5 9 , (2)

高雄市明誠中學 高二數學平時測驗 日期：100.06.08 範

圍 3-2.3 機率、期望值 班級 二年____班 姓 座號 名

一、填充題(每題 10 分)

1、 擲三粒公正的骰子，求：

(1)三個點數均相異的機率為___________.

(2)三個點數成等差的機率為___________.

答案：(1)⁵

9, (2) ⁷ 36

解析：(1)6 個點數選 3 個：

6 3 3

3! 5 6 9. C ×

=

(2)公差為 0：(1.1.1)(2.2.2)(3.3.3)(4.4.4)(5.5.5)(6.6.6)共 6 種，

公差為 1：(1.2.3)(2.3.4)(3.4.5)(4.5.6)共有 4 3! 24× = 種，

公差為 2：(1.3.5)(2.4.6)共有 2 3! 12× = 種，

共有 42 種，所求機率為 ^{42 7} . 216=36

2、 將 A, B, C, D, E 等 5 人的名片各一張，任意發給此 5 人，每人一張，則 (1)恰有 4 人得自己名片的機率為______.

(2)恰有 2 人得自己名片的機率為______.

(3)沒有任何 1 人得自己名片的機率為______.

答案： (1)0, (2)¹

6, (3)¹¹ 30 解析：

(1)∵4 人得自己名片，則第 5 人必得自己的名片, ∴所求機率為 0.

(2)選 2 人得自己名片，另 3 人錯排：

5 3 3 3 3

2( 0 3! 2! 1! 0!)1 2 3 1

5! 6

C C × −C × +C × −C ×

= .

(3) 5 人錯排：

5 5 5 5 5 5

0 5! 4! 3! 2! 1! 0!1 2 3 4 5 11

5! 30

C × −C × +C × −C × +C × −C × = .

3、 有 8 位旅客，搭乘一列掛有 4 節車廂的火車，則每節車廂皆有其中 2 位旅客的機率為_____.

答案：

2 13

3 5 7 2

⋅ ⋅

解析：先將 8 人平分為 4 組，再排列至節車廂機率為

8 6 4 2

2 2 2 2

8

4! 4!. 4

C C C C ×

4、 甲、乙兩人分別從 0 至 99 的 100 個數中，各自選出 3 個不同的數，則兩人所選的數至少 有一數相同的機率為_____________.(以最簡分數表示之)

答案： ⁷¹³ 8085

解析：

100 97

3 3

100 100

3 3

1 713 .

8085 C C

C C

− =

數字全不相同

5、 擲一公正骰子四次，則

(1)恰有兩次為同點數之機率為______；

(2)最大點數為 3 之機率為______.

答案： (1)⁵

9, (2) ⁶⁵ 1296

解析：(1)四次用了 3 個點數：

6 3

4

3! 4!

10 12 5 2! 2!

6 216 9

C P

⋅ × ×

= = = .

(2)點數 1.2.3 投擲四次中，至少一次 3 點：

4 4

4

3 2 65 6 1296 P= − = .

6、 有 n 個人玩擲一個骰子的遊戲，請問至少要有______人參加，才會有「至少一人擲出一 點的機率高於 90%」.(log 20.3010, log 30.4771)

答案：13

解析：『至少一人擲出一點』即『全－(沒 1 點)』

1 5 0.9 6

n

P= −   >

 

5 0.1 6

 n

⇒  <

  log 5 log 0.1

6

 n

⇒    <

log5 1 n 6

⇒ < − (log 5 log 6) 1

⇒n − < −

[(log10 log 2) (log 2 log 3)] 1

⇒n − − + < −

[1 2 0.3010 0.4771] 1

⇒n − × − < − ( 0.0791) 1

⇒ −n < − 1

0.0791 12.6

⇒ >n  , ∴n= . 13 7、 袋中有 3 白球,4 黑球,2 紅球，一次取兩球，取後不放回，則

(1)僅取一次，取到兩球同色之機率為______；

(2)先後取兩次，均取到同色球，取後袋中仍有白、黑、紅三色球之機率為______.

答案：(1) ⁵

18, (2) ¹ 21 解析：(1)2W、2B、2R：

3 4 2

2 2 2

9 2

3 6 1 5 36 18 C C C

P C

+ + + +

= = = .

(2)2W2B 或 2B2W,

4 3 3 4

2 2 2 2

9 7 9 7

2 2 2 2

C C C C

P=C ×C +C ×C 2 ^{6 3} 36 21

= × ×

×

1

=21.

8、 袋中有 3 白球,4 紅球,5 黑球，若每球被取的機會均等，今每次由袋中取一個，取後不放 回，連續取球，則白球先取完之機率為______.

答案：³ 4

解析：白球先取完即最後為紅或黑： ^{4 5 9 3}. 12 12 4

P +

= = =

9、 5 人同時玩猜拳(剪刀，石頭，布)遊戲一次，則平手之機率為______.

