∑ ∑ S SSS SS SS S SS S SS S S S S

第7 單元 數據分析

1.甲、乙、丙三位同學參加推薦甄選學科能力測驗，五科的成績如表所示。設S 、_甲 S 、_乙 S 分別代表甲、乙、丙三位同_丙 學五科成績的標準差。請仔細觀察表中數據，判斷下列那一選項表示S 、_甲 S 、_乙 S 的大小關係？(83 推甄) _丙

(1)S ＞_甲 S ＞_丙 S (2)_乙 S ＞_丙 S ＝_甲 S (3)_乙 S ＞_甲 S ＝_丙 S _乙 (4)S ＞_乙 S ＝_甲 S (5)_丙 S ＝_甲 S ＞_乙 S _丙

解：標準差S²＝

∑

=

− −

10

1

)2

1 ( 5

1

i

i x

x ，x＝

∑

= 10

5 1

1

i

xi

甲：x＝ 5

1(100＋70＋80＋60＋50)＝72，S_甲²＝370，S_甲 19.2

乙：x＝ 5

1(90＋60＋70＋50＋40)＝62，S_乙²＝370，S_乙 19.2

丙：x＝ 5

1(80＋56＋64＋48＋40)＝57.6，S_丙²＝236.8，S_丙 15.39

∴S_甲＝S_乙＞S_丙 答：(5)

2.如下圖為某年級國文、英文、歷史三科成績分佈的直方圖。根據該圖，下列那些推論是合理的？(85 推甄)

(1)歷史的平均分數比國文的平均分數低 (2)歷史的平均分數最低 (3)英文的標準差比國文的標準差小 (3)英文的標準差最大 (5)「國文與歷史的相關係數」比「國文與英文的相關係數」高

解：(1)∵歷史的眾數約在 35~45 分之間，國文的眾數約在 65~75 分之間

∴歷史的平均分數比國文的平均分數低

(2)英文的眾數約在 55~65 分之間，∴英文的平均分數高於歷史的平均分數 (3)由分佈圖形得知英文的成績最分散(全距最大)，故英文的標準差最大 答：(1)(2)(4)

3.某年聯考甲、乙兩科成績的直方圖如圖所示(由於考生人數眾多，成績分布的直分圖可視為平滑曲線)，則下列那些敘述 是正確的？(87 自然)

(1)甲的算術平均數比乙的算術平均數大 (2)甲的中位數比乙的中位數大 (3)甲的全距比乙的全距大 (4)甲的標準差比乙的標準差大 (5)甲的變異係數比乙的變異係數大

解：(1)如右下圖，甲、乙兩曲線近似常態分布

∴甲的算術平均數約在P 點，乙的算術平均數約在 Q 點

⇒ Q＞P，故(1)正確

(2)甲的曲線偏右，其中位數約在 P 點左方 乙的曲線近似常態分布其中位數約在Q 點

⇒ Q＞P，故(2)正確

(3)∵甲的曲線比乙的曲線分佈較廣，則全距較大，故標準差甲＞乙

(4)∵甲的曲線分佈較廣，數值較分散，乙的曲線數值則較集中，故變異係數甲＞乙 答：(3)(4)

科目

學生 社會 國文 自然 英文 數學 甲 100 70 80 60 50 乙 90 60 70 50 40 丙 80 56 64 48 40

分數

甲 乙

人 數

分數

甲 乙

人 數

P Q

20 40 60 80 100 分數 人數

10 20 30 40

國文分數

20 40 60 80 100 分數 人數

10 20 30 40

英文分數

20 40 60 80 100 分數 人數

10 20 30 40

歷史分數

4.某班 50 位同學數學科成績的以下累積次數分配曲線如下圖所示，

則其成績的中位數為 。(取到整數，小數點以下四捨五入) (87 社會) 解：(1)∵

2

50＝25 ∴中位數在 50∼60 這一組內 又這一組內有30－15＝15 人

∴中位數＝50＋

15 15

25− × 10＝50＋

3 20 57 答：57

5.測量一物件的長度 9 次，得其長(公尺)為：2.43，2.46，2.41，2.45，2.44，2.48，2.46，2.47，2.45

將上面的數據每一個都乘以100，再減去 240 得一組新數據為：3，6，1，5，4，8，6，7，5，問下列選項，何者為真？

(1)新數據的算術平均數為 5 (2)新數據的標準差為 2 (3)原數據的算術平均數為 2.45 (4)原數據的標準差為 0.2 (5)原數據的中位數為 2.45

解：(1)新數據的算術平均數y＝ 9

1(3＋6＋1＋5＋4＋8＋6＋7＋5)＝5

新數據的標準差S_y＝ (4 1 16 0 1 9 1 4 0) 9

1 + + + + + + + + ＝2

(2)∵原數據x_i與對應之新數據y_i的關係為：y_i＝100x_i－240，∴x_i＝ 100

+240 yi

x＝ 100 +240

y ＝

100 240 5+

＝2.45，S_x＝ 100

Sy

＝0.02

(3)原數據依大小排序得：2.41，2.43，2.44，2.45，2.45，2.46，2.46，2.47，2.48，⇒ 中位數＝2.45 答：(1)(3)(5) (88 推甄)

6.袋子裡有 3 個球，2 個球上標 1 元，1 個球上標 5 元。從袋中任取 2 個球，即可得到兩個球所標錢數的總和，則此玩法 所得錢數的期望值是_____元。(88 推甄)

解：樣本空間 n(S)＝n(3 球取 2 球)＝C₂³＝3 事件 ○¹ ○¹ ○¹ ○⁵

數值 2 元 6 元 機率 3

2

C2

＝3 1

3

1 1 2 1 C

C ＝

3 2

期望值＝2×

3 1＋6×

3 2＝

3 14

答： 3 14

7.某班數學老師算出學期成積後，鑑於學生平時都很用功，決定每人各加 5 分(加分後沒人超過 100 分)，則加分前與加分 後，學生成績統計數值絕對不會改變的有：(88 自然)

(1)算數平均數 (2)中位數 (3)標準差 (4)變異係數 (5)全距 解：集中趨勢量數：算術平均數、中位數加分後會改變

離散趨勢量數：標準差、全距不會受到加分而改變

∵變異係數 =

算術平均數

標準差 ×100％，∴變異係數會改變 答：(3)(5)

8.某市為了籌措經費而發行彩券，該市決定每張彩券的售價為 10 元，且每發行一百萬張彩券，即附有一佰萬元獎一張，

拾萬元獎9 張，一萬元獎 90 張，一仟元獎 900 張。假設某次彩券共發行三百萬張，試問當你購買一張彩券時，你預期 會損失______元。(88 社會)

