階層線性模式路徑圖與策略化模型建構 機制
摘 要
多階層統計分析概念較之於傳統單一階層研究錯綜複雜，對習於單層 次研究設計者而言頗難理解其中道理，又多層次分析模型建構一直缺乏策略 化機制，造成無所適從的窘態。本研究提出一原發性之多階層路徑概念圖像 以及六步驟策略化模型建構機制，提供初學者從事多階層資料分析之指南。
文中並以美國大型國家研究計畫High School and Beyond之實徵資料，隨機抽 取得160所公私立高中7,185高三學生作為分析樣本，逐步示範六步驟模式發 展機制應用。研究結果顯示本研究概念圖與模型建構機制兼具探索與驗證模 型策略，可有效簡化模式發展並幫助研究者建立出兼顧理論與實徵的最佳適 配模式，而複核效化結果進一步顯示，二折半樣本分別驗證六步驟模式發展 機制所獲得完整模式，顯示本模型建構機制所推導之完整模式具穩定性，故 為一有效模型建構策略。本文最後針對可能之限制及未來發展方向提出若干 具體建議。
關鍵詞：階層線性模式、多階層路徑圖、策略化模型建構機制 王郁琮
國立彰化師範大學輔導與諮商學系助理教授
Abstract
For researchers familiar with conventional single level analysis, multilevel modeling often appears intimidating, not only due to the novel nested structure implied by the different “levels”, but also due the lack of conceptually oriented path diagrams and model development strategies. The purpose of this paper is to remedy this situation by providing a multilevel diagramming system and developing a strategic six-step HLM model development strategy to give researchers guidance in developing the best-fitting models. A random sample of data from the national study of High School and Beyond from the 80s in the US consisting of 7,185 high school seniors from 160 schools, public and Catholic, are used to illustrate the step-by-step model building strategy. Results show that a well- fitting model can be effectively and successfully obtained by using the proposed multilevel diagrams and the model development strategy. Results from a cross-validation study, using two split-half data sets, confirm the stability of the final model. Future directions and issues related to multilevel analysis are also discussed.
Keywords:hierarchical linear model, model development strategy, multi-level path diagram
Yu-Chung L.Wang
Assistant Professor, Department of Guidance & Counseling,National Chunghua University of Education
A Six-Step Standardized Model Development Strategy for
Hierarchical Linear Model
壹、緒論
一、階層線性模式的發展
當代行為科學研究法之兩大典範：多階層模型分析與結構方程模式，
雖皆可視為迴歸模型之衍伸，但其發展初衷與因應議題不盡相同。前者專 注於處理研究樣本資料巢套所造成之獨立假設違反以及組織脈絡變項對個 人變項所造成之跨階層交互作用等議題（林原宏，1997；高新建，1997；
