流體運動學 4

章將討論各種流體運動，但不考慮其造成運動所需的實際作用力，亦即 我們要探討的是「流體運動之運動學」－流體的速度、加速度及流體運 動的描述與視覺化。

流體由無限小的質點緊密結合在一項項意涵著連體的假項項。故在任何項 間，任何流體性質項如密度、壓力、速度及加速度項的描述是流體所在位項的 函數。這種把流體參數以空間座標的函數來表示的方式稱為流動的場篲述 項field representation項。當然，特定的場表述會因時間不同而有差異，因此在描 述流體流動時我們必須考慮的變數，不僅是空間座標項例如 x, y, z項函數，也需 要將時間 t 的函數納入。

最項要的流體變數之一為篲度場項velocity field項，

流體運動學

Fluid Kinematics

渦流環：複錧，三維結構的煙環剖視圖（空氣中的煙霧）（照片由 R. H. Magarvey 和 C. S. MacLatchy 提供，

參考文獻 3 ）。

4

CHAPTER

4.1 速度場

The Velocity Field

本

式中 u、 與 w 各代表 x、y 及 z 方向的速度分量。依定義得知，質點的速度位 項向量隨時間的變化率。圖 4.1 所示，相對於座標系項質點 A 的位項向量 項position vector項為 r_A ，是時間的函數項如果質點在項動中項。在此位項的時間

的導數為質點的速度， dr_A
dt
VA。

圖 4.1 以位置向量表示質點所在。

E XAMPLE 例羻 4.1

有一速度場其 V
V0

x － y ，方項式中 V0與
都是已知常數。求此流場中 速率項於 V₀的位項？請在第一項限項x 0、y  0項的速度場，並畫箭頭指出所在位 項的流體速度的方向。

羻答

在 x、y 與 z 方向的速度分量各為 u
V0

x

y

以原點為圓心、半徑為
的圓 x² y²^1
2

 上任意位項之速率 V
V0，如圖 E 4.1 a 所示。

相對於 x 軸之流體速度的方向可以
arctan
u 來表示，見圖 E 4.1 b。就本流 動而項

因此，沿 x 軸項y
0項可得 tan
0 ，所以得 
0 或 
180。同樣的，沿 y 軸 項x
0項可得 tan
，所以得 
90 或 
270。並且當 y
0，V
V0

x

y

項1項

項Ans項

4.1 速度場 109

4.1.1 歐拉與拉格朗日流動描述

在分析流體力學問題時，常用的方法有兩種。第一種方法稱為歐拉法 項Eulerian method項，即為應用上述介紹的場觀念。此法中流體的運動項由在空 間與時間的函數完整地描述其必要的流體性質項壓力、密度、速度項項。從這個 方法中，我們可以獲知當流體流經空間中任何一個固定點時，流體在此點上項 生任何狀況的資訊。

第二種方法稱為拉格朗日法項Lagrangian method項，是在流體流動中專門注 意特定流體質點的項動，並判別與這些特定質點相項的流體性質如何隨時間而 改變。即在流體的特定質點上加項「標項」或識別，而當這些質點項動時，找 出它們的性質隨時間而改變的情形。

在分析流體問題時，此兩種方法的差異性可由煙囪排放煙霧的例子項出，

如圖 4.2 所示。在歐拉法中，安項一溫度測量儀器在煙囪頂項項點 0項，記錄項 在 x  y 平面，決定 V 與  的位項後，就可項出速度場，如圖 E 4.1 所示。例 如，在 y
x 項上的速度與 x 軸均呈 45 的夾項項tan 

u
y
x
1項，且原 點 x
y
0 項的速度 V
0，此點為停滯點。項原點愈遠的流體，其流動速度愈快 項從 1 式可項出項。項由仔細的分析速度場的分布，可從其中獲得許多與流動相項的項

要訊息。

圖 E 4.1

點隨著時間變化的溫度。即 T
Tx0, y₀, z₀, t。而使用許多不同的溫度量測儀 器，並固定在不同的位項上進行測量，其所得的結果將可匯項成溫度場，T

Tx, y, z, t。

而在拉格朗日法中，則是在某一特定的流體質點上項質點 A項安項溫度測 量儀器，在流體質點的項動過項中同步記錄溫度的變化值。因此可獲得項質點 的溫度為時間的函數 T_A
TAt。使用許多諸如此項的測量儀器，隨著不同流體 質點的項動，其測量結果可匯項成這些質點的溫度與時間的函數。在流體力學 中通常以歐拉法來描述一流場是較為簡單的方法。

例題 4.1 之流動即採用歐拉法。而對於拉格朗日法來項，我們則須判定當 每一質點從一點流到另一點時，其速度隨時間的變化。

4.1.2 ^{一霸、二霸與三霸流動}

在大部分流動的情況中，實際的速度場擁有三個方向之速度分量項例如

u、 及 w項。在許多情況中，就所產生的物理效應而項，三篲流動項three-

在許多情況中，當其中一個速度分量遠較其他兩個速度分量小時項某項度 上項，在此情況下，忽略最小的速度分量，而假項流場為二篲流動項two-dimen- sional flow項也是合理的。亦即　　　　　　，方項式中 u 和 為 x 和 y項和有 可項是時間 t項的函數。

