含單一嵌入式任意方向裂縫之功能梯度無窮平板熱彈性負載下之面內問題破壞分析
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(2) 中 文 摘 要 ： 本計畫第一年研究利用應變能密度理論分析無窮功能梯度平 面嵌入一中央裂縫，並改變裂縫面上的邊界負載，探討裂縫 即將開裂時其裂出角度。材料的蒲松氏比為一定值，但功能 梯度曲線可任意旋轉，材料性質沿任意方向做指數型函數變 化。承接 Konda and Erdogan (1994)的研究，利用 GaussChebyshev 積分方法將積分方程式展開為一組線性的代數方 程式進行數值求解，可求出裂縫尖端第 I 型與第 II 型的無因 次應力強度因子，並將數值解結果與文獻相互驗證，證明所 推導之公式其可用性。再將不同邊界負載下所求得的無因次 應力強度因子代入應變能密度理論，討論當改變材料梯度方 向以及非均質材料參數時對無因次化應變能密度因子之影 響，並觀察無因次化應變能密度曲線，找出應變能密度因子 極小值所對應的角度，即為所預測之裂縫可能開裂角度，並 與利用最大周向應力理論所預測之可能開裂角度其之間的差 異做一比較。由於材料的破壞韌性在非均質材料中仍是未 知，因此裂縫是否真的會沿預測的角度裂出仍需要更多的實 驗結果來輔助驗證。 中文關鍵詞： 裂縫、功能梯度材料、面內問題、應力強度因子、應變能密 度因子 英 文 摘 要 ： At the first year of this program, the strain energy density theory is employed to predict the extension direction of a central crack embedded in a functionally graded material. The variation of material property, which vary along arbitrary direction, is assumed in an exponential form and the Poisson ratio is kept as a constant. Following the previous study of Konda and Erdogan (1994), the formulations will be derived from the beginning. The derived singular integral equations are solved numerically. The normalized stress intensity factors of two simple loading cases are compared and checked correctly to validate the formulations and numerical computations. The direction (Θ0) of minimum strain energy density factor Smin, which is used to indicate the crack extension direction, for different loading directions are obtained and compared with the results predicted by the maximum circumferential stress theory. The factors that affect the magnitude of Smin and direction Θ0 include the non-homogeneous material parameter, crack length, and the variation.
(3) direction of material properties. Since the fracture toughness of a non-homogeneous material is still unknown, the possibility of using the strain energy density theory for predicting the direction of crack extension needs more experimental evidence. 英文關鍵詞：. crack； functionally graded materials； in-plane problem； stress intensity factor； strain energy density factor.
(4) 行政院國家科學委員會專題研究計畫成果報告 以應變能密度理論分析含中央裂縫之功能梯度平面問題 Analysis of a Functionally Graded Plane with a Central Crack by Using Strain Energy Density Theory 計畫編號：NSC 100-2221-E-006-070 執行期限：100 年 8 月 1 日至 101 年 7 月 31 日 主持人：褚晴暉 國立成功大學機械工程研究所. 中文摘要 本計畫第一年研究利用應變能密度理論分析無窮功能梯度平面嵌入一中央裂 縫，並改變裂縫面上的邊界負載，探討裂縫即將開裂時其裂出角度。材料的蒲松氏比 為一定值，但功能梯度曲線可任意旋轉，材料性質沿任意方向做指數型函數變化。承 接 Konda and Erdogan (1994)的研究，利用 Gauss-Chebyshev 積分方法將積分方程式展 開為一組線性的代數方程式進行數值求解，可求出裂縫尖端第 I 型與第 II 型的無因次 應力強度因子，並將數值解結果與文獻相互驗證，證明所推導之公式其可用性。再將 不同邊界負載下所求得的無因次應力強度因子代入應變能密度理論，討論當改變材料 梯度方向以及非均質材料參數時對無因次化應變能密度因子之影響，並觀察無因次化 應變能密度曲線，找出應變能密度因子極小值所對應的角度，即為所預測之裂縫可能 開裂角度，並與利用最大周向應力理論所預測之可能開裂角度其之間的差異做一比 較。由於材料的破壞韌性在非均質材料中仍是未知，因此裂縫是否真的會沿預測的角 度裂出仍需要更多的實驗結果來輔助驗證。. 關鍵字：裂縫、功能梯度材料、面內問題、應力強度因子、應變能密度因子.
(5) Abstract. At the first year of this program, the strain energy density theory is employed to predict the extension direction of a central crack embedded in a functionally graded material.. The variation of material property, which vary along arbitrary direction, is. assumed in an exponential form and the Poisson ratio is kept as a constant. Following the previous study of Konda and Erdogan (1994), the formulations will be derived from the beginning.. The derived singular integral equations are solved numerically.. The. normalized stress intensity factors of two simple loading cases are compared and checked correctly to validate the formulations and numerical computations.. The direction (Θ0) of. minimum strain energy density factor Smin, which is used to indicate the crack extension direction, for different loading directions are obtained and compared with the results predicted by the maximum circumferential stress theory.. The factors that affect the. magnitude of Smin and direction Θ0 include the non-homogeneous material parameter, crack length, and the variation direction of material properties.. Since the fracture. toughness of a non-homogeneous material is still unknown, the possibility of using the strain energy density theory for predicting the direction of crack extension needs more experimental evidence.. Keywords: crack; functionally graded materials; in-plane problem; stress intensity factor; strain energy density factor..
(6) 第一章. 緣由與目的. 傳統金屬材料的機械性質具有較高的強度及韌性等優點，但隨著科技不斷地進步 以及各應用領域(例如：航太、能源、傳統工業等)對材料性質的高度要求下，除了對 一般環境下適用外，更希望可以進一步是用於一些特殊環境，如：高溫、強酸或強鹼 等環境，因此傳統金屬材料已無法完全滿足現代科技的需求。另外，對非金屬材料(陶 瓷)而言雖然擁有耐高溫、抗腐蝕、抗氧化等特性，但硬度高、加工不易且質地脆無 延展性等缺點，亦無法滿足越來越嚴苛的材料性質要求，故常依環境需求，使用具有 不同對比的熱和機械性質的複合材料。若材料間的材料性質成連續漸變性，不僅可以 減少界面應力的集中，也可以降低破壞與失效行為的發生，故功能梯度材料 (functionally graded material) 的概念便是在這種想法中產生[1]。 功能梯度材料在製造過程當中，常會有不均勻燒結、各異相冷卻速率不一致等問 題，常於內部產生殘留應力，在受外力作用後可能發生孔隙或裂縫等缺陷。在破壞 (fracture)問題上可以表示一個獨立結構內存在一個固定裂縫(crack)，然而功能梯度材 料性質是連續性(continue)，它對裂縫成長有較高的阻抗力。由於材料在製造過程中時 常會有裂縫產生，但隨著材料梯度曲線與材料非均質性的不同，裂縫可能開裂的角度 也不同，因此先以簡單的例子來預測在功能梯度材料中，若改變材料梯度曲線與材料 非均質性，其內含的裂縫將會沿哪一角度開裂的力學研究是有其必要性。 本計畫第一年主要研究以利用應變能密度理論分析含中央裂縫之功能梯度平面 問題，無窮功能梯度平面內含單一固定裂縫。經由數值方法求得裂縫尖端處於混合破 壞 模 式下 的應力強度因子(stress intensity factor)與應變能密度因子(strain energy density factor)。並在預測裂縫可能開裂角度時，利用應變能密度曲線中極小值所對應 的角度與利用最大周向應力理論所找出的角度做一對照，依據其代表的物理意義，可 對此類型問題或材料特性獲得更深層瞭解。.
(7) 第二章 分析問題推導. 2.1 問題描述. y μ(x1). y1. x1. −a. a. θ x. 圖 2.1 裂縫在功能梯度材料中的幾何外形. r. −a. a. Θ x. 圖 2.2 裂縫在平面 r- Θ 座標系示意圖 一嵌入式裂縫固定在一等向性且非均質材料無窮平板的中央，其長度為2 a 。定 義廣義座標軸x、y原點於裂縫中心，旋轉後的局部座標軸為x1、y1 ，材料的功能梯度 曲線可任意旋轉，且材料性質沿著局部座標軸的x1軸方向做指數型函數改變，如圖2.1 所示。 裂縫在平面 r- Θ 座標系示意圖如圖 2.2 所示，定義 Θ 為繞裂縫尖端由裂縫下表面 至裂縫上表面之角度，範圍由-180 度至 180 度，r 為裂縫尖端至該點的距離，且定義 Θ0 為裂縫可能裂出角度。 本論文討論一線彈性範圍內之平面破壞問題，裂縫固定於 y=0 平面，且材料之剪 力模數 μ(shear modulus)為 : δx µ (= x, y ) µ= µ0 e β x +γ y 0e 1. 其中. (2-1).
(8) β δ= = cos θ. δ 1 + tan θ 2. , γ δ= sin θ =. δ tan θ 1 + tan 2 θ. µ0 是旋轉軸 y1 軸的剪力模數，剪力模數由 y1 軸開始沿著 x1 軸做指數型函數變 化， δ 為非均質材料參數。假設蒲松氏比 ν 為一定值，而 κ 在平面應變與廣義平面應 力問題中表示式又各有不同，平面應變問題時 κ = 3 − 4ν ；廣義平面應力問題時 κ =− (3 ν ) / (1 +ν ) ，我們定義一拉梅常數(Lame constant) λ. λ=. 3−κ µ0 e β x +γ y κ −1. (2-2). 2.2 統御方程式 因為材料為等向性(isotropic)材料，且為靜定狀態，又為平面二維問題。故我們 使用虎克定律(Hooke’s law)與力平衡方程式(force equilibrium equations )，將未知數全 部化為位移來表示。 虎克定律:. σ xx= λ (ex + ey + ez ) + 2 µ ex σ yy= λ (ex + ey + ez ) + 2 µ ey. (2-3). σ xy = 2µ exy 將式(2-2)式帶入式(2-3)式後可得. µ0 β x +γ y ∂u ∂v e [(κ + 1) + (3 − κ ) ] ∂x ∂y κ −1 µ 0 β x +γ y ∂u ∂v e = [(3 − κ ) + (κ + 1) ] σ yy ∂x ∂y κ −1 ∂u ∂v = σ xy µ0 e β x +γ y [ + ] ∂y ∂x = σ xx. 力平衡方程式 ∂σ xx ∂σ xy 0 + = ∂x ∂y ∂σ xy ∂σ yy 0 + = ∂x ∂y 將式(2-4)式帶入式(2-5)式並經過整理後可以得到 類似 Navier’s 方程式. (2-4). (2-5).
