三角形的不等式

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(1)

許教授 講故事

◎許志農/國立台灣師範大學數學系

今年師大開學延後一週上課,原因是宿舍整 修工程從暑假到開學前一直無法如期完工,導致 學生無宿舍可住。在學校理髮室剪頭髮是我的習 慣,理髮師手藝不是很好,理個勉強的頭髮,理 髮師也不覺得愧疚,我也可以接受。我在理髮、

洗頭、吹乾後,兩側頭髮會翹得有一點高,少有 理髮師可以處理得好,大都事後說「你的頭髮太 粗,才會翹起來,不是我的技術不好。」也因為 這樣,我很少在理髮店洗頭,大都回家自己洗,

以免增加理髮師的愧疚感。

〈圖一〉

〈圖二〉

趁著暑假以來,師大理髮室暫停營業的空 檔,換個理髮的地方,我選了離我家很近的一所 高中所附設的理髮室。理髮師三十出頭,職校美 容科畢業,這次不僅理髮,也在那兒洗髮,心想 美容科畢業,我的頭髮一定難不倒她。沒想到洗 頭、吹乾後,兩側的頭髮還是翹起來,更令我意 外的是,理髮師講了如下的話讓我寬心,也順便 撇清責任,她說:「說你頭髮粗,導致洗髮後兩

側微翹的理髮師是髮藝不精,理論沒搞懂,瞎掰 推卸責任的。事實上,你的頭髮不粗,還很細。

原因出在剛出生的小時候……,人的頭像西瓜一 樣,可能比較像小玉,是對稱的球形,頭頂有個 漩渦,頭髮就繞著這漩渦,以60度的角度下垂,

貼在頭皮上。今天你的兩側頭髮會翹起來是因為 小時候你是一個「乖寶寶」的關係。乖寶寶會乖 乖的躺在嬰兒床睡覺,就像很久沒開動的汽車輪 胎一樣,輪胎會變成橢圓的形狀,後腦會變得扁 平,此時兩側被壓擠,頭髮下垂的角度被改變,

所以兩側頭髮會稍微翹起來。這是乖寶寶的報 應,小時候滾來滾去的嬰兒,長大後頭會是球形 的,就不會有這個問題。」聽她這樣分析,學數 學的我也只好付錢摸摸鼻子走人。沒想到理個頭 髮也可以衍生出這樣的數學問題,似乎職校學生 的數學能力也沒有我們想像的差。

說到圓與球,就讓我回想起好幾年前在桃園 評科展的一段往事。有一組學生研究「牛可以吃 到草的區域面積問題」,這問題跟綁牛的繩子如 何套繞住牛及所綁物體的形狀有關。最淺顯的情 形就是圖一的情況,牛所能吃到草的區域是個圓 及其內部。但是,如果怕牛破壞一根竹竿走丟,

為了保險起見,將牠套在兩根竹竿上,如圖二所 示,這時牛所能吃到草的區域形狀似乎比較複雜 了。不過,中學所學過的圓錐曲線應該可以幫得 上忙。

1 設圖一﹑二中,套住牛的繩長都是2r,而 且圖二中兩根竹竿相距小於 r 。討論下列問題:

(1) 利用初等幾何方法想想看,在圖一或圖二的 牛中,何者可吃到草的範圍面積較大。

(2) 圖二的牛可吃到草的區域之形狀為何?試 說明之。

(2)

4

(3) 已知長軸2a,短軸 2b 的橢圓之面積公式為 πab,利用此面積公式推論:圖一或圖二的 牛,何者可吃到草的範圍面積較大。

如果將套牛的竹竿變成橢圓形的石柱,如下圖所 示,那麼牛可以吃到草的區域形狀又為何呢?

這是口試那組學生時,忽然從腦海裡湧出的一道 難題。學生們想了一下,順口回答「是橢圓」。

問題是,真的是橢圓嗎?

上圖中,將牛套在橢圓石柱上,牛可以 吃到草的區域形狀是橢圓形嗎?