溫福星，2006；Goldstein, 1995; Raudenbush & Bryk, 2002; Singer & Willett, 2003）；而後者則著重在分析多重變異量間之平均數和共變數，以探討潛在 變項及其相關議題（邱皓政，2003；黃芳銘，2002；Hair, Anderson, Tatham,
& Black, 1998; Joreskog, Sorbom, Toit, & Toit, 2001; Loehlin, 1987）。從理論 面而言，此二議題在社會科學研究領域具等量重要性，但從實際面而言，使 用結構方程模式之論文遠超過階層線性模式。深究其因，筆者認為大致可以 歸咎於下列四個因素：
以往傳統之統計方法在面臨組織與個人等不同層級資料時，多將組織 資料藉由散計（disaggregate）或個體資料藉由合計（aggregate）等方式設定 在一個階層再進行分析探討（溫福星，2006；Raudenbush & Bryk, 2002）。
以公式（1）表示則為：
其中i代表個體i，而p代表特定之獨變項p，由上述公式可以發現，所有的變 項都被視為同一階層下之特定單位（i）的相關訊息看待，個體分數可以被 平均數（或截距）、預測變項與誤差項解釋。許多學者呼籲不論是散計或 是合計，都會產生推論謬誤及估計參數值偏差等現象（林原宏，1997；高 新建，1997；溫福星，2006；Goldstein, 2003; Hox, 2002; Kreft & de Leeuw, 1998; Raudenbush & Bryk, 2002），故不在此贅述。因此，資料巢套相依 的相關概念，已經漸漸受到國內各學術領域學者的重視，其中包括教育心 理（吳璧如，2005；林俊瑩、吳裕益，2007；林原宏、張惟翔、吳子萱，
（1）
2008；張郁雯，2008；葛湘瑋，2004；蕭佳純，2007；蕭佳純、胡夢鯨，
2007；蕭佳純、董旭英，2007；Borman, et al., 2007；Gitelman, 2005；Li, Oranje, & Jiang, 2009； Powell, Diamond, Burchinal, & Koehler, 2010）、諮商 輔導（王郁琮、陳均姝、王麗斐、林美珠，2009；周玉慧，2009；陳均姝、
王麗斐、王郁琮，2008； Broome, Knight, Edwards, & Flynn, 2009；Huang, Wu, Hu, & Yang, 2006；Woodward, Das, Raskin, & Morgan-Lopez, 2006）、
組織管理（李新民、陳密桃，2007；林原宏，1997；林婷鈴、方文昌、許 窕容、蕭偉森，2007；林鉦棽，2005；邱皓政、溫福星，2007；高新建，
1997；陳玉樹、胡夢鯨，2008；溫福星、施逸琳，2007；蔡政安、溫福星，
2008；Chen, Lin, Lu, & Tsao, 2007；Magoshi & Chang, 2009; Nielsen, 2009；
Nikandrou, Apospori, Panayotopoulou, Stavrou, & Papalexandris, 2008；Wei, Han, & Hsu, 2010）、醫療行為（李靜芳、溫福星，2008；謝幸燕，2005；
Jia & Weiss, 2009）以及犯罪研究（任全鈞，2006；譚子文、廖世義，
2007；譚子文、廖世義，2008；Kleck, Sever, Li, & Gertz, 2005；Stack, Cao,
& Adamzyck, 2007；Yu, Li, & Scribner, 2009）等，然而一般研究者因為長期 接受單階層統計方法訓練，在面對其研究議題及所搜集之實徵資料時，仍然 很難跳脫既有之思維進入多階層之架構，進而在面對多階層資料時依舊傾向 以散計或合計來處理資料。
複雜的統計分析模式如能搭配簡明之圖像，不但會幫助學習者對新觀 念之理解與吸收，也能在資料分析上達到事半功倍之效果。結構方程模式 在推廣初期，便提出一套系統化之模式圖像，其中將變項分為潛在與觀察兩 大類，各以橢圓與方形代表，而變項間之關聯性則藉由箭頭表示，影響者 稱為外衍變項，位於箭頭之起點，而受影響之變項（或稱內衍變項）則位 於箭頭之終點。藉由此圖像系統，研究者可將原本繁複的理論畫成簡單明 瞭的圖像，而所有欲探討之變項間的關聯性皆可一一以迴歸公式展現出來
（Joreskog & Sorbom, 1989; McArdle & Boker, 1990）。筆者認為結構方程模 式因為其圖形之具像功能，並與迴歸分析聯結，而得以被研究者廣泛接受並 應用於資料分析上。反觀階層線性模式發展至今，依舊停留在繁雜的數學公
構方程模式背景之學者也嘗試以圖形來呈現階層變項模型（Heck & Thomas, 2000; Muthen & Asparouhov, 2009; Muthen, 1994; Metha & Neale, 2005），但 筆者認為這些學者之圖像具有若干缺點，例如未清楚展現階層之概念，也未 標明跨階層間變項之關係，讀者可以逕自參考以上文獻作進一步瞭解。