(9) ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2v ∂u + − + + β (κ + 1) ( κ 1) 2 2 2 ∂x ∂y ∂x∂y ∂x ∂u ∂v ∂v + γ (κ − 1) + γ (κ − 1) + β (3 − κ ) = 0 ∂y ∂x ∂y. (κ + 1). (2-6). ∂ 2v ∂ 2v ∂ 2u ∂u + γ (3 − κ ) (κ − 1) 2 + (κ + 1) 2 + 2 ∂x ∂y ∂x∂y ∂x ∂u ∂v ∂v + β (κ − 1) + β (κ − 1) + γ (κ + 1) = 0 ∂y ∂x ∂y. 2.3 裂縫面之邊界條件 在裂縫面上的機械負載我們可以利用疊加原理來表示，如下圖 2.3 y. y T1(x). y T1(x). T2(x). T2(x) T2(x). T1(x) T2(x). T1(x) x. x. x. 圖 2.3 裂縫問題的疊加原理示意圖 設 p1(x)、p2(x)分別為裂縫面上的外加負載，u、v 分別為 x 及 y 軸的位移量。基 於應力在裂縫上下表面連續，位移只在裂縫外的區域連續，又假設其裂縫面上負載的 應力場形式。故我們可找出在裂縫面上的邊界條件:. 0) σ yy ( x, −0) σ yy ( x, += 0) σ xy ( x, −0) σ xy ( x, += u ( x, +0) − u ( x, −0)= 0, x > a v( x, +0) − v( x, −0)= 0, x > a. , +0) p1 ( x), x < a σ yy ( x= , +0) p1 ( x), x < a σ xy ( x=. (2-7). (2-8). (2-9).
(10) 利用 Fourier 轉換，令式(2-6)的解為下列型式:. 1 2π 1 v ( x, y ) = 2π. u ( x, y ) =. ∫. ∞. ∫. ∞. −∞. −∞. U ( y, α )e − iα x dα. V ( y, α )e. (2-10) − iα x. dα. 將式(2-10)帶入式(2-6)可整理出下列兩式 1 2π. ∂ 2U ∂U + γ (κ − 1) − iαβ (κ + 1)U + α 2 (κ + 1)U ]e − iα x 2 ∫−∞ ∂y ∂y ∂V ∂V + [−2iα + β (3 − κ ) − iαγ (κ − 1)V ]e − iα x }dα =0 ∂y ∂y. 1 2π. ∫. −∞. ∞. −∞. {[(κ − 1). {[−2iα. (2-11a). ∂U ∂U + β (κ − 1) − iαγ (3 − κ )U ]e − iα x ∂y ∂y. ∂ 2V ∂V + [(κ + 1) 2 + γ (κ + 1) − α 2 (κ − 1)V − iαβ (κ − 1)V ]e − iα x }dα = 0 ∂y ∂y. 式 (2-11a)與(2-11b)可改寫成矩陣形式，D 表示微分運算子 Dy ≡ I J U 0 K L V = 0 其中. (2-11b). ∂ ∂y (2-12). I = (κ − 1) Dy 2 + (κ − 1)γ Dy − α (κ + 1)(α + i β ) J= [−2iα + β (3 − κ )]Dy − iαγ (κ − 1) K= [−2iα + β (κ − 1)]Dy − iαγ (3 − κ ) L =(κ + 1) Dy 2 + γ (κ + 1) Dy − α (κ + 1)(α + i β ). 利用克拉瑪法則，可以將式(2-12)表示為. [ S 4 Dy 4 + S3 Dy 3 + S 2 Dy 2 + S1 Dy + S0 ]U = 0 [ S 4 Dy 4 + S3 Dy 3 + S 2 Dy 2 + S1 Dy + S0 ]V = 0 其中. S0 =α 2 (−1 + κ )((α + iβ ) 2 + 3γ 2 + ((α + iβ ) 2 − γ 2 )κ ) S1 =−2αγ (−1 + κ )(α + 4iβ + ακ ) S 2 = (1 − κ )(− β 2 (−3 + κ ) + 2α 2 (1 + κ ) + 2iαβ (1 + κ ) − γ 2 (1 + κ )) S3 = 2γ (−1 + κ 2 ) S 4 = −1 + κ 2. 令 U、V 形式為. (2-13).
(11) U = f (α )e ny. (2-14). V = g (α )e ny. 將式(2-14)代入式(2-13)則 U、V 改寫為 4. U = ∑ Aj (α )e. nj y. j =1 4. V = ∑ B j (α )e. (2-15) nj y. j =1. 將式(2-15)帶入式(2-11a)可得 4. ∑{(κ − 1)n j =1. =. 2 j. + γ (κ − 1)n j − α (κ + 1)(α + i β )} Aj e. (2-16). 4. ∑{[2iα − β (3 − κ )]n j =1. nj y. j. + iαγ (κ − 1)}B j e. nj y. 由式(2-16)可以得到 Aj(α)與 Bj(α)間的關係式 [2iα − β (3 − κ )]n j + iαγ (κ − 1) = B j m j Fj (κ − 1)n j 2 + γ (κ − 1)n j − α (κ + 1)(α + i β ). Aj. (2-17). 將式(2-17)帶回式(2-15)後可得到 U 與 V 之表示式: 4. U ( y, α ) = ∑ m j Fj (α )e. nj y. j =1 4. V ( y, α ) = ∑ Fj (α )e. (2-18) nj y. j =1. 此時未知數有八個，分別為 F1,...,F4,n1,...,n4，為求解 n1,...,n4 我們將式(2-11a),(2-11b) 與式(2-18) 整理出下列兩式 1 2π. ∫. ∞. −∞. {[−(κ + 1)α 2 + (κ − 1)n j 2 − iαβ (κ + 1) + (κ − 1)γ n j ]U + [−2iα n j + (−iα )γ (κ − 1) + β (3 − κ )n j ]V }e − iα x dα =0. 1 2π. ∫. ∞. −∞. (2-19). {[−2iα n j + (−iα )γ (3 − κ ) + β (κ − 1)n j ]U 0 + [−(κ − 1)α 2 + (κ + 1)n j 2 − iαβ (κ − 1) + (κ + 1)γ n j ]V }e − iα x dα =. 因 U 與 V 為互相獨立，故可將式(2-19)改寫成為矩陣形式. M N U P Q V = 0 其中. (2-20).
(12) M= −(κ + 1)α 2 + (κ − 1)n j 2 − iαβ (κ + 1) + (κ − 1)γ n j N =−2iα n j + (−iα )γ (κ − 1) + β (3 − κ )n j P =−2iα n j + (−iα )γ (3 − κ ) + β (κ − 1)n j Q= −(κ − 1)α 2 + (κ + 1)n j 2 − iαβ (κ − 1) + (κ + 1)γ n j. 因 U 與 V 不為零解，故行列式值為零，可得到特徵方程式 n j 4 + 2γ n j 3 + [ β 2. κ −3 2 + γ − 2α (α + i β )]n j 2 κ +1. 8 3−κ + αγ (−2α − i )n j + α 2 [(α + i β ) 2 + γ 2 ]= 0 κ +1 κ +1. (2-21). 上式經過整理後可表示為. [n 2 + γ n − α (α + i β )]2 +. 3−κ (αγ + i β n) 2 = 0 κ +1. (2-22). 解得 n1 ,...,n4. [∆12 + 4(α 2 + iα∆ 2 )] ∆1 − − n1 = 2 2. [∆12 + 4(α 2 + iα∆ 2 )] ∆1 − + n3 = 2 2. [∆ 32 + 4(α 2 + iα∆ 4 )] ∆ − 3− n2 = 2 2. [∆ 32 + 4(α 2 + iα∆ 4 )] ∆ − 3+ n4 = 2 2. (2-23). 其中 ∆1 =. 3−κ β +γ κ +1. ∆ 3 =−. 3−κ β +γ κ +1. 3−κ 3−κ ∆4 = β + γ κ +1 κ +1 目前只剩下F1 ,...,F4尚未確定，我們可以藉由位移的邊界條件來確定其性質。因u. ∆2 = β − γ. 與v在無窮遠處必須收斂，故觀察式(2-18)與(2-23)可得 F3 = (α ) F4 = (α ) 0 y > 0 F1= (α ) F2 = (α ) 0 y < 0. (2-24). 在此我們將此一問題視為平面應變問題，則式(2-2)可整理為. µ=. κ −1 λ 3−κ. 將式(2-10)與(2-25)帶入式(2-4)可得. (2-25).
(13) = σ xx. 1 κ −1 1 ( )λ[(κ + 1) κ −1 3 − κ 2π + (3 − κ ). = σ yy. 1 2π. ∫. ∞. −∞. 1 2π. ∫. ∞. −∞. (−iα )∑ m j Fj e j e − iα x dα. −∞. 4. n y. j =1. n j ∑ Fj e j e − iα x dα ] n y. j =1. 1 κ −1 1 ( )λ[(3 − κ ) κ −1 3 − κ 2π + (κ + 1). ∫. 4. ∞. ∫. 4. ∞. −∞. 4. (−iα )∑ m j Fj e j e − iα x dα n y. (2-26). j =1. n j ∑ Fj e j e − iα x dα ] n y. j =1. 4 κ −1 1 ∞ 1 ∞ n y n y )λ[ ∫ n j ∑ m j Fj e e − iα x dα + ( i α ) Fj e e − iα x dα ] − ∑ ∫ −∞ −∞ 3−κ 2π 2π = j 1= j 1. σ xy. 4. (. j. j. 經過整理式(2-26)後可得全域的應力場表示式 1 2π. σ xx = σ= yy. 1 2π. σ xy =. µ 2π. ∫. ∞. ∫. ∞. ∫. ∞. 4. {∑ [(−iα ). −∞. j =1. κ +1 n y λ m j + λ n j ]Fj e }e −iα x dα 3−κ j. 4. {∑ [(−iα )λ m j +. −∞. j =1. κ +1 n y λ n j ]Fj e }e −iα x dα 3−κ. (2-27). j. 4. {∑ n j m j + (−iα )]Fj e j }e − iα x dα. −∞. n y. j =1. 利用式(2-24)帶入式(2-27)可以得到此問題應力場通解:. σ xx =. σ yy =. 1 2π 1 2π. ∫. ∞. ∫. ∞. l +1. {∑ [(−iα )(2 µ + λ )m j + λ n j ]Fj e j }e − iα x dα. −∞. n y. (2-28a). j =l. l +1. −∞. {∑ [(−iα )λ m j + (2 µ + λ )n j ]Fj e j }e − iα x dα n y. l =1, y > 0. (2-28b). j =l. µ ∞ l +1 n y σ xy = {∑ [n j m j − iα ]Fj e }e − iα x dα ∫ 2π −∞ j =l. (2-28c) 3, y < 0 l=. j. 將應力邊界條件(2-7)帶入式(2-28b)與(2-28c). σ yy ( x, 0+= ) lim. 1 2π. = lim−. 1 2π. y →0. +. y →0. ∞. ∫. −∞. ∫. 2. {∑ [(−iα ) j =1 4. ∞. −∞. {∑ [(−iα ) j =3. κ +1 3−κ n y µm j + µ n j ]Fj e j }e −iα x dα κ −1 κ −1 κ +1 3−κ n y µm j + µ n j ]Fj e j }e−iα x dα κ −1 κ −1. (2-29a). = σ yy ( x, 0− ). σ xy ( x, 0+ ) lim+ = y →0. µ 2π. µ = lim y →0 2π −. ∫. ∞. −∞ ∞. 2. {∑ [n j m j − iα ]Fj e j }e − iα x dα n y. j =1. ∫ {∑ [n m −∞. (2-29b). 4. j =3. j. − iα ]Fj e }e nj y. j. − iα x. dα= σ xy ( x, 0 ) −.