(3)

師父中的師父講堂第四講

認 認 識 識 證 證 明 明 … … … … 頭 頭 腦 腦 的 的 五 五 種 種 功 功 能 能 之 之 一 一

◎許志農/國立台灣師範大學數學系

正確的知識、錯誤的知識、想像、睡覺和記憶是頭腦的五 種能力。頭腦本身既非敵人,亦非朋友,你可以使它成為朋友,

你也可以使它成為敵人,它依你而定,依那個隱藏在頭腦背後的 你而定。

記憶就是過去經驗的喚起,對過去的事情,採取真實而正確 的記憶是避免重複犯錯的不二法門。

唯有讓頭腦處在正確知識裡,潛意識的直覺(第六感)才會 是正確的;意識的推論才會是合乎邏輯的。得到這兩個福報就好 像隨身攜帶了火把,無論思緒移動到哪裡,那個黑暗就立刻消失,

所到之處都是明亮的,所有的事情都不證自明了。

問題

如下圖所示,滑輪拖著輪船,讓船靠近岸 邊。

問:滑輪捲動的繩子長度與輪船前進的距離何者較 大?請證明之。

當人的頭腦處在正確知識中心時,「直覺、直 接的認知」和「合乎邏輯的推論」就是辯證時,獲 得知識的兩大來源。這兩個來源(直覺、直接的認 知與合乎邏輯的推論)構成了數學證明的詩篇。想 要讓直接的感應產生,合乎邏輯的推論出現,必須 讓頭腦變成「證明」的朋友,也就是讓頭腦處於正 確知識裡。唯有讓頭腦處在正確知識中,直覺、直 接的認知才會像井水般源源不斷的流出,合乎邏輯 的推論才會像泉水般一波接著一波的湧現。

讓頭腦儲存或擁有越多數學知識的記憶,使頭 腦處在正確知識裡:充足的數學知識,直覺、直接 的認知加上合乎邏輯的推論讓我們對數學證明充 滿信心。現在就讓我們的頭腦處在正確的知識中心 裡!

三角形的不等式

當你欲從A地走到B地時,心裡清楚選擇兩 地間的直線來走最短,而不會選擇弧線或彎曲的路 徑前往。這是因為三角形的不等式這粒種子,不僅 早已播種在你的腦海裡,還長出了芽,甚至開了 花、結了果。但是偶而還是會忘記它的存在,特別 是在沒有知覺的情境之下。

1 直角座標平面的不等式:

在〈圖一〉的三角形 ABC 中,邊長 AB ,BC,AC 滿足「兩邊之和大於第三邊」與「兩邊的差小於 第三邊」的三角形不等式,也就是

AC+BC> ABACBC <AB.

(4)

6

2 地球表面的不等式:

在〈圖二〉中,設 ,A B是地球上的兩個點,顯然 圓弧 1 的半徑>圓弧 2 的半徑>圓弧 3 的半徑

>圓弧 4 的半徑,但是圓弧 1 的長度<圓弧 2 的長度<圓弧 3 的長度<圓弧 4 的長度。也就是 說,走半徑最大的圓弧,經過的路徑最短(這是 因為半徑越大,其圓弧越接近直線)。因此,飛 機從 A 飛到 B 時,經常選擇地球的大圓來飛行,

這樣最節省時間。

〈圖一〉

〈圖二〉

接下來就讓我們利用三角形的不等式來解決本節 的問題:如下圖所示

滑輪捲動的繩子長度為

; PAPB

| | 而輪船前進的距離為

AB.

由三角形PAB的三角形不等式知道 , PA PB− <AB

| |

即滑輪捲動的繩子長度<輪船前進的距離。

平面幾何證明……

最好的邏輯推理訓練

讓頭腦的推論合乎邏輯最簡單的訓練或檢驗 方式就是從事平面幾何證明:

例題 1

如下圖所示:

設 BM 與CN是三角形ABC的外角分角線。證明 BM=CN

〔證〕

因為

180 12

= 84

CBM ° −2 °

∠ = °,

=180 132 =48

BCM ° − ° °,

所以

=180 84 48 =48

BMC ° − ° − ° °, 因此三角形BMC是等腰三角形,即 BM=BC。 因為

180 ACN ° −132°2

∠ = = 24°,

180 132 12

BAC= ° − ° − ° = 36°, 所以

36 24 12 ,

BNC= ° − ° = °

因此三角形 BNC 是等腰三角形,即 BC CN= 。 綜合得到BM=BC=CN

(5)

練習 1

如下圖所示:

圓內接四邊形ABCD的對角線AC與 BD 互相垂

直,且相交於P點。若NCD上,MN通過P 點,且與 AB 垂直,則證明CN =DN

矩形分割

例題2 如下圖所示:

利用鉛直線與水平線可將矩形分割成面積依序為 , , ,

A a B b的四個小矩形。該如何畫鉛直線與水平 線,才能使其滿足下列條件。

1 在何條件下,A a B b, , , 會滿足 . a+ A=b+B

2 在何條件下,A a B b, , , 會滿足 A B

a = b .

3 在何條件下,A a B b, , , 會滿足 . Aa = Bb

4 在何條件下,A a B b, , , 會滿足 . aA=bB

〔證〕

令大矩形的長被鉛直線分成長度為pq

的兩個線段;寬被水平線分成長度為 r 與 s 的兩個 線段。此時

, , , .

A= pr a =qs B= qr b= ps

1 由題意知

( ) ( )

( )( ) 0

0 0

. qs pr ps qr

q s r p s r p q s r

p q s r

p q s r

+ = +

⇒ − = −

⇒ − − =

⇒ − = − =

⇒ = =

或 或

故當鉛直線或水平線平分大矩形面積時,等式 .

a+ A=b+B 成立。

2 由題意知

2 2

( )( ) 0

. pr qr

q p qs ps

q p q p q p

= ⇒ =

⇒ + − = ⇒ =

故當鉛直線平分大矩形面積時,等式 A B

a = b 成立。

3 由題意知

( ) ( )

.

pr qs qr ps p s r q s r p q

− = − ⇒ + = +

⇒ =

故當鉛直線平分大矩形面積時,等式 .

Aa = Bb 成立。

4 由題意知

1 1.

qspr = ps qr⋅ ⇒ = 故無論鉛直線或水平線為何,等式

aA=bB 恆成立。

奧修的念珠

例題3 奧修的念珠是由七顆精選的寶石串起來 的,其中標示 2 的那顆寶石的重量為 2 克拉。

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8

為了某種目的,這串念珠每顆寶石的重量必須是其 左、右兩顆相鄰寶石重量的幾何平均數。試求這串 念珠其餘六顆寶石的重量。

〔證〕

令七顆寶石重量最輕者為 w 克拉,而在最輕者左、

右兩顆相鄰寶石重量分別為 a 與 b 克拉。由此假設 知道

, , . wa wb w= ab

1 如果 w a< ,則w2 <ab,即w< ab,與 w= ab矛盾。

2 如果 w b< ,則w2 <ab,即w< ab,與 w= ab矛盾。

因此w=a w, =b,即最輕者左、右兩顆相鄰寶石 重量與最輕者同重。

同法可得,所有的寶石都是相同的重量。故每顆寶 石的重量都是2克拉。

練習2 若奧修的念珠是符合「每顆寶石的重量必 須是其左、右兩顆相鄰寶石重量的算術平均數」這 個條件,則求這串念珠其餘六顆寶石的重量。

有了這兩道問題的證明經驗之後,接下來請你解決 台大推甄的一道問題:

練習3 在無窮的平面網格上(由無窮多水平線與 垂直線所形成),每一格之內放置一個自然數(可 重複),使其每一格的數都等於其相鄰上下左右四 格的平均值,即

1 2 3 4

4 a a a a

a + + +

=

張三說:要完成這樣的配置,必須每一格放置相同 的正整數。請問:張三的說法正確嗎?請說出你的 論證。

數的觀察

你知道恆等式

2 2 2 2

4=n − +(n 1) − +(n 2) + +(n 3)

有多美嗎?當你可以用它來解決下一道例題的時 候,你就可以領悟它的漂亮!

例題4 如下表所列:

2

2 2 2 2

2 2

2 2 2

2 2 2 2 2

1 1 ;

2 1 2 3 4 ;

3 1 2 ;

4 1 2 3 ;

5 1 2 3 4 5 .

=

= − − − +

= − +

= − − +

= + − − +

正整數1, 2, 3, 4, 5 都可以寫成從1 ,2 ,3 ,32 2 2 等依序 開始的若干個平方和(可以放正負符號修正)。

是否每個正整數都可以這樣做。可以的話,證明 之;不能的話,舉一個反例。

〔證〕

利用恆等式

2 2 2 2

4=n − +(n 1) − +(n 2) + +(n 3) 可以證明:任意正整數都可以。例如

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

6 2 4

1 2 3 4 (5 6 7 8 ) 1 2 3 4 5 6 7 8 ;

= +

= − − − + + − − +

= − − − + + − − + 依樣畫葫蘆,可知

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

9 5 4

1 2 3 4 5 (6 7 8 9 )

1 2 3 4 5 6 7 8 9 .

= +

= + − − + + − − +

= + − − + + − − +

或者

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

9 1 4 4

1 (2 3 4 5 ) (6 7 8 9 )

1 2 3 4 5 6 7 8 9 .

