100×102

(1)

104 統測四技試題 CJT

1.某高職想要了解全校學生的英文程度，今依各科別人數的比例，於每一科別中，用簡單隨機抽樣抽出所需之學生，在集合各科別所抽出之學生進行英文測驗。如上所述，則此校所採用的抽樣方法為下列哪一種？

(A)簡單隨機抽樣 (B)系統抽樣 (C)分層隨機抽樣 (D)部落抽樣解：依各科別人數的比例的抽樣方法為分層隨機抽樣

答：(C)

2.若 A(3，2)，B(－1，5)，C(9，－4)為坐標平面上三點，則向量AB＋2BC＋3CA＝？

(A) (－2，3) (B) (1，－3) (C) (0，0) (D) (3，2) 解：AB＋2BC＋3CA

＝(－4，3)＋2(10，－9)＋3(－6，6)＝(－4＋20－18，3－18＋18)＝(－2，3) 答：(A)

3.設袋中有大小相同的乒乓球 10 個，其中 8 個白色，2 個黃色。今自此袋中任取一個乒乓球，每個乒乓球被取到的機會均等，若取到白色的乒乓球可得 50 元，取到黃色的乒乓球可得 100 元，

則任取一個乒乓球可得金額的期望值為多少元？

(A) 55 (B) 60 (C) 65 (D) 70 解：根據題意，列表如下：

事件白色黃色合計金額 50 元 100 元

機率 10 8

10

2 1

金額的期望值＝50×

10

8 ＋100×

10

2 ＝40＋20＝60 答：(B)

4.若多項式 f (x)除以 x＋2 的餘式為－1，則(3x³＋1) f (x)＋x²＋x＋1 除以 x＋2 的餘式為何？

(A)－3 (B) 3 (C) 13 (D) 26 解：設 f (x)除以 x＋2 的餘式為－1， f (－2)＝－1

令 g(x)＝(3x³＋1) f (x)＋x²＋x＋1

∴g(x)除以 x＋2 的餘式＝g(－2)＝[3(－8)＋1] f (－2)＋(－2)²＋(－2)＋1

＝(－23)(－1)＋3＝26 答：(D)

5.設七個實數a₁,a₂,a₃,a₄,a₅,a₆,a 成等比數列，公比為 r。若₇ a₁＋a₂＝2 且a ＋₆ a ＝486，則 r＝？ ₇ (A) 3 (B) 4 (C) 6 (D) 9

解：a₁＋a₂＝2，a₁＋a₁r＝2，a₁(1＋r)＝2……(1)

a6＋a₇＝486，a₁r⁵＋a₁r⁶＝486，a₁r⁵(1＋r)＝486……(2)

(2) ) 1 ( ＝

) 1 (

5 1

1

r r a

r a



 ＝ 486

2 ， 1₅ r ＝

243

1 ， r⁵＝243，∴公比 r＝3 答：(A)

(2)

6.設a，b，c 均為實數，且直線 bx＋cy＝a 通過第一、三、四象限，則直線 ax＋by＝c 可能為下列 哪一個圖形？

(A) (B) (C) (D)

解：直線 bx＋cy＝a 通過第一、三、四象限，















 0 0

c y a

b x a

截距截距

，如圖 ∴









 0 0 0

bc ac ab

直線 ax＋by＝c，















 0 0

b y c

a x c

截距截距

，如圖 ∴(A)正確

答：(A)

7.若直線 L 過點(2，1)及兩直線 2x－y＝4，x＋3y＝－5 的交點，則直線 L 的斜率為何？

(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 解：交點









 5 3

4 2

y x

y

x ，









 2 1 y

x ，∴直線 L 過點(2，1)、(1，－2)，斜率＝

1 2

) 2 ( 1



 ＝3 答：(B)

8.若 tan ＝－

4

3且 sin ＜0，則 5sin ＋10cos ＝？

(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8 解：∵tan＝－

4

3且 sin＜0，在第四象限，如右圖得知 sin＝－

5

3，cos＝ 5

4，5sin＋10cos＝5(－

5

3)＋10(

5 4)＝5 答：(A)

9.若a＝sin150，b＝sec(－420)，c＝cot 945，則下列何者正確？

(A) a＞b＞c (B) a＞c＞b (C) b＞c＞a (D) c＞a＞b 解：∵a＝sin150＝sin(180－30)＝sin30＝

2 1

b＝sec(－420)＝sec420＝sec(360＋60)＝sec60＝2

c＝cot 945＝cot (360×2＋225)＝cot 225＝cot (180＋45)＝cot 45＝1

 b＞c＞a 答：(C)

x y

 4 5 －3

(3)