解：樣本空間 n(S)＝3×10⁶

事件 一佰萬元獎 拾萬元獎 一萬元獎 一仟元獎 其他獎

數值 10⁶ 10⁵ 10⁴ 10³ 0

機率 ₆

10 3

3

× 3 10⁶ 9 3

×

×

106

3 90 3

×

×

106

3 900 3

×

×

106

3

999000 3

×

×

抽獎的期望值＝10⁶× ₆ 10 3

3

× ＋10⁵× ₆ 10 3

9 3

×

× ＋10⁴× ₆ 10 3

90 3

×

× ＋10³× ₆ 10 3

900 3

×

× ＋0× ₆ 10 3

999000 3

×

× ＝3.7 購買一張彩券抽獎的期望值＝3.7－10＝－6.3

∴損失6.3 元 答：6.3

9.下列 5 組資料(每組各有 10 筆)

A：l，l，l，l，l，10，10，10，10，10 B：1，1，1，1，1，5，5，5，5，5 C：4，4，4，5，5，5，5，6，6，6 D：l，l，2，2，3，3，4，4，5，5 E：1，2， 3，4，5，6，7，8，9，10

試問哪一組資料的標準差最大？(89 推甄 3)

(1) A (2) B (3) C (4) D (5) E 解1：標準差 S²＝

∑

=

− −

10

1

)2

1 ( 10

1

i

i x

x ，x＝

∑

= 10

10 1

1

i

xi

A：x＝5.5，S²＝202.5² B：x＝3，S²＝1600 C：x＝5，S²＝36 D：x＝3，S²＝400 E：x＝5.5，S²＝82.5²

∴資料A 的標準差最大 解2：A：

B：

C：

D：

E：

由分布情形得知：資料A 的離散程度最大 答：(1)

10.如圖所示有 5 筆(X，Y)資料。試問：去掉哪一筆資料後，剩下來 4 筆資料的相關係數最大？(89 推甄 4) (1) A (2) B (3) C (4) D (5) E

解：再散佈圖中作一直線L，得知去掉 D 筆資料後，相關係數最大 答：(4)

1 x 10

5 6 4

x⁵

3 1

x

5 3 1

x

2 4

x

5 3

1 6 2 9 4 7 8 10

A(1,3) B(2,4) D(3,10)

C(4,5)

E(10,12)

x y

L

11.某班有 48 名學生，某次數學考試之成績，經計算得算數平均數為 70 分，標準差為 5 分。後來發現成績登錄有誤，某 甲得80 分，卻誤記為 50 分，某乙得 70 分，卻誤記為 100 分，更正後重算得標準差為 S1分，試S1與S 之間，有下列 那種大小關係？(89 自然)

(n 個數值 x1，x2，…，xn的標準差公式為S＝ ∑ −

= n

i xi x

n ¹

__ 2

) 1 (

＝ ∑ −

= n

i xi x

n ¹

__2

1 2

，而^__x ＝ ∑

= n

i xi

n ¹ 1 )

(1) S1＜S－5 (2) S－5 ≤ S1＜S (3) S1＝S (4) S＜S1 ≤ S＋5 (5) S＋5＜S1

解：(1)設原成績的算數平均數x＝70 分，標準差 S＝5 分 (2)更正後成績的：

算數平均數y＝

48 30 30 70 48× + −

＝70 分＝x

∵S＝5＝

∑

= 48 −

1 2 2

48 70 1

i

xi ，平方整理得

∑

= 48

1 2

i

xi ＝236400

∴S12

＝48

1 [236400－50²＋80²－100²＋70²]－70²，得知S1＝0 答：(2)

12.某校高三甲、乙、丙三班各有 50 位同學，數學科模擬考成績的以下累積次數折線圖如下(各組不含上限)，根據上圖的 資料，選出下列正確的選項：(89 社會)

(1)各班成績的中位數，甲班最高

(2)各班的及格人數，丙班最多(60 分(含)以上及格) (3)各班 80 分(含)以上的人數，乙班最多

(4)各班的平均成績，丙班最差 (5)此次模擬考最高分，出現在乙班

解：(1)各班的中位數在第 25 名之位置，如圖，在人數第 25 名做一水平線 則甲班的中位數約在65 分為最高

(2)甲班及格人數＝50－20＝30 人 乙班及格人數＝50－30＝20 人

丙班及格人數＝50－45＝5 人，⇒ 甲班最多 (3)甲班 80 分(含)以上有 50－38＝12 人

乙班80 分(含)以上有 50－35＝15 人 丙班80 分(含)以上有 0 人，⇒ 乙班最多

(4)各班的平均成績＝累積圖左側成績為總分÷50，⇒ 丙班總分最低，∴平均成績最差 (5)累積圖中，只有乙班有 90~100 分的人數，∴最高分出現在乙班

答：(1)(3)(4)(5)

13.某電子公司欲擴廠，新建廠房有大中小三種規模，建廠規模的決策與未來一年的經濟景氣有關；經濟景氣如果高度成 長，則建大規模廠較有利，如果微幅成長或持平，則建中規模廠即可，如果經濟衰退，則應建小規模廠，進一步評估 三種建廠規模在四種經濟景氣情況下的獲利如下：

建廠規模 利潤

(百萬元 年) 大 中 小 高度成長 50 40 30 微幅成長 10 30 20 持 平 5 10 5

景氣情況

衰 退 －30 －10 －2

經分析未來一年經濟高度成長的機率P1＝0.3，微幅成長的機率 P2＝0.1，持平的機率 P3＝0.4，衰退的機率 P4＝0.2。試 問以未來一年利潤期望值越大越好的判斷為準則，此公司選用那一種建廠規模獲利最佳？最佳的建廠決策下，未來一 年它的利潤期望值是多少(百萬元)？(89 社會)

中位數

解：如下表，建廠規模的期望值如下：

(1)建大規模廠期望值＝50×0.3＋10×0.1＋5×0.4＋(－30)×0.2＝12(百萬元) (2)建中規模廠期望值＝40×0.3＋30×0.1＋10×0.4＋(－10)×0.2＝17(百萬元) (2)建小規模廠期望值＝30×0.3＋20×0.1＋5×0.4＋(－2)×0.2＝12.6(百萬元)

∴建中規模廠獲利最佳，期望值＝17(百萬元) 答：建中規模廠獲利最佳，利潤期望值＝17(百萬元)

14.令 X 代表每個高中生平均每天研讀數學的時間(以小時計)，則 W＝7(24－X)代表每個高中生平均每週花在研讀數學以 外的時間。令Y 代表每個高中生數學學科能力測驗的成績。設 X，Y 之相關係數為 RXY，W，Y 之相關係數為 RWY， 則RXY與RWY兩數之間的關係，下列選項何者為真？(90 推甄 3)

