迴路。 5. 水下無人載具非線性系統之H
∞/LTR 深度控制模擬 考慮水下無人載具之潛水面(dive plane)問題，船體對稱且水平控制面為零 之運動方程式【5】，若將該潛水面動態系 ) ( lim 0K s → µ統對 nominal 工作點做線性化，並假設此 潛艇為維持向前的運動，且起伏速度 (heave velocity)w 對縱搖角速度 q 與縱搖 角θ 不產生影響，而僅將其視為對深度 z 之干擾訊號；可化為如下的動態方程式： ) , ( ) , ( 0 0 04 . 0 0 6 0 0 0 1 0 4 . 0 7 . 0 t y f u B x A t y f u x x s s s s s + + = + + − − − = &
[
]
xs Csxs y= 0 0 1 = 其中狀態[
]
T s q z x = θ ， q 為縱搖角速度(pitch rate)；θ 為縱搖角(pitch)； z 為深
度；控制訊號 u 即為升降舵角δ ；f(y,t) 為做線性化後的非線性不確定項。本文所 採用的水下無人載具規格為：雙螺槳，長 17.4 ft，重 1200 lbs，操作轉速 500 rpm， 前進速度 6 ft/s；系統之參考輸入為： 0 = d q 、θd =0、zd =100 ft。 考慮使用H /LTR 設計法來求解∞ ∞ H -狀態回授增益 K 與估測增益 L ；由 (20)式，在不考慮非線性不確定項 f(y,t) 之下，求取H -狀態回授增益 K ，首先∞ 選取權重函數： 7008 . 32 0185 . 5 3666 . 12 1 + + = s s W 、 5173 . 74 9669 . 67 5561 . 3 2 + + = s s W 、 5973 . 90 6448 . 14 8808 . 18 3 + + = s s W 對原來的受控體加以擴增後，可得擴增系 統矩陣。 ( I ) H -輸出回授∞ 當無法得到系統之全部狀態時，考 慮使用 full order based 觀測器，其方程式 如下： u D w D x C y x r K u y y L u B w B x A x c c 22 21 2 2 1 ˆ ˆ ) ˆ ( ) ˆ ( ˆ ˆ + + = − = − + + + = & (22) 其中 r 為參考輸入， x X B wc =−γ−2 1T ˆ， X 為(4)式之正定解。 此時估測狀態之狀態回授增益仍沿 用(47)的 K 值，所以只要再設計估測增益 L 即可，經由解(9)之 Riccati equation 可 得估測增益
[
]
T L 0293 . 0 1617 . 0 0279 . 0 1951 . 0 0151 . 0 0041 . 0 − − − = 中之估測增益[
]
T L 0009 . 0 6157 . 2 0009 . 0 0177 . 0 0262 . 0 1127 . 0 * 103 − − − = 如此可求得控制器K(s)，並由圖 1(a)(b)可驗證 得擴增系統之靈敏度S(s)、控制能量函數 ) (s R 、互補靈敏度矩陣T(s)確實為權重函數 ) ( 1 1 s W− 、W2−1(s)、W31(s) − 所包住；且可使γ
< ∞T
W
R
W
S
W
3 2 1 ，其中之γ 可壓到 0.6472。 ( ii ) H /LTR 之設計∞ 設計雜訊輸入矩陣 T T T D D D D D D21 21=µ2~21~21=λ~21~21，經由選 擇參數λ 使輸出回授迴路2 2 0(s) K(s)C (s)B L = Φ 可趨近狀態回授迴 路L(s)=KΦ(s)B2，由圖 2(a)(b)分別顯示 3 10− = λ 與λ=10−7之回復情形；圖 2(a) 在λ =10−3時H -輸出回授迴路∞ L0(s)之 奇異值圖回復情形，仍不太理想，而在 7 10− = λ 時可說已幾乎完全回復，因此可 預想而知：在λ =10−7時，深度控制之時 間響應將會與目標回授迴路之時間響應 相當近似；在圖 3(a)(b)中分別為 3 10− = λ 與λ =10−7之深度控制時間響應圖。
6. 結論
本文對一模式化後的非線性系統， 在加入伺服補償器和非線性觀測器後，將 此非線性開迴路系統轉化為含有線性與 非線性部份的標準 Lu’re 型系統結構；然 後以漸進迫近法推導H
∞/LTR 設計技術。 ∞H
/LTR 技術主要是在將輸出回授的系 統回復到能保證強健性之H
∞-狀態回授 之目標回授迴路上。H /LTR 控制理論在∞ 考慮系統所受到的干擾或雜訊為非白雜 訊時，可擁有比 LQG/LTR 更好的性能與 穩定性，但在回復的過程中，除了降低設 計參數外，最重要的是必須滿足匹配條 件，如此才能得到優越的回復特性，而且 能保證回復後的系統時域響應仍然不 錯。然後，再利用多變數圓穩定準則來分 析此非線性系統之穩定性，並探討不確定 之非線性項之可容許分佈範圍。對於H -∞ 控制理論來說，雖然它具有一定之設計步 驟相當方便，但在選擇權重函數時卻非常 困難！儘管如此在選擇W 、1 W 、2 W 時，3 仍可依循W 通常選擇為低通濾波器，可1 確保不錯的系統追蹤性能；W 可依系統2 致動器之飽和極限來設計，通常亦為低通 濾波器；至於W 之選擇為高通濾波器，3 可用以降低量測雜訊對系統輸出的影 響。使用多變數圓理論時，由 SPR 的觀 念可對系統之穩定性分析轉為以 Nyquist 圖之軌跡來判斷，以圖示法來分析穩定性 較解析法來得方便許多；然而利用該穩定 準則可判斷使閉迴路系統達絕對穩定，其 中系統之不確定非線性項可轉化為可允 許的區間。最後藉由一實際的水下無人載 具非線性模型來模擬，驗證可達到預設的 性能規格，並探討不確定之非線性項可允 許的分佈區間(sector)。並與 LQG/LTR 做 一比較，經模擬結果證實H
∞/LTR 設計 法具有較優良的強健性能。參考文獻
1.
