棋盤的

棋盤的 _{5 − L} 形覆蓋

馮躍 峰

1. 引言

m × n 棋盤的覆蓋, 在工程技術、 生產 生活實際中都有著廣泛的應用, 因而引起了 人們的研究興趣, 所謂 m × n 棋盤, 就是 由 m 行 n 列方格排列而成的一個 m × n 矩 形 (橫向為行, 縱向為列), 簡稱棋盤, 每個方 格稱為棋盤的格。

所謂棋盤的覆蓋, 就是用若干個圖形去 覆蓋 m × n 棋盤。 覆蓋棋盤的每個圖形也由 若干個方格組成, 我們稱之為覆蓋形, 在棋盤 的覆蓋中, 約定任何兩個覆蓋形互不重疊, 且 任何一個覆蓋形的每一個格都恰蓋住棋盤的 一個格, 棋盤的每一個格也恰被某個覆蓋形 的一個格覆蓋。 比如, 圖 1 中的 6 × 6 棋盤 被一個 2 × 2 正方形和 4個 2 × 4 矩形覆蓋, 圖 2中的 7 × 10 棋盤被7個 2 × 5 矩形覆蓋。

圖1

圖2

覆蓋棋盤的圖形可以是正方形、 長方形, 還可以是其他非規則形狀的圖形。 本文討論 的是一種特殊形狀的圖形—“K − L 形”覆 蓋棋盤的有關結果, 為了敘述問題方便, 我們 先給如下一些定義。

定義 1: 由 k(k > 3) 個方格組成的形 如圖 3 的圖形稱為 k − L 形。 拐角處的兩個 方格稱為 k − L 形的頂格, 另外的連續 k − 2 個方格稱為底格。 顯然, 一個 k − L 形可以 看作是由一個 2 × (k − 1) 矩形去掉一個 1 × (k − 2) 矩形得到的, 我們稱那個被去 掉的 1 × (k − 2) 矩形所覆蓋的區域為 k − L 形的內部。

頂格 {

| {z }

k − 2 底格

57

圖3

定義2: 在棋盤的 k − L 形覆蓋中, 若 某個 k − L 形的底格是橫 (縱) 向排列的, 則 稱此 k − L 形在覆蓋中是橫 (縱) 向覆蓋的, 並稱此 k − L 形所覆蓋的方格是被橫 (縱) 向覆蓋的。

對給定的自然數 k, 尋找 m × n 棋盤存 在 k − L 形覆蓋的充要條件, 是一個難度相 當大的問題。 1987年, 薛通和王元元在 [1]中 共同解決了 k = 3, 4 的特殊情形, 即下面的 定理1: m × n 棋盤存在“3 − L形”覆蓋 的充分必要條件是 (m, n) 或 (n, m) 為 (i) (2s, 3t), s, t ≥ 1,

或

(ii) (2s + 1, 3t), s, t ≥ 2。

定理2: m × n 棋盤存在“4 − L形”覆 蓋的充分必要條件是 8|mn 且 m, n > 1。

但 [1]中對這兩個定理的證明相當複雜, 用到了七個引理和另外兩個定理。 本文將給 出這兩個定理的簡化證明, 進而證明 m × n 棋盤存在“5 − L形”覆蓋的一個充分必要條 件, 即下面的

定理3: m × n 棋盤存在“5 − L形”覆蓋 的充分必要條件是 (m, n) 或 (n, m) 為 (i) (2s, 3t), s, t ≥ 1,

或

(ii) (2s + 1, 3t), s, t ≥ 2。

2. 3 − L, 4 − L 覆蓋的簡化證 明

定理1 的證明:

必要性: 若 (m, n) 及 (m, n) 既 不為 (2s, 3t)(s, t ≥ 1), 也不為 (2s − 1, 3t)(s, t ≥ 2), 則 3

∤

mn, 或 (m, n), (n, m) 兩者之一為 (3, 2t − 1), t ≥ 1。

當 3

∤

mn 時, m × n 棋盤顯然不 存在“3 − L形”覆蓋, 結論成立。 其次, 考察 3 × (2t − 1) 棋盤。 當 t = 1 時, 它顯然不存 在“3 − L形”覆蓋, 結論成立; 當 t > 1 時, 反設 3 × (2t − 1) 棋盤存在“3 − L形”的覆 蓋, 如圖 4, 將 3 × (2t − 1) 棋盤的各個格 用 1, 2, 3, . . . 編號, 並用 (i, j, k) 表示編號 為 i, j, k 的三個格被同一塊 3 − L 形蓋住。

