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“C43N35” — 2019/9/6 — 15:38 — page 43 — #1
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✐ 數學傳播 43 卷 3 期, pp. 43-44
再談抽籤的公平性
吳建生 · 張海潮
數學傳播 43 卷 2 期 (108 年 6 月) 刊出一篇周伯欣老師的作品 《抽籤的公平性》, 討論下 列問題 (見周文 p.50)。
籤筒中共有 n 支籤 (n ≥ 1), 其中 k 支有獎 (1 ≤ k ≤ n), 今有 p 個人依序來抽籤 (1 ≤ p ≤ n), 抽後不放回, 命第 i 個人 (1 ≤ i ≤ p) 中獎的事件為 Ai。
周老師詳細計算了 P (Ai), 得到 P (Ai) = kn, 對所有 i 均成立 (見周文 p.54), 也就是說, 先抽後抽並無區別。
周文刊出後, 高雄女中的退休老師吳建生告訴我一個直接的看法。 他的看法是 : 只要證明 這 p 個人中, 任兩位前後抽籤者中獎的機率都一樣, 就可以得出第 i 個人中獎的機率是 kn (因 為第 1 個人中獎的機率是 nk)。
證明方式如下: 假設在這 p 個抽籤者中, 甲是第 q 位, 乙是第 q + 1 位, 而前面 q − 1 位都已 經抽過了, 這時, 籤筒中還剩下 n − (q − 1) 支籤。 前面這 q − 1 位也許抽到了一些有獎的籤, 不管如何, 籤筒中還剩下 l 支有獎的籤 (l 也許是 0)。 令 n − (q − 1) = m, 因為甲和乙還沒 抽, 所以當然 m ≥ 2, 並且這 m 支籤中有 l 支有獎, l ≥ 0。
(情形一): 如果 l = 0 , 則甲和乙抽中獎籤的機率都是 0。
(情形二): 如果 l ≥ 1, 則甲抽中獎的機率是 ml, 甲抽不中的機率 m−lm , 如果甲抽中, 則乙也抽 中的機率是 l−1
m−1, 如果甲抽不中, 則乙抽中的機率是 l
m−1, 所以乙中獎的機率是 l
m · l − 1
m − 1 + m − l m ·
l
m − 1 =l2− l + ml − l2 m(m − 1)
= l(m − l) m(m − 1)
= l m, 因此甲、 乙兩人中獎的機率相等, 都是 l
m。
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✐ 44 數學傳播 43 卷 3 期 民 108 年 9 月
因為這 p 個抽獎者, 任兩位前後抽獎的中獎機率都相等, 因此所有 p 位中獎的機率當然也 相等, 都是 kn, kn 其實也是第一位和第二位中獎的機率。
讀者也許困惑, 在上述的計算中, 甲、 乙中獎的機是 ml 而非 k
n。這是因為甲、 乙來抽的時 候, 前面的抽獎者已經讓籤的內容發生變化, 因此 ml 其實是對不同的 l 所計算的條件機率。 重 點是, 甲、 乙兩人先抽後抽並無區別。
參考資料
1. 周伯欣。 抽籤的公平性。 數學傳播季刊, 43(2), 49-54, 2019。
—本文作者吳建生為高雄女中的退休老師, 張海潮為台大數學系退休教授—