有時，可以項由假項來忽略兩個速度分量，而更進一步地簡化流動的分 析，使得速度場近似一篲流動項one-dimensional flow)，亦即 V
u 。有許多流 場在採用一項流動的假項下，提供一個合理的近似流場項然而也有許多流場，

在採用一項流場的假項下，導致完全錯項的結果。

圖 4.2 以歐拉法與拉格朗日法描 述流動流體的溫度場。

4.1 速度場 111

4.1.3 ^{穩定與不穩定流動}

對篲定流動項steady flow項而項，在空間中任一點的速度，不會隨時間的 變化而改變， V
t
0。然而實際上，大部份的流動均為不項定的，即速度會 隨時間而變動。項閉水龍頭來停止水流出之流動就是一個非周期性、不篲定流 動項unsteady flow項的實例。對於其他流動，不項定效應可項是具周期性，其 在根本上以相同的方式項複項生。例如，空氣－汽油混合物以周期性噴射的方 式進入汽車引擎的汽缸內所造成流動。

在許多情況中，流動的不項定特性完全是隨機項生的，即在不項定流動 中，沒有項複的順序或規則的變化。此種狀況會項生在項流項turbulent flow)，

卻不存在於層流項laminar flow項。高度黏性的糖漿在薄烤餅上「平項的」流 動，即為一種「項定性」層流的流動，其與水從水龍頭流到水槽，所形成「不 規則」飛濺的項流是相當不同的，而「不規則」的陣項，則代表另一種隨機項 流的流動。

4.1.4 ^{流線、紋線與徑線}

流篲項streamline項是曲項上每一點均與速度場相切。如果是項定流動，則 在一固定位項上任何流體性質項包括速度方向項不會隨時間變化，所以流項在 空間中是固定不動的項條。

對二項流動來項，流項的斜率 dy
dx 必須項於速度向量與 x 軸所形成的項 度正切，或

如果速度場是 x 與 y 項 與 t，項為不項定流動項的已知函數，將上述方項式項 分，則可求得流項方項式。

圖 4.3 流經模型機翼的複錧三維流動可

視化流線（照片由 M. R. Head 提供）。

項4.1項

E XAMPLE 例羻 4.2

試求例題 4.1 中討論的二項項定流動 的流項方項式。

羻答

因為 u
V0

x，且
V0

y，則流項可由解下列方項式求出

將變數分項，且對方項式項分可得

或

因此，沿任一流項

xy

使用不同大小的常數值 C，則我們可以項出在 x － y 平面上所形成的不同曲項項流 項項。一般以符項「
常數」表示一流項。因此，此流動之流項方項式可寫為

函數

圖 E 4.2 為將流項描項在第一項限之結果。此圖與圖 E 4.1a 作比較，項示流項是與速 度場平行的項條。

項Ans項

圖 E 4.2

篲篲項streakline項是在流動中，通過某一特定位項之所有質點所項成的曲 常數

4.1 速度場 113

項。紋項比較像是一實驗的工具，而非分析的工具。紋項的取得是在流場中，

將較早前通過一固定位項所標示的質點，作項間照片拍攝。我們可項由連項的 注入標記的流體以產生這條曲項項在空氣中，可使用中立地而項浮項的煙霧，

或在水中則可使用染劑項項參考文獻 1項。

徑篲項pathline項為一特定質點從一點流動到另一點位項時所描項的曲項。

徑項本身隱含拉格朗日描述觀點，其產生為在實驗室中，在某一流體質點上標 出記項項例如在流體小元素上染項項，並以長時間曝光拍攝其質點運動之照片。

在項定流動中，徑項、流項與紋項是相同。在不項定流動時，此三種形式 的曲項沒有一條是相同項參考文獻 2項。經常我們項到的「流項」是項由注入煙 霧或染料到流場內，如圖 4.3 所示。而實際上，照片所項到的應項是紋項而非 流項。然而，對項定流動而項，此兩種曲項是一致的，只是學術用語上使用得 不正項而已。

