B2-2-1 銳角三角函數
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「三角函數」是解析幾何的基礎, 同學認認真學哦...
1 三角學之源起 2 銳角三角函數
1 三角學之源起 1-1 三角學基礎
重點
「三角學」名詞 溯源
「三角學」(Trigonometry)一詞源自希臘文，“Tri"的字意是「三」，“gono"
的字意是「角」，而“metry"的字意則是「測量」，所以”Tri-gono-metry”合起來 的意思就是「三角形的測量學」。
三角學理論基礎 相似三角形對應邊成比 性質
若三角形相似,則其對應邊成比例,對應角相等
三角形中,角度相同之"三角比(三角形任兩邊長之比)"皆相同.
直角三角形中(∠C為直角),當銳角∠A固定不變時,其"三角比"(如:對邊 斜邊 , 鄰邊
斜邊 , 對邊
鄰邊 …),也隨之不變.
三角形中,大角對大邊(小角對小邊) 畢氏定理
5c2= a2Cb2
30°K60°K90°之直角三角形三邊之比為1 : 3 : 2 45°K45°K90°之直角三角形三邊之比為1 : 1 : 2
例題
例題1 三角學基礎
老師講解 學生練習
求左圖中的y值
1-2 三角學之應用 重點
三角學之應用 三角學是古代人用以觀測天象、測量航向及丈量土地(山的高度、兩地的距離) 的工具。而三角學在數學及自然科學上的應用則是用來解釋函數的週期及描述 圖形的波動及周而復始現象。
最早測量出金字 塔高度的人
Thales(泰利斯)是最早測量出金字塔高度的人。作法是先在金字塔前的地上立一 根預先量出長度(h)的柱子, 再利用正午時分測量此柱(s)及金字塔(S)的影長, 再配合測量所得的金字塔底寬(B), 最後再利用「直角形三角形相似法」便可求 出金字塔的高度(H).
H = h s # B
2 CS
例題
例題2 三角學之應用
老師講解 學生練習
某燈塔之影長為130公尺, 已知一根長為5公尺 的竹竿, 其垂直豎立後之影長為7公尺, 試求 燈塔的高度.
有一棵樹其影長為2公尺, 已知一身高150公分的 同學其影長為40公分, 試求此樹的高度.
[簡答]: 7.5 公尺
2 銳角三角函數
2-1 銳角三角函數之定義 重點
直角三角形的三 邊
直角△ABC有三邊：斜邊(Hypotenuse)、∠A的鄰邊(Adjacent Side)、∠A的對 邊(Opposite Side)
銳角三角函數之 定義
直角△三邊中任取兩邊共可產生6種不同的三角比, 統稱為"三角函數"
分子 分母
斜邊 鄰邊 對邊
斜邊 斜邊
斜邊 = 1
鄰邊
斜邊 % 1 =cosq 對邊
斜邊 % 1 =sinq
鄰邊 斜邊
鄰邊 R 1 =secq 鄰邊
鄰邊 = 1
對邊 鄰邊 =tanq
對邊 斜邊
對邊 R 1 =cscq 鄰邊
對邊 =cotq 對邊
對邊 = 1
sinA = 對邊 斜邊
a
c cscA =
斜邊 對邊
c a
cosA = 鄰邊 斜邊
b
c secA =
斜邊 鄰邊
c b
tanA = 對邊 鄰邊
a
b cotA =
鄰邊 對邊
b a
三角函數分為兩類, 共六種
正函數 餘函數
弦函數 正弦函數(sine) 餘弦函數(co$sine)
切函數 正切函數(tangent) 餘切函數(co$tangent)
割函數 正割函數(secant) 餘割函數(co$secant)
例題
例題3A 銳角三角函數之定義
老師講解 學生練習
設直角△ABC, 如下圖.試求∠A的六個三角函 數值.
設直角△ABC,如下圖. 試求∠A的六個三角函數值 .
[簡答] :
sinA cscA
cosA secA
tanA cotA
詳解
sinA cscA
cosA secA
tanA cotA
例題3B 銳角三角函數之定義
老師講解 學生練習
分別計算∠A之所有三角函數值 分別計算∠A之所有三角函數值
[簡答] :
sinA cscA
cosA secA
tanA cotA
詳解
sinA cscA
cosA secA
tanA cotA
例題4 銳角三角函數之定義
老師講解 學生練習
設θ為銳角且sinq = 2
3 , 試求θ之其他三角 函數值.
