偽裝成函數問題的幾何問題
法蘭克
如果你有看過偵探伽利略電影版嫌疑犯 X 的獻身的話，也許你對於標題並不生 疏。數學有趣的地方也是在這裡，有時候一個看似很難的問題往往都有個很簡單 的方法可以解，就在於你用甚麼樣的角度去看他。我們就舉個例子是偽裝成函數 問題的幾何問題。
範例 1. 試求出1 sin 1 cos
θ θ
−
− 的極值。
這個問題有好幾種解法，如果你學過微積分，你令 1 sin ( ) 1 cos
f
θ
θ θ
= −
− ，然後再求出 函數 f 的極點，並且透過微積分中所學到的判別方法找出函數 f 的極值。如果你 是高中生，也許你會令 1 sin
1 cos
y
θ
θ
= −
− ，接著交差相乘之後可得到 cos sin 1
y
θ
−θ
= − y 利用輔助角的公式，我們可以得到2 1cos( ) 1 y +
θ ϕ
+ = − y那麼透過| cos | 1
θ
≤ 的性質可以得到 2 1 1 1 yy
− ≤ +
，接著兩邊平方之後便可以求出y
的範圍。還有另外一種方法是令
2 2
cos 1 1
t
θ
= −t+ ，與
2
sin 2 1
t
θ
= t+ 。把這兩個帶入原 式可得
2 2
2 1 2 t t y t
− +
=
然後再透過配方法可以解出y的範圍。但這些方法都是使用函數的方法來解決這 個問題，需要一些技巧，也需要時間。然而如果你能夠清楚的了解這個問題其實 是一個幾何的問題的話，問題的解決就不是那麼困難了。其實原函數表現的是某 種斜率的關係他表現了點P(1,1)至單位圓x2 +y2 = 上的任何一點 (cos ,sin )1 Q
θ θ
的斜率 1 sin1 cos
m
θ
θ
= −
+ ，如圖所示。然而我們不難發現何時斜率會有極值呢?當PQsuur 恰
為單位圓的切線的時候。假設PQsuur
的斜率為m ，因為 PQsuur
通過Q ，所以我們可以
假設PQsuur
直線的方程式為y m x= ( − + 。何時 PQ1) 1 suur
恰為單位圓的切線呢?也就是在
圓心O(0,0)至直線的距離洽為半徑的時候。透過點到直線的公式，我們可以知道
2
( , ) 1 1 1 d O PQ m
m
= − = + suur
由此可以解出m 來，然而以本例的話卻只有一個解，當然我們都知道這是不對 的。因為通過P的且為圓的切線剛好有兩條，一條是水平線，另外一條是垂直線。
因此我們便可以求出m 的範圍。
當然，類似於這種問題的還有很多種。舉例來說
範例 2。假設x y z > ，且, , 0 x y z, , 滿足xyz x y z( + + ) 1= 。試求出 (x y y z+ )( + )的 極值。
這個問題是我最喜歡的問題之一，有興趣的朋友可以試試看怎麼解這一道題。這 道題的解答應該是在我的網頁可以找得到。
也許大家會覺得數學是相當制式化的東西，看到哪類問題就是要用哪一種方法去 解決，然而這是相當錯誤的觀念。有些問題他可能可以用很漂亮的方法解決，有 時漂亮的方法卻不能給你帶來任何的感受與觀念。有些問題的解決方法可能很複 雜，但是卻相當的直觀。並沒有哪一種方法是特別好的，我認為只要能夠用來解 決問題都是好的方法。在我讀中學的時候，我特別喜歡用不同的方法，不同的角 度去解決問題。我想，這也許是我相當沉溺於解數學的原因之一。有時候想法也 不一定有理由，亂想空想。培養自己的觀察力，久了就會具有相當程度的創造力。
其實我們懂得不一定要多，但是一定要多試著自己去思考自己去解決問題。
(1,1) P
(cos ,sin ) Q