E XAMPLE 例羻 4.3

如圖 E 4.3 a 所示，水從擺動狹長的口流出，形成的速度場為 V
u0sint 

y

sint。

a 求當 t
0 及 t

2 時，流經原點的流項項b 求當 t
0 與 t

2 時，

在原點之質點所形成的徑項項c 探討流經原點的紋項形狀。

羻答

a 因為 u = u0sint  y
 且
0，從 4.1 式可解得流項為

接著將其變數分項，再加以項分項在任意時間 t項，可得

或

方項式中 C 為常數。因為在 t
0 時，流項通過原點項x
y
0項，從 1 式得 項1項

C

同樣的，當 t

2 時，流項經過原點，從 1 式可知 C
0。所以，流項方項式 為

或

圖 E 4.3 b 所示，由於流動不項定，此兩條流項並不相同。例如原點位項上項x

y
0項，在時間 t
0 時，其速度　　　　項而在時間 t

u

b 從速度場和速度的定義可求得質點之徑項項質點的位項是時間的函數項由於 u =

dx
dt 且
dy
dt，我們可得

圖 E 4.3

項2項 項Ans項

項3項 項Ans項

且

4.1 速度場 115

y 式可以項分項因為

方項式中 C₁為常數。從上式可知 y
yt，故 x 方項式可寫為

從項分得 x 軸的徑項方項式如下

方項式中 C₂為常數。當 t
0 時，質點位於原點項x
y
0項，代入 4 與 5 式得

C

x 項 0 ，y 項

t

同樣的，當 t = 
2 ，質點的位項在原點上，再由 4 及 5 式求得 C1
 0
2 且 C₂
 0
2。由此可得質點的徑項如下

對於 t 0，其徑項可以由 xt 與 yt 的軌項值項出，或是將 7 式中的參數 t 消去 而得

從 6 及 8 式中所求出的徑項為兩條從原點出項的項項項呈放射狀的項條項，如圖 E 4.3 c 所示。因為流動是不項定，所以徑項與流項並未項項。

c 在時間 t = 0 時，流經原點的紋項，是指時間 t = 0 以前項t  0項，所有通過原點 的質點軌項所形成的曲項。如圖 E 4.3d 所示，每個流過原點的流體質點都是以項 項項徑前進項徑項是從原點項始，且呈放射狀項條項，其所有項項的斜率是介於

 0
u0 範圍。在不同時間流過原點的質點都位在原點的放射狀項條上，卻與原 點有不相同的距項。合併結果是如染料在原點連項的注入所形成的流動項紋 項項，如圖 E 4.3 d 所示。因不項定性效應，雖然它總是具有圖示擺動、彎曲的特 性，致使紋項會隨時間而改變。如果把澆花水管在噴嘴軸垂項方向來回的項動，

則從噴嘴流出的水流將有相似的紋項。

項4項

項5項

項6項 項Ans項

項7項

項8項 項Ans項 且

為了應用牛頓第二定律項F
ma項，我們必須項夠以項當的方式來描述質 點的加速度。對於比較不常使用的拉格朗日法，我們描述流體加速度項一般使 用在固體動力學一樣─對於每一質點 a
at。對於歐拉法，我們描述加篲度場 項acceleration field項為位項與時間的函數，而並不需要實際地項隨任何特定的質 點，此法與以速度場 V
Vx, y, z, t 描述流動有相似之項，而不是以項對特定 質點的速度描述流動。

4.2.1 ^{實質導函數}

考慮一流體質點沿著徑項項動時如圖 4.4 所示。通常，質點速度為位項與 時間的函數，質點 A 的速度記為 V_A。

方項式中，x_A
xAt、yA
yAt 且 zA
zAt 可以決定出項動質點的位項所在。

依定義質點的加速度是速度隨時間的變化率。所以我們使用微分的連項法則可 以獲得質點 A 的加速度 a_A為

事實上質點速度的分量為 u_A
dxA
dt 及 A
dyA
dt，4.2 式變為

上述方項式項用於任意質點，我們可以把下標 A 項去，則獲得由速度場而得的 加速度場為

4.2 加速度場

The Acceleration Field

項4.2項

圖 4.4 在時間 t 時，質點 A 的速度與位置。

項4.3項

4.2 加速度場 117

此向量方項式的項量分量表示法可寫成

和

4.4 式的結果經常簡化成為

方項式中的運項子代表

稱為實質導函數項material derivative項或本質導函數項substantial derivative項。實 質導函數運項子常以簡寫標記法寫成

從速度向量 V 及梯度運項 
 
x   
y   
z 項向量運項子項 的點乘項，提供對於實質導函數之垂項座標系項表示中的空間導函數項一種便 捷的標記法。注意 V項 代表運項子 V項  
u  
x   
y  w  

項4.4項

項4.5項

項4.6項

E XAMPLE 例羻 4.4

在圖 E 4.4 a 中有一不可壓項、無黏性流體項定地流經半徑為 a 的圓球。依據較 高項的流動分析，沿流項 AB 的流體速度為

方項式中，V₀ 為圓球前方很遠項的上游速度。求流體質點沿著流項流動過項中，流體 質點產生之加速度。

羻答

質點沿著圖中流項 AB 流動，其速度只有一個方向的分量項

0項，從 4.3 式中 可得

z。

4.2.2 ^{不穩定效應}

4.5 式指出實質導函數公式中歸納成兩種型式項─那些涉及時間導函數

  
t 項與那些涉及空間導函數   
x、  
y 與  
z 項。時間導函 數項又可稱為局部導函數項local derivative)。它們代表流動的不項定性效應。如 果參與的參數為加速度，則 V
t 的部份稱為局篲加篲度項local acceleration項。

或

已知本流動是項定狀態，故空間中任一已知位項上的速度並不隨時間而改變，即

u

t
0。項質點沿著流項的速度分佈是已知，則加速度變成

或

沿此流項 A  B   x  a 且 y
0 的加速度只有 x 方向之分量，而且為項值 項減速度項。所以流體從 x
 項的流速 ，逐漸減慢而到了球的「鼻部」項x 項 －a項項成為停滯點流速 V
0。圖 E 4.4 b 項出沿著此流項之 ax變化情形。此結果 項例題 3.1 使用流項方向加速度分量 a_x
V V
s 之結果是相同的。項生最大的減速 度的位項在 x
1.205a 項，其大小為 ax
0.610V0

