矩形電阻網路串並聯順序及 相關不等式的推導

矩形電阻網路串並聯順序及 相關不等式的推導

林福林 · ^林子喬

曰: 「聖人重先後之序, 如天之四時, 分毫頃刻, 皆有次第, 物理自然, 不可易也。」

—亚宗羲全集, 第 4 卷 電阻是電路學理論裡重要的元件, 它有兩個端點, 其電路符號如圖 1 所示。 電路學裡的基 本電路元件都可以用電流及 (或) 電壓兩種電路變數以數學方式描述, 以電阻為例, 它的阻值即 是描述材料阻礙電流流動的程度, 可以寫成 R = V

I, 稱為歐姆定律。 其中 V 是電壓, 單位伏 特, I 是電流, 單位安培, R 是電阻, 單位歐姆。

圖 1: 電阻符號及其與電壓電流關係

當兩個電阻端點形成一個節點時稱為串聯, 串聯的電阻承載相同的電流, 如圖 2(a) 所示。

利用克希荷夫電壓/電流定律, 可以得到串聯的電阻之等效值為 R = R₁ + R₂。 當兩個電阻 端點形成兩個節點時稱為並聯, 並聯的電阻橫跨相同的電壓, 如圖 2(b) 所示。 利用克希荷夫電 壓/電流定律, 可以得到並聯的電阻之等效值的倒數為 1

R = 1 R₁ + 1

R₂。

(a) (b)

圖 2: 矩形電阻網路的兩個型態: (a) 串聯, (b) 並聯

矩形電阻網路是由 M × N 個電阻組成的雙埠電路, 以 M = N = 2 為例, 圖 3 顯示了 兩種結構, 左邊稱為先串後並電路, 電阻值表示為 RSP, 右邊稱為先並後串電路, 電阻值表示為 RP S。通常來講, 矩形電阻網路可以矩陣的形式表示為

R =



















R11 R12 · · · R_{1(N −1)} R1N

R21 R22 · · · R_{2(N −1)} R2N

... ... . .. . .. ...

R_{(M −1)1} ... . .. . .. R_{(M −1)N} RM1 RM2 · · · RM(N −1) RM N



















, (1)

其中矩陣內所有元素的數值皆大於 0。 本文猜想兩種結構所得到的電阻值會以不等式出現, 即 RSP ≥ RP S, 且當矩陣 R 的秩 rank(R) = 1 時等式成立。

(a) (b)

圖 3: 矩形電阻網路的兩個型態: (a) 先串後並, (b) 先並後串

我們先從最簡單的情況開始理解, 考慮 M = N = 2 且 w = y = z = 1 的情況, 改變 x 的數值來觀察 RSP 與 RP S, 結果如圖 4 所示, 可以觀察到 RSP ≥ RP S, 即先串後並的電阻 值一定大於等於先並後串的電阻值, 且當 x = 1 時等式成立。 換一種說法是設 r = RSP

RP S

, 則 r (阻值比) 必定大於等於 1, 如圖 5 所示, 且當 x = 1 時 r = 1。

圖 4: 矩形電阻網路的兩個型態阻值比較 圖 5: 矩形電阻網路的兩個型態阻值比

在此簡單的情況下, 先串後並的電阻值 RSP 表示為

RSP(x) = (1 + x)//(1 + 1) = 2(x + 1)

x + 3 , (2)

先並後串的電阻值 R_{P S} 表示為

RP S(x) = (1//x) + (1//1) = 3x + 1

2(x + 1). (3) 觀察兩者的差可以得到

d(x) = RSP(x) − RP S(x) = (x − 1)²

2(x + 1)(x + 3) ≥ 0, (4) 且等式只有當 x = 1 時成立。

觀察兩者的比值可以得到

r(x) = RSP(x)

RP S(x) = 1 + (x − 1)²

3x²+ 10x + 3 ≥ 1. (5) 由於 x > 0, 上式的分母 3x² + 10x + 3 恆大於 0, 因此等式只有當 x = 1 時成立。

接著我們往前走一步, 一樣考慮 M = N = 2 但只有 w = z = 1, 改變 x 與 y 的數值 來觀察 RSP 與 RP S, 結果如圖 6 所示, 可以觀察到相同的結果, 即 RSP ≥ RP S。 從圖 6 可 以看出當 x = y 時等式成立。 觀察兩者的比值可以得到

r(x, y) = RSP(x, y)