本研究目的之一即在呈現筆者2006年首創並經多次測試之一套簡明完 善之階層圖像系統，此系統與結構方程模式相呼應，可幫助初學者進入多階 層分析之思考氛圍。換言之，筆者之圖形系統將盡可能遵循結構方程模式既 有之規則，而階層之概念會被強化突顯。筆者期待藉由此圖形系統，使用者 可以將其欲驗證之複雜多階層關係具體且簡明地展現在圖像上，進而幫助釐 清其理論架構，甚至可將所有估算出之參數如同結構方程模式之研究，直接 呈現在圖形上。
階層線性模式之分析主軸在於低階層資料所完成之估計參數，成為高 階層之結果變項，並被進一步分析解釋。筆者以下標i與j代表個體與組織之 巢套關係，而以上標p與q代表上下階層之變項。以二階層模式為例，第一階 之結果變項 取決於三個估計參數包括截距（或組平均數） ，斜率（或 特定變項p在團體j之效果量） ，以及個別誤差 等。
以公式（2）表示之：
（2）而組平均數 與效果量 在第二階層將成為結果變項，並分別被其相 對應之截距、斜率與誤差變項解釋。而階層模型發展之所以困難，關鍵在於 截距、斜率、誤差等參數間互相獨立，一特定參數之存在，不必然影響另一 參數之存在性。換言之， 可以有七種可能解釋模式（其中較常被使用之 五種模式將在後面逐一討論），而 也可以有七種解釋模式，交互作用後 將形成四十九種可能之排列組合。雖然Raudenbush與Bryk提供了基本模式建 構要領（Raudenbush & Bryk, 2002），研究者如何有系統且具效率地決定最 適配模式，仍為階層模式應用之一大課題。
國內外近年來有關階層線性模式之應用研究顯示各研究間並未有一 嚴謹且系統化之模式建構步驟，國外雖有學者分別提出探索分析（Hox,
（2）
2002）與驗證分析（Snijders & Bosker, 2002）之不同機制，但都未獲認定為 標準程序。本研究之另一目的則在建立起完善有效之模式建構流程，為使階 層線性模式得以更清晰簡明的方式被了解，筆者嘗試整合以上二學者提出之 觀點，建構一套模式發展流程架構，期望能使階層線性模式更為研究者所 用，讓人文社會科學在研究上可以有進一步的突破。
貳、研究方法
一、階層線性模式的模式概念圖
階層線性模式的應用範圍相當廣泛，其理論架構包含多種不同解釋變 項之模型，其中最基本的便是隨機效果變異數模型、平均數迴歸模型、隨機 效果共變數模型、隨機係數迴歸模型及截距與斜率模型五種。為使這些模 型的應用方式更為人所瞭解，筆者參考目前國外SEM學者之多階分析模型
（Heck & Thomas, 2000; Muthen & Asparouhov, 2009; Muthen, 1994; Metha &
Neale, 2005）發展出以下之概念圖像（如圖1），圖一中首先以不同的平面 代表不同階層，藉此使不同階層的變項及作用方式更為簡明；其次，沿用結 構方程模式之規定，以箭頭表示變項間之關係，位於箭頭末端之變項可視為 解釋變項或外衍變項，而箭頭所指方向為結果變項或內衍變項。讀者會發現 在第一階層之參數包括組平均數（截距）與效果量（斜率）皆成為第二階層 之結果變項，以下便利用該概念圖像在二階層單因子的狀態下對上述五種基 本模型（溫福星，2006）進行解釋。
二、隨機效果單因子變異數模型（One-Way ANOVA with Random Effects）
階層線性模式主要用途在於檢視不同階層之變項或因素對第一階層結 果變項的影響，因此階層分析首要之務在於拆解第一階層結果變項之變異 量，以便瞭解其分布於不同階層間之情形。換言之，階層線性模式是否適 合應用於研究議題，研究者首先便需確認階層因素對其第一階層結果變項 影響是否實際存在，而隨機效果單因子變異數模型之功能便在於檢驗階層 因素之影響性。因此該模型為階層線性模式的基礎，又稱為零模型（Null Model），其應用公式為：
以上述公式參照圖1可知，第一階層中的結果變項 為個體i所屬之團體j之 組平均數 與第一階層個體之個別差異 之和；而團體平均數則為全 體平均數 與第二階層團體之個別差異 之和。其中全體平均數乃一 固定數值，故又稱固定效果（fixed effect），而團體差異會因個體所屬團體 不同而異，故又稱隨機效果（random effect）。
圖1 二階層線性模式概念圖
（3）
（4）
在此隨機效果單因子變異數模型主要檢視兩個部份，一是透過團體平 均數 之信度（reliability），確認是否可利用團體變項對依變項進行解 釋；另一則是透過計算組內相關係數（Intra-Class Correlation, ICC）係數，
瞭解第二階層的隨機效果佔整體變異量的比例，以確定階層因素對依變項的 影響力大小。組內相關係數ICC 的真正涵義，代表從任一總體環境（group 或context）下，任意挑選兩位受試者，其依變項間的相關係數期望值，是用 來捕捉組內或叢集內資料的相似性或是資料的不獨立性(Hox,2002)。