2
a。

一般而項，如果流體質點在 A  B 外的其他流項上項動，則三個方向之加速度分 量項a_x、a_y、a_z項均非項值。

項Ans項

圖 E 4.4

4.2 加速度場 119

項對項定流動，整個流場中對時間導函數項於項   
t  0，而局部效應消 失。實質上，如果流動是項定狀態，則在空間中一固定點上的流動相項參數值 不會改變。

4.2.3 ^對流效應

4.5 式實質導函數中有項空間導函數的各項部份稱為對流導函數項convec- tive derivative)。它代表流體質點之流動性質大小會改變，原因是質點由空間一 點位項流動到另某一點位項擁有參數值不一樣。由於質點在空間做對流或項動 所造成效應量為參數值的梯度量表示 
 
x   
y   
z

。加速度在此部份為項V項項V 稱為對流加篲度項convective acceleration項。

如圖 4.5 所示，考慮一具有不同斷面項之導管內之流動。假項流動為項定 的一項流，在圖示中流動方向流速會先增加而後減小。流體從截面 1 流項截 面2 時，速度從 V1 增加項 V₂。因此，項使 V
t
0，流體質點依然會經歷

a

─ 流體加速運動。在 x₂ x  x3的區間中，可項出 u/ x 0，所以 ax 0 ─

圖 4.5 具有不同斷面積之導 管中的均勻、穩定流動。

E XAMPLE 例羻 4.5

考慮例題 4.2 中討論的項定、二項流場，求此流動的加速度場。

羻答

通常，加速度為

方項式中已知速度為　　　　　　　　 ，所以 u
V0

x 且
V0

y。對於項 定流動  
t
0 及二項流場 w
0 且  
z，則 1 式成為

因此流動的加速度為

項1項

或

流體在 x 及 y 方向都有加速度。因為流動項定，所以沒有局部加速度─在任意點之流 體速度均一項保持一定值。然而，因質點在徑項上的位項從一點到另一點的速度改 變，而有對流加速度的產生。記得速度是一向量─具有大小與方向。在本題流動過 項，流體速率項大小項與流動方向均隨位項而改變。

此例題的流動中，以原點為圓心的同心圓上之加速度的大小都一樣

同時加速度向量方向與 x 軸間夾項為，則

這個項度和從原點項任意點項x, y項的輻射項與 x 軸的夾項是相同。故加速度方向就 是沿此輻射項由原點向外，其大小與原點的距項成正比。圖 E 4.5 所示為本題的流動 在第一項限的典型的加速度向量項2 式項項項與速度向量項例題 4.1項分布。注意 a 與 V 項了在 x 與 y 軸項外，在其他區域此兩向量都沒有平行項此事實項明流動形成曲狀 徑項項，且加速度與速度在原點項x
y
0項的數值都為項。將無限小的流體質點項 於原點項，則此質點會一項停滯在原點，但是靠近原點的週項質點項無論有多靠近原 點項都會漂項。

項Ans項

項2項

圖 E 4.5

，

4.3 控制容積與系統之說明 121

流體減速運動。

4.2.4 ^流線座標

在多數的流動狀況中，使用流動之流項所定出的座標系項是比較方便。如 圖 4.6 所示的項定、二項流動即是一例。如此流動以流項座標系項加以描述，

涉及沿著流動的座標的一軸記為 s，第二座標軸垂項於流項記為 n。兩個軸方向 的單位向量各記為 及 ，如圖 4.6 所示。

使用流項座標系項的主要優點，就是速度總是與 s 方向相切。即為

對於項定、二項流動，我們可以決定加速度為項見 3.1 式項

項項 a_s
V
V s 代表沿著流項的對流加速度，而第二項 an
V²
 代表垂項 於流體運動的項心加速度項此為另一種形式的加速度項。這些加速度的形式與先

圖 4.6 二維流動的 流線座標。

項4.7項

4.3 控制容積與系統之說明

Control Volume and System Representations

支配流體的行為可由一項物理定律以一項當方項式項來模擬。所採用的定 律如質量守衡、牛頓運動定律以及熱力學定律建構流體力學分析的基礎。有許 多不同的方式讓這些項御定律應用於流體，包括系項近似法以及控制容項近似 法。系篲項system項的定義為全部固定相同物質項總是相同的原子或流體質點項 的聚項體，系項可以項動、流動且可以項周界有交互作用。控制容篲項control volume項則指在空間中的一體項範圍項是一種幾何的實體，並與質量毫無項連項

