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上海科技大学 2020 年攻读硕士学位研究生 招生考试试题
科目代码：992 科目名称：数值代数 考生须知：
1. 本试卷满分为 150 分，全部考试时间总计 180 分钟。
2. 所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。
1.（共 40 分，每小题 10 分）考虑如下矩阵和向量 𝐴 = [ 8 5 3
−2 0 1 2 1 0
]， 𝑏 = [1 2 3
]，
(a) 给出方程组𝐴𝑥 = 𝑏的解；
(b) 求矩阵𝐴的行列式；
(c) 求矩阵𝐴的逆矩阵；
(d) 求单位下三角矩阵𝐿, 以及上三角矩阵𝑈, 使得𝐴 = 𝐿𝑈。
2.（10 分）令𝐴是一个3 × 4矩阵，证明𝐴的列线性相关。
3.（10 分）设矩阵𝐴的列线性无关，证明𝐴𝑇𝐴是正定矩阵。
4.（10 分）确定一个3 × 3 Gauss 变换𝐿，使得 𝐿 [2
3 4
] = [2 7 8
] 。
5.（10 分）设𝑥和𝑦是两个𝑛 × 1的向量，证明：当且仅当 𝑥和𝑦线性相关且𝑥𝑇𝑦 ≥ 0时，
才有
‖𝑥 + 𝑦‖2= ‖𝑥‖2+ ‖𝑦‖2 。
6.（10 分）考虑如下矩阵和向量 𝐴 = [1 0
1 1 1 2
]，𝑏 = [6 0 0
]，
求𝑥 ∈ 𝐑2使得
‖𝑏 − 𝐴𝑥‖2= min
𝑦∈𝐑2‖𝑏 − 𝐴𝑦‖2 。
科目代码：992 科目名称：数值代数
第 2 页 共 2 页 7.（15 分）考虑如下矩阵
𝐴 = [ 1 2 3
−1 0 −3 0 −2 3
]，
求矩阵𝐴的 QR 分解。
8.（15 分）考虑如下矩阵 𝐴 = [ 2 2
−1 1]，
求矩阵𝐴的 SVD 分解。
9.（10 分）确定𝑐 = cos 𝜃和s = sin 𝜃, 使得 [ 𝑐 𝑠
−𝑠 𝑐] [5
12] = 𝛼 [11], 𝛼 ∈ 𝐑。
10．（20 分）证明：若矩阵𝐴是严格对角占优的，则𝐴非奇异。