= + +

= + − − + + − − +

= + − − + + − − +

仿照此方法及1, 2, 3, 4 可以表成連續平方數的正負 和,知道任何正整數都可以表成連續平方數的正負 和。

(7)

直接證法是畫家,反證法則是 雕刻師

米開朗基羅正在做一座耶穌的塑像,有人跟他 說「你的創造是偉大的」。他說「我什麼也沒有做。

耶穌藏在這塊大理石裡面,我只是幫助他被釋放出 來。他已經在那兒了,只是有超過了需要的大理 石。有無關緊要的……我把那無關緊要的鑿去。我 只是發現了他,我沒有創造他」。

畫家直接畫出人像或物體,就像直接推論出要 證明的結果一樣,但是雕刻師傅採取相反的策略,

他只是把不必要的大理石鑿開而已,就像去除所有 錯誤的選項,正確的推論就呼之欲出了。因此直接 證法由畫家來擔綱,而反證法就委託雕刻師傅演出 了。

例題5 證明 2是無理數。

在這裡提供兩種證明方法,它們都是反證法。假設 2是有理數(不是無理數),每個有理數都有很多 種不同的表示法,

例如

3 6 9 5=10=15= 3 ,

但是分母最小的表示法只有一個,而且分母最小的 表示法會使分子與分母互質。故有理數 2有下列 兩種不同的說法(表示法):

〔證1〕令

2 q,

= p

其中p q, 是互質的正整數。將兩邊平方得到

2

2 2

2 q2 2 .

p q

= p ⇒ =

由整數分解性質得2 q ,令q=2r,代入得到

2 2 2 2

2p =(2 )r ⇒2r = p . 同法可得2 p 。

因此2是pq的公因數,此與p q, 互質矛盾。故

「假設 2是有理數」是錯誤的,即 2是無理數。

〔證2〕令

2 q,

= p

其中p q, 為正整數,且q

p是分母p值最小的表示 法。因為1< 2<2,所以1 q 2

< p< ,即 2 .

p< <q p

2 2

2 2

2 2

2( ) ( 2 )

2 2 .

q p q

p

q p q p

p q q p

= ⇒ =

⇒ − = −

⇒ = −

−     

    

在表示法 2

2 p q

q p

= −

中,分母qp滿足 0< − <q p p (因為 p< <q 2 ).p 這與 2 q

= p是表示法中分母p值最小的矛盾。故

「假設 2是有理數」是錯誤的,即 2是無理數。

練習4 如果直接證法由畫家來擔綱,反證法委託 雕刻師傅演出,那麼數學歸納法請誰客串呢?如果 你百思不得其解,可以翻到本章最後一頁的附圖,

希望它能給你靈感。

2 不是分數的再次證明……

費馬無窮遞降法

數學問題的證明方法除了「直接證法」、「反證 法」與「數學歸納法」外,還有一種叫做「費馬無 窮遞降法」的證明方法。我們就以「 2不是分數」

這道數學問題為藍本,讓你體會何謂「費馬無窮遞 降法」。首先,還是假設 2是分數,並令 2 q

= p, 此時可以將邊長1, 1, 2 q

= p的等腰直角三角形放 大p倍,得到一個邊長都是正整數p p q, , 的等腰 直角三角形AB C1 1(如下圖所示):

(8)

10

現在以C1為圓心,C B1 1為半徑,畫一圓交線段C A1B2;過B2作該圓切線與AB1相交於C2

三角形AB C2 2有如下的性質:

1 因為∠ =A 45°,C B2 2AC1垂直,所以三角 形AB C2 2是等腰直角三角形,∠AB C2 2是直角,

且∠B AC2 2= ∠B C A2 2 =45°。

2 因為B A2 =C A C B11 2 = −q p

2 2 2 1 2

B A=B C =B C ,所以

1 2 2 2 2

B C =B C =B A= −q p都是正整數。

3 因為AC2 =AB1B C1 2 = − −p (q p)=2pq,所 以AC2 也是正整數。

綜合得到:三角形AB C2 2也是一個邊長都是正整數 的等腰直角三角形,但是顯然它的斜邊AC2比三 角形AB C1 1的斜邊AC1要短。同樣的方法,可以得 到邊長都是正整數的等腰直角三角形