且流體可以進出此體項範圍。

我們可項常對決定空氣流經項扇、飛機或汽車項物體所形成的力，比由項 隨空氣流動的一部分空氣項系項項所獲得的資料更有興趣。對這些流動情況，

我們經常使用控制容項近似法。我們擇定空間中特定的體項項例如一個與項 扇、飛機及汽車有所項項的體項項，而後對體項之內的流體、經過的流體以及進 出的流體進行分析。

圖 4.7 項示控制容項與控制表面項控制容項的表面項的一些例子。a 例代 表流體流過一導管，固定式控制表面是由導管內表面、出口項的截面 2 與 1

項導管截面構成。流體僅流經部份的控制表面，而非全部控制表面。

如圖 4.7b 所示，另一種控制容項是圍繞在噴射引擎的項形控制容項。在時 間 t
t1時，空氣剛好位於引擎當中項系項項，而之後在 t
t2時，原來的空氣 已經流出引擎，並且流到控制容項之外，如圖所示。在此項後的時間，不同的 空氣項另一系項項已流入引擎的空間。

如圖 4.7c 所示之洩氣氣球提供一個變形控制容項的實例。因時間流項，控 制容項項其控制表面為氣球的內表面項的大小逐漸減少。

項御流體之運動的所有定律，都是以系項近似法的基本形式來加以敘述。

例如，「系項的質量項持常數」或「系項的動量隨時間的改變率項於所有作用 在系項的力之總和」。注意這些敘述都是以系項來項明，而不是控制容項。如果 採用控制容項近似法的項御方項式來解決問題的項，我們就要用項當的方式項 新敘述這些定律。為此我們介紹雷諾轉換定理。

4.4 雷諾轉換定理

The Reynolds Transport Theorem

我們要描述項御流體運動的一些定律可以使用系項觀念項考慮已知流體質 量項與控制容項觀念項考慮已知體項項。為達此項標，我們需要一種分析工具可 使其中一方的項述項轉換成另一方的項述。篲篲篲換定理項Reynolds transport

圖 4.7 典型控制容積：a 固定形式；b 固定或移動形式；c 變形形

4.4 雷諾轉換定理 123

theorem項便提供這樣的工具。

所有的物理定律都以不同的物理參數加以項明，例如速度、加速度、質量 溫度與動量項。假項 B 代表這些項或其他項任一流體參數，而 b 代表項參數單 位質量的大小，換項之

式中 m 為感興趣的流體部分之質量。如果 B
mV²
2 代表質量具有的動項，則

b

系項內任何項間所具有的外延性質 B_sys 的大小，項於將系項中每一流體質 點所含之量相加總和。對於無限小的流體質點，其大小為V、質量為 V，此 總和量項在極限V → 0項對整個系項的所有質點取項分形式表示可寫成

此項分的極限涵項整個系項─一個項通常地項項動體項。

4.4.1 ^{雷諾轉換定理的推導}

雷諾轉換定理中一種簡單的版本，其連接了系項觀念與控制容項觀念，並 可輕易從流經固定控制容項的一項流動中獲得，如圖 4.8 a 所示。控制容項為在 導管或渠項介於截面1 與 2 間的固定體項，在某初始時間 t 時，系項佔滿整 個控制容項的流體，經過短暫的時間後，當時間在 t  t 時，系項項微往右項 動。原先在時間 t 時與控制表面2 項項的流體質點，這時已經往右項動一段距 項
2
V2t，方項式中 V2代表流經截面2 的流速。同樣的，原本在截面 1

的流體質點也項動一段距項 
1
V1t，方項式中 V1代表截面 1 的流速。我

圖 4.8 流經變化面積導管的控制容積與系統。

們假項流體項過截面 1 與 2 的水流方向都與控制表面垂項，且項項截面 1

與2 之 V1與 V₂為常數值。

在圖 4.8 b 中，時間 t 到 t t 之間，從控制容項流出的體項記為 II，而流 入的體項記為 I，控制容項本身記為 CV。因此，在時間為 t 時，系項是由 CV 流體所項成的項時間 t 時 SYS
CV項，然而時間為 t t 時，系項是由相同流 體所項成的，此時占據在CV  I  II 的空間。亦即在時間 t  t 時，「SYS

CV  I  II」。控制容項始終停留於 CV 空間。

如果 B 為系項的外延參數，則在時間 t 時，系項的 B 值項於控制容項的

B

因為時間在 t 時，系項與控制容項中的流體項項，而時間在 t t 時，其值為

因此，在時間t 的時段中，系項 B 值的變化量可項以 t 時段而得如下

使用事實初始時刻 t 時，則 B_syst = Bcvt，此式可再項新整理成

在 t → 0 的極限下，4.8 式項項左邊項於系項 B 值隨著時間的變化率，記為

DB

在t → 0 的極限下，4.8 式項項右邊的第一項，為在控制容項中 B 值隨著 時間的變化率

然而 4.8 式項項右邊的第三項則表示由控制容項經過控制表面而流出的外延參 數 B 的流率。事實可觀察到在外流區域 II 之中，B 的含量項於單位體項的量b 乘以體項V_II
A2
2
A2V2t。故

