151  1

高雄市明誠中學 高二數學平時測驗 日期：98.03.25.

班級 範

圍

1-5 圓錐曲線的切線與

光學性質 座號

姓 名 一、選擇題( 每題 10 分)

1. 下列哪一條直線與拋物線 相切？

(A)

x2

y 4

1

 x

y (B)

3

1

 x

y (C)

6

1

 x

y (D)

5

1

 x

y (E) y  x  1

【解答】(A)

【詳解】直線與拋物線相切，則判別式 0 (A)









 4 1

2

x y

x

y  0

4

2  x1 

x ， 0

4 4 1 1²   

 D

2. (複選)一直線 L 與一雙曲線 的交點個數可能為(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4

【解答】(A)(B)(C)

【詳解】一直線與一個二次曲線至多有兩個交點

3. (複選)直線 y  x  k 與雙曲線 y²  4x²  12 的相交關係為

(A) k  0 時，沒有交點 (B) k  3 時，有一個交點 (C) k   3 時，有二個交點 (D) k  3 時，沒有交點 (E) k  5 時，沒有交點

【解答】(A)(B)(C)(E)

【詳解】

y  x  k 代入 y²  4x²  12 (x  k)²  4x²  12   3x²  2kx  k²  12  0 x 的實根個數由判別式 D  4k²  12(k²  12)決定之，D  16(k²  9)

(1) k  3 或 k   3 時，D  0  有兩個相異交點……(C)為真 (2)k  3 時，D  0  恰有一個交點（相切）……(B)為真 (3)  3  k  3 時，D  0  沒有交點……(A)(E)為真



4. (複選)已知雙曲線： 1 4 5

2

2  y 

x ，過下列哪些點作 之切線恰有一條？

(A)(0，0) (B)(4，1) (C)(3，

5

4 ) (D)( 5 ，  2) (E)(1，2)

【解答】(C)(D)

【詳解】

(A)(0，0)為中心，過中心沒有切線

(B) 1

4 1 5

4²   ，點(4，1)與焦點在同一區域內，過(4，1)沒有切線

(C)(3，

5

4 )在 上，過此點恰有一條切線

(D)( 5 ， 2)在漸近線 2x  5 y  0 上，過此點恰有一條切線 (E) 

5 1²

4  2²

5 1

1   1，點(1，2)與中心(0，0)同一區域內且不在漸近線上過(1，2)有兩條切線

二、填充題( 每題 10 分)

1. 求過(  2，1)，與橢圓 x²  3y²  7 相切的直線方程式__________________。

【解答】2x  3y  7  0

【詳解】

(  2)²  3  1²  7 ∴ (  2，1)在橢圓上

故過(  2，1)之切線為 ( 2)．x  3．1．y  7  2x  3y  7  0

2. 若雙曲線y²  x²  a²與直線x  2y  3 相切於點(x0，y0)，則x0：y0：a²  。

【解答】( 1)：2：3

【詳解】切線為 y₀y  x₀x  a²即為 x  2y  3 ^{0 0 2}

1 2 3

x y a

    ，故 x₀：y₀：a²  ( 1)：2：3

3. 求過P(1，2)與曲線 9x²  4y²  36 相切之直線有 條。

【解答】0

【詳解】曲線 9x²  4y²  36  1 9 4

2 2



 y x

由圖知：點 P(1，2)在橢圓內部 ∴ 無相切之直線

4. 已知直線y  2x  k與雙曲線x²  4y²  4 相切，則實數k之值為 。

【解答】 15

【詳解】

代入  15x²  16kx  4(k²  1)  0

∵ 相切 ∴ 判別式  (16k) ²  4  15  4(k²  1)  0，得 k  













4 4 2

2

2 y

x

k x

y ……

……

15

5. 若橢圓 9 x 2

4

y  1 與直線y  mx  3 相切，則m  。 2

【解答】 3

 5

【詳解】

y  mx  3 代入 9 x 2

4

y2  1 中，得 9 x 2

4 ) 3

(mx ²  1  4x²  9(mx  3)²  36

 4x²  9m²x²  54mx  81  36  0，整理得(4  9m²)x²  54mx  45  0

∵ 橢圓 9 x 2

4

y  1 與直線 y  mx  3 相切 ∴ 判別式 D  (54m)2 ²  4(4  9m²)．45  0

 81m²  20  45m²  0  m²  9

5  m   3

5

6. 若直線過(3，6)與橢圓４x² 9y²  36 相切，則直線方程式為 。

【解答】 8x y9 300及x3

【詳解】

Sol 一： 交點法

點(3，6)不在橢圓 4x²  9y²  36 上，設切線方程式為y6m(x3) 36 ) 3 6 ² 

 m

mx

0 )