答案： ¹⁷ 27

解析：平手即全部－(一人贏＋二人贏＋三人贏＋四人贏)

5 3 4 5 3 3 5 3 2 5 3

1 1 2 1 3 1 4 1

5

1 1 1 1

1 3

C C C C C C C C

P= − × + × + × + × 5 10 10 5

1 81

+ + +

= − 51 17

81 27

= = .

10、 某一工廠生產燈泡,10 個裝成一盒，工廠品質檢驗的方法是從每盒中任取 4 個來檢查，如 有兩個或兩個以上的燈泡是壞的，則整盒淘汰.若某一盒有 4 個壞燈泡，則這一盒被淘汰 的機率是______.

答案：²³ 42

解析： 4 壞＋ 3 壞 ＋ 2 壞

4 4 6 4 6

4 3 1 2 2

10 4

C C C C C

P C

+ ⋅ + ⋅

= ^{1 24 90}

10 9 8 7 4 3 2 1 + +

= ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅

115 21 10

= ×

23

= 42.

11、 甲、乙、丙、……等 12 人，分住A、B、 C 三房間，每間 4 人，則甲、乙兩人住同一房 間之機率為______.

答案： ³ 11

解析：

10 8 4

2 4 4

12 8 4

4 4 4

2! 3!

3! 3!

C C C P C C C

⋅ ⋅ ×

= ⋅ ⋅ ×

3 45 45 11

= ×

×

3

=11.

12、 將四對夫婦共 8 人平分成四組，則每組中恰有一男一女的機率為______.

答案： ⁸ 35

解析：4 位先生在 4 位太太前排列： _{8 6 4 2}

2 2 2 2

4!

4!

P= C C C C

⋅ ⋅ ⋅

24

=105 8

=35. 13、 將 5 個不同的球丟入 3 個不同的箱子：

(1)每箱均有球之機率為______，

(2)恰有一個空箱之機率為______.

答案：(1)⁵⁰

81; (2)¹⁰ 27 解析：(1)每箱至少一球：

3 5 3 5 3 5 3 5

0 1 2 3

5

3 2 1 0 50

3 81

C ⋅ −C ⋅ +C ⋅ −C ⋅

=

(2)選 1 為空箱，另 2 箱每箱至少一球：

3 2 5 2 5 2 5

1 0 1 2

5

( 2 1 0 ) 10

3 27

C C ⋅ −C ⋅ +C ⋅ =

14、投擲四顆骰子有如下表的獎金，則期望值為______元.

出現 四骰子同點 恰三骰子同點 骰子兩兩同點 獎金 200 元 100 元 50 元

答案：13 ⁷¹ 108

解析：

6 6 2 2

4 4 4

4! 4!

6 200 2! 3! 100 2! 2! 50 13 71 .

6 6 6 108

C × × C × ×

× + × + × =

15、設有一袋裝有 1 號球 1 個,2 號球2 個,……, k 號球² k²個,……,25 號球25²個(1≤ ≤k 25),現 自袋中任取一球，設每球被取到的機會都相等，取中 k 號球可得 k 元，而取到 13 號球的 機率為______,則任取一球的期望值為______元.

答案： ¹³ 425,³²⁵

17

解析：(1)抽到 13 號的機率為

2

2 2 2 2

13

1 +2 + + +3  25

132 13

1 425.

25 26 51 6

= =

× × ×

(2)任取一球的期望值為

2 2 2 2

2 2 2 2

1 1 2 2 3 3 ... 5 25 1 2 3 25

× + × + × + + × + + + +

1 2

25 26 2 325

1 25 26 51 17 6

 × × 

 

 

= =

× × ×

(元).

16、袋中有 5 個紅球,4 個白球，由其中任意取出兩球，則兩球皆為紅球可得 20 元，兩球皆為 白球可得 10 元，則所得的期望值為______元.

答案：⁶⁵ 9 解析：

5 4

2 2

9 9

2 2

20 10 65 9

C C

C × +C × = .

17、擲三個硬幣，若出現三個正面可得 12 元，出現兩個正面可得 8 元，出現一個正面可得 4 元，為了公平起見，出現三個反面時應賠______元.

答案：48

解析：設賠k元， ¹₃ 12 ³₃ 8 ³₃ 4 ¹₃ ( ) 0 48.

2 × +2 × +2 × +2 × − = ⇒ =k k

18、袋中有 5 個紅球,4 個白球，今由其中任取兩球，則取得紅球之個數的期望值為______個.

答案：¹⁰ 9

解析：取 1 個球而為紅球的平均值為⁵

9,取兩個球而為紅球的期望值為¹⁰ 9 .

19、袋中有十個硬幣，其中有四個 10 元，三個 5 元，其他三個同值，若從袋中一次取出兩個 硬幣的期望值為 11.6 元，則其他三個硬幣之值為______元.

答案：1

解析：設其他三個硬幣之值為k元，一次取出兩個硬幣的期望值為 11.6 元 則取 1 個硬幣的期望值為^11.6 5.8 ^{4 10 3 5 3} 1

2 10

k k

× + × + ×

= = ⇒ = (元).