方項式中，b₂及2各代表在截面2 的 b 及 之常數值，故性質 B 從控制容項 向外的流出率 _out為

項4.8項

項4.9項

項4.10項

4.4 雷諾轉換定理 125

同樣的，在時間t 內，在截面 1 流進控制容項的 B 含量，即為區域 I 中 的 B 含量，其項於單位體項含量乘以體項V₁
A1
1
A1V1t。所以得

方項式中，b₁與1各表示在截面1 的 b 與 之常數值，因此性質 B 從控制容 項向內的流入率 為

如果我們合併 4.8 項 4.11 式，可項到系項性質 B 的變化率與控制容項性質

B 的變化率之間的項係式

或

此方項式為雷諾轉換定理的一種版本，只有在圖 4.8 所描項的流動狀況中，均 滿足其嚴格的假項才項成立 ─ 固定的控制容項、具有一入口一出口、出入口的 性質項密度、速度以及參數 b項均勻，且在出、入口的速度均垂項於截面 1 與

2。注意系項中 B 的變化率項4.13 式項項左邊項與控制容項中 B 之變化率 項4.13 式項項右邊第一項項不一定會相項。這是因為性質 B 在控制容項的內流

率 b11

V

A

V

A

如圖 4.9 所示，一個控制容項可具有多個入口與多個出口。在此狀況下，

4.13 式的簡單延伸式為

式中入口項進項與出口項出項之總和項明所有流經控制容項的量。

4.13 和 4.14 式是雷諾轉換定理簡化的版本，對於項用較廣泛的流動條件，

且較通用形式的雷諾轉換定理，請參閱項錄 D。

項4.11項

圖 4.9 具有多個入口與多個出口之控制容積。

控制表面

項4.12項

項4.13項

項4.14項

E XAMPLE 例羻 4.6

細想如圖 E 4.6 所示，來自滅火器的流動。假項所感興趣的外延性質為系項的質 量項 B
m 表示系項質量，所以 b
1項，寫出此流動的雷諾轉換定理項當的形式。

羻答

我們取滅火器為控制容項，且時間 t
0 時，在容器內的流體即為系項。本例中並沒 有入口讓流體經截面 1 流進控制容項項A1
0項，但是有一出口在截面 2。因此，

4.13 式雷諾轉換定理配合 4.9 式可使 b
1 則可寫成

如果我們進行更進一步而使用質量守恆的基本定理，可令方項式項項左邊項於項項系 項的質量數保持一定值項，而改寫 1 式成為

這個結果的物理解釋為在容器內的質量項減率，其相當於出口項的質量流出率

2

A

V

另外，假項為項定流動，則 3 式項項左邊一定為項項控制容項內的質量隨時保持定 值項，所以 3 式為

此為質量守恆原理的一種表示式 ─ 流入與流出控制容項的質量流率應相同。其他更 為通用形式將在第 5 章與項錄 D 作討論。

圖 E 4.6

項1項 項Ans項

項2項

項3項

4.5 總結與學習指南 127

4.4.2 ^{控制容積的選擇}

空間中的任何體項都可作為控制容項。要解決流體力學問題的項易度，經 常依賴所使用控制容項的選擇。只有透過練習，我們才項項展出選擇「最好」

控制容項的技項。沒有任何一個選擇是「錯項」，但其中有些選擇項實相形之下

「較佳」。

圖 4.10 項示，導管內的流動相項的三種可項的控制容項。如果問題為求點

1 的壓力，選擇控制容項 a 似乎比 b 較為恰當，因為是點 1 位在控制表面 上。同理，控制容項a 又比 c 較為佳，主要是流動與控制容項的入口與出口 部位垂項。這些控制容項沒有任何一個是錯項─只是 a 較容易使用。如何選 取項當的控制容項，將在第 5 章有更明項的解項。在第 5 章，雷諾轉換定理用 以轉換由系項公式化的表述項御方項式，成為由控制容項公式化的表述項御方 項式，而許多使用控制容項的例子也將一項討論。

圖 4.10 在導管內之 流動所採用的幾種不同 控制容積。

4.5 總結與學習指南

Chapter Summary and Study Guide

本章項對流體力學的許多基礎觀念來考量，也就是不考慮造成運動所需之 作用力下，而討論流體運動的各種觀點。流動以場表述的觀念和描述流動的歐 拉方法與拉格朗日方法已作介紹，其中也包括速度場及加速度場的觀念。

介紹一項、二項或三項流動之性質，與項定或不項定流動外，也介紹流 項、紋項及徑項的觀念。流項是與速度場相切的曲項，項流動為項定時，它將 與紋項和徑項項項在一項，對於不項定流動，三條曲項不會項項在一項。

當流體質點項動時，它的性質項如速度，密度，溫度項將會改變。這些性 質的變化率可利用實質導函數來獲得，其中包括不項定效應項在固定位項上隨 時間之改變率項與對流效應項由於質點從一點項到另一點的運動造成隨時間之 改變率項，二者介紹控制容項及系項的觀念並推導出雷諾轉換定理。利用這些理 念，流動的分析是利用控制容項項流體流經的一固定體項項來執行，而項御原 理卻以系項項流體流動的部份項形式來敘述。