(14) 式(2-29a)與式(2.29b)經過整理後可得到下式 [(−iα )(3 − κ )m1 + (κ + 1)n1 ]F1 + [(−iα )(3 − κ )m2 + (κ + 1)n2 ]F2 − [(−iα )(3 − κ )m1 + (κ + 1)n1 ]F3 − [(−iα )(3 − κ )m4 + (κ + 1)n4 ]F4 = 0. (2-30). (n1m1 − iα ) F1 + (n2 m2 − iα ) F2 − (n3 m3 − iα ) F3 − (n4 m4 − iα ) F4 = 0. 式(2-30)可以求出F3與F4如下 F3 R1 F1 + R2 F2 =. (2-31). = F4 R3 F1 + R4 F2. 其中. R1 (α= ) {(m4 − m1 )[(1 + κ )n1n4 + (3 − κ )α 2 ] + iα (n4 − n1 )[1 + κ − (3 − κ )m1m4 ]} / R0 R2 (α= ) {(m4 − m2 )[(1 + κ )n2 n4 + (3 − κ )α 2 ] + iα (n4 − n2 )[1 + κ − (3 − κ )m2 m4 ]} / R0 R3 (α ) =−{(m3 − m1 )[(1 + κ )n1n3 + (3 − κ )α 2 ] + iα (n3 − n1 )[1 + κ − (3 − κ )m1m3 ]} / R0 R4 (α ) = −{(m3 − m2 )[(1 + κ )n2 n3 + (3 − κ )α 2 ] + iα (n3 − n2 )[1 + κ − (3 − κ )m2 m3 ]} / R0 R0 (α= ) {(m4 − m3 )[(1 + κ )n3 n4 + (3 − κ )α 2 ] + iα (n4 − n.3 )[1 + κ − (3 − κ )m3 m4 ]} 2.4 奇異積分方程式與應力強度因子之推導 為了求得未知數F1與F2我們引進新的未知方程式:. ∂ g1 ( x) = [u ( x, 0+ ) − u ( x, 0− )], x < a ∂x ∂ g 2 ( x) = [v( x, 0+ ) − v( x, 0− )], x < a ∂x. (2-32). 將式(2-10),(2-24)帶入式(2-32)，可以得到下式. ∂ 1 ∞ [ ∫ (m1 F1 + m2 F2 − m3 F3 − m4 F4 )e − iα x dα ] ∂x 2π −∞ ∂ 1 ∞ [ ∫ ( F1 + F2 − F3 − F4 )e − iα x dα ] = g 2 ( x) ∂x 2π −∞. = g1 ( x). (2-33). 利用傅立葉逆轉換觀念，式(2-33)可表示為. ∫ ∫. ∞. −∞ ∞. −∞. g1 (t )eiα t dt = (−iα )(m1 F1 + m2 F2 − m3 F3 − m4 F4 ) = G1 (α ) g 2 (t )eiα t dt =− ( iα )( F1 + F2 − F3 − F4 ) =G2 (α ). (2-34). 將式 (2-31)代入式 (2-34). ∫ ∫. ∞. −∞ ∞. −∞. g1 (t )eiα t dt = (−iα )[(m1 − m3 R1 − m4 R3 ) F1 + (m2 − m3 R2 − m4 R4 ) F2 ] g 2 (t )eiα t dt =(−iα )[(1 − R1 − R3 ) F1 + (1 − R2 − R4 ) F2 ]. 將mj及Rj (j=1,...,4)代入式 (2-35) 後經過整理後可得到下式. (2-35).
(15) ∫ ∫. ∞. −∞ ∞. −∞. g1 (t )eiα t dt = (−iα )(1 + κ )[( f11 − iα f 41 ) F1 + ( f12 − iα f 42 ) F2 ] / R0 g 2 (t )eiα t dt =(−iα ){[−(1 + κ ) f31 + iα (3 − κ ) f 21 )]F1. (2-36). + [−(1 + κ ) f32 + iα (3 − κ ) f 22 )]F2 } / R0. 其中 = f1 j n3 m4 m j (n4 − n j ) + n4 m3 m j (n j − n3 ) + n j m3 m4 (n3 − n4 ) = f 2 j m4 m j (n4 − n j ) + m3 m j (n j − n3 ) + m3 m4 (n3 − n4 ) = f 3 j n3 m3 (n4 − n j ) + n4 m4 (n j − n3 ) + n j m j (n3 − n4 ) f4= m3 (n4 − n j ) + m4 (n j − n3 ) + m j (n3 − n4 ) j. 利用式(2-36)可以解出以G1及G2為函數之F1與F2 F1 = (− R0 ((1 + κ )iG2 f12 − (−3 + κ )α G1 f 22 + (1 + κ )(iG1 f32 + α G2 f 42 ))) / (α (1 + κ ) ( f12 f 42 (iα (−3 + κ ) f 21 + (1 + κ ) f31 ) − (α (−3 + κ ) f 22 − i (1 + κ ) f32 ) (if11 + α f 41 ) + α (α (−3 + κ ) f 21 − i (1 + κ ) f 31 ))) F2 = (− R0 F2 ((1 + κ )iG2 f11 − (−3 + κ )α G1 f 21 + (1 + κ )(iG1 f 31 + α G2 f 41 ))) / (α (1 + κ )((iα (−3 + κ ) f 22 + (1 + κ ) f32 )( f11 + iα f 41 ) + (−iα (−3 + κ ) f 21 − (1 + κ ) f31 )( f12 − iα f 42 ))). (2-37) 其中 ∞. G1 = ∫ g1eiα t dt −∞ ∞. G2 = ∫ g 2 eiα t dt −∞. 將式(2-9)應力邊界條件帶入式(2-28b)與式(2-28c) 1 2π. σ yy =. ∫. ∞. −∞. 2. {∑ [(−iα ) j =1. 3−κ κ +1 µm j + µ n ]F }e − iα x dα =p1 ( x) κ −1 κ −1 j j. µ ∞ 2 σ xy= {∑ [n j m j − iα ]Fj }e − iα x dα= p2 ( x) 2π ∫−∞ j =1 經過整理後可得. (2-38). ∞. lim+ ∫ {[(−iα )(3 − κ )m1 + (κ + 1)n1 ]F1 + [(−iα )(3 − κ )m2 + (κ + 1)n2 ]F2 }e − iα x dα. y →0. −∞. =. 2π (κ − 1). µ0. e − β x p1 ( x). ∞ 2π − β x lim+ ∫ {[n1m1 − iα ]F1 + [n2 m2 − iα ]F2 }e − iα x dα = e p2 ( x). y →0. −∞. µ0. (2-39) 將求解所得之F1及F2帶入式(2-39)，並由式(2-32)與位移邊界條件式(2-8)可觀察出.
(16) 在非裂縫區間中，未知函數須為零 ，且必滿足位移單值條件:. ∫. a. −a. g j (t )dt = 0. (2-40). 式(2-39)經過整理後可以簡化成下式 lim ∫. a. y →+0 − a. 2. h ( x, y, t ) g (t ) ∑= j =1. hkj ( x,= y, t ). kj. j. ∫. ∞. −∞. π (1 + κ ) − β x e = pk ( x), x < a, k 1, 2 2 µ0. (2-41). K kj ( y, α )eiα ( t − x ) dα = , k 1,= 2; j 1, 2. (2-42). 其中hkj 稱為Fredholm 核函數，又Kkj (k,j=1,2)如下所示 = K11 ( y, α ) eγ y {. (3 − κ )α m1 + i (1 + κ )n1 [(1 + κ ) f32 − iα (3 − κ ) f 22 ]e n1y α (κ − 1)ω0 +. = K12 ( y, α ) eγ y {. (3 − κ )α m2 + i (1 + κ )n2 [−(1 + κ ) f31 + iα (3 − κ ) f 21 ]e n 2 y } α (κ − 1)ω0. (3 − κ )α m1 + i (1 + κ )n1 (1 + κ )( f12 − iα f 42 )e n1y α (κ − 1)ω0 −. (3 − κ )α m2 + i (1 + κ )n2 (1 + κ )( f11 − iα f 41 )e n 2 y } α (κ − 1)ω0. α + in1m1 [(1 + κ ) f32 − iα (3 − κ ) f 22 ]e n y αω0 α + in2 m2 + [−(1 + κ ) f31 + iα (3 − κ ) f 21 ]e n y } αω0 α + in1m1 α + in2 m2 ( y , α ) eγ y { (1 + κ )( f12 − iα f 42 )e n y − (1 + κ )( f11 − iα f 41 )e n y } = K 22 αω0 αω0 (m1 − m2 )(m3 − m4 )(n1n2 + n3n4 ) + (m1 − m4 )(m2 − m3 )(n2 n3 + n1n4 ) ω = 0 − (m1 − m3 )(m2 − m4 )(n1n3 + n2 n4 ). = K 21 ( y, α ) eγ y {. 1. 2. 1. 2. 為了要確定式(2-42)之奇異性，我們必須檢查hkj (k,j=1,2)在x=t和y=0時的行為。對 Kkj(k,j=1,2)做泰勒級數展開後，對 α → ∞ 做近似，可以得到非限制積分項: ∞ ∞ K= K= 12 ( y , α ) 21 ( y , α ). 1 α −α y e 2i α. 故將式(2-43)帶入式(2-42)可改寫成. (2-43).