3 3, 4 4, 5 5, AB C AB C AB C 3, 而且斜邊

1 2 3 4

AC >AC >AC >AC > .3

因為斜邊都是正整數,所以不可能一直小下去,因 此產生了矛盾。故原先假設「 2是分數」是錯誤 的, 2不可能是分數,應該是無理數。

如果你領悟了「費馬無窮遞降法」的奧妙,將 發現「費馬無窮遞降法」與「數學歸納法」是走相 反的方向,數學歸納法從最小的正整數1檢驗起,

逐步往大的正整數推,最後證明所有的正整數都成 立;而費馬無窮遞降法卻從某個大的正整數做起,

逐步往小的正整數導,最後得到矛盾。因此,「費 馬無窮遞降法」與「數學歸納法」實質上是相同東 西的兩面。

練習5 試著模仿上述費馬無窮遞降法,證明 5 不是分數。

練習6 證明以 36 , 72 , 72° ° ° 為內角的等腰三角形 之邊長不可能都是正整數。

讓頭腦處在真實而正確的記憶中

記憶就是頭腦對過去經驗的喚起,它也是頭腦 的五種功能之一。對過去事情採取真實而正確的記 憶是很重要的,不要試圖去美化或者醜化過去所做 事情的記憶。

舉例來說,學生經常在考完試之後,悔恨的說

「為什麼沒想到這個,沒想到那個」之類的話,他 在意的是分數的沒辦法多一點,而不是對剛剛考試 過程的正確記憶。事實上,是因為他處在錯誤的知 識中心,才導致沒想到這個,沒想到那個。他必須 對這件事情做真實而正確的記憶,才能在下一次避 免犯同樣的錯誤。如果他試圖以安慰自己的方式,

美化自己的記憶(如將它解釋成不小心,一時糊塗 或粗心大意),甚至把別人做對的事情醜化成別人 的僥倖,那麼他將一再地犯同樣的這個錯誤。

再舉一例,在數學考試中,有關選擇題或填充 題的部分,有時因為出題不夠慎重的關係,導致可 以用特例來解題。很多學生養成靠特例解題取得分 數,反而忽略了真正的解法。每次考試後,在學生 心中,只有特例解題,美化分數的記憶,卻對不知 如何正確解題的記憶忽略,甚至也沒在考試後,去 追求真正的作法。這只會導致同樣的事情一再發 生,數學能力反而提升不易。

美化自己與醜化別人是頭腦最容易犯的一種 錯誤,那是一種錯誤的記憶。正確的記憶應該是對 過去的事情不做任何判斷,且真實正確的記下來就 可以了。這看似簡單,卻是很難做到,因為頭腦總 是喜歡將過去自己做不好的事美化,將別人做得不 錯的事給予醜化。

前三講請參閱數學新天地第 11~13 期

(9)

國立台灣大學數學系 95 學年度 學士班甄選入學

第二階段筆試試題

2006/4/1 上午 9:00~11:00

⒈ 設(1+ +x x2)n=a0+a x1 + + a x2n 2n,其中a a 0, 1, 為係數。證

1

0 3 6 1 4 7 2 5 8 3 .n

a +a +a +=a +a +a +=a +a +a +=

⒉ 設O(0 , 0),A(0 , 6),B(5 , 10),P( 15 , 0)− 為xy−平面上之四點。若L為過點P之直線,

L將△OAB分成面積相等之兩部分,求L之方程式。

⒊ 以剪刀、石頭、布猜拳。

(a) 若兩人猜,平均要猜幾次才分勝負。

(b) 現有三人一起猜拳(三人一起出拳)。若兩人勝一人,則勝者兩人繼續猜。若一人 勝兩人,此人勝出。問平均要猜幾次,才能剛好有一人勝出。

⒋ 設A為3 3× 之方陣。對任何a b , ∈ 3

� 均有Aa

×Ab

=  × a b

 

。 (1) 設u v w  , , ∈ 3

� 互相垂直且長度為1。證明Au×Av Au, ×Aw

也是互相垂直且長度為1。 (2) 證明:Aa=  a

對所有a∈ 3

� 均成立。

(10)

12

國立台灣大學數學系 95 學年度 學士班甄選入學 第二階段筆試試題

⒈ 令 1 3 2

ω=− + i ,顯然ω滿足

3 1, 2 1 0.

ω = ω + + = ω

2 2 2

0 1 2 2

( ) (1 )n n n f x = + +x x =a +a x+a x + + a xx分別代1,ω及ω2,得

0 1 2 3 4 5 2

2 2 2

0 1 2 3 4 5 2

2 2

0 1 2 3 4 5 2

3 0 0

n

n

n n

n n

a a a a a a a

a a a a a a a

a a a a a a a

ω ω ω ω ω

ω ω ω ω ω

= + + + + + + +

= + + + + + + +

= + + + + + + +

       

由 ①+②+③得

1

0 3 6 0 3 6

3n =3(a +a +a +)⇒a +a +a +=3 .n 再由① + ②ω2+ ③ 得 ω

1

1 4 7 1 4 7

3n =3(a +a +a +)⇒a +a +a +=3 .n 最後由① + ② + ③ω ω2

1

2 5 8 2 5 8

3n =3(a +a +a +)⇒a +a +a +=3 .n

⒉ 因為直線L過 ( 15 , 0)P − ,所以直線L的 x 截距−15,令其y截距b b( >0)。根據截距式,得直線L 的方程式為

15 1.

x y L + =b

:−

直線BO的方程式為y=2x,與直線L的交點坐標為 15 30 30 ,30

b b

C b b

 

 − − 

 ,又直線Ly軸的交點為 (0 , )

D b 。因此,三角形 OCD 的面積為

1 15 15 2

2 30 2(30 ),

b b

b b b

⋅ ⋅ =

− −

而三角形OAB的面積為

1

2⋅ ⋅6 5=15.