三、平均數迴歸模型（Mean-as-Outcome Regression）
相較於傳統迴歸致力於找出變項解釋個別差異的部份，階層線性模式 較為重視可解釋團體差異的變項，在確定階層因素會對依變項造成影響後，
平均數迴歸模型則試圖瞭解哪些階層因素會影響團體平均數，其應用公式 為：
平均數迴歸模型的公式與隨機效果變異數模式大致相同，唯一的差異即為平 均數迴歸模型試圖加入q個第二階層解釋變項 以便對團體平均數間之變 異量進行解釋。另參照圖一可知，該系列之解釋變項 屬於第二階層，
因此所投入之解釋變項 為第二階層的變項。
四、隨機效果單因子共變數模型（One-Way ANCOVA with Random Effects）
不同於平均數迴歸模型直接加入第二階層解釋變項，隨機效果單因子 共變數模型則是在第一階層維持傳統迴歸的解釋模式，其功能等同於控制變 項，亦即研究者在探討團體平均數差異前先對個體變項所產生之影響加以控 制。換言之，研究者認知到第一階層p個解釋變項 對結果變項 分別具 有特定之影響力 ，但視該影響為一固定常數 ，亦即其影響力不會隨組 別改變而變動。由公式可了解階層因素對團體平均數 的影響部份，維 持與隨機效果單因子變異數模型相同，而階層因素對斜率 的影響則設
（5）
（6）
為常數 ，僅瞭解其固定效果而暫時忽略隨機效果，擱置不做討論，其應 用公式為：
五、隨機係數迴歸模型（Random-Coefficients Regression）
在隨機效果單因子共變數模型中，僅討論階層因素對第一階層解釋變 項斜率之固定效果，而隨機係數迴歸模型則是同時考慮階層因素對第一階層 解釋變項斜率之固定效果與隨機效果，其應用公式為：
在隨機係數迴歸模型中，重點再次回到階層因素，除了確認階層因素對第一 階層解釋變項p之斜率之隨機效果 之外，透過檢驗階層因素對第一階層 解釋變項斜率之固定效果 的信度，亦可確定是否可以加入第二階層解 釋變項，以對第一階層解釋變項之斜率進行解釋。
六、截距與斜率模型（Intercepts- and Slopes-as-Outcome）
截距與斜率模型除了在第二階層加入解釋變項 ，瞭解哪些因素會 影響第一階層之團體平均數 外，亦試圖瞭解第二階層之第q個解釋變項
如何影響第一階層第p個變項之斜率 ，由於此模型無論是對第一階 層之截距 或斜率 都加入第二階層解釋變項 解釋之（其效果量分 別為 與 ）。因為此模型同時考慮兩者的固定效果與隨機效果，故又稱 為完整模型（Full Model），其應用公式為（如圖一）：
（13）
（14）
（15）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
（12）
上述五種模型為階層線性模式的基本模型，而目前並沒有一套系統性之模式 建構機制，研究者或許可依序檢驗不同變項之固定效果與隨機效果，或依理 論架構建構研究之完整模型，然而上列介紹僅以單因子為例，當研究變項不 只單因子時，模型的建構成為研究者相當大的挑戰，接下來筆者針對模型建 構歷程提出討論。
七、模型建構歷程
目前提出階層線性模式之模型抉擇方式較具代表性為Snijders與Bosker
（2002）以及Hox（2002）兩種方向，其中Snijders與Bosker（2002）所提之 建議，在進行階層線性模式分析時，應考慮的事項，乃是較為概念性的建 議，其認為進行階層線性模式分析時，應考慮之重點如下：1.變項必要性與 研究精簡性（parsimony）的取捨；2.統計顯著性與理論的取捨；3.固定效果 須有強力理論支持；4.由資料內容決定隨機效果；5.若交互作用達顯著，即 使造成交互作用的變項之主要效果未達顯著，則該些變項亦需被保留；6.若 隨機效果達顯著，則其固定效果須被保留；7.合計後的階層變項可能是個重 要的預測變項；8.若變項間產生交互作用，則交互作用不具隨機效果。
而Hox（2002）則是針對探索性研究提出下列步驟：1.先僅使用隨機效 果變異數模型並紀錄模型適配度；2.將所有最低階層之變項投入隨機效果 共變數模型，決定需要被保留之變項；3.檢視所有第二階層之變項之固定 效果，並比較模式間之適配度；4.檢視第三步驟的變項中具有隨機效果者；
5.將第四步驟中具顯著解釋力的變項依其隨機效果有無決定模型；6.將資料 折半，投入相同模型中，確認其顯著性是否與完整資料之模型相同。
筆者於本文中結合上述兩類模式建構機制，並發展出包含六步驟之模 型建制規則，更進一步繪製出模型建立機轉流程圖（如圖2）。最後，筆者 以實徵資料作檢驗，以確定在此所訂定步驟之正確性。筆者期望藉由此系統 化模式建構流程之發展，提供初次應用階層線性模式之研究者作為模型發展 之參考架構，並在資料分析上更加得心應手。
（一）步驟一：零模型
此步驟即為驗證階層因素是否對結果變項造成顯著影響之基礎模型。