設θ為銳角且tanq = 1
3 , 試求θ之其他三角函數 值.
[簡答] :
sinA cscA
cosA secA
tanA 1
3
cotA
詳解
sinq 2
3
cscq
cosq secq
tanq cotq
例題5 銳角三角函數之定義
老師講解 學生練習
設θ為銳角, 試利用sinq表出其餘三角函數 設θ為銳角, 試利用tanθ表出其餘三角函數 [簡答] :
sinq cscq
cosq secq
tanq tanq cotq
詳解
sinq sinq cscq
cosq secq
tanq cotq
例題6 銳角三角函數之定義
老師講解 學生練習
設∠A為銳角, 2 secA K3 7 secA K 4 = 0 ,則secA =?
設∠A為銳角, 2 sinA K3 7 sinA K 4 = 0 ,則sinA =?
[簡答]: 4 7
例題7 銳角三角函數之定義
老師講解 學生練習
如圖.∠C=90°,a, b, c分別是:A,:B,:C的對 邊，若a Ob,下列何者正確？
(1)sinA>sinB (2)sinA>cosB (3)tanA>tanB (4)sinA<cosA (5)sinA<tanA
例題8 銳角三角函數之定義
老師講解 學生練習
如圖,P, Q, R, S,為圓周上的點,令∠POS=q1 ,:QOS=q2,:ROS=q3,
(1)比較sin q1,sin q2, sin q3的大小 (2)比較cos q1,cos q2, cos q3的大小
2-2 特別角的三角函數值 重點
常用角的三角 函數值
所謂的"常用角"指的是30°,45°,60°角. 常用角的三角函數值可利用直角三角形 直接求得.
參考圖 sinq cosq tanq cotq secq cscq
30° 1
2
3 2
1 3
3 2
3
2
45° 2
2
2 2
1 1 2 2
60° 3
2
1 2
3 1
3
2 2
3
特殊角的三角 函數值
所謂的"特殊角"指的是15°及22.5°和75°角, 特殊角的三角函數值可利用直角三 角形及輔助線衍生求得.
參考圖 sinq cosq tanq cotq secq cscq
15° 1
4 6
K 2
1
4 6
C 2
2 K
2 C
6 K
2
6 C 2
75° 1
4 6
C 2
1
4 6
K 2
2 C
2 K
6 C 2 6 K 2
22.5° 1
2 2
K
2 1/2
1
2 2 C
2 K 1
2 C1
4 K 2
21/2 1/
4 C2 2
67.5° 1
2 2 C
1
2 2
K
2 1/2
2 C1
2 K 1
4 C2
21/2 1/
4 K 2
2 1/2
例題
例題9A 特別角的三角函數值
老師講解 學生練習
試求特別角15°的六個三角函數值 試求特別角75°的六個三角函數值
[簡答]:
略
例題9B 特別角的三角函數值
老師講解 學生練習
試求特別角22.5°的六個三角函數值 試求特別角67.5°的六個三角函數值 [簡答]: 略
例題10 特別角的三角函數值
老師講解 學生練習
化簡
1 Csin30°C sin45° 1 Kcos45°
Ccos60°
化簡tan30°tan60°Ktan45°cos60°
[簡答] : 1 2
例題11 特別角的三角函數值
老師講解 學生練習
化簡 tan60°Ktan30°
1 Ctan60°# tan30°
化簡 tan60°Ktan30°
1 Ctan60°# tan30°
[簡答] : 33
例題12 特別角的三角函數值
老師講解 學生練習
設θ為銳角,且tanq = 3 4 ,則 sinq
1 Kcotq C cosq 1 K tanq =?
設θ為銳角,且tanq = 1 3 ,則 sinq C2 cosq
cosq K sinq =?
[簡答]:
7
2
例題13 特別角的三角函數值之應用
老師講解 學生練習
有一梯子長6公尺靠牆斜放與地面成60
°斜角, 試問梯腳距離牆角多遠?
有一梯子靠牆斜放與地面成60°斜角, 若 已知梯腳距離牆角3公尺,與地面成30°斜 角, 試問梯長多高?
[簡答]:
