單狹縫的繞射實驗

(1)

干涉與繞射

目的

觀察光通過狹縫時所產生的繞射現象，並利用光強度計測量繞射圖案光的強度。

原理

單狹縫的繞射實驗

與大一普通物理實驗中的雷射光學實驗內容相同，唯獨測量與分析的方式不同，故在此的原理摘錄大一普通物理實驗講義。當光通過一單狹縫時，如縫愈窄則光線會愈向兩旁擴張，此現象即所謂的繞射。一平行光源通過狹縫時所產生的繞射現象稱為，Fraunhofer 繞射，非平行光源通過狹縫時所產生的繞射現象我們稱為 Fresnel 繞射。繞射現象的產生我們可依據惠更斯原(即波前上的每個點，可被當作二次子波的起始點)，獲得圓滿的解釋。簡單討論如下：令狹縫的寬度為 b，中心點為點，狹縫口被均分成若干點，如圖１所示。點因光程差為零，稱為中央亮區。點至狹縫頂點的距離比到狹縫底點的距離大一波長

O P₀

P₁

λ ，亦就是說點到狹縫頂點的距離，比點到點的距離大半波長

（

P₁ P₁ O

λ 2），所以狹縫頂點發出的二次子波與由 O 點發出的二次子波在點的光程差（

P₁ λ 2），干涉結果強度為零。同理狹縫頂點以下第一點和點以下第一點的光程差也為半波長，故在點其強度亦為零。如此，兩兩相對，整個狹縫的二次子波在點皆干涉為零，因此點為一暗點。依此類推，點至狹縫頂、底兩端的光程為 2 倍波長，我們將狹縫寬分為四段，則可知全部效應又干涉為零，所以點亦為一暗點。而點至狹縫上、下兩端點的光程差是

O P₁

P₁ P₁

P₂

P₃

3

2λ，將狹縫度分為三段，則兩段干涉為零，另一段的效果是強度相加，故點為一亮區。綜合以上分析，得出當

P₃

光程差 bsinθ₁ = ⋅n λ ，n= 1 2 3, , ,LL時為暗區。

光程差 bsinθ₁ =(n+ ⋅¹₂) λ，n= 1 2 3, , ,LL時為亮區。

因為 θ₁ ≈θ₂ 甚小，sinθ₁ ≈tanθ₂ 即 ^{s i n}^θ1 = y

D 。故 b y

D = ⋅ λn 亦即 y n D

= ⋅ λb

，_n_{= 1 2 3}_{, , ,}_LL (1) b y

D =(n+ ⋅¹₂) λ 亦即 y n D

= ( + ⋅¹₂b) λ

，n= 1 2 3, , ,LL (2) 以上僅是較粗略的說明。對一平行光源而言，較嚴謹的教學推導可參考【Francis A. Jenkins and Harvey E.White (1976). Fundamentals of Optics. Fourth Edition,

(2)

P316~322.】。由其推導結果可知 (2) 式只是一趨近式，事實上繞射條紋的亮區是發生在 y D

b

D b

D

= 143. λ 2 459. λ 3 47. λ 4 479. λb

，，，，LL等位置上。

P₀ P₁ λ

θ₁ θ2

狹縫屏幕雷射光源

b ^O D

y

圖１

雙狹縫之干涉及繞射實驗

p

S₁ S₂ θ'

r₂ r

θ

P₀ r₁

d

平行光源 S

y

D

H

O

圖４雙狹縫實驗

如圖４所示。設有一平行光源 S 照射在一狹縫寬度 b，且兩狹縫中心點的相距距離 d 的雙狹縫後，投射在屏幕上之 P 點。則 P 點的光強度

I = 4A_o² sin₂² ² β cos

β γ (3)

其中 β π

λ θ

= b sin

，^γ π

λ θ

= d sin

，詳細情形請參考【Francis A. Jenkins and Harvey E. White (1976). Fundamentals of Optics. Fourth Edition, P339~341.】。

(3)

(3) 式中 ^sin₂²^β

β 是表繞射因子，co 是表干涉因子。因此由 (3) 式可知 P 點為暗區（暗紋）的條件是

s²γ

dsinθ=(m+ ⋅¹₂) λ ，m= ± ± ±0 1 2 3, , , ,LL (4) 及 bsinθ = ⋅m λ ，m= ± ± ±0 1 2 3, , , ,LL (5) 而此條件乃某一亮區內令有許多干涉條紋的原因。若實驗時 D>>d 則