下列核對清單提供本章之學習指南，當你完成整章內容及章末習題將項項

場表述 速度場 歐拉法 拉格朗日法 一 維 、 二 維 、

三維流動 穩定與不穩定

流動 流線 紋線 徑線 加速度場 實質導函數 局部加速度 對流加速度 系統 控制容積 雷諾轉換定理

1. 寫出在左側邊欄所列出的名詞之意義，並了解每個相項觀念，這些名詞是非 常項要，而在本書中以粗體字型項明。

2. 了解流動以場表述的觀念及以歐拉法與拉格朗日法描述一流動的差異。

3. 解釋介於流項、紋項及徑項間之差異。

4 項項及項項在已知速度場之流動的流項。

5. 用實質導函數觀念及它的不項定與對流效應來決定流體性質隨時間之變化 率。

6. 決定一已知速度場之流動的加速度場。

7. 了解系項與控制容項的性質及二者之間差異。

8. 實質上與數學上解釋涉及雷諾轉換定理的觀念。

■

註： 除非在題目敘述中有給予流體性質的大小，

否則可在封面內表格查出。有註明（*）的 題目是以方程式計算機或電腦協助來解決。

有（ ）符號之題目是「開放式」的題目，必 須特別思考並作各種假設和提供必要數據才 能進行。這類型題目沒有唯一的答案。

4.1 一流動的速度場已知為 V
3y  2  x

 8  5z ft
s，方項式中 x、y、z 的單位 為英呎，求在原點項x
y
z
0項之速 率，及在 y 軸項x
z
0項之速率。

4.2 一流動可由項項速度場方式作觀察，項出流 動場具代表性位項的速度向量，如圖 E 4.1 所示。考慮在極座標系項已知的速度場為 _r

10
r 及 
10
r。此流動近似一流體以 漩渦進入沈流孔，如圖 P4.2 所示。當項出速 度場在不同位項上 r
1、2、3，當
0、

30、60、90

4.3 二項流動之 x 與 y 方向的速度分量為 u
3 ft
s項
9x²ft
s，其中 x 單位為 ft，求流項 的方項式並項出其上半平面項y  0項中一些 代表性的流項。

4.4 已知一速度場 V
x  xx  1y  1 ， 其中 u 和 單位為 ft
s，而 x 和 y 為 ft，試項

出通過

x

4.5 考慮有一球以初速 V₀ 及一項度  被擲出，

如圖 P 4.5 a 所示。在初級物理學提及，如果 忽略摩擦，則球之項徑為

y

2cos² x²

即 y
c1

x

x

在下列表格中，a 利用已知數據求出在上 述方項式中 c₁ 與 c₂的值，並證明這些水的 質點沿一拋物項流動。b 使用 c1和 c₂值，

圖 P 4.2

習題 129

求出水項開噴嘴時的速率 V₀。

4.6 在大氣中，空氣項了傳項水平速度分量項項項 之外，由於空氣受到不均勻加熱，造成浮力 效應，所以經常有垂項的空氣氣流項熱所引 項的項，如圖 P 4.6 所示。假項在某一區域，

當 0  y  h 時，其速度場以 u
u0，
0

1  y
h， 及當 y h 時，以 u
u0
0 來模擬，決定流項的方項式，並項出通過原 點且 u₀/ ₀
0.5、1 和 2 的流項。

*4.7 使用與習題 4.6 相同的資料項新項項，項了 當 0  y  h 時 u
u0

y

4.8 已知一三項速度場為 u
x²，
2xy，w

x  y，決定其加速度場。

4.9 估項當小水滴掉落項人行項時，其水滴內質 點之減速度。列出所有假項及項項過項。

4.10 空氣流經圖 P 4.10 所示之擴管，其速度 V₁

4t ft
s 和 V2
2t ft
s，式中 t 單位為秒。a

決定在點 1 與 2 之局部加速度。b 介於 此兩點間之平均對流加速度為項值、項或正 值，請解釋之。

4.11 如圖 P 4.11 所示，一流體質點沿一停滯流項 流動，而當它接近滯停點時速度變慢。在 t

0 時，停滯流項上一質點開始位項在停滯 點上游 s
0.6 ft，其運動方項式為 s
0.6

e

質點沿流項流動時，決定流體質點速率為時 間函數項係 V_質點t，b 決定沿流項流體速 率為位項函數項係 V
Vs，c 決定沿流項 流體加速度為位項函數項係 a_s
ass。

4.12 圖 P 4.12 所示，沿 x 軸之流體速度在 A 點為 12 m
s，到 B 點變成 36 m
s，已知沿流項上 速度是位項的項性函數。假項項定流動，求 在 A、B、C 之加速度。

4.13 一不可壓項之流體流經一輪機葉片，如圖 P

圖 P 4.5

圖 P

圖 P 4.10

圖 P 4.11

圖 P 4.12

4.13a 所示。在葉片上游與下游遠項之速度 為 V₀，沿近葉片的流項 AF 流體的速度測 量值，如圖 P 4.13 b 所示。描項沿流項上加 速度 a_s在流項方向分量為距項 s 的函數，討 論你的結果的項要特點。

4.14 流體沿 x 軸方向流動，其速度為 V
x
t

，式中 x 單位為 ft，t 為 s。a 畫出當 0  x

 10 ft，t
3 s 時之速率 b 畫出 x
7 ft ， 2  t  4 s 時之速率，c 求出局部及對流加 速度，d 證明在流場中任何流體質點之加 速度為 0，e 物理上解釋在此不項定流動 中，整個運動中質點速度如何項持一常數。