Al-Mamun, A., and T. H. Lee, and T. S. Low,"Disk drive servo controller design
usingH -LTR," Proc. IEEE. IECON 21∞ st
international Conf. on Industrial Electronics, Control and Instrumentation,vol.2,
pp925-930,1995.
2.
Anderson, Brian D.O., and John B.Moore,"Linear optimal control," Prentice-Hall,1971.
3.
Athans, M.,"A tutorial on theLQG/LTR method," Proc. Am. Control Conf., June
1986,pp.1289-1296.
4.
Callier, F.M., and C.A. Desoer,"Multivariable feedback systems," Dowden & Culver,1982.
5.
Cristi, Roberto , F. A. Papoulias , andA. J. Healey , "Adaptive sliding mode control of autonomous underwater vehicles in the dive plane," IEEE Journal of Oceanic Engineering, vol.15, no.3 ,pp152-160, 1990 .
6.
Desoer, C.A., and M. Vidyasagar,"Feedback systems:input-output properties," Academic Press,1975.
7.
Doyle, J. C., B. A. Francis, and A. R.Tannenbaum, "Feedback control theory," Macmillan Publishing Company ,1992.
8.
Doyle, John C., and Gunter Stein,"Multivariable feedback design: concepts for a classical/modern synthesis," IEEE Trans. Autom. Control, vol.AC-26, pp. 4-16,1981.
9.
Gertler, M., and G. R. Hagen,"Standard equations of motion for submarine simulations," Naval Ship Research and Development, NSRD Rep. 2510, 1967.
10.
Hwang, C.N., “Formulation of H2and H∞ optimal control problems
-A variational approach”, Journal of the Chinese Institute of Engineering, vol. 16, no. 6, pp. 853-866, 1993.
11.
Hwang, C.N. "Synthesis procedure fornonlinear systems," Proc. Natl. Sci.
Counc.
ROC(A),vol.17,no.4,pp.279-294,1993.
12.
Khalil, Hassian K., "Nonlinearsystems,"Prentice-Hall,2nd ed.,1996.
13.
Kwakernaak, H., and R. Sivan,"Linear optimal control systems," John Wiley & Sons, 1972.
14.
Kwitegetse, B. S., "Loop transferrecovery for H synthesis," Proc. ∞
IEEE. Conf. on Decision and Control,vol.2, pp1718-1719,1994.
15.
Laub, A. J., "An inequality and somecomputations related to the robust stability of linear dynamic systems," IEEE Trans. Autom. Control, vol.AC-24, no.2, pp.381-320, Apr. 1979.
16.
Laub, A. J., "Efficient multivariablefrequency response computations ," IEEE Trans. Autom. Control,
vol.AC-26, no.2, pp.407-408 , Apr.,1981.
17.
Maciejowski, J. M.," Multivariablefeedback design," Addison-Wesley Publishing Company, 1989.
18.
Rawson, J. L.,H. H. Yeh, and C. H.Hsu, "H /LTR:A loop shaping ∞
method for output feedback problem compensator design," Proc. Am. Control Conf., 1991,pp.2196-2201.
19.
Stein, Gunter, and Michael Athans,"The LQG/LTR procedure for multivariable feedback control design," IEEE Transactions
no.2,Feb,1987
圖 1(a)
R(s)與
W2−1(s)之奇異值 圖 1(b)
T(s)與
W3−1(s)之奇異值
圖 2 (a)
3 10− = λ之回復情形 圖 2 (b)
7 10− = λ之回復情形
圖 3 (a)
3 10− = λ之深度控制時間響應 圖 3 (b)
7 10− = λ之深度控制時間響應
)] ( [ ω σ R j ) ( 1 2 jω W− )] ( [ ω σ T j ) ( 1 3 jω W− )] ( [ ω σ L j )] ( [ 0 ω σ L j )] ( [ 0 ω σ L j )] ( [ ω σ L j Frequency (rad/sec) S in g u la r V a lu e s ( d B ) Singular Values 10-2 10-1 100 101 102 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 Frequency (rad/sec) S in g ul a r V alu e s ( d B ) Singular Values 10-1 100 101 102 -180 -160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 Frequency (rad/sec) S ing ul a r V a lue s ( d B ) Singular Values 10-3 10-2 10-1 100 101 102 103 -200 -150 -100 -50 0 50 Frequency (rad/sec) S in g u la r V a lu e s ( d B ) Singular Values 10-3 10-2 10-1 100 101 102 103 -150 -100 -50 0 50 0 20 40 60 80 100 120 -20 0 20 40 60 80 100 120 d e p t h ( f t )step response of Hinfinity/LTR design
0 20 40 60 80 100 120 -20 0 20 40 60 80 100 120 d e p t h ( f t )