) 81 324  ² 

 m m

) 9m²

288m2

 

 代入橢圓方程式 





∵ 相切 ∴



324 m³  81m⁴

m mx

y 63 18 9

4x²  m²x²  18 )

9 4

(  m² x² 

 D

36 36 ( 9m²

D 

2 324

324m  144 128

( 9 4x² 

2 36 81 ²

 m m

0 288

)(

9m² 36m

 36m2

m  )

3 6 ( 9 ) 3 6

(  m x  m m

324 288 ( ) 3 6

(  m x  m

4 ( 4 )]

3 6 ( 18

[ m  m ²   32 )(

9 4 ( )

9m² m² m  

4

3 81m 128 144

m   

0





 m 

9

 8 m

∴ 切線方程式為 ( 3)

9 6 8 

 x

y ，即 8x  9y  30  0，切線有兩條，另一切線為鉛直線x3 Sol 二： 公式法

橢圓 4x²  9y²  36 ^{2 2} 1 9 4 x y

   ，又點(3，6)不在橢圓上，ymx 4m² 9 設切線為ymx 9m² 或4 y6m(x3)

點(3，6)在ymx 9m² 上4  6 3m 9m²4

2 2 2

4) 36

  m² 9m²4 (6 3 ) m  ( 9m 36m9  

9

 8 m

∴ 切線方程式為 ( 3)

9 6 8 

 x

y ，即 8x  9y  30  0，切線有兩條，另一切線為鉛直線x3 7. 雙曲線：x²  y²  8，A(1，1)，由A向 作切線，則切線方程式為 。

【解答】9x  7y  16  0

【詳解】

Sol 一： 交點法

設切線 L：y  1  m(x  1)，

代入  (1  m²)x²  2m(m  1)x  (2m  m²  1  8)  0

∵ 相切 ∴ D  4m²(m  1)²  4(1  m²)(2m  m²  9)  0  4(m  1)(7m  9)  0















8 ) 1 (

2

2 y

x

m mx

y L

：

：



……

……

 m  7

9或 m  1（不合 ∵ m  1 時，切線 L 與其中一條漸近線重合不為切線）

∴ L：y  1  7

9

(x  1)  9x  7y  16  0 Sol 二： 公式法

雙曲線 x²  y²  8 ^{2 2} 1 8 8 x y

  

 ，又點(１，１)不在雙曲線上，

設切線為ymx 8m² 或8 點(１，１)在

1 ( 1 y m x ) 8 28

ymx m 上 1 m 8m²8

2 2 2 2

8 8

 m m  ²

(1m)  ( 8m 8) 1 2 m   (m  1)(7m  9)  0

 m  7

9或 m  1（不合 ∵ m  1 時，切線 L 與其中一條漸近線重合不為切線）

∴ L：y  1  7

9(x  1)  9x  7y  16  0

8. 若拋物線y²  4x與直線y  2x  k交於相異兩點，則k的範圍為 。

【解答】k  2 1

【詳解】y  2x  k 代入 y²  4x 中，(2x  k)²  4x，4x²  4(x  1)x  k²  0

∵ 拋物線 y²  4x 與 y  2x  k 交於相異兩點

∴ 判別式 D  [4(k  1)]²  4．4．k²  0

 k²  2k  1  k²  0  2k  1  k  2 1

9. 設直線y  x  k與橢圓 3 x 2

6 y2

1 不相交，則實數k的範圍為

 。

【解答】k > 3 或 k   3

【詳解】

直線 y  x  k 與橢圓 3 x 2

6

y  1 不相交，則聯立式2 無實數解

亦即 2x²  (x  k)²  6 沒實數解，可得 3x²  2kx  (k²  6)  0 沒實數解 所以△  (2k)²  4  3  (k²  6)  0，即 k²  9  0，亦即 k  3 或 k   3













6 2x² y²

k x y

10.已知橢圓方程式為 1

16 ) 1 ( 4

) 1

( ^{2 2}

 

  y

x ，則

(1)此橢圓焦點坐標為 ，

(2)若自左邊焦點F上發射一直線光，打在橢圓某一點P，再自P反射，最後需落在F上，則 此光線最少需走多少距離？ 。

(3)若將上圖沿v(  1，2)移動| |v

長，得到新圖形之方程式為 ______ 。

【解答】(1，1 2 3 )，8， 1

16 ) 3 ( 4

2 2

 

 y x

【詳解】

橢圓方程式： 1

16 ) 1 ( 4

) 1

( ^{2 2}

 

  y

x ，中心(1，1)，a²  16，a  4，b²  4，b  2

 c²  a²  b²  16  14  12 ∴ c   2 3 ∴ 焦點坐標為(1，1  2 3) 設 P(x，y)，由定義：|PFPF| 2a  2．4  8