於此步驟，除了檢查團體平均數（又稱截距，即 ）之信度，研究者另 需算層級相關（ICC）以確定解釋變異量於不同階層之分佈情形。信度係 數與一般測驗之信度同樣標準，一般而言以0.8以上則視為信度良好標準 (DeVellis, 2003)。但層級相關之標準則有許多說法，目前研究者普遍使用 Cohen（1988）所提出之標準，大於等於 .01、小於 .059 為低度關聯強度；
大於等於 .059、小於 .138 為中度關聯強度；大於等於 .138 屬於高度關聯強 度。若信度與層級相關皆達可接受之程度，則可進入下一步驟；若信度未 達標準，則顯示截距參數本身不甚穩定，不宜進一步分析。若層級相關未 達標準，則顯示階層因素對於結果變項不構成影響，故依傳統迴歸方法進 行分析即可。而在使用多階層分析軟體進行統計分析後，會計算出離異數
（deviance），此離異數即為模型與資料之適配度。一般而言，零模型因為 未使用任何解釋變項，也就是最簡化（或稱基底）的模型，故其離異數應為 最高，表示其為最不適配之模型。研究者多以此離異數為基底以便和後續模 型進行比較。
（二）步驟二：第一階層共變數模型
此步驟重點在於檢驗第一階層解釋變項對依變項的影響，因此可將所 有第一階層解釋變項投入，第二階層對團體平均數之解釋不變，但將第二階 層對第一階層解釋變項斜率之影響設為共變項以瞭解該些解釋變項之固定效 果。在此步驟中除同樣須檢視團體平均數之信度外，進一步檢視第一階層解 釋變項之固定效果量，確認第一階層之解釋變項是否對結果變項產生顯著影 響，並依顯著性大小，逐一剔除未達顯著之第一階層解釋變項後，依次檢驗 模型，最後比較此模型之離異數與步驟一之離異數。一般而言，此步驟之離 異數應顯著小於步驟一之離異數，即加入解釋變項之固定效果後之模型適配 度優於未有任何解釋變項之模型。
（三）步驟三：第二階層固定效果模型
在選定了所有第一階層解釋變項後便可進一步檢驗第二階層解釋變項
對團體平均數 的影響，此時筆者建議先還原第一階層至零模型狀態以便 完整測量第二階層解釋變項的影響。先將步驟二中加入的第一階層解釋變項 清除，以使接下來加入的第二階層解釋變項之效果達到最大，再將所有第二 階層的解釋變項加入，同樣檢視團體平均數 之信度以及第二階層每個 解釋變項之固定效果，若第二階層解釋變項之固定效果未達顯著則逐一剔 除。
若第二階層之解釋變項有兩個以上未達顯著，在決定被剔除之解釋變 項時可有下列兩種選擇：1.由統計顯著性決定，先將最不顯著之解釋變項剔 除，再重新計算每個保留之解釋變項的固定效果；2.由理論決定，保留較具 理論基礎之解釋變項。當此修改具有理論基礎，則以理論修改較佳，若無法 決定剔除解釋變項的方式，則可兩種方式都嘗試，並比較兩種模型之離異 數，選擇離異數較小，即適配度較高之模型，最後比較此模型與零模型之離 異數，若此模型之離異數小於零模型之離異數，即代表第二階層之解釋變項 確實會影響第一階層之效果，但使用不同的估計法會得到不同的適配度結 果，應特別注意其使用，相關文獻可以參考溫福星、邱皓政（2009）。
在模式離異數比較的部分，如果根據統計不偏估計的原則，則是較傾 向使用REML，但是在大樣本的情況下，當第二層組數很大時，這兩種估計 法FML 與REML 在估計變異數成分上的差異應該是很小的。由於估計法的 不同，所計算的參數個數亦不同，因此也會影響到整個模式的適配度差異 (溫福星、邱皓政，2009) 。
圖2多階層線性模型建立機轉流程圖
（四）步驟四：隨機係數模型
在前三個步驟中，主要檢視第二階層對第一階層團體平均數（即截 距）之影響，而第四步驟則是檢視第二階層對第一階層斜率之影響，但不同 於步驟二中僅考慮第二階層對第一階層斜率之固定效果。在此步驟中，需將 第一階層解釋變項固定效果達顯著之變項（即第二步驟中保留之變項）加入 模型中，但將第三步驟中第二階層之解釋變項清除，並將第二步驟中，第二 階層斜率公式中的固定效果 加上隨機效果 。
此處同樣要檢驗團體平均數（即截距）與第二階層各固定效果之信 度，若信度達標準，則可在完整模型中進一步分析；另需檢驗此模型中的第 二階層之隨機效果，保留達顯著者，未達顯著則逐一刪除，並在每刪除一未 顯著之隨機效果後再次檢驗其餘隨機效果，以此類推。在此步驟之模型確認 後，重新比較此步驟與第二步驟所得之離異數，由於此步驟將隨機效果納入 考慮，因此此步驟之離異數應小於第二步驟之離異數，即此步驟之模型應比 第二步驟適配性為高。
（五）步驟五：完整模型
經過前面四個步驟對不同階層之固定與隨機效果之逐一檢驗後，此步 驟即將前述四步驟中所有保留之效果全數投入模型中，包含第一階層具固定 效果之解釋變項、第二階層具固定效果之解釋變項、第二階層影響第一階層 斜率之固定效果與隨機效果。若第二階層影響第一階層斜率之固定效果信度 達標準，亦可加入第二階層之解釋變項。其中第二階層對第一階層斜率之影 響有三種可能，一為僅有固定效果、二為固定效果加隨機效果、三為固定效 果加解釋變項加隨機效果，可依前述步驟所得之結果，決定第一階層不同解 釋變項斜率受第二階層影響之效果，即為最後之完整模型。再次比較此步驟 與第四步驟所得之離異數，由於此步驟將所有顯著之固定與隨機效果納入模 式中，因此此步驟之離異數應小於先前四個步驟之離異數，即此步驟之模型 應為最適配模式。