RP S(x, y) = 2(x + 1)(y + 1)(x + y)

(x + y + 2)(x + y + 2xy) ≥ 1. (6) 簡單的說明如下 : 想要證明 r(x, y) ≥ 1 等同於證明

2(x + 1)(y + 1)(x + y) ≥ (x + y + 2)(x + y + 2xy). (7) 不等式左邊展開得到 2x + 2x²+ 4xy + 2x²y + 2y + 2y²+ 2xy², 右邊展開得到 2x + 2y + 4xy + x²+ 2xy + 2x²y + 2y²+ 2xy², 消掉共同項, 不等式左邊剩下 x²+ y², 右邊剩 下 2xy, 由於 (x − y)² ≥ 0, 或者說 x²+ y² ≥ 2xy 且等式成立的條件是 x = y, 因此得證。

圖 6: 矩形電阻網路的兩個型態阻值比較, 當 x = y, 兩個型態的阻值比 r = 1

接著我們再往前走一步, 一樣考慮 M = N = 2 但只有 w = 1, 改變 x, y 與 z 的數值 來觀察 RSP 與 RP S, 結果如圖 7 所示, 注意到四張圖的橫軸刻度是不一樣的, 由圖 7 可以觀 察到相同的結果, 即 RSP ≥ RP S, 且當 z

1 = y

x 時等式成立。 觀察兩者的比值可以得到 r = RSP

RP S

= (1 + x)(x + y)(y + z)(1 + z)

(1 + x + y + z)(z(x + y) + xy(1 + z)) ≥ 1. (8)

圖 7: 矩形電阻網路的兩個型態阻值比較, 當 z : 1 = y : x, 兩個型態的阻值比 r = 1

由於 w = 1 只是相對的參考值, 因此我們得到一個結論: 矩形電阻網路的兩個型態阻值 比較結果, RSP ≥ RP S, 且當 z

w = y

x 時等式成立。 整理比值得到如下:

r = RSP

RP S

= (w + x)(x + y)(y + z)(z + w)

(w + x + y + z)(wz(x + y) + xy(w + z)) ≥ 1. (9) (9) 式的原始寫法是

RSP = 1 1

w + x + 1 z + y

≥ 1 1 w +1

z

+ 1 1 x +1

y

= RP S. (10)

證明如下: 先定義 f (v) = w+vx, g(v) = z+vy 及 h(v) = 1 1

w + vx+ 1 z + vy

= 1

1

f (v)+ 1 g(v)

,

因為 w, x, y, z 皆大於 0, 所以 h(v) 在 [0, ∞) 皆可微, h^′(v) = dh(v)

dv =1 f + 1

g

−2 x f² + y

g²

. (11)

利用柯西不等式 x f² + y

g²

1 x + 1

y

≥1 f + 1

g

2

, 代回 (11) 式整理得到

h^′(v) = 1

1

x +¹_y. (12)

利用特殊的技巧如下

h(1) − h(0) = Z 1

0

h^′(v)dv ≥ 1 1 x+ 1

y

. (13)

最後代入 h 函數, h(1) − h(0), 得到 1 1

w + x+ 1 z + y

− 1 1 w +1

z

≥ 1 1 x +1

y

, (14)

移項即得到 (10) 式, 證明結束。 根據柯西不等式, 當 v ∈ [0, 1], 等式成立的條件是 x f² : y

g² = 1

x : 1

y, 透過整理即得到 z w = y

x 為等式成立的條件。

再來考慮稍微複雜的情況: M = 2 及 N = 4, 例如設定 R =

"

1 2 3 4 2 u 6 8

#

, 改變 u 的數值來觀察 R_SP 與 RP S 的阻值比, 可以猜想當 u = 4 等式成立, 因為若兩個列向量成比

例關係, 則等式成立。 結果如圖 8 所示, 與猜想相符。 再舉一個例子, M = 3 及 N = 4, 例如 設定 R =







1 2 3 4 2 v 6 8 1 7 6 3





, 改變 v 的數值來觀察 RSP 與 RP S 的阻值比, 由於不管 v 是多 少, 矩陣 R 的秩 rank(R) 至少為 2, 所以等式不可能成立。 改變 v 的結果如圖 9 所示, 與猜 想相符。