近似一等腰三角形，所以

∆PS H₁ r₁ −r₂ ≈ S H₂ = sinθd ；且因 θ' 和很小，所以，

，故

θ θ≈ ' sinθ ≈tanθ≈tanθ' y

D d

= d

sinθ，因此 (4) 式及 (5) 式可改寫為

y m D

=( + ⋅¹₂) d λ ，m= ± ± ±0 1 2 3, , , ,LL (6) 和 y m D

= ⋅ d λ ，m= ± ± ±0 1 2 3, , , ,LL (7) 但 (3) 式中 I 之極大值之正確位置 y 較難以一簡單的關係表示。然而，其近

似的位置我們可以略去因子^sin

2 2

β

β 而求之，亦就是 I 當極大的條件，可以僅決 定於因子 cos²γ故若符合

，

dsinθ= ⋅m λ m= ± ± ±0 1 2 3, , , ,LL (8) 即 y m D

= ⋅ d λ ，m= ± ± ±0 1 2 3, , , ,LL（極大） (9) 時， I 就會有極大值產生。

綜合以上討論可知，當光通過一雙狹縫後，不僅會產生干涉現象，同時亦會產生繞射現象，詳細情形見圖５所示。

(a) 單狹縫的繞射

I

I∝sin² = b

2

β

β β π

， λ b

sinθ

I _I_{∝ cos}²_{γ γ} ^π^d

， λ d

= sinθ

(4)

(b) 雙狹縫的干涉

(c) 雙狹縫的繞射與干涉

I∝sin ⋅ cos

2 2

β 2

β γ

I d

圖５光通過雙狹縫後的繞射及干涉圖

多狹縫及光柵繞射實驗

當光透過一系列寬度相同、互相平行且等距離的多狹縫後，會形成一系列相同的繞射條紋。若狹縫之間的距離很小，這一系列的光束會重疊而互相干涉，使繞射條紋裡出現非常狹窄的干涉亮紋。當狹縫的數目極多時，主要的干涉亮紋會變得非常狹窄而明亮次要干涉亮紋會變得微弱而可見，如圖六所示。也就是說，

這時候光被集中到狹窄的亮紋上，這個特性可以利用來分析光譜。而主要亮紋的位置可由下面公式來推算，詳細請參考【Francis A. Jenkins and Harvey E. White (1976). Fundamentals of Optics. Fourth Edition, P357~359.】。

dsinθ= ⋅m λ ，m= ± ± ±0 1 2 3, , , ,LL (10) 其中 d 是鄰近兩狹縫的中心相距之距離，θ 是第 m 條主要干涉亮紋與光柵中

央的連線和入射光之間的夾角。

圖６光通過各種狹縫時的繞射及干射圖形

儀器架設

(5)

圖7 儀器裝置圖

(A)氦氖雷射光源 (B) 狹縫片架 (C)單狹縫片、雙狹縫、光柵（300 lines/mm） (D) 反射鏡 (E)光偵測器 (F)電源供應器（_±₁₅_V） (G)電錶 (H)光學滑軌、一維移動平台

實驗步驟

單狹縫測量

1. 將實驗器材架設如圖7所示。

2. 移開狹縫片使光能直接照射在光偵測器，利用長尺量測雷射光束高度，調整光源高度及水平，使射出的光束以等高度經反射鏡至光偵測器。

3. 調整光偵測器下面的滑軌，使其與光束前進方向垂直，以捲尺量出狹縫至光 偵測器的接收頭中心的距離 D。

4. 置放單狹縫片於雷射前，且左右移動狹縫，使雷射光源正射於狹縫上。

5. 用紙片輔助觀察亮紋每一處的中心點是否與光偵測器的接收頭中心等高。調整光偵測器前狹縫寬為0.2mm，注意此時若光偵測器可移動的最小距離，仍無法解析相鄰的暗、亮紋，請增加光柵與光偵測器的距離。

6. 當完成儀器裝置後，將光偵測器的接收頭，利用滑軌移至繞射圖形中央(光強度最大處)，將此位置定為原點，測量光的強度，接著往兩側移動（移動的間距，必須可解析狹縫的繞射圖案），測量不同位置光的強度，並記錄。

7. 將紀錄的位置與光強度利用Origin軟體上作圖與擬合（fitting），並與理論值比較。

雙狹縫測量

1. 將圖7實驗器材架設中的單狹縫更換成雙狹縫。

2. 重複單狹縫測量中，實驗步驟6、7。

(6)

3. 將圖7實驗器材架設中的單狹縫更換成三狹縫。

光柵分光的觀察

5. 將圖7實驗器材架設中的單狹縫更換成光柵。

預習問題

利用Origin軟體畫出第(3)式中I對θ圖（如第5圖）。