(17) ∫. h12=. ∞. −∞. ∞. K12∞ (0, α ) dα + ∫ ( K12 (0, α ) − K12∞ (0, α ))ei (t − x ) dα −∞. ∞. 1 = + ∫ ( K12 (0, α ) −K12∞ (0, α ))ei (t − x ) dα t − x −∞ ∞ 1 ∞ h21 = + ∫ ( K 21 (0, α ) − K 21 (0, α ))ei (t − x ) dα −∞ t−x. (2-44). 將式(2-44)、式(2-40)帶入式(2-41)經過整理後，可得到下列兩式. g 2 (t ) π (1 + κ ) + k11 ( x, t ) g1 (t ) + k12 ( x, t ) g 2 (t )]dt = p1 ( x) t−x 2 µ ( x, 0) a g (t ) π (1 + κ ) p2 ( x) ∫− a [ t 1− x + k21 ( x, t ) g1 (t ) + k22 ( x, t ) g2 (t )]dt = 2 µ ( x, 0). ∫. a. −a. [. x <a. (2-45). 其中 k11 ( x, t ) = h11 ( x, 0, t ) k22 ( x, t ) = h22 ( x, 0, t ) = k12 ( x, t ) = k21 ( x, t ). ∫ ∫. ∞. −∞ ∞. −∞. [ K12 (0, α ) − K12∞ (0, α )]eiα ( t − x ) dα ∞ [ K 21 (0, α ) − K 21 (0, α )]eiα (t − x ) dα. 式(2-45)中，kij (i,j=1,2)，為有界函數。1/(t-x)為奇異項(singular term)，會使應力 場產生奇異性，需討論該積分鄰近裂縫兩端點的特性，直接由文獻[4]引用奇異積分 方程式解的形式及主奇異項特性，將 gj(t)表示為:. Fj (t ). g j (t ) =. (t + a )(t − a ). g j (t ) dt = ∫ π −a t − x 1. a. Fj (−a) 2a ( x + a ). −. Fj(t) 為一未知有界函數， O(. Fj (a) 2a ( x − a ). (2-46). + O( ( x + a )( x − a )). ) 代表函數其他項。將式(2-46)帶入式(2-45)可得到:. F2 (−a ) F2 (a ) − + O( ( x + a )( x − a )) 2a ( x + a ) 2a ( x − a ) 1+ κ + ∫ [k11 ( x, t ) g1 (t ) + k12 ( x, t ) g 2 (t )]dt = p1 ( x) −a 2 µ ( x, 0). (2-47a). a. F1 (−a ) F1 (a ) − + O( ( x + a )( x − a )) 2a ( x + a ) 2a ( x − a ) 1+ κ + ∫ [k21 ( x, t ) g1 (t ) + k22 ( x, t ) g 2 (t )]dt = p2 ( x) −a 2 µ ( x, 0). (2-47b). a. 利用式(2-47a)與(2-47b)配合破壞力學的公式可將應力強度因子(stress intensity factor)與 F1(t)及 F2(t)的關係推導出來。.
(18) 2 µ ( x, 0) F2 (a ) k1 (a ) = lim 2( x − a )σ yy ( x, 0) = (− ) x→a 1+ κ a 2 µ ( x, 0) F2 (−a ) k= lim 2( x + a)σ yy= ( x, 0) 1 (−a) x →− a 1+ κ a 2 µ ( x, 0) F1 (a) k2 ( a ) = lim 2( x − a)σ xy ( x, 0) = (− ) x→a 1+ κ a 2 µ ( x, 0) F1 (− a) k= lim 2( x + a)σ xy= ( x, 0) 2 (−a) x →− a 1+ κ a. (2-48). 其中 a 為裂縫半長度。之後為了將積分方程式求解，將參數無因次化後，使用 Gauss-Chebysheve 積分式數值運算法來求得裂縫兩尖端的應力強度因子，詳細的方 法於第三章說明之。 2.5 應變能密度理論 本節藉由應變能密度理論(strain energy density theory)來預測當裂縫開裂瞬間，可 能裂出的角度方向。理論中S為應變能密度因子(strain energy density factor)。 2.5.1 應變能密度因子之假設與推導 應變能密度理論在使用時有幾個假設: 1. 裂縫將會沿S曲線極小值的方向開裂 2. 當S超過其臨界值Scr時，裂縫將會開裂 根據能量守恆定理: (2-49) W= E + K + Γ 其中W為外力所做的功，E為物體內能，K為物體動能，Γ為裂縫開裂時所需要的 能量。 E=Ue +Up Ue代表彈性應變能 (elastic strain energy ) Up代表塑性能 (plastic energy ) 由式(2-49)與(2-50)可以得到下式. (2-50). −Π = U p +K +Γ 其中. (2-51). Π= U e − W 由文獻[5]，可知在S理論中Π為距離裂縫尖端r位置處的勢能(potential energy )，當 裂縫開裂時，我們可分為兩種型式 (1) 固定邊界條件 在物體表面上施加外力，但是裂縫長度仍然保持不變，即W = 0。 (2) 施力邊界條件.
(19) 當裂縫在開裂的過程中，物理表面上所施加的外力一直保持不變，即 W = 2 Ue，Π = -Ue 。 三維彈性應變能公式可表示如下:. dW 1 v 1 = [ (σ x2 + σ y2 + σ z2 ) − (σ xσ y + σ yσ z + σ zσ x ) + (σ xy2 + σ xz2 + σ yz2 )] dV E 2E 2µ. Ue =. (2-52). 而在本文為探討平面二維問題，控制裂縫面施力邊界條件，故:. dW S =− (2-53) dV r 又裂縫會朝勢能最大，即應變能最小值之方向開裂，故若要找到可能的開裂角 Θ0 ，則必須對S做微分，尋找其斜率為零且又同時為極小值的地方，如數學表示式如. ∏ = −U e = −. 下. ∂S ∂2S (2-54) = 0, 2 > 0 ∂Θ ∂Θ 當 Θ = Θ0 時，可以找到S的極小值(Smin)。由於功能梯度材料之材料性質隨裂縫端 點所在位置不同而異，其Scr值將不會如均質材料般為同一常數，需要做實驗來進一步 測試，故即使找到Smin也只能說最有可能從該方向開裂，實際裂出角度還需知道Scr值 後才能判斷。 2.5.2 功能梯度材料下之修正 如果我們可找到Smin 則可以預測裂縫開裂瞬間將要走的方向。等向性但非均質材 料中應力場表示式可參考文獻[3]:. σ ij (r , Θ) ≅ exp[r ( β cos Θ + γ sin Θ)][. k1 k f1ij (Θ) + 2 f 2ij (Θ)] 2r 2r. (2-55). 上式是以右尖端裂縫為r- Θ 座標之原點來運算，如圖2.2所示。其中 f1ij (Θ) 及 f 2ij (Θ) 與均質材料推導出來的應力場中跟 Θ 項有關的角函數相同。故在r趨近於零. 時，材料均質與非均質的應力場結果會相同。 由於式(2-55)當r趨近於零時，材料均質與非均質的應力場結果會相同，故將裂縫 尖端應力場採用卡式座標系下之角函數並代入彈性應變能公式(2-52)，因最後r趨近於 零，故在計算應變能時會將r的高次項忽略，只留下奇異項1/r部分，可求得等向性非 均質材料下之S表示。經修正後的應變能密度因子數學式如下: S= a11k12 + 2a12 k1k2 + a22 k2 2. 其中. (2-56).
(20) = a11 a12 = a22 =. 1 16 µ0 e β x. [(3 − 4ν − cos Θ)(1 + cos Θ)]. 1 sin Θ[cos Θ − (1 − 2ν )] 8µ0 e β x 1 16 µ0 e β x. [4(1 −ν )(1 − cos Θ) + (1 + cos Θ)(3cos Θ − 1)]. 利用式(2-56)求出應變能密度因子後，為避免因參數設定不同而難以彼此驗證結 果之狀況，我們將之無因次化，其表示式如下 −. S=. S p a / µ0. (2-57). 2 1. 2.6 最大周向應力理論. σ ΘΘ r. Θ 圖 2.4 裂縫在 r- Θ 平面示意圖 將平面裂縫問題視為處在圓柱座標系中的 r- Θ 平面上，如圖 2.4 所示。此理論有 兩個假設: (1) 裂縫由裂縫尖端開始沿著徑向裂出 (2) 裂縫開始裂出方向為垂直最大拉伸應力 σ ΘΘ 方向 故若要使用此理論，則必須先求得裂縫尖端附近的應力場 σ ΘΘ ，再找出 σ ΘΘ 為最大 值時其對應角度，該角度即為預測裂縫開裂角度方向 Θ0 。又找出 σ ΘΘ 最大值其對應 角度等同於找出其主應力方向，故亦可找出當 τ rΘ 為零時的對應角度做印證。.
(21) 第三章. 數值運算方法. 由第二章的推導方式求得了一組奇異積分方程式，為了進行後續的數值分析，進 而求解出裂縫兩端的應力強度因子，必須藉助數值積分方式與正交函數多項式的特 性，將奇異積分方程式轉化為一組代數聯立方程式，以進行求解。 3.1 第一型奇異積分方程式 在推導的過程中，因混合邊界值問題而產生了奇異積分方程式，參考文獻[6]得 知，可根據 Chebyshev 之特性來求數值解，為了滿足 Chebyshev 多項式的基本條件， 我們需要將奇異積分方程式對應的範圍經過正規化(normalized)重新定義在-1 到 1 的 區間內。 為了求解未知函數 Fj (b) 與 Fj (a ), i, j = 1, 2,3 ，定義單位量化無因次參數如下所示 x' = x − d, t ' = t −d. (3-1). x' t' = , t c c 其中. = x. (3-2). a −b a+b = , d 2 2 在此處 a = a, b = - a ，故:. = c. (3-3). = c a= , d 0 x ' =x − d =x, t ' =t − d =t x' x t' t x= = , = t = c a c a 以上步驟其原理如圖 3.1 ([7])所示。. 圖 3.1 座標正規化示意圖. (3-4).
(22) 由式(3-1)至(3-4)可知未知數 x 與 t 能以無因次化參數 x 與 t 表示為. a −b a+b x+ = ax 2 2 a −b a +b = t t+ = at 2 2. = x. (3-5). 故式(2-45)經無因次化後可以改寫為. () ( ) g (t ) 2 µ ( x , 0) (∫ dt + a ∫ π (κ + 1) − t x ( ). 1 1 2 µ ( x , 0) 1 g 2 t (∫ dt + a ∫ k11 x , t g1 t dt + a ∫ k12 x , t g 2 t dt ) = p1 x −1 −1 π (κ + 1) −1 t − x. σ yy =. 1. σ xy =. 1. ( ) (). () (3-6). 1. k. ( x , t ) g (t ) dt + a ∫ k ( x , t ) g (t ) dt ) = p ( x ) 1. −1 21. −1. ( ) (). 1. −1 22. 2. 2. 其中 = x ax = , t at. 同理，式(2-46)經無因次化後可得. (). 1 Fj t , j 1, 2 = a 1− t2. (). gj t =. (3-7). 將上式(3-7)代入式(3-6)，可以求得奇異積方程式經由無因次化後改寫的形式為:. σ yy. 1. + ∫ k12 −1. σ xy. () () ( ) ( ) F (t ) x , t dt ) = p x. F2 t F1 t 1 2 µ ( x , 0) 1 (∫ dt + ∫ k11 x , t dt 2 −1 π (κ + 1) −1 a t − x 1 − t 2 1− t. ( ). 2. 1− t. 2. 1. (). () () ( ) ( ) F (t ) x , t dt ) = p x. F1 t F1 t 1 2 µ ( x , 0) 1 (∫ dt + ∫ k21 x , t dt 2 −1 π (κ + 1) −1 a t − x 1 − t 2 1− t 1. + ∫ k22 −1. ( ). 2. 1− t. 2. 2. (3-8). (). 同樣的，位移單值條件(2-40)經由無因次化後可改寫為. ∫. 1. −1. ( )= dt. Fj t. 1− t. 2. 0,= j 1, 2. (3-9). 式(3-8)稱為第一型奇異積分方程式(singular integral equation of the first kind)，詳細求解.