(1) RWY＝7(24－RXY) (2) RWY＝7RXY (3) RWY＝－7RXY (4) RWY＝RXY (5) RWY＝－RXY

解：W＝7(24－X)＝－7X＋168，⇒－7＜0，∴RWY＝－RXY

答：(5)

15.調查某新興工業都市的市民對市長施政的滿意情況，依據隨機抽樣，共抽樣男性 600 人、女性 400 人，由甲、乙兩組 人分別調查男性與女性市民。調查結果男性中有36%滿意市長的施政，女性市民中有 46%滿意市長的施政，則滿意市 長施政的樣本佔全體樣本的百分比為 %。(90 推甄 B)

解：調查之樣本數＝男性600＋女性 400＝1000 人

滿意市長施政的樣本＝男性600×36%＋女性 400×46%＝400

∴百分比＝

1000

400 ＝40%

答：40%

16.調查某班 40 名學生每週使用電腦時數，統計結果如下：

下列關於該班學生每週使用電腦時數的敘述，何者可由上列結果推斷為正確？

(1)四分位差為 1.5 小時

(2)7.0 小時≤中位數≤ 10.0 小時

(3)約有 10 名學生每週使用電腦時數超過 10.0 小時

(4)該班學生每週使用電腦時數最多者每週約使用電腦 8.3＋2×2.1＝12.5 小時 (5)約有 20 名學生每週使用電腦時數在 7 到 10 小時之間

解：(1)四分位差＝第 3 四分位數－第 1 四分位數＝10－7＝3 小時

(2)∵第 1 四分位數 ≤ 中位數≤ 第 3 四分位數，∴7 小時≤中位數≤ 10 小時 (3)∵Q3＝10，∴超過 10 小時人數有 40×25%＝10 名

(4)該統計結果不一定為「常態分布」，故無法估計

(5) 7 到 10 小時之間的人數有 40×(75%－25%)＝40×50%＝20 名 答：(1)(2)(3)(5) (90 社會 1)

17.若某校 1000 位學生的數學段考成績平均分數是 65.24 分，樣本標準差是 5.24 分，而且已知成績分佈呈現常態分配。試 問全校約有多少人數學成績低於60 分？(91 學測 4)

(1)約 80 人 (2)約 160 人 (3)約 240 人 (4)約 320 人 (5)約 400 人 解：如圖，根據常態分配，算術平均數M＝65.24，標準差 S＝5.24

∴落在(65.24－5.24，65.24＋5.24)＝(60，70.48)占 68%

約有1000×68%＝680(人)

∴低於60 分的約有(1000－680)÷2＝160(人) 答：(2)

建廠規模 利潤

(百萬元 年) 大 中 小 機率 高度成長 50 40 30 0.3 微幅成長 10 30 20 0.1 持 平 5 10 5 0.4

景氣情況

衰 退 －30 －10 －2 0.2

算術平均數 8.3 小時 標準差 2.1 小時 第1 四分位數 7.0 小時 第3 四分位數 10.0 小時

65.24 70.48 60

54.76 81.96 49.52 76.72

68%

18.某公司民國 85 年營業額為 4 億元，民國 86 年營業額為 6 億元，該年的成長率為 50%。87、88、89 三年的成長率 皆相同，且民國89 年的營業額為 48 億元。則該公司 89 年的成長率為____%。(91 學測 D)

解：如下表，設87、88、89 三年的成長率為 k %

年 85 86 87 88 89

營業額 4 億 6 億 48 億 成長率 50% k % k % k % 87 年營業額＝6×(1＋k %)

88 年營業額＝6×(1＋k %)×(1＋k %)＝6×(1＋k %)²

89 年營業額＝48＝6×(1＋k %)³，得1＋k %＝2 ⇒ k %＝1，∴ k＝100 答：100 %

19.九十年度大學學科能力測驗有 12 萬名考生，各學科成績採用 15 級分，數學學科能力測驗成績分佈圖如下圖。請問有 多少考生的數學成績級分高於11 級分？選出最接近的數目。

(1) 4000人 (2) 10000人 (3) 15000人 (4) 20000人 (5)32000人 (91學測補)

解：由分佈圖得知11 級分以上百分比約略如下表：

級分 12 13 14 15 合計 百分比 2.5% 3% 1% 1.5% 8%

∴級分高於11 級分人數＝120000×8%＝9600 人≈ 10000 人 答：(2)

20.某校想要瞭解全校同學是否知道中央政府五院院長的姓名，出了一份考卷。該卷共有五個單選題，滿分 100 分，每題 答對得20 分答錯得零分，不倒扣。閱卷完畢後，校方公佈每題的答對率如下：(91 指考甲)

請問此次測驗全體受測同學的平均分數是(1) 70 分 (2) 65 分 (3) 60 分 (4) 55 分 解：設 x 人答題，則

答對第一題總得分﹕x×80%×20＝16x 答對第二題總得分﹕x×70%×20＝14x 答對第三題總得分﹕x×60%×20＝12x 答對第四題總得分﹕x×50%×20＝10x 答對第五題總得分﹕x×40%×20＝8x

∴受測同學的平均分數＝(16x＋14x＋12x＋10x＋8x)÷x＝60(分) 答：(3)

題號 一 二 三 四 答對率 80% 70% 60% 50%

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0

2 4 6 8 10 12 14 16

90 學年度數學學科能力測驗成績分佈圖 人

數 百 分 比

級分

21.下圖顯示民國 88、89 及 90 年三個年度所調查之台灣北、中、南、東部地區國民對自己生活的滿意程度(資料來源：內 政部統計處「國民生活狀況調查報告」)。(91 指考乙)

為比較各地區國民對自己生活滿意程度的差異，以東部地區國民之滿意度為基準，計算各年度中其他三地相對於當年 度東部地區國民的「相對生活滿意度」。例如：88 年度中部地區的相對生活滿意度為

1 . 79

6 .

74 ≒94.31%；89 年度北部地區

的相對生活滿意度為 2 . 73

3 .