（六）步驟六：複核效化
最後筆者參考黃芳銘（2002）在結構方程模式應用分析所建議之複核
模式之穩定度。值得注意的是，階層分析因為其資料具有巢套性，分析模式 亦分為組內與組間，故其複核效化分析遠較結構方程模式複雜，目前文獻亦 無針對複核效化進行研究探討，在此筆者乃針對第一階層之組內資料隨機折 半，以確保其組間（團體間）之母群代表性，並以第一份折半資料依先前五 步驟得到之完整模型中，再將第二份資料投入完整模型中，進行複核效化分 析。因為總樣本數減半，故此步驟之重點不在於比較模式離異數。另外組內 樣本數折半，進一步影響貝氏估計之估計標準誤，於是跨樣本之顯著效果一 致性檢驗時，亦需額外小心。
參、結果與討論
本研究之資料源自於美國一九八零年代大型之國家研究計畫High School and Beyond之研究資料，Lee與Bryk（1989）隨機抽取了大約相同數目之公 立與私立（天主教）學校共160所之高三學生共7,185人，研究人員收集了高 三學生之IRT量尺化之數學成績及其他社經背景資料，以學生數學成績為結 果變項，學生個人變項即屬第一階層解釋變項，而學生所屬學校之變項則為 第二階層。第一階層之解釋變項XP有：學生種族（X1）、學生性別（X2） 以及學生家庭社經地位（X3）等三項；第二階層之解釋變項Zq有：學校規 模（Z1）、學校制度（Z2）、升學比例（Z3）、管教程度（Z4）、少數族群 學生比例（Z5）、全校學生平均社經地位（Z6）等六項，針對該研究中各 變項之詳細描述與統計資料，讀者請逕自參考Lee與Bryk 之研究報告。本 研究依據其研究資料的假設，將驗證層一變項學生種族（X1）、學生性別
（X2）以及學生家庭社經地位（X3）以及層二變項學校規模（Z1）、學校制 度（Z2）、升學比例（Z3）、管教程度（Z4）、少數族群學生比例（Z5）、
全校學生平均社經地位（Z6）等可以預測學生的數學水平。
表1陳列各階層變項之描述統計。由表中得知完整樣本之總人數為7,185 人，其中有27%為少數族群(此處指非白人族群)，又女性人數佔總樣本之 53%。學生社經地位與數學成績二變項分別為平均數等於0.00與12.75、標 準差為0.78與6.88之標準化量尺分數，其中社經地位最低與最高分數分別為
-3.76與2.69，而數學成績則為-2.83與24.99。第二階層之資料則顯示本研究 資料收集來自160學校，平均學校規模為1097.83名學生，學校大小差異為 100至2,713人。160所學校中有44%為天主教學校，畢業後繼續升學與少數 族群學生比例分別為51% 與28%。管教程度與學校社經地位為二分變項，其 平均數都接近於零而標準差則分別為0.98與0.41，其最低與最高分（管教程 度與學校社經地位）差距大約在五個標準差上下。
筆者將此一完整資料：包括第一階層之7,185名學生與第二階層之160所 學校，依上述描述之模式建構流程分五步驟一一驗證，其結果陳列於表2如 下，筆者並針對各步驟實施之程序細節逐一進行討論。
表1 完整資料之描述統計 ( N =7185)
表2 多階層線性模式五步驟模型建立機制結果
**p＜.01；***p＜.001；( )內為估計標準誤。
一、步驟一：零模型
第一步驟如圖3所示，僅使用學校平均數 加上學生個人誤差 來 解釋學生分數 ，學校平均數是用全體平均數 加上學校誤差 。由 表二可知，所有學生平均數學成就為12.637；學校間之變異量為8.614；學生 間之變異量為39.145；其層級相關係數為0.319，達顯著，顯示學校階層確實 會影響學生數學成績，且學校平均數之信度達0.901，表示學校數學平均成 績可被進一步分析，故可進入第二步驟。零模型的離異數為47116.793。
二、步驟二：第一階層共變數模型
筆者將學生階層所有解釋變項投入，如圖4所示，即以學生性別、學生 種族以及學生家庭社經地位三個變項解釋學生的數學成就，並將學校特性對 學生性別、學生種族及學生家庭社經地位三個變項之影響設為固定效果，亦 即不隨學校變動而有差異。表二發現三變項對數學成就之影響皆達顯著，其 固定效果值分別為 -2.961、-1.230及2.089，且離異數也自零模型的47116.793 降至46392.547，△離異數 = 724.24600，△ df = 7。顯示加入此三項個人變 項後之模型適配度較零模型為佳，因此這三個變項將於完整模型中被保留。
另學校間之變異量在此模型中雖由零模型的8.614降至3.674，但其效果仍達
圖3 步驟一：零模型