(23) 步驟在下節進行說明。 3.2 Guass-Chebyshev 的數值積分法. 本節內文大多引用自文獻[7]而來。第一型奇異積分方程式中，當 t 與 x 同時趨近 於積分下限-1 或 1 時，此積分式將為無窮大，若將式(3-7)表示成. (). = gj t. () (). 1 = Fj t w t , j 1, 2 a. (3-10). 其中. ( ) ( ) (1 + t ). w t =− 1 t. −1/2. −1/2. 1 = 2 1− t. (3-11). (). 由文獻[8]可知， w t 稱為基礎函數(fundamental function)，若以此函數做為權函 數(weighting function)，則第一型的 Chebyshev 多項式(Chebyshev polynomial of the first kind)在 -1 < t < 1 區間中具有正交性質。第一型的 Chebyshev 多項式定義為可參考文獻 [9]:. Tn ( t ) = cos nθ. (3-12). = t cos θ ( 0 ≤ θ ≤ π ) ，因此該多項 其中 n 為任意非負整數，代表此多項式的階數， 式定義於閉區間[-1, 1]中， Tn (t ) 為一單值函數，對於 n 階多項式 Tn (t ) 可以找到 n 個節 點，使其值為零，其節點 tk 可表示為 π ( 2k − 1) tk cos θ k cos = = = , k 1,..., n 2n . (3-13). 對於 n 階多項式 Tn (t ) 在區間[-1, 1]中的極值可對其方程式微分一次而得，表示如 下. dTn ( t ) dTn ( t ) dθ n sin ( nθ ) (3-14) = = dt dθ dt sin θ 接著定義第二型的 Chebyshev 多項式(Chebyshev polynomial of the second kind)為. T '(t ) =. sin ( nθ ) 1 (3-15) T '(t ) = sin θ n 由式(3-14)可知第一型的 Chebyshev 多項式含有 n -1 個極值，令其對應的位置點為 U= n −1 ( x ).
(24) xr ，其形式如下 πr xr cos = = , r 1,..., n − 1 n . (3-16). 式(3-16)同時也為 U n −1 ( x ) 的節點，能使其值為零。. (). 若將式(3-10)中的未知函數 Fj t 以一個有限級數來逼近，可表示為. (). (). p. Fj t ≅ ∑ BiTi t , j = 1, 2 i =0. (3-17). (). 其中 Ti t 為第一型的 Chebyshev 多項式。 令式(3-8)中的奇異項部分為一函數，表示如下:. (). 1 Fj t dt , − 1 < x < 1 2 −1 t − x 1− t. () ∫. = S x. 1. (3-18). (). 將上式(3-18)中的未知函數 Fj t 以式(3-17)的形式取代，可整理得. (). p. i =0. (). 1 Ti t dt 2 −1 t − x 1− t. S x = ∑ Bi ∫. 1. (3-19). 參考文獻[8]的推導過程可知下列兩個關係式. 1. −1. n. 0, i = 0 = 1 − t 2 U i −1 ( x ) , i > 0. Ti (t )dt. 1. π ∫ (t − x ). Ti ( tk ) 0 , i = 0 = U i −1 ( xr ) , i > 0 k − xr ). ∑ n (t k =1. (3-20). (3-21). 由式(3-20)可知式(3-19)能改寫成. (). (). p. S x = ∑ BU i i −1 x j =0. (3-22). (). 其中為 U i −1 x 第二型的 Chebyshev 多項式，當 x 恰為極值所在位置即 x = xr 時，式 (3-22)為 p. S ( xr ) = ∑ BU i i −1 ( xr ) j =0. 由式(3-21)能將(3-23)再度改寫為. (3-23).
(25) ( ). p. n. S x r = ∑∑ =j 0= k 1. BiTi ( tk ). (3-24). n ( tk − xr ). 將式(3-17)代入上式(3-24)，可整理得 n F j ( tk ) , j 1, 2 = ∑ k =1 n ( t k − xr ). ( ). = S xr. (3-25). 以上推導的過程即式(3-18)~(3.25)，可整理為一關係式如下. (). n F j ( tk ) 1 Fj t , j= 1, 2 ≅ dt ∑ π ∫−1 t − x 1 − t 2 k =1 n ( t k − xr ). 1. 1. (3-26). 同理，其他函數之積分式也可表示成. 1. π. ∫. ( ) dt ≅. Fj t. 1. −1. 1− t. 2. n. F j ( tk ). k =1. n. ∑. , j= 1, 2. (3-27). 以上二式(3-26)、(3-27)即為 Guass-Chebyshev 積分公式。 將式(3-26)和(3-27)代入式(3-8)，可將奇異積分方程式展開為一組聯立的線性代數 方程式: n 2 µ ( x r , 0) 1 n F2 ( tk ) ( ∑ + ∑ k11 π (κ + 1) a k 1 = n ( tk − xr ) k 1 = n 2 µ ( x r , 0) 1 n F1 ( tk ) ( + k21 ∑ ∑ π (κ + 1) a n ( tk − xr ) k 1 =k 1 =. ( (. F (t ) n F (t ) xr , tk 1 k + ∑ k12 xr , tk 2 k ) = p1 xr n n k 1 = (3-28) n F t F t ( ) ( ) k k 1 2 )= + ∑ k22 xr , tk xr , tk p2 xr n n k 1 =. ). (. ). ( ). ). (. ). ( ). 其中. at = xr ax = r , tk k 由(3-13)和(3-16)可知 tk 、 xr 分別稱為第一型及第二型 Chebyshev 多項式的節 點，對應的範圍分別為 k = 1,..., n 以及 = r 1,..., n − 1，所以式(3-28)為一組 3n × 3 ( n − 1) 的 代數聯立方程式，需藉助最後ㄧ個條件，即式(3-9)的位移單值條件，將式(3-27)代入(3-9) 可使用 Chebyshev 多項式展開如下 n. π. t ) ∑ n F (= k =1. j. k. j 1, 2 0,=. (3-29). 由 式 (3-28) 與 (3-29) 所 組 成 的 3n × 3n 代 數 聯 立 方 程 式 ， 可 以 解 出 未 知 函 數. (). F ( tk ) , ( k = 1,..., n ) ，同時應力強度因子的表示式(2-48)可以 Fj t 表示為:.
(26) 2 µ ( x, 0) F2 (1) 2 µ ( x, 0) F2 (−1) (− ), k1= ( −a ) 1+ κ 1+ κ a a 2 µ ( x, 0) F1 (1) 2 µ ( x, 0) F1 (−1) k= (− ), k2= ( −a ) 2 (a) 1+ κ 1+ κ a a. = k1 ( a ). (3-30). 由於第一型 Chebyshev 多項式的節點 tk 是不包含兩端點的，因此無法直接自上述 的聯立方程式求出在裂縫端點的函數值 Fj (1) 與 Fj ( −1) , ( j = 1, 2) ，此處採用文獻[8] 所提出的二次曲線外插方式(quadratic extrapolation)，對於所求得的值 Fj ( t2 ) 、 Fj ( t3 ) 、. Fj ( t4 ) 及 Fj ( tn −1 ) 、 Fj ( tn − 2 ) 、 Fj ( tn −3 ) 分別以外插而求得。 為了使數值結果更廣泛的適用於不同的外加負載，之後所有討論的數據均將以無 因次化應力強度因子 k i , (i = 1, 2) 表示: = k1 ( a ). = k 2 (a). k1 ( a ). σ0 a k2 ( a ). σ0 a. ,= k 1 ( −a ). ,= k 2 ( −a ). k1 ( −a ). (3-31). σ0 a k2 ( −a ). (3-32). σ0 a. 因本論文與文獻[2]中求 Fj (1) , Fj ( −1) , (j = 1, 2) 數值解時的推導方式稍有不同，故 必須要經過數值驗證才能確定其數值解之精確性，此一步驟將於下一章詳述。.
(27) 第四章 數值驗證與討論. 本章的主要目 的是將 前述不同邊界負載下所求得的無因次化應力強度因子 (normalized stress intensity factor)之數值解與文獻[2]的結果進行比對，以驗證推導過程 及數值運算之正確性。. k 1 之收斂性可見表 4.1，誤差計算方式為後一個數值剪去前一個數值再除以剪去 的數值，其中 n 代表裂縫面上所取點數，可知在單軸拉伸負載下 k 1 確實會逐漸收斂。 −. 但因受限於數值計算所花的時間，故本論文只在裂縫面上取 15 點來運算 k i (i=1,2)數 值解。 表 4.1 k 1 之收斂性 aδ=0.1. θ=0°. θ=54° 誤差(%). n. θ=90° 誤差(%). 誤差(%). 12. 1.0254. 0.0293. 1.0212. 0.0196. 1.0086. 0.0000. 15. 1.0251. 0.0195. 1.0210. 0.0098. 1.0086. 0.0000. 18. 1.0249. 0.0098. 1.0209. 0.0000. 1.0086. 0.0000. 20. 1.0248. 12. 1.2181. 0.3120. 1.3700. 0.2336. 1.2607. 0.0000. 15. 1.2143. 0.3047. 1.3668. 0.1975. 1.2607. 0.0317. 18. 1.2106. 0.1569. 1.3641. 0.1100. 1.2603. 0.0079. 20. 1.2087. 1.0209. 1.0086. aδ=1. 1.3626. 1.2602. 4.1 單軸拉伸負載下無因次應力強度因子 本節討論於裂縫面上施加單軸拉伸負載，由公式(3-30),(3-31)與(3-32)求出無因次 應力強度因子之數值解，並改變其材料梯度旋轉角度 θ，探討對破壞行為的影響。其 無因次應力強度因子之數值解其結果可見下表 4.2，其中材料蒲松氏比為 0.3，裂縫面 上受單軸拉伸之機械場 σ 0，但因與裂縫上表面之法向量方向相反，故負載以- σ 0 表示。.