73 ≒100.14%。

下列關於各地區國民生活滿意度的敘述，何者正確？

(1)北部地區國民的「相對生活滿意度」在 88－90 年三年中，以 90 年度為最低。

(2)中部地區國民的「相對生活滿意度」在 88－90 年三年中逐年降低。

(3)南部地區國民的「相對生活滿意度」在 88－90 年三年中，以 90 年度為最低。

(4)在 88－90 年三年中，四地區國民間生活滿意度的差異在 90 年度達到最低。

(5)在 88－90 年三年中，四地區國民間生活滿意度的差異逐年增加。

解：(1)∴88 年度為最低。

(2)

∴並無逐年降低。

(3)

∴90 年度為最低。

(4)(5)由圖形可看出，四地區國民的生活滿意度差異以 89 年度為最低，故其差異並無逐年增加趨勢。

答：(3)

22.某公司考慮在甲、乙兩地間選擇一地投資開設新廠。經評估，在甲地設廠，如獲利，預計可獲利 10000(萬元)；如不獲 利，預計將虧損7000(萬元)。在乙地設廠，如獲利，預計可獲利 6000(萬元)；如不獲利，預計將虧損 5000(萬元)。又 該公司評估新廠在甲、乙兩地獲利的機率分別為0.6、0.7。如以獲利期望值為決策準則，該公司應選擇甲地或乙地投 資？寫出作決策的過程。(91 指考乙)

解：令甲地獲利期望值為Ｅ(甲)，乙地獲利期望值為Ｅ(乙) 則Ｅ(甲)＝10000×0.6＋(－7000)×0.4＝3200 (萬元)

Ｅ(乙)＝6000×0.7＋(－5000)×0.3＝2700 (萬元)

∵Ｅ(甲)＞Ｅ(乙) 答：選擇甲地投資較有利

23.根據統計資料，1 月份台北地區的平均氣溫是攝氏 16 度，標準差是攝氏 3.5 度。一般外國朋友比較習慣用華氏溫度表 示來表示冷熱，已知當攝氏溫度為 x 時，華氏溫度為 y＝

5

9x＋32；若用華氏溫度表示，則 1 月份台北地區的平均氣溫 是華氏______度，標準差是華氏______度。( 計算到小數點後第一位，以下四捨五入。) (92 學測 I)

中部地區 88 年度 89 年度 90 年度 相對生活滿意度 74.6/79.1＝94.31% 73.8/73.2＝100.82% 61.9/64.1＝96.57%

南部地區 88 年度 89 年度 90 年度 相對生活滿意度 77.6/79.1＝98.10% 71.6/73.2＝97.81% 60.0/64.1＝93.60%

解：(1)利用X_ax+b =aX_x+b，X 為平均數，∴x＝16 代入y＝ 5

9 x＋32＝

5

9×16＋32＝60.8

(2)利用S_ax+b = a S_x，∴S_y＝ 5 9S_x＝

5

9×3.5＝6.3 答：平均氣溫是華氏60.8 度，標準差是華氏 6.3 度

24.九十一學年度指定科目考試約有5萬4千名考生報考「數學甲」，考生得分情形(由低至高)如下表，第一列為得分範圍(均 含下限不含上限)，第二列為得分在該區間之人數佔全體考生之百分比。(92學測補)

0~10 10~20 20~30 30~40 40~50 50~60 60~70 70~80 80~90 90~100 10.45 8.18 11.85 14.96 16.0 15.28 10.81 7.06 3.84 1.57 試問下列有關該次考試考生得分之敘述有哪些是正確的？

(1)全體考生得分之中位數在40分(含)與50分(不含)之間；

(2)全體考生得分(由低至高)之第一四分位數在20分(含)與30分(不含)之間；

(3)全體考生得分(由低至高)之第三四分位數在50分(含)與60分(不含)之間；

(4)不到三成的考生得分少於30分；

(5)如果將得分≥ 60 分看成及格，則有四成以上的考生成績及格。

解：

(1)如表，中位數(累積值 50)在 40~50 組內

(2)如表，第一四分位數(累積值 25)在 20~30 組內 (3)如表，第三四分位數(累積值 75)在 50~60 組內 (4)如表，低於 30 分有 30.48%

(5)如表，高於 60 分有 1－76.72%＝23.28%

答：(1)(2)(3)

25.某高中高三學生依選考類組分成三班，各班學生人數分別為40，25，35人，第一次段考數學科各班老師算出該班平均 成績分別為69，78，74分，則這次考試全年級的平均成績是______分。(計算到整數為止，小數點以後四捨五入。) 解1：利用X_全＝

3 2 1

3 3 2 2 1 1

n n n

X n X n X n

+ +

⋅ +

⋅ +

⋅ ，其中X 表示算術平均數，n 表示人數

＝ 40 25 35 74 35 78 25 69 40

+ +

⋅ +

⋅ +

⋅ ＝

100

7300＝73

解2：

各班人數x_i 40 25 35 各班平均 69 78 74 xi－74 －5 4 0 先求 40 25 35

0 35 4 25 ) 5 ( 40

+ +

⋅ +

⋅ +

−

⋅ ＝－1

∴平均成績＝74＋(－1)＝73 答：73分 (92學測補A)

得分 0~10 10~20 20~30 30~40 40~50 50~60 60~70 70~80 80~90 90~100 範圍 10.45 8.18 11.85 14.96 16.0 15.28 10.81 7.06 3.84 1.57 累積 10.45 18.36 30.48 45.44 61.44 76.72 87.53 94.59 98.43 100.0

26.有一筆統計資料，共有 11 個數據如下(不完全依大小排列)：2，4，4，5，5，6，7，8，11，x 和 y 已知這些數據的算術平均數和中位數都是6，且 x 小於 y。請選出正確的選項。(92 指考甲)

(1) x＋y＝14 (2) y＜9 (3) y＞8 (4)標準差至少是 3

解：(1)∵算術平均數和中位數都是 6，∴2＋4＋4＋5＋5＋6＋7＋8＋11＋x＋y＝11×6＝66，⇒ x＋y＝14 (2)∵x＜y

若 x ≤ 6，則 2，4，4，5，5，x，6，7，8，11，y 的中位數＝5(不合)、6，得知 x＝5，y＝8 若 x＞6，則 2，4，4，5，5，6，x，7，8，11，y 的中位數＝6，(7，8 都不合)..得知 x＝6，y＝8

⇒ x＝6，y＝8

(3)標準差＝S＝ ∑ −

i (xi x)² 10

1 ＝ 6≈2.4 答：(1)(2)

27.下圖為臺灣 SARS 疫情病例累計趨勢統計圖(3 月 31 日到 5 月 31 日)

從4 月 22 日到 5 月 14 日共 23 天的每日平均新增病例數，最接近下列哪一個值？(92 指考乙) (1) 11 (2) 14 (3) 17 (4) 20 (5) 23

解：到4 月 21 日病例累計數約為 90，到 5 月 14 日病例累計數約為 490

∴4 月 22 日到 5 月 14 日共 23 天的每日平均新增病例數約為 23

90 490－ ＝

23

400＝17.4 答：(3)