1 6 7 2 5 8 3 4 9

圖4

考察 3 × (2t − 1) 棋盤前兩列的格在覆蓋中 的所有可覆蓋方式。 它們可用下述樹圖表示:

. ...

.. . .. . .. . . . .. . .

.

... ... ... . ...

.. . .. .. . .. . .. . .

(1)

(1,6) (1,2)

(1,6,2) (1,6,5) (1,2,5)

(1) (2) (3) 圖5

考察其中編號為 3的格的覆蓋, 對於情形 (3), 格 (3) 無法覆蓋, 因而這種情形不可能出現;

對於情形 (1), 則必出現 (3,4,5); 對於情形 (2), 則必出現 (2,3,4)。 所以, 不論出現那種 情形, 當 3 × (2t − 1) 棋盤存在“3 − L形”覆 蓋時, 3 × (2t − 3) 棋盤亦存在“3 − L形”覆

蓋。 如此下去, 有 3×1 棋盤存在“3−L形”覆 蓋, 矛盾。

充分性: (1) 考察 2s × 3t(s, t ≥ 1) 棋 盤, 它可劃分為 s × t 個 2 × 3 棋盤, 而 2 × 3 棋盤存在“3 − L形”覆蓋, 所以 2s × 3t 棋盤 存在“3 − L形”覆蓋。

(2) 考察 5 × 3t(t ≥ 2) 棋盤。

若 t = 2p(p ∈ N), 則 5×3t = 5×6p, 此時, 5 × 3t 棋盤可劃分為 p 個 5 × 6 矩形。

若 t = 2p + 1(p ∈ N), 則 5 × 3t = 5 × (6p + 3) = 5 × [6(p − 1) + 9] = 5 × 6(p − 1) + 5 × 9。 此時, 5 × 3t 棋盤可 劃分為 p − 1 個 5 × 6 矩形和一個 5 × 9 矩 形。 由圖 6,7可知, 5 × 6 矩形和 5 × 9 矩形 都存在“3 − L形”覆蓋。 從而 5 × 3t(t ≥ 2) 棋盤存“3 − l形”覆蓋。

圖6

圖7

(3) 考察 (2s + 1) × 3t(s ≥ 3, t ≥ 2) 棋盤。 此時, 注意到 (2s + 1) × 3t = 2[2(s − 2) + 5] × 3t = 2(s − 2) × 3t + 5 × 3t, 所以

(2s + 1) × 3t 棋盤可劃分為一個 5 × 3t(t ≥ 2) 矩形和一個 2(s − 2) × 3t 矩形。 由前面 的 (1), (2) 兩種情形知, (2s + 1) × 3t(s ≥ 3, t ≥ 2) 棋盤存在“3 − L形”覆蓋。

綜上所述, 定理 1 獲證。

定理2 的證明:

必要性: 首先, 當 m 或 n = 1 時, m × n 棋盤顯然不存在“4 − L形”覆蓋。

1 1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1

1 1 1 1 1 1 1 1

· · · ·

· · · ·

· · · · 圖8

其次, 若 m × n 矩形存在“4 − L形”覆 蓋, 則必有 4|mn, 從而, m, n 中必有一個偶 數。 不妨設 m 為偶數。 將 m×n 棋盤的各個 格用 1, −1 編號 (圖8), 使奇數行的編號為1, 偶數行的編號為−1。 顯然, 每個 4 − L 形蓋 住的 4 個格編號之和為 2 或−2。 注意到棋盤 中所有格的編號之和為 0, 從而覆蓋中, 其和 為 2與其和為−2的 4 − L 形的個數相等。 於 是共有偶數個 4 − L 形, 即 8|mn。

