2. 生成函數的定義

生成函數與投信問題的解

文耀光 · ^潘建強

1. 引言

「如果將 8 封不同的信件隨機地投入 4 個不相同的郵筒中, 而每個郵筒都至少要投入一封, 究竟有多少種不同的投法呢?」

這是一個頗有趣的組合問題, 不妨稱之為 「投信問題」。 有關它的解法有很多種, 本文會介 紹如何應用 「生成函數」 (Generating Functions) 的方法, 去尋求此問題的解。

2. 生成函數的定義

定義: 設 {a0, a₁, a₂, . . . , ar, . . .} 為一數列。

以下的無窮級數定義為 {a0, a₁, a₂, . . . , ar, . . .} 的 「生成函數」:

f(z) = a0 + a1z+ a2z² + · · · + a^rz^r+ · · · .

例一: 對數列 {3⁰,3¹,3², . . . ,3^r, . . .} 而言, 其生成函數是:

f(z) = 3⁰+ 3¹z+ 3²z²+ · · · + 3^rz^r+ · · · . 若以閉式 (closed form) 表示, f (z) = _1−3z¹ 。

例二: 設 n ∈ Z⁺。 由於 (1 + x)ⁿ= C₀ⁿ+ C₁ⁿx+ C₂ⁿx²+ · · · + Cnⁿxⁿ, 所以 {C₀ⁿ, C₁ⁿ, C₂ⁿ, . . . , Crⁿ,0, 0, . . .} 的生成函數是 (1 + x)ⁿ。

例三: 設 n ∈ Z⁺。

當 r > 0 時, 定義

^

^

r! 。

當 r = 0 時, 定義

^

^

由於 (1 + x)⁻ⁿ = 1 + (−n)x + (−n)(−n − 1)^x_2!² + · · · =

^P



r



59

60

₂₈

₂

₉₃

₆

^n

0



^

^

^

^

^o

以下的無窮級數定義為 {a0, a₁, a₂, . . . , ar, . . .} 的 「指數生成函數」:

f(z) = a0 + a1z+a₂z²

2! +a₃z³

3! · · · +arz^r

r! + · · · . 例四: 設 n ∈ Z⁺。

由於 (1 + x)ⁿ= C₀ⁿ+ C₁ⁿx+ C₂ⁿx²+ · · · + Cnⁿxⁿ

= P₀ⁿ+ P₁ⁿx+ P₂ⁿx²

2! + · · · + P_nⁿxⁿ n!

所以 {P₀ⁿ, P₁ⁿ, P₂ⁿ, . . . , Prⁿ,0, 0, . . .} 的指數生成函數是 (1 + x)ⁿ。

3. 應用例子

本節是一個有關指數生成函數的應用例子。 相對於列舉法而言, 我們可以看到應用生成函 數去求解, 是一個十分簡便而有效的解題方法。

例五: 若在英文字 ENGINE 中任意選取 4 個字母作排列, 有多少種不同的方式?

解: (列舉法)

選取的字母 排列數目 選取的字母 排列數目

{E,E,N,N} _2!2!^4! {E,G,N,N} ^4!_2!

{E,E,G,N} ^4!_2! {E,I,N,N} ^4!_2!

{E,E,I,N} ^4!_2! {G,I,N,N} ^4!_2!

{E,E,G,I} ^4!_2! {E,I,G,N} 4!

因此有 ^4!

2!2!+ ^4!_2!× 6 + 4! = 102 種的排列方式。

解: (生成函數方法) 先考慮每個字母可能被選中的個數。 E 和 N 的可能數目都是 0, 1 或 2, 而 G 和 I 的可能數目都是 0或1。 因此, 對 E 和 N 而言, 它們的指數生成函數是 (1+x+^x_2!²), 而對 G 和 I 而言, 它們的指數生成函數是 (1 + x)。 現在考慮以下的函數:

f(x) =

E

z }| {

1 + x +x² 2!

!

N

z }| {

1 + x + x² 2!

!

z }| {

(1 + x)

I

z }| {

(1 + x) .

生成函數與投信問題的解

₆₁

若我們在括號 E, N, G 和 I 中分別選取 ^x_2!², ^x_2!², 1 及 1, 則有:

x² 2! × x²

2! × 1 × 1 = x⁴

2!2! = 4!

2!2!

x⁴ 4!

!

此時 ^x4

4! 的係數是 ^4!

2!2!, 正好等於在 ENGINE 中選取 2 個 E 及 2 個 N, 而沒有選取 G 或 I 的 情況。 由此推論, 原問題的解即是 f (x) 展開後 ^x_4!⁴ 之係數。 沿此思路, 容易求得其解是 102。

註: 有時可以利用 e^x 或 e^−x 來表示一些指數生成函數的閉式。 例如:

e^x = 1 + x +x² 2! + · · · 或

e^−x = 1 − x + x² 2! − · · ·

4. 投信問題的解

現在讓我們展示如何應用生成函數的方法, 去尋求投信問題的解。

設 A, B, C 和 D 分別代表該 4 個郵筒。 由於每個郵筒所投入的信件數目必大於 0, 仿照 上節的思路方式, 可考慮其對應的指數生成函數 x + ^x_2!² +^x_3!³ + · · ·。 然後考慮以下的函數:

f(x) =

A

z }| {

x+x² 2!+x³

3!+ · · ·

!

B

z }| {

x+x² 2!+x³

3!+ · · ·

!

C

z }| {

x+x² 2!+x³

3!+ · · ·

!

D

z }| {

x+x² 2!+x³

3!+ · · ·

!

. 若投入郵筒 A, B, C, D 的信件數目分別是 1, 2, 2, 3, 則在 A 式中選取 x, 在 B 和 C 式中都選取 ^x2

2!, 在 D 式中選取 ^x_3!³, 則 ^x_8!⁸ 的係數正好反映此種情況之投法數目。 即:

x× x² 2! × x²

2! ×x³

3! = 8!

2!2!3!

!

!

. 當然, 其他的可能情況, 亦可以用類似的方法處理。

為了方便計算, 我們可以把 f (x) 記成:

f(x) = (e^x− 1)⁴

= e^4x − 4e^3x+ 6e^2x − 4e^x+ 1,

此時, 容易獲得 ^x_8!⁸ 的係數為 4⁸− 4(3)⁸+ 6(2)⁸− 4 = 40824。 換言之, 不同的投信方式共有 40824 種。

62

₂₈

₂

₉₃

₆

5. 總結

生成函數方法是一個解決排列和組合問題的有效工具, 而且可以適應同類型問題的各種變 化情況。 例如, 若要投 8 封不同的信入 4 個郵筒, 要求在第 1 和第 2 個郵筒中至少要投入 1 封, 在 第 3 個郵筒中最多投入 5 封, 而在第 4 個郵筒中要投入偶數封, 有多少種不同的投法呢? ¹ 若採 用生成函數的方法求解, 會很容易算出結果, 比使用列舉法簡單得多, 有興趣的讀者不妨動手一 試。

參考書目

1. 黃振杰 (2000)。 「離散數學」。 廈門: 廈門大學出版社。

2. Grimaldi, Ralph P. (1994). Discrete and Combinatorial Mathematics: An Applied Introduction (3^rd edition). Addison-Wesley Press.

—本文作者任教於香港教育學院數學系_—

1

提示 : 考慮以下的展開式 (x +

+

+ · · · +

)

× (1 + x +

2

2!

+

+

+

) × (

+

+

+

),

然後求

的係數 , 答案是 20412 。