20、彩券發售 20 萬張，獎額如下：頭獎 2 張各得 50 萬元，二獎 3 張各得 20 萬元，三獎 5 張 各得 10 萬元，四獎 20 張各得 5 萬元，五獎 50 張各得 1 萬元，六獎 120 張各得 2000 元，

七獎 800 張各得 1000 元，八獎 5000 張各得 12 元，則 (1)中獎率為______. (2)購買 2 張的期望值為______元.

答案：(1)0.03, (2)47

解析：(1)2 3 5 20 50 120 800 5000 3 200000 100 0.03 + + + + + + +

= = .

(2)購買一張的期望值

2 500000 3 200000 5 100000 20 50000 50 10000 120 2000 800 1000 5000 12 200000

× + × + × + × + × + × + × + ×

1 (100 60 50 100 50 24 80 6)

=20 + + + + + + + 47

= 2 , 購買 2 張的期望值為2 ⁴⁷ 47

× 2 = (元).

21、數人賭博，其中一人作莊，不作莊的先交給莊家 3 元，並可得到擲一個公正銅板 1 次的 權利，規定：擲得正面時，莊家賠 5 元，反面莊家不賠，則

(1)不作莊的人期望值為______元，故此種玩法______(填上公平、不公平).

(2)若玩法公平時，當得反面時，莊家應賠______元.

答案：(1)2.5,不公平, (2)1 解析：(1)( 3) ¹ 5 0.5

− + × = −2 , 不公平.

(2) 設反面莊家賠k元，( 3) ¹ 5 ¹ 0 1

2 2 k k

− + × + × = ⇒ = .

22、10 個樣品中有 2 個不良品，今取出 3 個，則含有不良品個數的期望值為______個.

答案：³ 5

解析：取一個的不良品個數期望值為 ^{2 1}

10=5,故取三個的不良品期望值為 ² 3 ³ 10× =5.

23、擲一粒公正特製骰子兩次，骰子六面之點數為 1, 2, 2, 2, 3, 3,則兩次點數和的期望值為 ______.

答案：¹³ 3

解析：擲一次點數的期望值為1 2 2 2 3 3 13

6 6

+ + + + + = ,擲兩次點數和的期望值為¹³ 2 ¹³ 6 × = 3 . 24、將 3 個球投入三個不同的袋子裡，每次投 1 個球，連續投三次，則

(1)每個袋子都有球的機率為______.

(2)3 個球都在同一袋子的機率為______.

(3)空袋子個數的期望值為______個.

答案：(1)² 9, (2)¹

9, (3)⁸ 9

解析：將 3 個不同的球投入 3 個不同的袋中，每次投一球，其方法有3³ =27(種), (1)每個袋子都有球的情形有 3! 6= (種),所求機率為 ^{6 2}

27 =9,即空袋子個數為 0 的機率² 9. (2)3 個球都在同一袋的情形有 3 種，故所求機率為 ^{3 1}

27 =9,即有 2 個空袋子的機率¹ 9. (3)由(1)(2)知

空袋子的個數 x 0 1 2

機率 P 2

9

2 1 1− −9 9 1

9

故所求期望值 ( ) 0 ² 1 1 ^{2 1} 2 ^{1 8}

9 9 9 9 9

E x = × + × − − + × = (個).

25、袋中有 1 個 1 號球,2 個 2 號球,……,n 個 n 號球,……,25 個 25 號球,1≤ ≤n 25,現自袋中任 取一球，設每一個球被取到的機會都相等，而取得 n 號球可得(100−n)元，則

(1)取到 19 號球的機率為______. (2)而任取一球的期望值為______元.

答案：(1) ¹⁹

325, (2)83

解析：(1)總球數 1 2 3 25 ^{25 26} 325 2

= + + + + = × = ,∴取到n 號球的機率為 325

n ,

故取到 19 號球的機率為 ¹⁹ 325.

(2)^{1 (100 1)} 2 (100 2) 3 (100 3) 25 (100 25) 1 2 3 25

× − + × − + × − + + × −

+ + + +





2 2 2 2

2 2 2 2

100(1 2 3 25) (1 2 3 25 ) 1 2 3 25

100(1 2 3 25) (1 2 3 25 )

1 2 3 25 1 2 3 25

+ + + + − + + + +

= + + + +

+ + + + + + + +

= −

+ + + + + + + +

 



 

 

1 25 26 51 100 6

1 25 26 2

× × ×

= −

× ×

100 17

= − =83(元).

14、根據某家人壽保險公司的統計，在 A 地 50 歲的中年人活到 51 歲的機會有 0.992,現在此 保險公司出售一年 10000 元的壽險給與 50 歲的中年人，只需繳保險費 100 元，則該保險 公司可獲得期望利潤為______元.

答案：20

解析：0.992 100 0.008 (10000 100)× − × − =(0.992 0.008) 100 0.008 10000+ × − × =20.