顯著，表示學校之間尚有顯著之變異量，且其平均數參數之信度達0.811，
故可進入下一步驟，繼續對學校平均數進行分析。
三、步驟三：第二階層固定效果模型
在步驟三中如圖5所示，先移除步驟二納入的學生性別、學生種族與學 生家庭社經地位等三個學生階層的變項，改將學校階層變項之學校規模、學 校制度、升學比例、管教程度、少數族群學生比例及學校學生平均社經地位 等六個變項加入，以瞭解此六變項對學校平均數之固定效果分別為何。結 果顯示，此六變項影響學校平均數之固定效果分別為0.001、0.656、3.067、
-0.332、-1.298、3.652（未呈列於表2），其中學校規模、升學比例、少數族 群學生比例、學校學生平均社經地位四個變項之固定效果皆達顯著，故將保 留至完整模型中。
在學校階層解釋變項中，有學校制度與管教程度二變項之固定效果未 達顯著，但因沒有理論證實學校制度與管教程度兩者之效果何者影響最大，
因此筆者採用逐一剔除法，發現無論剔除哪個變項都會造成另一變項之固定 效果達到顯著，顯示此兩變項間具有共線性，在考慮精簡原則與研究理論
圖4 步驟二：第一階層共變數模型
後，筆者決定保留學校制度此變項之固定效果。
最後得到具固定效果之學校階層變項分別為學校規模、升學比例、
少數族群學生比例、學校學生平均社經地位與學校制度，重新投入模型後 之固定效果值為0.001、3.389、-1.333、3.628、1.005（見表2），且皆達顯 著。離異數也自零模型的47116.793降至46932.034，△離異數=184.75900，
△ df = 6。而其平均數參數之信度達0.666，屬於可接受範圍（DeVellis，
1998），故可進入下一步驟，繼續對學校平均數進行分析。綜合以上結果顯 示加入此五項學校變項後之模型適配度較零模型顯著提升。
四、步驟四：隨機係數模型
隨後進入步驟四時（如圖6所示），筆者先將步驟三的學校階層投入的 五個解釋變項移除，重新投入具固定效果之第一階層解釋變項，即學生性 別、學生種族與學生家庭社經地位三變項，但學校階層則只加入隨機效果。
此步驟中學校階層對學生階層解釋變項之固定效果與第二步驟差異不 大，且顯著性亦未改變，而學校階層影響學生性別、學生種族與學生家庭 社經地位等變項斜率之隨機效果分別為1.765、0.996、0.226 （未陳列於表 2），且皆未達顯著。Ballantine、 Jeanne與Spade (2001)指出性別與族群對教
圖5 步驟三：第二階層固定效果模型
育成就的影響雖然不比社經地位高，但常有交互作用的現象。亦即除學生家 庭社經地位外，學生種族與學生性別應會隨所屬校類別之不同而有差異，即 學校階層對學生種族與學生性別之斜率應具隨機效果。
在剔除學校階層影響學生家庭社經地位斜率之隨機效果後，重新分析 此模型，發現學校階層影響學生種族與學生性別斜率之隨機效果分別提升 為1.819、1.021（見表二），且皆達顯著，此一結果呼應筆者先前之假設。
本模型之離異數46370.723也較步驟二之固定效果模型的46392.547為低，△
離異數 = 21.82400，△ df = 3，顯示模型適配度因為加入隨機效果而獲得改 善。
然而研究者在檢視信度係數後發現，學校階層影響學生種族、學生性 別及學生家庭社經地位斜率之信度分別為0.179、0.213、0.103，因信度皆偏 低，故不宜再針對學校階層對學生階層變項之斜率進行分析，而學校平均數 之信度0.580，雖然略微偏低，但研究者仍然進一步完成完整模型。
五、步驟五：完整模型
綜合前四步驟之分析結果，得完整模型如圖7所示。即學生階層投入學
圖6 步驟四：隨機係數模型
生性別、學生種族與學生家庭社經地位等三變項，而學校階層對學生性別與 學生種族同時具有固定效果及隨機效果，但對學生家庭社經地位僅具固定效 果；另外在學校階層部份，影響學校平均數之解釋變項則投入學校規模、學 校制度、升學比例、少數族群學生比例、學校學生平均社經地位等五個變 項。
建立上述模型後，筆者發現學校階層之少數族群學生比例變項轉為不 具顯著性，因此再將此變項剔除，重新建立最後之完整模型，使所有效果皆 達顯著，最後所得之離異數為46276.983（見表2），相較於前四步驟之離異 數可以發現，完整模型之離異數最小，表示其適配度在所有模式中最佳。研 究者在檢視信度係數後發現，學校平均數、學生種族及學生性別之信度分 別為0.443、0.194、0.169，因所有信度皆偏低，顯示以上參數已經不具穩定 性，不適宜作進一步分析，故資料分析工作應就此停止。
六、複核效化分析
依上述五步驟建立完整模型後，筆者將先前之完整資料（學生7,185人;
學校160所）以SPSS13版之隨機樣本折半選取法，設定隨機選取約50%之第
圖7 步驟五：完整模型
一階層資料，取得第一階層折半樣本A與B，其樣本數分別為3,647與3,538學 生。描述統計分析發現二樣本間之特性分佈極為相似，少數族群與女生比 例在二樣本間分別為27%與28%，及51%與54%，數學成績也無顯著差異：
