1 圓盤上的調和函數
在課堂上我們希望能夠解拉普拉斯方程
∆u(x, y) = 0, x2+ y2< 1.
很顯然的，常數函數滿足此方程‧ 利用極坐標U (r, θ) = u(r cos θ, r sin θ),我們得到了拉普拉斯方 程的極座標形態：
∂2U
∂r2 +1 r
∂U
∂r + 1 r2
∂2U
∂θ2 = 0.
我們先來研究形如U (r, θ) = R(r)Θ(θ)的解，帶入微分方程後，我們得到 r
R d dr
( rdR
dr )
=−1 Θ
d2Θ dθ2.
我們令上面等式為常數λ2‧於是 d2Θ
dθ2 + λ2Θ = 0 且 rd dr
( rdR
dr )
= λ2R.
我們知道Θ是θ的週期函數且週期為2π‧唯一可能性λ是整數n且 Θn= ancos nθ + bnsin nθ,
為方程的一般解(因為解與n有關)其中an, bn為常數‧另一方面將R的微分方程展開後我們得到了
r2d2R dr2 + rdR
dr − n2R(r) = 0.
為了解這方程，我們採取變數變換r = et,並且令h(t) = R(et).於是根據連鎖律與萊布尼滋法則 dh
dt =dR
dret, d2h dt2 =d2R
dr2e2t+dR
dret= r2d2R dr2 + rdR
dr. 換句話說，h = h(t)滿足以下二階常係數微分方程
d2h
dt2 − n2h(t) = 0.
根據二階常微分方程的理論我們得到了h(t) = c1ent+ c2e−nt‧因此再利用r = et我們得出 R(r) = c1rn+ c2r−n.
因為我們希望得到的解是C2-函數，因此我們不希望u(0, 0) =∞‧所以我們去掉了r−n的部分‧
如果我們定義Un(r, θ) = rn{ancos nθ + bnsin nθ},則Un(r, θ)是x2+ y2< 1上的調和函數‧在不考 慮收斂時，我們把這些調和函數給加起來，得到了
U (r, θ) = a0
2 +
∑∞ n=1
rn{ancos nθ + bnsin nθ}.
再進一步假設：微分可以跟無窮和互換順序，那麼我們可以驗證以上的級數的確是調和函數‧
假設調和函數U (r, θ) 在邊界上可以定義且為連續：
U (1, θ) = ψ(θ),
1
其中ψ是定義在實軸上週期為2π的連續函數‧則（假設我們可以把r = 1帶入），則
ψ(θ) = a0
2 +
∑∞ n=1
{ancos nθ + bnsin nθ}.
那麼我們可以利用這等式求出a0, an, bn,其中n≥ 1：
(1) a0= 1 π
∫ 2π
0
ψ(θ)dθ,
(2) an= 1 π
∫ 2π
0
ψ(θ) cos nθdθ
(3) bn= 1 π
∫ 2π
0
ψ(θ) sin nθdθ
範例 1.1 在單位圓盤D上解拉普拉斯方程
{ ∆u = 0, U (1, θ) = ψ(θ), 其中ψ(θ) = 1 + 3 cos θ− 2 sin θ − 4 cos 5θ + 5 sin 7θ.
解答： U (r, θ) = 1 + 3r cos θ− 2r sin θ − 4r5cos 5θ + 5r7sin 7θ. 如果記 Cn(x, y) = Re(x + iy)n, Sn(x, y) = Im(x + iy)n. 則u(x, y) = 1 + 3x− 2y − 4C5(x, y) + 5S7(x, y).
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