28.SARS 疫情期間，為了建立指標顯示疫情已受控制，以便向國人宣示可以過正常生活，有位公共衛生專家建議的指標 是「連續7 天，每天新增的可能病例都不超過(小於或等於)5 人」。根據連續 7 天的新增病例計算，下列各選項，哪些 必定符合此指標？(92 指考乙)

(1)平均數≤ 3 (2)標準差≤ 1 (3)平均數≤ 3 且標準差≤ 2 (4)平均數≤ 3 且全距≤ 2 (5)眾數＝1 且全距≤ 4 解：(1) ×，例如：0，3，3，3，3，3，6 的平均數＝3，但 6＞5 不合

或例如：0，1，0，7，1，1，1 的平均數＜3，但 7＞5 不合 或例如：0，0，5，0，0，4，6

(2) ×，例如：6，6，6，6，6，6，6 的標準差＝0≤ 1，但 6＞5 不合 或例如：6，6，6，6，6，6，7

(3) ×，例如：0，3，3，3，3，3，6 的平均數＝3，標準差＝ (0 3)² (6 3)² 6

1 − + − ＝ 3≤ 2，但 6＞5 不合 (4)設每天新增依大小為x₁≤x₂≤x₃≤x₄≤x₅≤x₆≤x₇，

∵平均數≤ 3 且全距≤ 2，∴x₇－x₁≤ 2，即新增病例不可能大於 5 則最大值為x₂＝x₃＝x₄＝x₅＝x₆＝x₇＝x₁＋2，平均數＝x₁＋

7

12≤ 3，∴x₁≤ 7 9

⇒ 若取x₁＝1，則x₂＝x₃＝x₄＝x₅＝x₆＝x₇＝3

(5)∵眾數＝1 且全距≤ 4，則新增病例不可能大於 5

⇒若每天新增有 0，則新增數最大為 4，如 0，1，1，…，4

⇒若每天新增有 1，則新增數最大為 5，如 1，1，…，5，故均符合 答：(4)(5)

29.某數學老師計算學期成績的公式如下：五次平時考中取較好的三次之平均值佔 30%，兩次期中考各佔 20%，期末考佔 30%。某生平時考成績分別為 68、82、70、73、85，期中考成績分別為 86、79，期末考成績為 90，則該生學期成績為 _____。(計算到整數為止，小數點以後四捨五入) (93 學測)

解：根據題意，列表如下：

事件 平時考 期中考 期末考

數值 68、82、70、73、85 86 79 90

機率 30% 20% 20% 30%

該生學期成績為＝(

3 73 82

85+ + ×30%)＋(86 ×20%)＋(79 ×20%)＋(90 ×30%)＝24＋17.2＋15.8＋27＝84(分) 答：84 分

30.某校高一第一次段考數學成績不太理想，多數同學成績偏低；考慮到可能是同學們適應不良所致，數學老師決定將每 人的原始成績取平方根後再乘以10 作為正式紀錄的成績。今隨機抽選 100 位同學，發現調整後的成績其平均為 65 分，

標準差為15 分；試問這 100 位同學未調整前的成績之平均 M 介於哪兩個連續正整數之間？(94 學測 5) (1) 40≦M＜41 (2) 41≦M＜42 (3) 42≦M＜43 (4) 43≦M＜44 (5) 44≦M＜45

解1：(1)設這 100 位同學原來成績分別為x₁，x₂，…，x₉₉，x₁₀₀

依據題意，調整後的成績為y_i＝10 x_i ，即y_i²＝100x_i，i＝1，2，…，100 (2)調整後成績的平均＝

100

1 (10 x₁ ＋10 x₂ ＋…＋10 x₁₀₀ )＝

100 1 (

∑

= 100

1

10

i

xi )＝65

調整後成績的標準差＝

∑

=

×

− −

100

1

2 2 100 65 } )

10 ( 1{ 100

1

i

xi ＝15

平方 ⇒

∑

= 100

1

)2

10 (

i

xi ＝100(¹⁰⁰ )

∑

= i

xi ＝99×15²＋100×65²＝444775 ，⇒ ∴

∑

= 100

1 i

xi ＝4447.75 (3)這 100 位同學原來成績的平均 M＝

100 1

∑

= 100

1 i

xi ＝44.4775 解2：利用平均數與標準差的定義解題

設原來成績為 x 分，平均數為x；調整後的成績為 y，平均數為y 依題意得知：y＝10 x ⇒ 即 x＝

100 y2

(表示y_i²＝100x_i，i＝1，2，…，100)

∵標準差S_y＝ ( 100 ) 1

100

1 ¹⁰⁰ ₂

1

2 y

y

i

i − ⋅

−

∑

=

＝15 平方

∑

= 100

1 2

i

yi ＝(100－1)×15²＋100×65²＝444725

∴平均數 x＝ 100

1

∑

= 100

1 i

xi＝ 100

1

∑

= 100

1 2

i 100 yi

＝10000 1

∑

= 100

1 2

i

yi ＝ 10000

1 ×444725＝44.4725 答：(5)

31.下列五個直方圖表示的資料，何者之標準差最大？(94 指考乙)

(1) (2) (3) (4) (5)

解：圖1，2，3 分散距離＝50，故標準差相等

圖4 分散距離＝70－10＝60 且 50∼60，60∼70 各 5 人較分散 圖5 分散距離＝60－30＝30 且集中在 30∼40，40∼50，50∼60

⇒ 標準差最大為圖 4，最小為圖 5 答：(4)

32.定義一組資料的第一十分位數 w1 為『至少有(含) 10

1 的資料不大於 w1，且至少有(含) 10

9 的資料不小於 w1』，試問下列 敘述何者為真？(94 指考乙)

(1)任一組資料都恰有一個第一十分位數

(2)若將原資料每個數據分別乘以 5，則原資料的第一十分位數乘以 5 也會是新資料的第一十分位數 (3)若將原資料每個數據分別加 5，則原資料的第一十分位數加 5 也是此新資料的第一十分位數

(4)若有 A，B 兩組資料其第一十分位數分別為w_A，w_B，則w_A＋w_B 也是此兩組資料合併成一組後的第一十分位數 (5)任一組資料的第一十分位數必小於該組資料之算術平均數

解：(1)反例：資料{1，1，1，2，3，4，5，6，7，8}的 w1＝1 有 3 個 (2)資料每個數據分別乘以 5，大小的排序不變

(3)原資料每個數據分別加 5，大小的排序不變 (4)反例：

資料A＝{1，1，1，2，3，4，5，6，7，8}，B＝{2，2，2，3，4，5，6，7，8，9}

合併後資料{1，1，1，2，2，2，2，3，3，4，4，5，5，6，6，7，7，8，8，9}

wA＝1，wB＝2，合併後 w1＝1≠ wA＋wB

答：(2)(3)