圖 8: 矩形電阻網路的兩個型態阻值比 (M = 2 及 N = 4), 當 u = 4 時 r = 1

圖 9: 矩形電阻網路的兩個型態阻值比 (M = 3 及 N = 4), rank(R) ≥ 2 導致 r > 1

經由上面的討論, 由M×N個電阻組成的矩形電阻網路, 先串後並電路, 電阻值表示為RSP, RSP = 1

M

P

i=1

1

N

P

j=1

Rij

, (15)

先並後串電路, 電阻值表示為 RP S

RP S =

N

X

j=1

1

M

P

i=1

1 Rij

. (16)

我們猜想兩種結構所得到電阻值會以不等式出現, 即 RSP ≥ RP S, RSP = 1

M

P

i=1

1

N

P

j=1

Rij

≥ RP S =

N

X

j=1

1

M

P

i=1

1 Rij

. (17)

當矩陣 R 的秩 rank(R) = 1 時等式成立。 (17) 式可以改寫成另外一種漂亮的不等式如下

N

X

j=1

1

M

P

i=1

1 Rij

×

M

X

i=1

1

N

P

j=1

Rij

≤ 1, (18)

且當矩陣 R 的秩 rank(R) = 1 時等式成立。

如果讀者對 (17) 式的證明有興趣, 可以考慮由 M = N = 2 成立為基礎, 利用數學歸納 法應可完成證明。

事實上比 (17) 式更廣義的一個不等式已經被提出並完成證明。 在參考文獻 [1] 附錄中的 定理3 我們重新敘述如下:

考慮任意正實數矩陣 A =









a11 · · · a1N

... ... ...

aM1 · · · aM N









, p, q 為任意實數, 定義 p 次冪平均 (power

mean): Mp(a1, . . . , an) = Mp({ai}ⁿ_i=1) =1 n

n

P

i=1

a^p_i¹_p

, 如果 p < q, 則下列不等式成立 Mq({Mp({aij}^M_i=1)}^N_j=1) ≤ Mp({Mq({aij}^N_j=1)}^M_i=1) (19) 等式成立的條件是矩陣 A 的秩 rank(A) = 1。

設定 p = −1 < q = 1, aij = Rij, 根據 (19) 式, 左邊可以寫成 M_q=1({Mp=−1({aij}^M_i=1)}^N_j=1) = M_q=1n M

M

P

i=1 1 Rij

oN j=1



=1 N

N

X

j=1

M

M

P

i=1 1 Rij

= M N

N

X

j=1

1

M

P

i=1 1 Rij

, (20)

右邊可以寫成

Mp=−1({Mq=1({aij}^N_j=1)}^M_i=1) = Mp=−1

n1 N

N

X

j=1

Rij

oM i=1



= M

M

P

i=1

1 1

N

PN j=1

Rij

= M N

1

M

P

i=1

1

N

P

j=1

Rij

. (21)

不等式兩邊各乘上一個比例常數 N/M 並左右對調即可由 (19) 式得到 (17) 式, 說明結束。

q = 1 可以比擬成串聯, p = −1 可以比擬成並聯, (20) 式是先並後串, 即 (17) 式的右 邊, (21) 式是先串後並, 即 (17) 式的左邊, 所以我們獲得最後的結論: 兩種結構所得到的電阻 值會以不等式出現, 即 RP S ≤ RSP, 且當矩陣 R 的秩 rank(R) = 1 時等式成立。

最後借韓愈 《師說》 的語氣做個結論, 「串並有先後, 術算有專攻, 如是而已」。

參考文獻

1. T.-C. Lin and S.-M. Phoong, A New Cyclic-Prefix Based Algorithm for Blind CFO Es- timation in OFDM Systems, IEEE Transactions on Wireless Communications, vol. 15, no. 6, 3995-4008, June 2016.

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