(28) 表 4.2 單軸拉伸負載下無因次應力強度因子之數值解 −. 0.3, p1 ( x) = 0, k i (± a ) = ki ( ± a ) / σ 0 a ν= −σ 0 , p 2 ( x) =. 材料梯度旋轉角度 θ. aδ=0.1. aδ=0.25. aδ=0.5. aδ=1. 0°. 18°. 36°. 54°. 72°. 90°. k1 ( a ) k 1 (- a ) k2 (a ). 1.025. 1.025. 1.024. 1.021. 1.016. 1.009. 0.973. 0.975. 0.981. 0.990. 1.000. 1.009. 0.000. 0.010. 0.017. 0.022. 0.024. 0.024. k 2 (- a ). 0.000. -0.005. -0.011. -0.016. -0.021. -0.024. k1 ( a ) k 1 (- a ) k2 (a ) k 2 (- a ) k1 ( a ) k 1 (- a ) k2 (a ) k 2 (- a ) k1 ( a ) k 1 (- a ) k2 (a ) k 2 (- a ). 1.060. 1.062. 1.065. 1.064. 1.054. 1.037. 0.931. 0.938. 0.958. 0.985. 1.012. 1.037. 0.000. 0.029. 0.051. 0.062. 0.065. 0.060. 0.000. -0.009. -0.021. -0.035. -0.049. -0.060. 1.115. 1.124. 1.142. 1.152. 1.138. 1.102. 0.863. 0.880. 0.925. 0.985. 1.048. 1.102. 0.000. 0.070. 0.120. 0.141. 0.138. 0.119. 0.000. -0.010. -0.029. -0.057. -0.090. -0.119. 1.214. 1.246. 1.317. 1.367. 1.348. 1.261. 0.743. 0.775. 0.865. 0.995. 1.135. 1.261. 0.000. 0.174. 0.294. 0.333. 0.303. 0.238. 0.000. -0.006. -0.030. -0.084. -0.160. -0.238. 單軸拉伸負載下 ki (i=1,2)之數值解與文獻[2]比較之誤差可見下表 4.3。 單軸向拉伸負載下，結構的破壞大致上以第 I 型為主，由表 4.3 得知，本文的結 果與文獻[2]比較， k 1 之誤差均在 2%以內，故判斷推導出之數值解為可以使用的。.
(29) 表 4.3 單軸拉伸負載下 ki 之數值解與文獻[2]比較之誤差(%) 材料梯度旋轉角度 θ aδ=0.1. aδ=0.25. aδ=0.5. aδ=1. k1 ( a ) k 1 (- a ) k2 (a ) k 2 (- a ) k1 ( a ) k 1 (- a ) k2 (a ) k 2 (- a ) k1 ( a ) k 1 (- a ) k2 (a ) k 2 (- a ) k1 ( a ) k 1 (- a ) k2 (a ) k 2 (- a ). 0°. 18°. 36°. 54°. 72°. 90°. 0.202. 0.182. 0.177. 0.102. 0.092. 0.006. 0.216. 0.188. 0.165. 0.094. 0.071. 0.006. 0.000. 6.390. 6.947. 7.219. 9.629. 9.021. 0.000. 11.910. 11.110. 8.966. 8.840. 9.021. 0.501. 0.481. 0.377. 0.262. 0.141. 0.060. 0.521. 0.485. 0.409. 0.241. 0.171. 0.060. 0.000. 4.383. 6.303. 6.825. 7.541. 8.380. 0.000. 16.120. 13.140. 10.530. 9.546. 8.380. 1.073. 0.965. 0.801. 0.575. 0.308. 0.055. 0.918. 0.827. 0.686. 0.478. 0.212. 0.055. 0.000. 4.449. 4.903. 5.144. 6.606. 7.747. 0.000. 21.760. 16.320. 11.140. 9.251. 7.747. 2.126. 1.986. 1.776. 1.391. 0.878. 0.212. 1.899. 1.664. 1.435. 0.934. 0.383. 0.212. 0.000. 2.990. 3.834. 5.413. 7.422. 9.560. 0.000. 45.080. 23.320. 15.510. 11.870. 9.560. 另外在表 4.2 中分別取出 aδ = 0.1 與 aδ = 1 之無因次應力強度因子隨梯度旋轉角 θ 之數值作圖，探討無因次應力強度因子曲線之變化，見圖 4.1、圖 4.2。.
(30) 圖 4.1. 圖 4.2. aδ = 0.1 時無因次應力強度因子隨材料梯度旋轉角 θ 之變化. aδ = 1 時無因次應力強度因子隨材料梯度旋轉角 θ 之變化. 由圖 4.1 與圖 4.2 可看出當材料非均質參數越大時， k 1 (a ) 變大而 k 1 (−a ) 變小，符 合若材料越硬，則應力強度因子越高之現象。亦可觀察出隨著材料梯度旋轉角的改 變，其值會有先升後降之表現。.
(31) 4.2 純剪力負載下無因次應力強度因子 本節討論於裂縫面上施加純剪力負載，並由公式(3-30)、(3-32)求出無因次應力強 度因子之數值解，並改變其材料梯度旋轉角度 θ，探討對破壞行為的影響。 取當 aδ=1 時其無因次應力強度因子之數值解，其結果可見下表 4.4，其中材料蒲 松氏比為 0.3，裂縫面上受純剪力之機械場 σ 0 。因跑數值解時並未考慮裂縫閉合問 題，故 k 1 可能出現負值，但實際上其值不為負，故在使用時，會與其他例子的 k 1 疊 加為正值後使用。 表 4.4 純剪力邊界負載下無因次應力強度因子數值解 −. 0.3, p1 ( x) = 0, p 2 ( x) = ν= ki ( ± a ) / σ 0 a −σ 0 , k i (± a ) =. 材料梯度旋轉角 θ. k1 ( a ) k 1 (- a ) k2 (a ) k 2 (- a ). 0°. 18°. 36°. 54°. 72°. 90°. 0.000. -0.009. -0.041. -0.100. -0.159. -0.189. 0.000. 0.072. 0.132. 0.171. 0.190. 0.189. 1.214. 1.203. 1.172. 1.131. 1.078. 1.002. 0.743. 0.749. 0.771. 0.822. 0.906. 1.002. 純剪力負載下，結構的破壞大致上以第 II 型為主，由表 4.5 可知，本文的結果與 文獻[2]比較，因 k 1 極小，故誤差百分比會較大，但 k 2 之誤差均在 2%以內，故判斷推 導出之數值解為可以使用的。. 表 4.5 純剪力負載下 ki 之數值解與文獻[2]比較之誤差(%) 材料梯度旋轉角 θ. k1 ( a ) k 1 (- a ) k2 (a ) k 2 (- a ). 0°. 18°. 36°. 54°. 72°. 90°. 0.000. 29.170. 22.340. 12.830. 10.670. 10.670. 0.000. 5.811. 6.760. 6.934. 8.087. 8.087. 1.359. 2.034. 1.600. 1.321. 0.872. 0.872. 1.898. 1.752. 1.234. 0.823. 0.216. 0.216.
(32) 4.3 蒲松氏比 ν 對無因次應力強度因子之影響 隨著蒲松氏比 ν 的不同，裂縫尖端應力場也將產生變化，應力強度因子自然也跟 著改變，故藉由調整蒲松氏比，觀察其對無因次應力強度因子之影響。取梯度旋轉角 度為 90°，受一單軸拉伸負載 σ 0 ，非均質材料參數分別為 0.25 及 2.5，可得到左右裂 −. −. −. −. 縫尖端之 k 1 與 k 2 其關係式為 k 1 (−a ) = k 1 (a ), k 2 (a ) = − k 2 (−a ) ，皆如表 4.6 所示。其後 再與文獻[2]相比求其誤差，如表 4.7 所示。 表 4.6 蒲松氏比 ν 對無因次應力強度因子之影響 −. 0, k i (± a ) = ki ( ± a ) / σ 0 a θ =π /2, p1 ( x) = −σ 0 , p 2 ( x) = −. −. −. −. k 1 (−a) = k 1 (a ), k 2 (a ) = − k 2 (−a ). ν aδ= 0.25. k1 ( a ) k2 (a ) k1 ( a ) k2 (a ). aδ= 2.5. 0.1. 0.2. 0.3. 0.4. 1.028. 1.032. 1.037. 1.042. 0.060. 0.060. 0.060. 0.060. 1.702. 1.751. 1.809. 1.880. 0.589. 0.588. 0.588. 0.587. 表 4.7 蒲松式比 ν 對 ki 之影響與文獻[2]相比之誤差值(%): −. −. −. −. k 1 (−a) = k 1 (a ), k 2 (a ) = − k 2 (−a ). ν aδ= 0.25 aδ= 2.5. 0.1. 0.2. 0.3. 0.4. k1 ( a ). 0.019. 0.002. 0.060. 0.045. k2 (a ). 8.363. 8.371. 8.380. 8.391. k1 ( a ). 0.330. 0.202. 0.044. 0.105. k2 (a ). 14.290. 14.860. 15.700. 16.570.
(33) 表 4.8 無因次應力強度因子在 ν=0.4 相對於 ν=0.1 之差異(%) aδ= 0.25 aδ= 2.5. k1 ( a ). 1.389. k2 ( a ). 0.0307. k1 ( a ). 10.49. k2 ( a ). 0.3908. 單軸向拉伸負載下，結構的破壞大致上以第 I 型為主，由表 4.7 得知，本文的結 果與文獻[2]比較， k 1 之誤差均在 0.1%以內，故判斷推導出之數值解為可以使用的。 由表 4.8 可以看出因邊界條件設定為單軸拉伸負載，故對 k1 之影響較 k2 影響大， 且當非均質材料參數越大時蒲松式比影響越大，但由文獻[2]可知其後續推導為加入 假設蒲松氏比為一定值之假設下進行，故得出之結果再去變動蒲松氏比判斷其影響是 有些不適合的。.