4.15 水躍是當液體在開放渠項流動時，其液體層 高度有相當快速的改變，如圖 P 4.15 所示。

在一相當短距項
，液體深度從 z1 改變到

z

5 m
s，V2
1 m
s 和

0.2 m，估項當 流經此水躍時，其平均減速度。此值有多少

g 的減速度？

4.16 項項一噴嘴，使流體以項性方式，從 V₁ 速度 加速到 V₂，即 V
ax  b，式中 a、b 為常 數。如果在 x₁
0 及 V1
10 m
s，而 x2項 1 m，V₂
25 m
s，決定局部加速度、對流 加速度及在點1、2 之加速度。

4.17 假項排氣管內之排氣溫度可近似地表示為 T

T01  ae^bx1  c cos t，方項式中 T0

100℃，a
3，b
0.03 m^1，c
0.05 及 
100 rad
s。如果，排氣速度為 3 m
s，

求當 t
0，流體質點在 x
0 及 x
4 m 項 之溫度隨時間的變化率。

4.18 流體中，其溫度的分布為 T
10x  5y，式 中 x 和 y 是水平和垂項座標，單位公尺，而

T 單位為 ℃。求流體質點沿

20 m
s， 項 0 或 b 垂項方向，u
0，

20 m
s 運動時，其溫度隨時間的變化 率。

4.19 假項從飛機機翼尖項所形成之漩渦的流項 項見圖 P 4.19項可以半徑為 r 的圓來近似。其 速率 V 項 K
r，方項式中 K 為一常數。求此 流動之流項加速度 a_s與法項加速度 a_n。

4.20 圖 P 4.20 所示，一項水流在它的軌項頂點位 項之水平方向速度為 1.80 ft
s。此點上流項 的曲率半徑項為 0.10 ft，求在此位項上法項 加速度。

4.21 水項定地流經一漏斗，如圖 P 4.21 所示。項 佈大部份漏斗之流動是接近一徑向項從 O 點 放射狀項條項流動，其速度為 V
c
r²，式

圖 P 4.13

圖 P 4.15

圖 P 4.19

圖 P 4.20

習題 131

中 r 為徑向座標，而 c 為常數。如果 r
0.1 m 項速度為 0.4 m
s，求在 A、B 點之加速 度。

4.22 空氣從管子流出，進入介於兩平行的圓項空 間，如圖 P 4.22 所示。在兩項中間的間項，

流體的速度非常接近 V
V0

R

，求 r
1、2 或 3 ft 項之加速度。

4.23 水以一常數的均勻速度 V
20 m
s 流過方 形截面的輸項管，如圖 P 4.23 所示。細想當

t

A

D 項上及位於 E－F 項上，並比較此三種 的答案。

4.24 在一閘門正下方水流的區域，水可項項展出 一項流區域，如圖 P 4.24 所示。速度分布假 項由二均勻速度區所項成。一區之速度 V_a
10 fps，而另一區為 V_b
3 fps。如果，渠項 寬為 20 ft，求在截面 2 流經控制表面部份 之水的淨流率。

4.25 空氣以均勻速率 10 m
s 流入一項管，如圖 P 4.25 所示。在項管出口之速度分佈並非均 勻。事實上，有一區域有分項或反向流動，

在 t
0 時，固定控制容項 ABCD 與系項項 項在一項項項一略圖表明項a 當 t
0.01 秒 時之系項 b 在此時段，已進入和已流出控 制容項之流體。

4.26 水流經一分歧管，如圖 P 4.26 所示，在 t
20 秒時，每一入口與出口之速度為均勻分 佈，固定控制容項與系項項項在一項。項項 一略圖表明項a 當 t
20.2 秒時，系項之邊 界 b 在此 0.2 秒期間，項開控制容項的流 體c 在此期間，進入控制容項之流體。

4.27 如圖 P 4.27 所示，兩平板以速率 1.0 ft
s，從 相反方向拉動，介於兩板間的油，其運動速 度為 V
10 y ft
s，方項式中 y 單位為 ft。

圖 P 4.21

圖 P 4.22

圖 P 4.23

圖 P 4.24

圖 P 4.25

與系項項項在一項。項項一略圖表明項a

當 t
0.1 秒時之系項，b 在此期間進入與 流出控制容項之流體。

4.29 水進入一寬為 5 ft、深為 1 ft 之渠項，如圖 P 4.29 所示。在入口截面上水的速度在渠項中 間部份為 6 ft
s，其項部位速度為 1 ft
s。在 遠項下游的出口截面上水的速度是 2 ft
s，

均勻分佈。在 t
0，固定控制容項 ABCD 與系項項項在一項。項項一略圖表明項a

在 t
0.5 秒時之系項 b 在此期間，進入與 流出控制容項之流體。

在

t

4.28 具有不同密度和黏性的兩種液體，填滿介於 兩互相平行的平板間項內，如圖 P4.28 所 示。底部平板固定不動。而上平板以速率 2 ft
s 作項動。速度分布由圖示的兩段項性分 布所項成。在 t
0，固定控制容項 ABCD

圖 P 4.27 控制容積

圖 P

圖 P

圖 P 4.26