10.設平面上兩向量a 與 b 的夾角為 ，若 cos ＝ 65

33，且| a |＝5，| b |＝13，

則(4 a － b )(2 a ＋ b )＝？

(A)－39 (B) 93 (C) 97 (D) 435 解：1. a b ＝| a || b | cos＝5×13×

65 33＝33

2.所求(4a － b )(2 a ＋ b )＝8| a |²＋2 a b －| b |²＝8×5²＋2×33－13²＝97 答：(C)

11.多項式(9x⁴－5x²＋7x＋1)(4x³＋2x²＋3x－7)的 x⁵項的係數為何？

(A)－20 (B)－2 (C) 7 (D) 63

解：(9x⁴－5x²＋7x＋1)(4x³＋2x²＋3x－7)的 x⁵項的係數＝27－20＝7 答：(C)

12.下列哪一個方程式有正的實數解？

(A) x²＋7x＋9＝0 (B) _x 2

1 ＝x (C)log(x1)＝－1 (D) sin(3x)＝ 2

解：(A) x²＋7x＋9＝0， x＝

2

9 1 4 7

7 ²   

 ＝

2 13 7

 ＝

2 13 7

 或

2 13 7

 都是負數

(B) _x 2

1 ＝x，









 ^

x y

y _x 2 ^x 2

1

作圖如右，得知有一正的實數解(交點)

(C)log(x1)＝－1＝

10

log 1 ，x＋1＝

10

1 ，∴x＝－0.9＜0 (D) sin(3x)＝ 2＞1，無解(∵－1 sin(3x)  1)

答：(B)

13.已知 log 2＝0.3010，log 3＝0.4771，則 log 7.2＝？

(A) 0.7781 (B) 0.8571 (C) 1.8572 (D) 2.8572 解：log 7.2＝log

10 72＝log

10 3 2³ ²

＝3log 2＋2log 3－log 10＝3(0.3010)＋2(0.4771)－1＝0.8571 答：(B)

14.設 a，b 均為實數，若不等式 ax²＋3x＋b  0 的解為－

21  x  5，則 3a＋6b＝？

(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8 解：由解－

2

1 x  5，(2x＋1)(x－5)  0，2x²－9x－5 0 比較係數，同乘(－

3

1)，－

3

2x²＋3x＋

3

5 0，a＝－

3 2，b＝

3

5，3a＋6b＝8 答：(D)

x y

y＝x y＝2^－^x

－20 27

(4)

15.在坐標平面上，滿足聯立不等式





















0 0

5 3

9

y x

區域的面積為何？

(A) 2

77 (B) 2

79 (C)

2

81 (D)

2 83

解：作圖





















0 0

5 3

9

y x

，得可行解區域如右

區域的面積(陰影區)＝

2 1|

0 9 1 0 0

0 0 8 5

0 |

＝2

1|(0－0)＋(2－8)＋(72－0)＋(0－0)|＝

2 77 答：(A)

16.設 a 為實數，且直線 3x＋4y＋1＝0 與圓(x－a)²＋y²＝4 沒有交點，則 a 可能為下列哪一個數？

(A)－3 (B)－2 (C) 3 (D) 4 解：直線與圓沒有交點，d(圓心(a，0)，直線)＞半徑 2

2

2 4

3

| 1 0 3

|



a ＝

5

| 1 3

| a

＞2，|3a＋1|＞10

3a＋1＞10 或 3a＋1＜－10

a＞3 或 a＜－

3 11 答：(D)

17.從 7 位男生、3 位女生中，任選 4 人到醫院實習。若此 4 人中至少有 1 位女生，則共有多少種選取的方式？

(A) 95 (B) 135 (C) 175 (D) 215 解：可能情形有：1 女 3 男、2 女 2 男、3 女 1 男

選法有C₁³C₃⁷＋C₂³ C₂⁷＋C₃³ C₁⁷＝3×35＋3×21＋1×7＝175 答：(C)

18.某班學生期中考成績的平均分數為 42 分，標準差為 6 分。若將每位學生的原始成績都乘以同 一個數 a 後再加 4，使得調整後的平均分數為 60 分，則調整後的標準差為幾分？