(34) 第五章 結果與討論 由第四章已驗證所求得之應力強度因子之精確性，故帶入式(2-56)與(2-57)可求出 無因次化應變能強度因子 S ，藉由找出 S min 來判斷裂縫開裂時可能開裂的方向 Θ0 ， 再比較利用 S 理論與最大周向應力理論所預測開裂角之差異。並利用不同的邊界條件 做例子，討論不同的材料梯度方向 θ 與非均質材料參數 aδ 對 S 曲線的影響。 因式(2-56)為以右尖端裂縫做為 r- Θ 座標軸原點推導而得，故以下皆只討論右尖 端裂縫之破壞行為。 5.1 單軸拉伸負載下的 S 曲線. 5.1.1 材料梯度方向對 S 曲線之影響 不同的材料梯度方向，施加單軸拉伸負載時所產生的應力強度因子也隨之不同， 進而使 S 曲線產生變化。圖 5.1 至圖 5.4，可觀察固定不同的 aδ 值下， S 曲線受 θ 值 改變之影響。 由圖 5.1 可看出在 aδ 值極小的時候因材料很接近均質材料，故材料梯度方向的 改變對 S 曲線的影響不大。 由圖 5.2 至圖 5.4 隨著 aδ 值越來越大，材料梯度方向的改變所造成的差異性也越 來越明顯，且由公式(2-1)可看出當 θ=0 時，因右裂縫尖端上下層材料為同樣強度，故. S 曲線皆會對稱於 Θ =0。若是 θ 增加，因右裂縫尖端材料剛性下降，則 S min 值越高， 且理論上，隨著 θ 增加，裂縫下表面之 Scr 應會越小於裂縫上表面之 Scr，故當 θ 不等 於零時， S 曲線極小值將向負 Θ 移動， S min 值詳細數據可見表 5.1，但實際上情況為 何，尚需得知材料在該點的的 Scr 值才能做判斷。.
(35) 0.12. ox o x. 0.09. x o x ox o o x. ox. ox. o x. o x ox. Ss 0.06. ox ox. 0.03. o x. ox ox . ox . 0. 180 150 120 90 60 30. o x ox. ox ox. o x. o x. ox ox ox ox . 0. 30. o x ox ox . . ox . o o x . x. 0° 54° 90°. ox ox ox o x o x. 60. 90 120 150 180. degree Θ (degree). 圖 5.1 aδ=0.001,，ν=0.3， p1 ( x) = −σ 0 , p 2 ( x) = 0 0.12 x o. 0.09. x ox x x ox ox x o x x o x o o o x o o x o x o ox x x o x o x x x o o x o o o o . ox. S s 0.06. ox. ox. . 0.03. ox. ox. x o . 0.ox 180 150 120 90 60 30. 0. 30. ox. ox. o x. ox ox ox o x. 60. ox ox. 90 120 150 180. (degree) degree Θ. 圖 5.2 aδ=0.1，ν=0.3， p1 ( x) = −σ 0 , p 2 ( x) = 0. 0° 54° 90°.
(36) x x x. 0.15. x. sS. x. x. x x. x. 0.12. x. o. o o o. o. o. o. o. x o. x. x x x. x. x. x x. x. x o. o. o o o o. . o o o o o. x x o o. x. . o x o x o x o x o o x . 0.09 0.06 ox. 0.03 ox ox. . . 0. 180 150 120 90 60 30. 0. 30. o. o x. 0° 54° 90°. x. o ox ox ox ox . 60. 90. 120 150 180. (degree) degree Θ. 圖 5.3 aδ=0.5,，ν=0.3， p1 ( x) = −σ 0 , p 2 ( x) = 0 x x x. 0.21. x. x. x x. x. 0.18 x. 0.15. o o o o o. x. 0.12 S. o. s. x o. 0.09. o. o. o. ox. x. . . . . . . . x x x x. x x. x x x. x. . 0. 180 150 120 90 60 30. x. x. . o o o o o. o x o. 0.06 0.03o. x. o. o. . 0. x. o o o o. . o. x o. . 30. o. o. x. x o. o . x. o x . ox o x ox o x o ox . 60. 90 120 150 180. (degree) degree Θ. 圖 5.4 aδ=1，ν=0.3， p1 ( x) = −σ 0 , p 2 ( x) = 0. 0° 54° 90°.
(37) 表 5.1 單軸拉伸負載下 S min 隨材料梯度旋轉角之變化 材料梯度旋轉角 θ 0°. 54°. 90°. aδ=0.001. 0.100. 0.056. 0.128. aδ=0.1. 0.095. 0.098. 0.102. aδ=0.5. 0.075. 0.100. 0.123. aδ=1. 0.054. 0.111. 0.165. 5.1.2 非均質材料參數對 S 曲線之影響 由公式(2-1)可知在右裂縫尖端 x = a 處，若 δ 值越高，則材料越硬，而隨材料軟 硬的分布趨勢不同，應力強度因子必會有所改變，進而影響到 S 曲線，故本節主要探 討當施加單軸拉伸負載時，固定不同的 θ 值，其 aδ 值對 S 曲線之影響，見圖 5.5 至 圖 5.7。 圖 5.5 可由公式(2-1)觀察出，當 θ=0°時，因右裂縫尖端上下層材料為同樣強度， 故 S 曲線皆會對稱於 Θ =0。 若 aδ 越大，則剛性越高， S min 值應該會降低，但由圖 5.5 至圖 5.7 可以看出只有 當 θ=0°時， S min 值隨 aδ 增加而降低，而當 θ=54°及 θ=90°時， S min 隨 aδ 增加而增 −. 加，其原因與表 4.2 右裂縫尖端所在位置之 k 1 隨 aδ 上升同時也越大有關， S min 值詳 細數據可見表 5.2。.
(38) 0.12. . . . . . 0.09. . . . . . . . . S s 0.06. . . . . . . . . . . 0.03. . . . . 0. 180 150 120 90 60 30. . 0. . . . . . . . . 30. . . . . . . . . a0.001 a0.1 a0.5 a1. . . 60. 90. 120. 150. . 180. degree. Θ (degree). 圖 5.5 θ = 0°，ν = 0.3， p1 ( x) = −σ 0 , p 2 ( x) = 0. 0.15. . . . . . . 0.12. . 0.09. S. . s. 0.06. . . . . . 0.03. . . . 0.. . 180 150 120 90 60 30. . . . 0. . 30. . . . . . . . . . . 60. 90. 120. 150. (degree) degree Θ. 圖 5.6 θ = 54°，ν=0.3， p1 ( x) = −σ 0 p 2 ( x) = 0. 180. a0.001 a0.1 a0.5 a1.
(39) . 0.21. . . . . . . . . . S s. . . . 0.18 0.15. . . . . . . . . 0.12 0.09 0.06 0.03 0.. 180 150 120 90 60 30. 0. 30. 60. 90. . a0.001 a0.1 a0.5 a1. . . . 120. . . 150. 180. degree (degree) Θ. 圖 5.7 θ = 90°，ν=0.3， p1 ( x) = −σ 0 , p 2 ( x) = 0. 表 5.2 單軸拉伸負載下 S min 隨均質材料參數 aδ 之變化 非均質材料參數 aδ 0.001. 0.1. 0.5. 1. θ= 0°. 0.100. 0.095. 0.075. 0.054. θ= 54°. 0.100. 0.098. 0.100. 0.111. θ= 90°. 0.100. 0.102. 0.123. 0.165. 5.1.3 可能裂出角度之討論 本節將比較利用 S 理論與最大周向應力理論在單軸拉伸負載下所預測之可 能的開裂角 Θ0 彼此間之差異，如表 5.3 所示，表中 S 代表使用 S 理論，M 代表使用 最大周向應力理論，開裂角度 Θ0 單位皆為度。.
(40) 表 5.3 單軸拉伸負載下兩種理論所預測開裂角度 Θ0 與誤差(%) 材料梯度旋轉角 θ 0°. 54°. 90°. S. M. 誤差. S. M. 誤差. S. M. 誤差. aδ=0.001. 0.00. 0.00. 0.00. 0.06. 0.06. 0.00. 0.13. 0.13. 0.00. aδ=0.1. 0.00. 0.00. 0.00. -2.50. -2.50. 0.06. -2.70. -2.71. 0.07. aδ=0.5. 0.00. 0.00. 0.00. -13.37. -13.60. 1.73. -11.89. -12.06. 1.38. aδ=1. 0.00. 0.00. 0.00. -23.70. -24.82. 4.70. -19.40. -20.06. 3.40. 由表 5.3 單軸拉伸負載下兩種理論所預測開裂角度 Θ0 與誤差可看出最大誤差不 超過 5%，兩者的預測結果可說相當接近，在單軸拉伸負載條件下使用兩種方法皆可， 但需注意兩者誤差隨著 aδ 的增加而變大。若固定材料梯度旋轉角，則可能開裂角度 隨 aδ 的增加越往負 Θ 的方向移動。 5.2 純剪力負載下的 S 曲線 此節主要討論裂縫面上的邊界條件為純剪力負載時，改變材料梯度方向 θ 與變動 材料非均質參數 aδ 後，對所繪出的 S 曲線之影響，並分別利用 S 理論與最大周向應 力理論找出 S min 所對應的可能開裂角度 Θ0 。 在討論 S 曲線之前，需先求得在純剪力負載下的無因次應力強度因子，取材料蒲 松氏比為 0.3，於裂縫表面施加純剪力負載 σ 0 如圖 5.8 所示，由公式(3-30)與公式(3-32) 求得，如下表 5.4 所示。因未考慮裂縫閉合問題， 故 k 1 會出現負值，在代入 S 理論 後，可能會出現問題。. P2(x). 圖 5.8 裂縫面上施加之剪力負載.
(41) 表 5.4 純剪力負載下之無因次化應力強度因子 −. ν= 0.3, p1 ( x) = 0, p 2 ( x) = −σ 0 , k i (± a ) = ki ( ± a ) / σ 0 a 材料梯度旋轉角 θ. k1 ( a ) k 1 (- a ) k2 (a ) k 2 (- a ) aδ=0.25 k 1 ( a ) k 1 (- a ) k2 (a ) k 2 (- a ) aδ=0.5 k 1 ( a ) k 1 (- a ) k2 (a ) k 2 (- a ) aδ=1 k 1 ( a ) k 1 (- a ) k2 (a ) k 2 (- a ) aδ=0.1. 0°. 18°. 36°. 54°. 72°. 90°. 0.000. -0.006. -0.012. -0.017. -0.021. -0.024. 0.000. 0.009. 0.016. 0.021. 0.024. 0.024. 1.025. 1.024. 1.020. 1.014. 1.007. 0.999. 0.973. 0.974. 0.978. 0.984. 0.991. 0.999. 0.000. -0.011. -0.025. -0.039. -0.051. -0.057. 0.000. 0.023. 0.041. 0.053. 0.058. 0.057. 1.060. 1.057. 1.047. 1.034. 1.018. 0.998. 0.931. 0.934. 0.942. 0.957. 0.977. 0.998. 0.000. -0.015. -0.038. -0.067. -0.093. -0.108. 0.000. 0.044. 0.079. 0.101. 0.110. 0.108. 1.115. 1.108. 1.090. 1.066. 1.036. 0.998. 0.863. 0.867. 0.882. 0.911. 0.953. 0.998. 0.000. -0.009. -0.041. -0.100. -0.159. -0.189. 0.000. 0.072. 0.132. 0.171. 0.190. 0.189. 1.214. 1.203. 1.172. 1.131. 1.078. 1.002. 0.743. 0.749. 0.771. 0.822. 0.906. 1.002. 5.2.1 材料梯度方向對 S 曲線之影響 不同的材料梯度方向，施加純剪力負載時所產生的應力強度因子也隨之不同，進 而使 S 曲線產生變化。圖 5.9 至圖 5.12，可觀察固定不同的 aδ 值下， S 曲線受 θ 值改 變之影響。 由圖 5.9 可以看出由於 aδ=0.001，材質和均質材料相近，故 S 曲線幾乎不隨材料 梯度方向改變而變動，且由公式(2-1)可看出當 θ=0 時，因右裂縫尖端上下層材料為同 樣強度，故 S 曲線皆會對稱於 Θ =0。 由圖 5.9 至圖 5.12 隨著 aδ 值越來越大，材料梯度方向的改變所造成的不對稱性 也越來越明顯，形成一個左低右高的曲線，可觀察出圖中有兩個 S 極小值分別對應出.
