再談 「組合計數的方法」
張鎮華
一 . 前言
李政豐 [1] 和陳世傑 [2] 在數學傳播談論這樣的題目: 「白球 2個, 黑球 2個, 黃球 2個, 紅 球 2 個全部放在一個袋子中, 每次從中取一球, 問紅球先取完的機率是多少?」 李文採用排容原 理, 從兩種球, 各自有一不一定是 2的球數去算機率; 再擴張到三種、 四種、 五種球, 並猜測出一 般的公式, 真可謂匠心獨具。 陳文則堅持在有 m 種球 但每種還是 2球, 並從 m 是 2開始, 算到 3 和 4, 並從而猜測一般 m 的答案是 m1, 整體清楚明白, 學生很容易懂。 在這個小文裡, 我們要 來說明他們的一般公式都是對的。
二 . m 種顏色的球每種 k 球
我們先來談李文原來的題目, 用到的方法對於一般有 m 種球每種 k 球的證明和 m = 4 及 k = 2 的原來題目並沒有什麼不同, 所以乾脆就證明這一般的結果。
我們用的方法是一對一對應法, 一般來說要說明兩個集合元素個數一樣多, 最直接的方法 是在這兩個集合的元素間建立出一對一的對應, 這方法很直觀, 卻能解決許多問題。 最著名的例 子是 Caley 定理的證明, 這個定理是說: 「n 個點的完全圖共有 nn−2 個生成樹」, 最早的證明 是比較複雜的, 後來, 有人將這些生成樹和 「長度 n − 2 佈於 {1, 2, . . . , n} 的有序字列」 做出 一對一的對應, 因此這兩類物件的個數一樣多, 而後者很容易知道是 nn−2, 所以前者的數目就 是 nn−2。
現在讓我們回到原來的問題, 首先, 令 S 表示每次從袋中取一球, 但不放回, 並且將這 km 球全部取完的樣本空間, 而 Si 是 S 中第 i 種球最先取完的事件 (1 ≤ i ≤ m)。 我們並不需要 真正去算 S 的元素個數, 雖然我們知道它是 (km)!/(k!)m。 我們真正需要說明的只是
|S1| = |S2| = · · · = |Sm|.
如果這是對的, 則對於任一個 i, 第 i 種球最先被取完的機率就是 m1。
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再談 「組合計數的方法」
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要看出 i 6= j 時 |Si| = |Sj| 並不難, 我們考慮下面的對應: 對於 Si 中的任一取球法 (a1, a2, . . . , akm) 對應到 (a′1, a′2, . . . , a′km), 其中
a′t=
j, 當 at= i;
i, 當 at= j;
at, 當 at6= i 且 at6= j.
則 (a′1, a′2, . . . , a′km) 是 Sj 的一種取球法, 而且這樣的對應是 Si 和 Sj 之間的一對一對應。
三 . 一般化的結果
現在來談論李文中的一般化結果, 問題是: 當有 m 種色球, 顏色是 ci 的色球有 ni 個 (1 ≤ i ≤ n), 全部放在一個袋子中, 從中每次隨機取出一球不放回, 顏色 cm 的球先取完的機 率是多少? 李文的答案是
P = −(m − 2) +
m−1
X
i=1
ni
ni+ nm
+ nm m−1
X
i=2
(−1)i
X
A∈(Mi) 1 t(A) + nm
,其中 M = {n1, n2, . . . , nm−1} 視為元素可重複的集合,
Mi
代表從集合 M 中取出 i 個元 素出來的部分集合, t(A) 表示 A 中元素的和。
首先, 如果將 n ni
i+nm 寫成 1 −t({nni
i})+nm, 並湊出 1 = t(φ)+nnm
m (其中 φ 表示空集合, 而 t(φ) = 0), 則可以將公式改寫成
P =
X
A⊆M
(−1)|A|nm
t(A) + nm
.
其實我們也可以考慮第 j 種顏色的球, 先取完的機率 Pj。 若 N = {n1, n2, . . . , nm}, 則可以 知道
Pj =
X
nj∈A⊆N
(−1)|A|−1nj
t(A) .
現在我們來解釋上面這個式子。 令 S 表示所有可能取球的樣本空間, 當 i 6= j 時 Si 表示 第 i 種球比第 j 種球先取完的事件, 所以 S −
S
i6=jSi 表示第 j 種球先取完的事件, 由排容原理
S −
[
i6=j
Si
=
X
I⊆Λ
(−1)|I|
\
i∈I
Si
, 其中 Λ = {1, 2, . . . , m} − {j}。
T
i∈ISi 表示對於任一 i ∈ I, 第 i 種球都要比第 j 種球先取完, 這樣的機率是
P
nji∈Ini+nj
或者 nj
t(A), 其中 A = {nj} ∪ {ni : i ∈ I}。 要看出上面的機率, 首先
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數學傳播29
卷3
期 民94
年9
月不在 I ∪ {j} 的球可以不考慮, 因為不影響機率 (請想想看), 所以可以想成我們只有
P
i∈Initnj
個球, 在這些球中, 我們逐一取球, 但希望第 j 種球最後取完, 這相當於最後一個球取的是第 j 色的球, 而這樣的機率自然是 nj/
P
i∈I(ni+ nj) (請想想看)。 所以Pj= 1
|S|
S −
[
i6=j
Si
=
X
I⊆Λ
1
|S|(−1)|I|
\
i∈I
Si
=
X
I⊆Λ
(−1)|I|nj
P
i∈Ini + nj
=
X
nj∈A⊆N
(−1)|A|−1nj
t(A) .
四 . 討論
最後, 我們來看看, 為什麼一般的公式可以包含所有 ni = 2 (1 ≤ i ≤ m) 的特殊公式。 首 先, 對於滿足 1 ≤ k ≤ m 的 k, 恰有
m−1k−1
個集合 A 滿足 nj ∈ A ⊆ N, 所以由 t(A) = 2k 可以得到
Pj =
m
X
k=1
m − 1 k − 1
!
(−1)k−12 2k . 由於m−1
k−1
1k = (k−1)!(m−k)!(m−1)!
1
k = m1 k!(m−k)!m! = m1
mk
, 我們可以得到 Pj =−1
m
m
X
k=1
m k
!
(−1)k = −1 m
m
X
k=0
m k
!
(−1)k− 1
!
=−1
m ((−1 + 1)m− 1) = 1 m. 上述計算用到二項式定理
(x + 1)m =
m
X
k=0
m k
!
xk.
五 . 感謝
謝謝一位不知名審查人的寶貴建議, 得以將本文大加改進。
參考文獻
1. 李政豐, 組合計數的方法兩則, 數學傳播第 28 卷第 2 期 (民國 93 年 6 月), 第 43-58 頁。
2. 陳世傑, 一個題目多種解法 — 談排列組合的數學, 數學傳播第 29 卷第 1 期 (民國 94 年 3 月), 第 30-31 頁。
—本文作者任教於台灣大學數學系—