33.抽樣調查某地區 1000 個有兩個小孩的家庭，得到如下數據，其中(男，女)代表第一個小孩是男孩而第二個小孩是女生 的家庭，餘類推。

家庭別 家庭數

(男，男) 261 (男，女) 249 (女，男) 255 (女，女) 235

由此數據可估計該地區有兩個小孩家庭的男、女孩性別比約為____：100。(四捨五入至整數位)(95 學測 A) 解：由圖表得知：

小孩是男孩有261×2＋249＋255＝1026(家庭)＝1026(位) 小孩是女孩有249＋255＋235×2＝974(家庭)＝974(位)

∴男孩：女孩＝1026：974 1.053：1 105：100 答：105：100

34.某次數學測驗分為選擇題與非選擇題兩部分。下列的散佈圖中每個點( X，Y ) 分別代表一位學生於此兩部分的得分，

其中X 表該生選擇題的得分，Y 表該生非選擇題的得分。

設Z＝X＋Y 為各生在該測驗的總分。共有 11 位學生的得分數據。

試問以下哪些選項是正確的？(95 指考乙) (1) X 的中位數＞Y 的中位數

(2) X 的標準差＞Y 的標準差 (3) X 的全距＞Y 的全距

(4) Z 的中位數＝X 的中位數＋Y 的中位數 解：(1)由左而右，X 的中位數為第 6 個點約為 35

由下往上，Y 的中位數為第 6 個點約為 28，∴X 的中位數＞Y 的中位數 (2) X 的數據資料約散佈在 15∼48 之間

Y 的數據資料約散佈在 22∼36 之間，∴Y 的數據資料比 X 的數據資料集中，故 Y 的標準差＜X 的標準差 (3) X 數據資料的全距約為 48－15＝33

Y 數據資料的全距約為 36－22＝14，∴X 的全距＞Y 的全距

(4)Z＝X＋Y，則 11 位同學的總分 Z 由左而右約為 37，46，57，53，57，70，61，73，70，78，84

∴中位數為61≠28＋35，即 Z 的中位數不等於 X 的中位數＋Y 的中位數 答：(1)(2)(3)

35.在某項才藝競賽中，為了避免評審個人主觀影響參賽者成績太大，主辦單位規定：先將 15 位評審給同一位參賽者的成 績求得算術平均數，再將與平均數相差超過15 分的評審成績剔除後重新計算平均值做為此參賽者的比賽成績。現在有 一位參賽者所獲15 位評審的平均成績為 76 分，其中有三位評審給的成績 92、45、55 應剔除，則這個參賽者的比賽成 績為____分。(96 學測 C)

解： 12

) 55 45 92 ( 15

76× − + +

＝79 答：79 分

36.某校高三共有 300 位學生，數學科第一次段考、第二次段考成績分別以 X，Y 表示，且每位學生的成績用 0 至 100 評 分。若這兩次段考數學科成績的相關係數為0.016，試問下列哪些選項是正確的？(96 指數甲 4)

(1)X 與 Y 的相關情形可以用散佈圖表示

(2)這兩次段考的數學成績適合用直線 X＝a＋bY 表示 X 與 Y 的相關情形(a，b 為常數，b≠0) (3)X＋5 與 Y＋5 的相關係數仍為 0.016

(4)10X 與 10Y 的相關係數仍為 0.016 (5)若 X′＝

SX

X

X − ，Y′＝

SY

Y Y −

，其中 X ，Y 分別為 X，Y 的平均數，S 、_X S 分別為 X，Y 的標準差，則 X′與 Y′的相_Y 關係數仍為0.016

解：(1)兩數據 X 與 Y 可以用散佈圖表示

(2)∵相關係數為 0.016，⇒相關係數太低，已接近零相關，∴不適合用直線 X＝a＋bY 表示 (3)相關係數 r(X＋5，Y＋5)＝r(X，Y)＝0.016，(係數乘積＝1×1＝1＞0)

(4)相關係數 r(10X，10Y＝r(X，Y)＝0.016，(係數乘積＝10×10＝100＞0) (5) X′＝

SX

X X −

＝ SX

X － SX

X ，Y′＝

SY

Y Y−

＝ SY

Y － SY

Y ，S ＞0、_X S ＞0，∴_Y SX

1 × SY

1 ＞0

⇒相關係數 r(X′，Y′)＝r(X，Y)＝0.016，(標準化後相關係數相同) 答：(1)(3)(4)(5)

37.根據一百多年來的氣象紀錄，美國費城年雨量平均值為 41.0 英吋，標準差為 6.1 英吋。今欲將此項統計資料的單位由 英制換為公制，請問該城市一百多年來年雨量的標準差最接近下列的哪一個選項？(註：1 英吋等於 25.4 毫米。) (1) 0.240 毫米 (2) 1.61 毫米 (3) 6.10 毫米 (4) 155 毫米 (5) 1041 毫米

解：∵1 英吋等於 25.4 毫米，∴關係式：y＝25.4 x

⇒ 標準差S_y＝25.4S_x＝25.4×6.1＝154.94 155 答：(4) (97 指考乙)

38.A，B，C，D 是四組資料的散佈圖，如圖所示。利用最小評方法計算他們的迴歸直線，發現有兩組資料的迴歸直線相 同，試問是哪兩組？(1) A、B (2) A、C (3) A、D (4) B、C (5) B、D (98 指數乙 2)

(A) (B)

(C) (D)

解1：略作各組資料分布圖的迴歸直線如下各圖：

(A) (B)

(C) (D)

得知(B)與(C)相應的迴歸直線相同

解2：本題亦可將散佈圖上的各點資料，代入迴歸直線公式計算，但是計算可能繁雜，不易求出，也應該不是出題者的用 意。

答：(4)

39.國一學生 30 萬人，智商測甄選驗的結果是「平均數 100，標準差 15」的常態分配。若以智商 130 以上做為甄選國一學 生為資優生的門檻，則根據這次測驗的結果判斷下列選項中的敘述，哪些是正確的？(98 指數乙 4)

(1)約有 5%的國一學生通過資優生甄選的門檻 (2)約有 15 萬名國一學生的智商在 100 以上 (3)超過 20 萬名國一學生智商介於 85 至 115 之間 (4)隨機抽出 1000 名國一學生，可期望有 25 名資優生

(5)如果某偏遠學校只有 14 名的國一學生，那麼該校不會有資優生 解：如右圖之常態分配圖(99.7－95－68)