(11)

根據題意

2

15 15 2

30 0, 2(30 ) 2

b b b

b = ⇒ + − =

解得b=5 ,−6(不合)。故直線L的方程式為

1 3 15 0.

15 5 x y

x y + = ⇒ − + =

⒊ (a) 機率問題必須先求出樣本空間,兩人猜拳的樣本空間可以用序對表示,序對的第一位置代表 一人出拳情形,第二位置代表另一人出拳狀況。因此,會有(剪刀,剪刀),(剪刀,石頭),

(剪刀,布),(石頭,剪刀),(石頭,石頭),(石頭,布),(布,剪刀),(布,石頭),(布,

布)等9種情形。所以平手有3種,分出勝負有6種,即猜一次拳平手的機率3 1

9= ,而分出3 勝負的機率6 2

9= 。 3

由上述分析,得猜 n 次拳才分出勝負的機率,即前n−1次平手,第 n 次分出勝負的機率,為 1 1 2

3 3 .

   n−

   

    因此,兩人猜拳分出勝負的期望次數為

1

1 1

1 2 2 3 3 3 .

n

n

n n

S n n

= =

   

=

×      =

1 1

3 2 .

3n

n

S n

=

=

將後式減去前式,得

1

2

2 3

2 2 2 3.

3 1

1 3

n n

S

=

= + = + =

故兩人猜拳,平均要猜1.5 次才分勝負。

(b) 如(a)的解答,可以將三人一起猜拳(三人一起出拳)的樣本空間表成三個位置的序對。將樣 本空間列出,共有33=27種,其中兩人勝一人有9種,一人勝兩人有9種,而平手有9種,

即兩人勝一人,一人勝兩人,平手的機率都是1

3。現在分成兩種情形討論:

(12)

14

(1) 前n−1次平手,第 n 次一人勝兩人的機率為 1 1 1 1 3 3 3 .

n n

     =

     

      這種情況的期望值為

1 1

1 .

3 3

n

n

n n

n n

= =

×    =

∑ ∑

(2) 前n−1次平手,第 n 次兩人勝一人的機率為 1 1 1 1 3 3 3 .

n n

     =

     

     

接下來剩兩人猜拳,根據遊戲知道期望值為1.5。這種情況的期望值為

1 1 1

1 1.5 3

( 1.5) .

3 3 3 4

n

n n

n n n

n n

n

= = =

  +

+ ×   = = +

∑ ∑ ∑

故三人一起猜拳,平均要猜

1 1

3 1.5 0.75 2.25.

4 3n 3n

n n

n n

= =

+ + = + =

∑ ∑

次,才剛好有一人勝出。

⒋ 這道題目考學生對外積的認識,雖然外積不是課程綱要要求教授的內容,但是有時解題比較快。

數學不錯的同學不妨認識外積,對將來是有所幫助的。外積最重要的一個性質是:

1 向量a 與b

的外積 a b ×

與向量a 與b

都垂直,而且其長度 a b ×

剛好就是向量a 與b

所張平行 四邊形的面積。

2

( ) a b   × × = c ( ) ( ) a c b    − ⋅ b c a    .

感謝嘉義高中陳勇政老師提供本問題的解析。

(1) 因為u v w  , , ∈ 3

� 互相垂直且長度為1,所以u v  × //w

,而且 u v × =1

。同理

1.

u w × = ×v w  =

也就是說,u v u w   × , ×

及 v w ×

三向量互相垂直且長度都是1。由題意 Aa Ab×  = u v × 得

1, Au×Av = u v × =

(13)

同理

1.