橢圓沿v(  1，2)移動後，以 ( +1,x y 代入 2) 16 1

) 1

2 ( 4 

) 1

( ²

 

 y

x ，新方程式 1

16 ) 3 ( 4

2 2

 

 y x

11.雙曲線： 8 x 2

8

y  1，又A2 ，已知A(4，2 2)，F(4，0)，

若由F射至A之光線被雙曲線 反射，反射光通過P(8，k)，則

k  。

【解答】3 2

【詳解】

由光學性質可知反射光線必沿直線 前進，m_{F A} 

) 4 ( 4  A

F  2 2 0



  4

2

A

F  ：y  0  4

2 (x  4)，P(8，k)代入F A  k  3 2

設F與F為橢圓x²  4y²  8 的 焦點，若A的

12. 兩 坐標為(2，1)，

線方程式 _______

求FAF的角平分 。

 y  3

【

【解答】2x 詳解】

過 A(2，1)之切線 L1：2x  4y  8，斜率 2 1 4 2 m   

由光學性質可知FAF的角平分線即為過 A之法線 L2，法線斜率m2

∵ L2  L1 設 L2：y  1  2(x  2)  L2：2x  y  3

13  4x上一弦以(2，2)為中點，則此弦所在的直線方程式為



. 設拋物線y² ，又弦長  。

【解答】x  y  0；4 2

【詳解】

設拋物線 y²  4x，以(2，2)為弦中點的弦所在的直線為 y  2  ( x  2）

由題意_ 的兩交點以(2，2)為中點，故 y²  4

m

2 4

2 ( 2

y x

y m x

 

  

 )

(y 2 2m) m

 

即my²4y(8m  08) ……(※)，此二次式的兩根和  4

m  4，得 m  1 所求的弦所在的直線方程式為 y  2 1．( x  2)，即 x  y  0

當 m  1 時，(※)式為 y²  4y  0，即 y  0 或 4，當 y  0 時，x  0，而 y  4 時，x  4 兩交點(0，0)，(4，4)，所以弦長  4² 4²  4 2

14. 拋物線：y²  8x，

(1)  與直線x  y  1  0 之交弦長  。

(2)設上之一弦 AB 被(  3，2)所平分，則含此弦 AB 之直線為 。

【解答】(1) 8 (2) 2x  y  8  0

【詳解】

(1)Sol 一： 根與係數的關係

設 與直線 x  y  1  0 之交點 P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)

則  (x  1)²  8x  x²  6x  1  0，且二根













0 1

2 8 y x

x y

1, 2

x x ^{1 2}

1 2

6 1 x x x x

 

    PQ (x₁x₂)²(y₁y₂)²  2(x₁x₂)²  2[(x₁x₂)²4x x_{1 2}] 2[(x₁x₂)²4x_{1 2}x ]  2[6²4 1] 8

Sol 二： 公式法

 (x  1)²  8x  x²  6x  1  0，













0 1

2 8 y x

x y

∴ 交弦長 

|

|

2 4 a

ac b 

． 1 m ²  36 ．4 11 8

(2) 設 A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，AB之方程式為 x  3 m(y  2) x my  2m  3 ∴  y²  8(my  2m  3)

 y²  8my  (16m  24)  0 二根為 y₁，y₂ ∴ y₁  y₂  8m 又∵



2

2 3

8 x mx m

y x

  



 

AB 之中點為( 3，2)， ∴ 2

2

1 y

y 

 2  4m  2  m  2 1 故 x  3 

2

1(y  2)  2x  y  8  0

15. 雙曲線： 36 x 2

9

y  1，P 2 ，

(1)過P之切線與二漸近線所圍成之三角形面積為 。 (2)設A(0，2)，則 AP 之最小值  。

【解答】(1) 18 (2) 5

5 14

【詳解】

(1) ： 36 x 2

9

y  1 ∴ a  6，b  3 2

過 P 之切線與二漸近線所圍成之三角形面積  ab  6．3  18 (2) 36

x 2

9

y  12 ^{2 2} 1, 36 9 x y

   即

2 2

4 3 x  y  6

AP 36 ( 2)²  5y² 4y40

5 ) 196 5 (y2 ² 

2 5

2

2 y2)  4y   y

x ( 14 5

 5 16.設拋物線：y  x²  2x  2k與直線：y  2x  k，k  R，

(1)若對任意之實數x， 之圖形恆在直線之上方，則k之範圍為 。

(2)若 與 相切，則k   。 (3)若 與之交弦長為 2 5 ，則k  。

【解答】(1) k  4 (2) 4 (3) 3

【詳解】

(1) x：x²  2x  2k  2x  k 恆成立 x²  4x  k  0 恆成立 ∴ b²  4ac  0  4  k  0  k  4

(2) x²  2x  2k  2x  k  x²  4x  k  0 ∴ b²  4ac  4(4  k)  0  k  4 (3)交弦長 

|

|

2 4 a

ac b 

． 1 m ²  164k ． 14 2 5  16  4k  4  k  3

17.已知P為橢圓 4

) 1 (x ² 

9 ) 2

(y ²  1 上之一點，則P到直線 2x  y  6  0 的最長距離為

， 此時P點的坐標為 。

【解答】3 5 ，(

2 13，

5

19 )