(42) 兩個可能的開裂角度。 −. 若是 θ 增加，參考表 5.4 雖然發現 k 2 減小，但右裂縫尖端材料剛性下降影響較大， 故 S min 值仍然越高。當 θ 不等於零時，若想預測裂縫開裂角度，則需去比較兩個 S min 值，由表 5.5 可知，左邊 S min 值皆小於右邊 S min 值，但理論上，隨著 θ 增加，裂縫下 表面之 Scr 應會越小於裂縫上表面之 Scr， 故沒辦法真正預測裂縫會沿哪個角度開裂， 需得知材料在該點的的 Scr 值才能做判斷。 ox 0.34 ox. o x ox. 0.31. ox. ox ox . ox. 0.28 ox. 0.25. Ss 0.22. ox. ox . 0.19. ox ox. 0.16 0.13. ox . . o. ox. ox. ox . o x ox ox o x. 0.1 180 150 120 90 60 30. 0. x. 0° 54° 90°. ox . ox. ox. . o x. o x. o x ox . ox o o x x. ox . ox ox. 30. 60. ox . ox ox . 90. 120 150 180. (degree) degree Θ. 圖 5.9 aδ=0.001，ν=0.3， p1 ( x) = 0, p 2 ( x) = −σ 0 0.35x. o x o. 0.32 0.29 0.26. 0.23 Ss 0.2 0.17 0.14. x x o o . x o. x o . x o. x o x. o ox . x o . . . x o . x o. . ox . x. o ox x ox o . x o. o . x o ox . . x. o . ox. x o. x x x o o o x x o o . x. ox . 0.11 180 150 120 90 60 30. 0. 30. . ox . 60. x o ox x ox o . 90. x o . 120 150 180. (degree) degree Θ. 圖 5.10 aδ=0.1，ν=0.3， p1 ( x) = 0, p 2 ( x) = −σ 0. o x. 0° 54° 90°.
(43) 0.34. x. x x x. 0.31. x x. x. o. 0.28. o o. o. x. o o x 0.22. 0.25. S s. o. x x. x. 0.19 0.16 0.13 0.1. . o. x x x. x o. x. o o o. x. 0. 30. o. x. . . o. . x. x. o o o x o o x o x x o o x o x o x x o x o x o o x x o x o x x x o o o o o o o o. x. 180 150 120 90 60 30. 60. 90. . 0° 54° 90°. 120 150 180. degree Θ (degree). 圖 5.11 aδ=0.5，ν=0.3， p1 ( x) = 0, p 2 ( x) = −σ 0. 0.35x 0.32 0.29 0.26 o. x x. x x. x x x. o. 0.23 o x S s 0.2 o 0.17 o 0.14 0.11 0.08. x x. . o x. o o o o o. x. o. x o x o o x o x o x o x x o x x o o o o x x x o o o o o o o o o o . 0.05 180 150 120 90 60 30. 0. 30. 60. . . . 90 120 150 180. degree Θ (degree). 圖 5.12 aδ=1，ν=0.3， p1 ( x) = 0, p 2 ( x) = −σ 0. o. o. x. x. o o. o. x. x x. x. x. x. x x. x x. x. 0° 54° 90°.
(44) 表 5.5 純剪力負載下 S min 隨材料梯度旋轉角之變化 材料梯度旋轉角 θ 0°. 54°. 90°. 左 S min. 右 S min. 左 S min. 右 S min. 左 S min. 右 S min. aδ=0.001. 0.109. 0.109. 0.109. 0.109. 0.109. 0.109. aδ=0.1. 0.104. 0.104. 0.105. 0.107. 0.107. 0.111. aδ=0.5. 0.082. 0.082. 0.089. 0.096. 0.102. 0.116. aδ=1. 0.059. 0.059. 0.074. 0.082. 0.098. 0.123. 非均質材料參數對 s 曲線之影響. 5.2.2. 由公式(2-1)可知在裂縫尖端 x = a 處，若 δ 值越高，則材料越硬，而隨材料軟硬 的分布趨勢不同，應力強度因子必會有所改變，進而造成到 S 變化，故本節主要探討 當施加純剪力負載時，固定不同的 θ 值，其 aδ 值對 S 曲線之影響，見圖 5.13 至圖 5.15。 圖 5.13 當 θ=0，因右裂縫尖端上下層材料相同，故 S 曲線呈對稱 Θ =0。若 aδ 越 大，則剛性越高， S min 值應該會降低，但只有當 θ=0°及 θ=54°時， S min 會隨 aδ 增加 而降低，而當 θ=90°時， S min 隨 aδ 增加左低右高的狀況更加明顯，其原因與表 5.4 右 −. 裂縫尖端所在位置之 k 2 值隨 aδ 上升的同時也越大有關，S min 值詳細數據可見表 5.6。.
(45) . 0.33 0.3 0.27. . . . . . . . 0.21. Ss. . . 0.24 . 0.18. . . . . . 0.12. . . . 0.09. . . . 0.06. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 150 120 90 60 30. 0. . . . 30. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.15. . . . . . a0.001 a0.1 a0.5 a1. . . . . . 60. 90. 120. 150. 180. degree Θ(degree). 圖 5.13 θ = 0°，ν=0.3， p1 ( x) = 0, p 2 ( x) = −σ 0 . . 0.33. . . . . 0.3 0.27 . 0.24. . S s 0.21 0.18 0.15 0.12 0.09. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 150 120 90 60 30. 0. 30. 60. 90. 120. 150. degree. Θ (degree). 圖 5.14 θ = 54°，ν=0.3， p1 ( x) = 0, p 2 ( x) = −σ 0. . . . . . . . . . . . . . . . 180. a0.001 a0.1 a0.5 a1.
(46) 0.36. . 0.33. 0.3 0.27. 0.24. Ss. . . . . . 0.21. . . . 0.18. . . 0.15. . 0.12. 0.09 180 150 120 90. . . 60 30. 0. 30. . . . . . . . . a0.001 a0.1 a0.5 a1. . 60. . . 90. 120. 150. 180. degree. Θ (degree) 圖 5.15 θ = 90°，ν=0.3， p1 ( x) = 0, p 2 ( x) = −σ 0. 表 5.6 純剪力負載下 S min 隨非均質材料參數 aδ 之變化 非均質材料參數 aδ 0.001. 0.1. 0.5. 1. 左 S min. 右 S min. 左 S min. 右 S min. 左 S min. 右 S min. θ= 0°. 0.109. 0.109. 0.104. 0.104. 0.082. 0.082. 0.059. 0.059. θ= 54°. 0.109. 0.109. 0.105. 0.107. 0.089. 0.096. 0.074. 0.082. θ= 90°. 0.109. 0.109. 0.107. 0.111. 0.102. 0.116. 0.098. 0.123. 5.2.3. 左 S min 右 S min. 可能裂出角度之討論. 本節將比較利用 S 理論與最大周向應力理論在純剪力負載下所預測之可能的開 裂角度 Θ0 彼此間之差異，如表 5.7 所示，表中 S 代表使用 S 理論，M 代表使用最大 周向應力理論，開裂角度 Θ0 單位皆為度。 由表 5.7 純剪力負載下兩種理論所預測開裂角度 Θ0 ，發現在純剪力邊界條件下， 利用 S 理論預測時，將出現兩個 S min 值，代表對應兩個可能的開裂角度 Θ0 ，而利用 最大周向應力預測只能得出單一可能開裂角度。 由 5.2.1 小節可知，若想真正預測裂縫會沿哪個角度開裂，則需得知材料在該點.
(47) 的的 Scr 值才能做判斷，因此只先列出所有可能列出角度，如表 5.7 所示。 表 5.7 純剪力負載下兩種理論所預測開裂角度 Θ0 材料梯度旋轉角 θ 0°. 54°. 左 S min 右 S min. M. 左 S min. 90° 右 S min. M. 左 S min 右 S min. M. aδ=0.001. -82.34. 82.34 -70.53. -82.36. 82.32 -70.54. -82.23. 82.44 -70.48. aδ=0.1. -82.34. 82.34 -70.53. -83.01. 81.67 -70.85. -83.28. 81.40 -70.98. aδ=0.5. -82.34. 82.34 -70.53. -84.83. 79.88 -71.73. -86.64. 78.11 -72.61. aδ=1. -82.34. 82.34 -70.53. -85.86. 78.86 -72.23. -89.85. 75.05 -74.17. 5.3. 混合邊界負載下的 S 曲線 若裂縫面上所受機械場合力為 σ 0 ，與 y 軸夾角定義為 η，單位為度。η=0°即為單. 軸拉伸負載；η=90°即為純剪力負載。以下依不同 η 時討論其對 S 曲線之影響。但首 先必須先求出混合邊界負載下的無因次應力強度因子，取其材蒲松氏比為 0.3，於裂 縫表面施加正向應力 σ 0 cosη 與剪應力 σ 0 sinη ，由公式(3-30),(3-31)與(3-32)求得如 表 5.8 所示。.
數據
![表 4.8 無因次應力強度因子在 ν=0.4 相對於 ν=0.1 之差異(%) aδ= 0.25 k 1 ( a ) 1.389 k 2 ( a ) 0.0307 aδ= 2.5 k 1 ( a ) 10.49 k 2 ( a ) 0.3908 單軸向拉伸負載下，結構的破壞大致上以第 I 型為主，由表 4.7 得知，本文的結 果與文獻[2]比較， k 之誤差均在 0.1%以內，故判斷推導出之數值解為可以使用的。 1 由表 4.8 可以看出因邊界條件設定為單軸拉伸負載，故對](https://thumb-ap.123doks.com/thumbv2/9libinfo/9247240.507864/33.892.110.770.94.457/無因次應力強度因子在ν相對於ν之差aδ=kδ=單軸.webp)
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