(1)通過資優生甄選的門檻為 130 以上＝2 個標準差，佔(100%－95%)÷2＝2.5%

(2)智商在 100 以上＝平均數以上，佔 50%＝15 萬名 (3)智商介於 85 至 115＝68%，有 30 萬×68%＝20.4 萬名 (4) 1000 名學生中資優生佔 2.5%＝1000×2.5%＝25 名

(5)雖然只有 14 名學生，但在常態分配下，該校仍可能有資優生 答：(2)(3)(4)

40.經濟學者分析某公司服務年資相近的員工之「年薪」與「就學年數」的資料，得到這樣的結論：『員工就學年數每增加 一年，其年薪平均增加8 萬 5 千元』。試問上述結論可直接從下列哪些選項中的統計量得到？(98 指數乙 5)

8 6 4 2

0 10 10

5 0 15 20

8 6 4 2

0 10

10 5 0 15 20

8 6 4 2

0 10 10

5 0 15 20

8 6 4 2

0 10

10 5 0 15 20

8 6 4 2

0 10 10

5 0 15 20

8 6 4 2

0 10

10 5 0 15 20

8 6 4 2

0 10 10

5 0 15 20

8 6 4 2

0 10

10 5 0 15 20

130 115

100 145

85 70 55

(1)「年薪」之眾數與「就學年數」之眾數 (2)「年薪」之全距與「就學年數」之全距 (3)「年薪」之平均數與「就學年數」之平均數 (4)「年薪」與「就學年數」之相關係數 (5)「年薪」對「就學年數」之回歸直線斜率

解：(1)眾數、平均數為判斷數據集中趨勢；全距為判斷數據離散趨勢

(2)相關係數為判斷數據分佈集中的程度，與使用單位無關，上述都無法判斷數據分佈傾斜程度

(3)由資料散佈圖得到的回歸直線，其斜率的意義，即年薪 y 對就學年數 x，所得的回歸直線 y＝a＋bx，b 表示斜率 答：(5)

41.陳先生三年前買了一輛剛出廠的新車買價 100 萬元；該汽車的價值在第一年後折舊 20%，第二年以後每年折舊前一年 車價的15%。陳先生現在想用這部車換新車，試問舊車可抵多少萬元？答：_____萬元。(萬元以下四捨五入)

解：100(1－20%)(1－15%)(1－15%)＝57.8 ≈ 58(萬元) 答：58 萬元 (98 指數乙 A)

42.某校高三學生在一次考試中，成績呈常態分配，且已知其分數之平均數為 70 分，標準差為 10 分。若從這次考試的學 生中，隨機抽出一位學生，則這位學生的成績低於60 分的機率最接近以下哪一選項？ (99 指數乙 2)

(1) 0.16 (2) 0.32 (3) 0.34 (4) 0.68 (5) 0.84 解：根據常態分配68－95－99.7，如右圖

∴低於60 分的機率占

2 )%

68 100 ( −

＝16%＝0.16 答：(1)

43.某商店進一批水果，平均單價為每個 50 元，標準差為 10 元。今每個水果以進價的 1.5 倍為售價出售，則水果平均售 價為每個____元，標準差為____元。(99 指數乙 A)

解：根據性質y ＝a_i x ＋b，則 y ＝a_i x＋b，S ＝_y a S _x 設售價為y ，進價為_i x ，則_i y ＝1.5_i x ＋0 _i

∴平均售價 y ＝1.5x＝1.5×50＝75 標準差S ＝_y 1.5 S ＝1.5×10＝15 _x 答：平均售價為每個75 元，標準差為 15 元

44.調查某國家某一年 5 個地區的香煙與肺癌之相關性，所得到的數據為(x ，_i y )，i＝1，2，3，4，5，其中變數 X 表示_i 每人每年香煙消費量(單位：十包)，Y 表示每十萬人死於肺癌的人數。若已計算出下列數值：

5

1

135 ,

i i

x

=

∑

1

3661 ,

i i

x

=

∑

1

2842 ,

i i i

x y

=

∑

1

105 ,

i i

y

=

∑

1

2209 ,

i i

y

=

∑

(參考說明：相關係數 ^{1 1}

2 2

2 2 2 2

1 1 1 1

( )( )

) ( ) ( )

n n

i i i i

i i

n n n n

i i i i

i i i i

x x y y x y n x y

r

x x y y x n x y n y

= =

= = = =

− − − ⋅ ⋅

= =

− ⋅ − − ⋅ ⋅ − ⋅

∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

解：由題意知算術平均數 ¹ 135 5 5 27

n i i

x

x=

∑

， ¹ 21 5

n i i

y y=

∑

相關係數 ¹

2 2

2 2

1 1

n i i i

n n

i i

i i

x y nx y r

x nx y n y

=

= =

−

=

− ⋅ −

∑

∑ ∑

＝ 3661 5 272 2209 5 212

21 27 5 2842

×

−

⋅

×

−

×

×

− ＝

4 16

2835 2842

⋅

− ＝0.875

答：0.875

70 80 90 100 60

50 40

45.所謂個人稅前所得，是指納稅義務人在納稅前之個人所得，以下簡稱所得。依照某國 1997 的官方資料，依每人所得高 低將人數等分為5 組，最高 20%的人的總所得占全體總所得的 44.6%，而最低 20%的人的總所得所得占全體總所得的 3.6%，所有資料如下圖所示。所得差距倍數是指最高 20%的個人平均所得與最低 20%的個人平均所得的比值，請選出 正確的選項。(101 指數乙 7)

(1)此項資料顯示所得差距倍數超過 13 倍

(2)最高 30%的人的總所得超過全體總所得的 55%

(3)最少有 60%的人，其個人所得低於全體平均所得 (4)最低 20%的人的平均所得為全體平均所得的 3.6%

解：(1)根據題意，設全體總所得為 A，總人數為 5k 人

∴最高20%的個人的平均所得＝

人數 收入＝

a

⋅A 44.6%

＝44.6%⋅

aA 最低20%的個人的平均所得＝

人數 收入＝

a

⋅A

3.6% ＝3.6%⋅

aA

⇒所得差距倍數＝

a A a A

⋅

⋅

% 6 . 3

% 6 . 44

＝ 3.6%

% 6 .

44 ≈12.39＜13，不正確

(2)最高 30%＝最高 20%＋第四 20%的一半＝44.6%⋅A＋

2a ( a

⋅A

28% )＝58.6%⋅A＞55%⋅A，正確

(3)全體平均所得＝

a A

5 ＝20%⋅

aA

前60%的個人所得＝(3.6%＋8.9%＋14.9%)⋅

a

A＝27.5%⋅

a

A＞20%⋅

aA 前50%的個人所得＝(3.6%＋8.9%＋7.45%)⋅

a

A＝19.95%⋅

a

A＜20%⋅

aA

⇒前 50%的個人所得＜平均所得 50%＜前 60%的個人所得，不正確

(4) 全體平均所得 最低20%平均所得

＝ a A

a A

5

% 6 . 3 ⋅

＝ 20%

% 6 .