(A) 6 (B) 8 (C) 10 (D) 12

解：根據題意，設原始成績為 x，調整後成績為 y，關係式為 y＝ax＋4 平均分數：60＝a_x＋4＝42a＋4， a＝

42 56＝

3

4，得關係式為 y＝

3 4x＋4 調整後的標準差_y＝

3 4

x＝ 3

4(6)＝8 答：(B)

x＋y＝9 x－3y＝5

5 9 9

(8,1) (0,9)

直線圓心

(5)

19.某校對全體新生進行一項邏輯推理的測驗，其成績呈常態分配，如圖(一)所示，平均數為 62 分、標準差 為 8 分。若成績低於 70 分的學生有 672 人，則成績介於 54 分到 78 分的學生有多少人？

(A) 600 (B) 620 (C) 638 (D) 652 解：根據 68－95－99.7 規則

設成績介於 54 分到 78 分的學生有 x 人

∴81.5%

% 84 ＝

x 672

x＝652 答：(D)

20.設點 O 是ABC 的外接圓圓心，且在ABC 的內部，─AB的長度為m，─

AC的長度為n。

若AOB＝120，BOC＝150，則 n m＝？

(A) 3

3 (B) 3

6 (C)

2

3 (D)

2 6 解：根據題意，作示意圖如右，設外接圓半徑為 r＝─

AO＝─ BO＝─

CO 且AO C＝360－120－150＝90，利用餘弦定理：

在 AOB 中，m²＝r²＋r²－2 r  rcos120＝3r²，m＝ 3r 在 AOC 中，n²＝r²＋r²－2 r  rcos90＝2r²，n＝ 2r

 n m＝

r r 2 3 ＝

2 6 答：(D)

21.若一圓與直線x＝4 相切於點(4，6)，且與直線 y＝2 相切於點(8，2)，則此圓的方程式為何？

(A) (x－8)²＋(y－6)²＝16 (B) (x－6)²＋(y－8)²＝9 (C) (x－4)²＋(y－2)²＝25 (D) (x－2)²＋(y－4)²＝36 解：根據題意，作示意圖如右：

圓心為(8，6)，半徑為 4

∴圓方程式為(x－8)²＋(y－6)²＝16 答：(A)

圖(一) 62 70 78

54

46 86

38 成績低於 70 分的學生佔 84%

62 70 78

46 54 86

38

成績介於 54 分到 78 分的學生佔 81.5%

A

B C

O m n

120

150

x=4

(8，2) y=2

(4，6) (8，6)

(6)

22.若 sin 與 cos 是方程式 3x －x＋a＝0 的兩根，則 a＝？

(A)－3

4 (B)－

4

3 (C)

4

3 (D)

3 4 解：根據題意，兩根和 sin＋cos＝

3

1，平方得 1＋2 sincos＝ 9

1， sincos＝－

9 4

∵兩根積＝sincos＝ 3 a＝－

9

4， a＝－

3 4 答：(A)

23.已知ABC 中，BCA＝120，─AC＝3，─

BC＝5，且 D 在─

AB上。若─CD─AB，則─ CD＝？

(A) 14 3

5 (B) 14

3

15 (C) 2

3

35 (D) 2

3 105 解：根據題意，作示意圖如右：

由餘弦定理 ─

AB²＝3²＋5²－235cos120＝49，∴─AB＝7

ABC 面積＝

2

1─AC─BCsin120＝

2

1─AB─CD

2

1×3×5×

2 3＝

2

1×7×─CD，─CD＝

14 3 15 答：(B)

24.甲、乙、丙、丁、戊、己六人排成一列。甲、乙、丙三人相鄰，且丙介於甲、乙之間，則此六人共有多少種排法

(A) 42 (B) 44 (C) 46 (D) 48

解：甲、乙、丙三人相鄰，視為一體，又丙介於甲、乙之間，∴排法有甲丙乙，乙丙甲 2 種

 □丙□、丁、戊、己，∴排列數＝4! × 2(甲、乙、丙排法)＝48 答：(D)

25.從 1,2,3,4,5,6,7,8,9 這九個數中，任取相異的三個數，若每個數被取到的機會均等，則此三數的和為奇數的機率為何？

(A)42

5 (B) 14

5 (C) 21

10 (D) 14

9

解：1,2,3,4,5,6,7,8,9 中奇數有 5 個(1,3,5,7,9)，偶數有 4 個(2,4,6,8) 樣本空間個數：n(任取相異的三個數)＝C₃⁹＝84

事件個數：n(三數的和為奇數)＝n(三數皆為奇數)＋n(一奇數、二偶數)＝C₃⁵＋C₁⁵C₂⁴＝40

機率＝84 40＝

21 10 答：(C)

B A

C

D

120

5 3