【詳解】

橢圓： 4

) 1 (x ²

 9 ) 2 (y ²

 1，其中心(1，  2)，設 2x  y  k  0 為 之切線 y  2x  k 代入 得

4 ) 1 (x ² 

9 ) 2 2

( x k ²  1  25x²  (16k  14)x  4k²  16k  11  0 D  (8k  7)²  25(4k²  16k  11)  0  k²  8k  9  0  k   9 或 1

求最長距離 ∴ k   9，

2

2 1

2

| ) 9 ( 6

|





 

5

15  3 5

y  2x  9 代入，解交點(5x  13)²  0  x  5 13，y 

5

19

∴ P(

5 13，

5

19 )

18.設由點(1，1)所作拋物線y  x²  x  k的兩條切線互相垂直，則k  ， 又設點P(0，t)在拋物線上，則以P為切點的切線方程式為 。

【解答】2

3；2x  2y  3  0

【詳解】

由點(1，1)作 y  x²  x  k 的兩條切線互相垂直，設切線方程式為 y  1  m(x  1) 則 恰有一組交點，因此，x²  x  k  m(x  1)  1 恰有一個實數解

即 x²  (  1  m)x  (k  m  1)  0 恰有一實數解，因此，△  (  1  m)²  4(k  m  1)  0 即 m²  2m  (5  4k)  0……(※)

由已知兩切線互相垂直，所以(※)式的兩根積   1 即 5  4k  1，所以 k 

















k x x y

x m y

2

1 ) 1 (

2

3，因此，拋物線方程式為 y  x²  x  2 3 當 P(0，t)在拋物線上時，t 

2

3，設以 P(0，

2

3)為切點的切線方程式為 y 

23  mx 則



















2 3 2 3

2 x

x y

mx y

恰有一組解，即 x²  x 

23  mx  2

3恰有一個實數解

可得 x²  (m  1)x  0 恰有一個解，所以△  [  (m  1)]²  0，即 m   1 所以以 P(0，

2

3)為切點的切線方程式為 y   x  2

3，即 2x  2y  3  0

19.橢圓 2 x 2

8

y  1 與直線 2x  y  2  0 交於A，B， 2

(1) AB 之中點為 。(2)弦長 AB 。

【解答】(1)(  2

1，1) (2) 15

【詳解】

(1)















0 2 2

8 1 2

2 2

y x

y x

  4x²  4(x  1)²  8  2x²  2x  1  0

 x 















0 2 2

8 4 ^{2 2}

y x

y x

2 3 1

 ，y  1  3 ，

∴ A(

2 3 1

 ，1 3 )，B(

2 3 1

 ，1 3 ) ∴ 中點為(

2

 ，1) 1

(2) AB

|

|

2 4 a

ac b 

． 1m²  2

8 4

． 14 15

20.已知橢圓方程式 25 x 2

16

y  1，若有光束自焦點A(3，0)射出，經二次反射回到A點，設二次反射2

點為B，C，如圖所示，求△ABC之周長 。

【解答】20

【詳解】

： 25 x 2

16

y  1  a  5，b  4，由橢圓的光學性質知 2

若光束自焦點 A(3，0)射出，經一次反射後，

必通過另一焦點 A (  3，0)

∴ △ABC 之周長  AB BCCA ( AB  AB  )  (ACCA)  2a  2a  4a  4  5  20 21.設拋物線：y²  4x，一光線從點A(5，3)射出，平行 的軸射在 上的 B 點，經反射後又射

到 上的C點，則C的坐標為 。

【解答】 4

(9 C ， 4

 ) 3

【詳解】

：y²  4x，由 A(5，3)射出的光線沿y 射到3  上的點 B(9

4，3)，

經反射後，通過焦點F(1，0)，則BF

的方程式為 12

( 1

y 5 x 與)  的 另一交點 Q ，解 y²  4x 及 12

y 5 (x1) 144 2

( 1) 4 25 x  x

  ，36x²97x360， 4 9 (9 4)(4 9) 0 ,

x x   x 9 4（不合），得 4 (9 C ， 4

 ) 3