Au×Aw = Av×Aw = 也就是Au×Av Au, ×Aw

Av Aw× 

的長度都是1。現在證明它們互相垂直,將等號

( )

2

( )

2

Au× Av+Aw = u× +v w 兩邊分別用內積展開得

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2 2

Au Av Au Aw Au Av Au Aw Au Av Au Av Au Aw Au Aw

Au Av Au Aw

= × + × ⋅ × + ×

= × + × ⋅ × + ×

= + × ⋅ ×

       

       

   

左式

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2 2 2 0 2,

u v u w u v u w u v u v u w u w

u v u w

= × + × ⋅ × + ×

= × + × ⋅ × + ×

= + × ⋅ ×

= + =

       

       

   

右式

(

Au×Av

) (

Au×Aw

)

=0,故Au×AvAu×Aw垂直,故Au×Av Au, ×AwAv Aw× 的長度

都是1,而且互相垂直。

(2) 設u v w  , , ∈ 3

� 互相垂直且長度為1的一組向量。對任意向量a

都可以表為 .

a=xu+yv+zw

利用Av Aw× 

的長度都是1,而且互相垂直,得

2 2

2 2 2

. Aa xAu yAv zAw

x y z

= + +

= + +

   

    同理可得

2 2 2 2 2

. a = xu+yv+zw =x +y +z

Aa = a .

(14)

16

動 動 手 手 玩 玩 數 數 學 學

◎許志農/國立台灣師範大學數學系

〈動手玩數學〉專欄的每道題目是根據高中數學的某章節的數學概念為題,所精心設計出來的新穎 數學趣題。題目以「靈活而不難、巧妙而不偏、美麗而不怪」為主,又注重啟發性,寓數學於趣味與娛 樂之中。有時也會安排幾題國三升高一的銜接題,或加深重要數學觀念的遊戲題。在這專欄中,每道題 目的難度用顆星☆來呈現,從一顆星☆的入門題到五顆星☆☆☆☆☆的思考題都有。而每道題目的左側 是達文西人體比例圖做題開端,圖下方是這道問題的顆星數。接下來有〔玩鎖‧玩索〕,是對題目的歷史 背景做介紹,或對解題的方法提供提示,或者對所需的數學資料做溯源與整理的工作(包含擴張與延伸)。 最後則是解答,為了讓老師或學生真正的動手玩數學,解答不附在本書裡,而是放在龍騰文化全球資訊 網。

本專欄的題目儘可能以自然科學資訊當背景、人文素養為材料、社會典故做情境,集結這三種模型 開創高中數學問題的另一個平台。讀者如果有興趣或想要給學生做更多的練習題,可以到本人《師父中 的師父》網站的〈動手玩數學〉欄下載,網址如下:

http://math.ntnu.edu.tw/~maco/play.htm 就讓我們進入〈動手玩數學〉的第一集:

國外很流行將數學公式或不等式用簡 單、有創意且易於了解的幾何圖形來呈 現,這就是所謂「無字證明」或叫做「圖 遊戲1 說一體、不證自明」。下圖是臺北市中

☆ 山女中的林怡萱學生,針對柯西不等式 所提出的「無字證明」:

(1) 說明上圖中的白色區域面積等於下圖中的白 色區域面積。

(2) 將上圖的灰色面積以符號a b c d, , , 表示。

(3) 證明下圖中的灰色區域面積為

2 2 2 2

sin a +b c +d θ。 (4) 證明柯西不等式

(

ac bd+

)

2

(

a2+b2

)(

c2+d2

)

成立。

〔玩鎖‧玩索〕

「無字證明」並不是不需要文字說明就可以完 全理解,而是僅需極少的解釋就能得證的意思。越 是好的「無字證明」,所需的輔助文字越少。「無字 證明」並不是新產物或新的名詞,回想國中時,畢 氏定理的幾何證明就有點像無字證明的模式。據 說,這道無字證明的靈感就是來自畢氏定理的幾何 證明。

(15)

如果將半徑 6300 公里的地球比喻成一 顆橘子,那麼剝取橘子的一瓣來看,它 的外表邊緣就是所謂的經線,如下圖所 遊戲2 示,而跟經線垂直的就是緯線。在沒有

☆☆☆ 全球定位系統之前,北極星可以幫航海 家確定緯度,但並沒有明確的事物可以 確認各條經線的精確位置。

在上圖中,航海家從東經10°,北緯34°出發,沿 著北緯34°的緯線航行,到東經30°,北緯34°時,

轉向東經30°的經線往南航行,又到東經30°,南 緯86°時,轉向南緯86°的緯線向西航行,直到東 經10°,南緯86°時,再轉向沿著東經10°的經線北 上,到達出發的東經10°,北緯34°的出發地。問:

此航海家繞這一大圈,共是幾公里?〔參考數據:

cos26° ≈0.9〕

〔玩鎖‧玩索〕

生活在都市叢林的人靠十字路口認路,而航海 家借經緯線辨識方位,你可曾想過經緯大不同嗎?

往南北兩極的緯線環肥燕瘦各不同,但每條經線卻

都是半徑 6300 公里的大圓。緯線度數可透過北極 星與地心引力方向的夾角來決定,但經線的確認變 成了難題。英國國會在 1714 年提出所謂的「經線 法案」,在法案中允諾提出二萬英鎊的賞金,給解 決經度之謎的人。競逐賞金的科學家不勝枚舉,但 都沒有成功,包括解不開的伽利略與以為不能解的 牛頓。

除了科學家提出的各種不同解法之外,還有許 多異想天開的方法,其中「狗吠法」是最滑稽,也 最鮮的一種。在當時流行一種據說可以隔空療傷的 偽藥,只要在接觸過身體的紗布塗上這種藥物,身 體的傷就會好,但塗抹同時,身體會產生劇痛。所 以船長會攜帶一隻受傷的狗上船,其實是上船時故 意用刀抽傷這隻可憐的狗,並將一片紗布與狗的傷 口接觸。將此紗布放在格林威治村,每到格林威治 村的正午時刻,就有專人在這紗布上塗抹可以隔空 療傷的偽藥,此時船上的狗會大叫,船長自然知道 現在就是格林威治村的正午時刻,只需觀看太陽的 位置與角度,就可以清楚船隻所在地的時間,兩地 的時間差就可以算出船現在所處的經度。

能打敗伽利略的巧手,超越牛頓的頭腦,並解 出經度之謎,贏得鉅額獎金的人,究竟是何方神聖 呢?說來你可能不相信,這位尋找地球刻度的達人 只是一位未受過教育的鐘錶匠—約翰‧哈里遜。哈 里遜製造出,在風吹雨打日曬,冷熱潮溼與顛簸震 盪之下,依然可以走得很準確的鐘錶,只需帶著這 只手錶從格林威治村出海,任何時候都可以知道格 林威治村的精確時間。當然就知道船隻所在地的經 度了。有關地球經度之謎及其歷史,推薦時報出 版,戴瓦‧梭貝爾所著的書《尋找地球刻度的人》。

(16)

18

將長、寬、高及密度皆相同的均勻長方 體木板三塊,一塊塊往上堆,堆的時候 遵循以下規則:木板的兩個側面須上下 遊戲3 對齊,而上方的木板必須較下方的木板

☆☆☆☆ 靠右或是完全重疊,如下圖所示。

設木板側面長為2單位,中間的長方體木板比最底 層的長方體木板右移x1單位,最上層的長方體木板 又比中間的長方體木板右移x2單位。

(1) 讓三塊木板維持不倒塌,x1x2需滿足的不 等式組為何?

(2) 在坐標平面上,畫出上述不等式組區域。

〔玩鎖‧玩索〕

讓木板維持不倒塌的物理性質為何呢?當然 是上層的重心必須落在下層木板上,不可以落空,

否則就會倒塌。根據這物理規律,不難列出所有

1, 2

x x 滿足的不等式組。實作時,可以先考慮兩塊 長方體木板的情形,再推演到三塊長方體木板的情 況。

你可曾想過,當長方體木板往上堆疊得妙的話

(當然要求每一塊都比下層的那一塊右移一些),

可以一直無窮盡的往上堆嗎?這答案是肯定的,而 且每一次右移的距離公式xn還蠻有規律的。

珍愛穗同學上數學課時睡著了,醒來時 發現同學正在做老師出在黑板的一道 測驗題。就在這時候,老師正拿著板擦 遊戲 4 擦掉這道題目。老師邊擦邊喃喃自語說

☆☆ 著:「提醒你們,這三次多項方程式的 根會成等差數列。」

你能幫珍愛穗同學做這道測驗題嗎?

〔玩鎖‧玩索〕

多項式的根與係數的關係是討論多項式方程式重 要的公式,例如國中時,大家都學過:二次方程式

2 0

axbx+ = 的兩根 ,c α β必有

b, c

a a

α β+ = αβ=

的關係式。這兩個關係式可以利用兩根的公式解

2 2

4 4

2 , 2

b b ac b b ac

a a

+ − − −  

代入得到。但是,當方程式為三次

3 2

0

axbx +cx− = 時,三根 , ,d α β γ 所滿足的關係 式

;

; ,

b a

c a d

a α β γ αβ βγ αγ αβγ

 + + =



 + + =



 =



就沒辦法套用根的公式來做。

事實上,這三個關係式可以利用比較係數的方法,

比較多項式

3 b 2 c d 0

x x x

a a a

− + − =

與多項式

3 2

( )( )( )

( ) ( )

x x x

x x x

α β γ

α β γ αβ βγ αγ αβγ

− − −

= − + + + + + − 的係數得到。

Figure

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