充分性: 若 4|m, 2|n, 則令 m = 4k, n = 2t。 此時, m × n = 4k × 2t, m × n 棋盤可劃分為 kt 個 4 × 2 矩形, 所以存 在“4 − L形”覆蓋。

若 8|m, 有以下兩種情況。

(1) n 為偶數, 此時由上知, 結論成立。

(2) n 為奇數, 令 n = 2t + 1(t ∈ N), 則 n = 2(t − 1) + 3, 此時, m × n = 8k × n = 8k × 2(t − 1) + 8k × 3, 所以 m × n 棋盤可劃分為 k(t − 1) 個 8 × 2 矩形和 k 個 8 × 3矩形。 顯然, 8 × 2 矩 形存在“4 − L形”覆蓋。 又如圖 9, 8 × 3 矩形存在“4−L形”覆蓋。 所以 m×n 棋 盤存在“4 − L形”覆蓋。

圖9 綜上所述, 定理 2 獲證。

3. 5 − L 覆蓋的充要條件

為討論 5 − L 覆蓋的充要條件, 我們先 證明如下一些引理:

引理1: 當 m 為奇數時, 若 m × n 棋 盤 M 存在 k − L 形覆蓋, 則 M 在覆蓋中 第一列的格必有被縱向 k − L 形的底格所覆 蓋的。

圖10

證: 如果棋盤的第一列中的格都是被橫 向覆蓋的, 則第一列的格必定都是被各 L 形 的頂格所覆蓋。(實際上, 若第一列存在一個

格, 它被某個橫向 k − L 形的底格所覆蓋, 那麼, 第一列中位於此 L 形內部的一個格不 能被橫向覆蓋 (圖 10), 矛盾)。 但每個 k − L 形都有 2個頂格, 從而 m × n 棋盤的第一列 有偶數個格, 與 m 為奇數矛盾。 於是必有一 個格, 設為 a

i1

(其中 a

ij

表示位於第 i 行第 j 列的格), 被縱向 L 形覆蓋, 若 a

i1

被此 L 形的底格所覆蓋, 則結論成立; 若 a

i1

被此 L 形的頂格所覆蓋, 則在此 L 形內部與 a

i1

相 鄰的那個格 a

_i−1,1

或 a

i+1,1

必被另一個縱向 L 形的底格所覆蓋。 引理 1 獲證。

引理2: 對任何奇數 k 和自然數 n, k × (2n − 1) 棋盤不存在 k − L 形覆蓋。

證: 反設 k × (2n − 1) 棋盤 M 存在 k − L 形覆蓋, 由引理1, M 的第一列心必有 一個格是被縱向 L 形的底格所覆蓋的。 顯然, 此縱向 L 形本質上只有兩種覆蓋方式: 一是 頂格不在棋盤的邊界上 (見圖 11), 二是頂格 在棋盤的邊界上 (見圖 12)。

圖11

圖12

對於第一種情形, 若格 a

12

是縱向覆蓋 的, 則格 a

22

無法覆蓋, 於是格 a

12

是橫向覆 蓋的。 若 a

22

也是橫向覆蓋的, 則格 a

23

無 法覆蓋, 於是格 a

22

是縱向覆蓋的。 此時則 格 a

32

無法覆蓋 (圖 11)。 矛盾。 對於第二種 情形, 若格 a

11

是被橫向覆蓋的, 則 a

22

只 能被縱向覆蓋, 此時, a

42

無法覆蓋 (圖 12), 矛盾。 於是, a

11

只能被縱向覆蓋, 這樣, 剩下 的一個 k × (2n − 3) 棋盤也存在 k − L 形 覆蓋。 如此下去, k × 1 棋盤存在 k − L 形 覆蓋, 矛盾。

引理3: 7 × 15 矩形存在“5 − L形”覆 蓋。

證明: 7 × 15 矩形的一種“5 − L形”覆 蓋如圖 13所示。

圖13 下面給出定理 3的證明:

必要性: 若 (m, n) 及 (m, n) 既 不為 (2s, 5t)(s, t ≥ 1), 也不為 (2s + 3, 5t)(s, t ≥ 2), 則 5

∤

mn; 或 m, n 中 有一個為小於 5 的奇數; 或 (m, n), (n, m) 兩者之一為 (5, 2t − 1), t ≥ 1。

首先, 當 5

∤

mn 時, m × n 棋盤顯 然不存在“5 − L形”覆蓋, 結論成立; 其次,

當 m, n 中有一個為小於 5 的奇數時, 反設 m × n 棋盤 M 存在“5 − L形”覆蓋, 不妨 設 m 是小於 5 的奇數, 則 m ≤ 3, 由引理 1, M 的第一列至少有一個格是個縱向覆蓋 的, 這與 m ≤ 3 矛盾。 最後, 當 (m, n) 或 (n, m) 為 (5, 2t − 1), t ≥ 1 時, 直接利用 引理 2, 結論成立。

充分性: (1) 考察 2s × 5t(s, t ≥ 1) 棋 盤, 它可劃分為 s×t 個 2×5 棋盤。 而 2×5棋 盤存在存在“5 − L形”覆蓋, 所以 2s × 5t 棋 盤存在“5 − L形”覆蓋。

(2) 考察 7 × 5t(s, t ≥ 2) 棋盤。

(i) 若 t = 2p(p ∈ N), 則 7×5t = 7×10p, 從而 7×5t(t ≥ 2) 棋盤可以劃分為 p 個 7×10 矩形。 由圖2可知, 7×10 可以劃分 為 7個 2×5 矩形, 從而存在“5−L形”覆 蓋, 所以 m × n 棋盤存在“5 − L形”覆 蓋。

(ii) 若 t = 2p + 1(p ∈ N), 則 7 × 5t = 7 × 5(2p+1) = 7×(10p+5) = 7×[10(p−

1) + 15] = 7 × 10(p − 1) + 7 × 15, 所以 m × n 棋盤可以劃分為 p − 1 個 7 × 10 矩形和一個 7 × 15 矩形。 由圖10及引理 3 可知, 7 × 5t 棋盤存在“5 − L形”覆蓋。

(3) 考察 (2s + 3) × 5t(s ≥ 3, t ≥ 2) 棋 盤。 (2s + 3) × 5t = [2(s − 2) + 7] × 5t = 2(s − 2) × 5t + 7 × 5t。 於是, t 為偶數時 (2s + 3) × 5t 棋盤可以劃分為 t(s − 2) 個 2 × 5 矩形和 t/2 個 7 × 10 矩形, 所以 (2s + 3) × 5t 棋盤存在“5 − L形”覆蓋; 當 t 為奇數時, 注意到 t ≥ 2, (2s + 3) × 5t

棋盤可以劃分為 t(s − 2) 個 2 × 5 矩形, (t − 3)/2 個 7 × 10 矩形和一個 7 × 15 矩 形, 所以 (2s+3)×5t 棋盤存在“5−L形”覆 蓋。

綜上所述, 定理 3 獲證。

文 [1]中猜想, 當 k > 4 時, 只有 當 m × n 棋盤可分割若干矩形模塊分別被 k − L 形覆蓋時, m × n 棋盤才能被 k − L 形覆蓋。 定理 3 說明此猜想不成立。 比如, 當 m, n > 5 且 5|mn 時, m × n 棋盤都存在 5 − L 形覆蓋。

最後, 我們對 m × n 棋盤的 k − L 形 覆蓋, 提出如下兩個新的猜想:

猜想1: 當 k 為奇數時, m × n 棋盤存 在 k − L 形覆蓋的充要條件是: (m, n) 或

(n, m) 為

(i) (2s, kt), s, t ≥ 1, 或

(ii) (2s + k − 2, kt), s, t ≥ 2。

猜想2: 當 k 為偶數時, m × n 棋盤存 在 k − L 形覆蓋的充要條件是: 2k|mn, 且 max{m, n} ≥ k。

參考文獻

1. 薛通, 王元元: 棋盤的L-形覆蓋問題, 數學的 實踐與認識, 1987, 4, p.35。

—本文作者任教於中國廣東深圳高級中學—