3 ＝18%，不正確

答：(2)

10.0%

20.0%

30.0%

40.0%

50.0%

最低20% 第二 20% 第三20% 第四20% 最高20%

0.0% 3.6% 8.9%

14.9%

28.0%

44.6%

占全體總所得的百分比

46.某研究所處理個人申請入學，其甄選總成績係採計測驗 A 分數及測驗 B 分數各占 50%。50 位申請同學依甄選總成績 高低排序，錄取前20 名。現依准考證號碼順序，將這些同學的成績列表如下：(例如，第一位同學的測驗 A 分數及測 驗B 分數分別為 93 分及 28 分)

測驗A 93 98 100 100 100 98 96 96 98 96 96 98 98 測驗B 28 50 59 22 52 67 30 15 46 11 72 21 59 測驗A 93 100 100 100 100 98 98 96 98 100 96 100 96 測驗B 24 13 53 33 61 57 55 26 35 40 9 60 23 測驗A 96 96 96 100 100 96 98 98 91 100 96 100 98 測驗B 66 29 34 58 55 35 16 28 28 72 51 39 40 測驗A 98 96 96 93 98 96 98 98 98 98 93

測驗B 18 43 8 38 32 53 38 53 30 54 72

所有學生測驗A分數的平均數為97.38，而測驗B分數的平均數為40.22 。現從甄選總成績、 測驗A分數及測驗B分數之 中任選兩種成績作散佈圖，圖甲及圖乙為其中之二；兩圖中各有50個資料點，每一點代表一位同學；兩個橫軸與縱軸 之單位長可能皆不相同。請選出正確的選項。(102指數乙5)

(1)圖乙的橫軸為測驗A分數 (2)圖乙的縱軸為甄選總成績 (3)圖甲的橫軸為甄選總成績

(4)若只以測驗B分數高低錄取20位同學(不採計測驗A分數)，錄取的同學與以甄選總成績高低錄取的同學完全相同 (5)甄選總成績的平均數為97. 38及40.22的平均數

解：(1)由成績列表中，測驗 A 只有91，93，96，98，100五種分數，而圖乙的橫軸為測驗A 分數。正確 (2)由成績列表中，甄選總成績最低成績為96 8

2 52

+ = ，最高成績為100 72 2 86

+ = 得知圖乙的的縱軸為甄選總成績。正確

(3)圖甲的縱軸為甄選總成績(選項(2)得知)﹐而橫軸為測驗 B 分數(分布多數 8~72)

(4)只以測驗 B 分數高低錄取 20 位同學，即為圖甲的橫軸成績，亦為圖甲的縱軸成績，如圖甲中圈選處 (5)設x_i表示測驗A 分數，y_i表示測驗B 分數

⇒根據題意，得

50

50 2

1 x x

x + +L+ ＝97.38，

50

50 2

1 y y

y + +L+ ＝40.22

又甄選總成績的平均數＝

50 1 (

2

1 1 y x +

＋ 2

2 2 y x +

＋……＋ 2

50 50 y x +

)＝2 1(

50

50 2

1 x x

x + +L+ ＋

50

50 2

1 y y

y + +L+ )

＝2

1(97.38＋40.22)，正確 答：(1)(2)(4)(5)

圖甲 圖乙

47.所謂某個年齡範圍的失業率，是指該年齡範圍的失業人數與勞動力人數之比，以百分數表達(進行統計分析時，所有年 齡以整數表示)。下表為去年某國四個年齡範圍的失業率，其中的年齡範圍有所重疊。 (103 學測 12)

年齡範圍 35~44 歲 35~39 歲 40~44 歲 45~49 歲 失業率 12.66(%) 9.80(%) 13.17(%) 7.08(%) 請根據上表選出正確的選項。

(1)在上述四個年齡範圍中，以 40~44 歲的失業率最高 (2) 40~44 歲的勞動力人數多於 45~49 歲勞動力人數 (3) 40~49 歲的失業率等於 



 



 + 2

08 . 7 17 .

13 % (4) 35~39 歲勞動力人數少於 40~44 歲勞動力人數

(5)如果 40~44 歲的失業率降低，則 45~49 歲的失業率會升高 解：根據題意，得知失業率＝

勞動力人數

失業人數 ×100%，且上表資料順序修正如下表(斜線圓圈區域為重疊年齡)：

年齡範圍 35~39 歲 40~44 歲 35~44 歲 45~49 歲 失業率 9.80(%) 13.17(%) 12.66(%) 7.08(%)

勞動人數 a b c

(1)根據上表，得知 40~44 歲的失業率 13.17(%)最高

(2)不一定，由於勞動力人數與失業人數有關，僅表示 40~44 歲的失業率較高，如上表中的 b 與 c 值大小無法確定 (3)不一定，如上表，由於 40~49 歲的失業率＝

c b

c b

+

× +

×13.17% 7.08%

不一定等於 



 



 + 2

08 . 7 17 .

13 %之，除非 b＝c

(4)由 35~44 歲的失業率 12.66%估計：設為

b a

b a

+

× +

×9.80% 13.17%

＝12.66%

⇒9.80%×a＋13.77%×b＝12.66%(a＋b)，得知 2.86a＝0.51b，顯然發現 a＜b (5)不一定，未必有絕對關係

答：(1)(4)

48.某班有 41 名學生，已知某次考試成績全班的平均分數為 64，最高分為 97，最低分為 24。欲將全班學生成績做線性調 整(調整後分數＝a＋b×原始分數，其中 b＞0)使得最高分為 100 及最低分為 50。請選出正確的選項。(103 指考數乙 2) (1)調整後分數的平均值較原始分數的平均值低 (2)調整後分數的中位數和原始分數的中位數一樣

(3)調整後分數的中位數較原始分數的中位數高 (4)調整後分數的標準差和原始分數的標準差一樣 (5)調整後分數的標準差較原始分數的標準差大

解：設調整後分數為 y，原始分數為 x，∴根據題意 y＝a＋bx





+

= +

= b a

b a

24 50

97

100 ，⇒ a＝

73

2450，b＝

73

50，，⇒ y＝

73 2450＋

73 50x

(1)調整後分數的平均值＝

73 2450＋

73 50×64＝

73

5650＞64 (2)平均值變大，⇒∴中位數較原始分數的中位數高 (4)調整後分數的標準差＝

73

50(原始分數的標準差)＜原始分數的標準差 答：(3)