平均數分別為12.88與12.61、標準差為6.84與6.92。社經地位之平均數與標準 差完全相同，但是樣本A學生社經地位之異質性（-3.76至2.69）似乎較樣本 B（-2.84至1.83）為高，第二階層之樣本數維持與完整資料相同（160所學 校）。
複核效化分析之結果顯示，不論樣本A或B皆驗證前五步驟所歸納之完 整模型（見表3）。從表中讀者不難發現樣本A與B估算之固定效果與隨機效 果係數極為接近，個別效果之顯著性考驗除了樣本A之平均社經地位（固定 效果）與性別（隨機效果）不顯著外，其餘變項之顯著性考驗皆與完整模型 之結論一致。值得注意的是因為組內樣本減半（每學校之學生樣本人數折 半），導致樣本A與B之估計值與完整樣本不盡相同，另外折半樣本之估計 標準誤也較完整樣本為高，顯示其參數穩定性因為樣本減少而降低。從離異 數差異分析，當比較完整模型與零模型之離異數差異時發現，無論完整樣本 或折半樣本其完整模型之離異數與相對應零模型之離異數均達顯著減小，
完整樣本之離異數差異為839.81，相較於樣本A與B之離異數差異分別為 526.073與461.579，顯示完整模型更適合解釋高中生數學成績差異之現象。
綜合以上結論，本研究闡述之六步驟模型發展機制確實可以作為階層線性模 式使用者發展其分析模型之指南。
表3 多階層線性模型建立機轉複核效化分析
**p＜.01；***p＜.001；( )內為估計標準誤。
肆、結論與建議
多階層統計分析法因應巢套資料結構之相依屬性而發展，進而突破傳 統單階層研究設計思維，提供研究者更廣闊之研究探索空間。然而以往量化 研究訓練僅著重於單階層資料分析，再加上多階層模型建構步驟複雜且影響 因素眾多，導致階層線性模式在實徵研究未能普及。本研究主要貢獻在於提 出簡易具體的階層圖像，藉以突顯階層之概念並提升多階層分析之實用性。
從階層圖像繪製過程中，研究者可以澄清所欲收集變項所隸屬之階層，並進 一步思考其研究分析架構之合理性，進而避免收集不適當之資料或設定不 合邏輯之研究假設。當各階層變項被清楚地安排在其所屬之層面後，使用 者可以先檢驗第一階層（組內）變項間關係，再進一步瞭解第二階層（組 間）變項對第一階層變項效果量所產生之跨階層影響。此一程序與結構方程 模式建構程序中，先檢驗測量模式（measurement model）再分析結構模式
（structural model）有異曲同工之妙。值得注意的是本圖像可以擴充至三階 甚至更高階層，也可以用來展現其他更複雜之多階層分析模式例如潛在成長 曲線模式、多階層驗證因素分析、多階層結構方程模式及多階層試題反應模 式（MLIRT）等。有興趣之讀者可以參考王郁琮等人（2009）相關著作。
另外，筆者呼籲在使用階層線性模式分析前，應如同結構方程模式，
先詳細檢驗其理論關係模式後再加以驗證，而非單純採取探索性質完全任由 資料駕馭。換言之，研究者應自問是否每一固定效果與隨機效果之設定都有 其理論基礎，研究者更應清楚地瞭解每一設定之意涵為何。讀者使用本圖像 系統後將發現當分析模式複雜度越高時，本圖像系統將發揮越強大之統整效 果，並且藉由圖像繪製，讀者可以更輕鬆且清楚地界定出正確反應其理論假 設之階層模型。
本研究之另一貢獻在於建立一套系統完善周詳之策略性模式建構步驟 流程，此一模式建構系統提供明確、具體之實施步驟，解決一般研究者面對 階層線性模式諸多模式選擇的困擾。此系統主要依據下列估計參數包括跨階 層變異量分配情形（ICC）、貝氏估計值之信度、固定與隨機效果之顯著性 與模型離異數而成。
在從事多階層分析前，研究者首先必須檢驗結果變項之ICC以確定階層 效果或是資料群聚性存在，並同時檢驗所欲分析參數（截距或斜率）之信度 係數是否達到合理之範圍，以確保統計考驗力。筆者認為此二步驟極為重 要，但在一般研究報告中較容易被忽視，此乃因為傳統單階層分析並無階層 效果與信度概念。信度係數之解釋與傳統測驗理論相同，亦即真實變異量於 總變異量之比例（Raudenbush & Bryk, 2002），過低之信度代表參數本身不 具足夠穩定性，筆者建議不宜過度分析。
確認階層效果與參數信度後，模式建構流程分別依序檢驗第一階層固 定效果、第二階層固定效果、第一階層隨機效果，並同時搭配迴歸分析之逐 一剔除法，逐步雕塑完整模型之結構。值得注意的是，如實例展示步驟三，
筆者並非單純依賴資料顯著性，而是同時加入研究議題文獻結果，在模型發 展上做出主觀專業設定，使模型發展更加呼應既有之理論，筆者稱此為資料 探索與驗證雙軌模式。
在模式建構探索與驗證過程中，研究者需要不斷追蹤模型離異數以瞭 解模型發展是否朝向正確方向，換言之，模型發展演變是否愈來愈趨近吻合 資料。然而嚴謹之離異數比較需要在比較模型與其基底模型間存在著模型結 構巢套關係下進行（溫福星，2006；Raudenbush & Bryk, 2002; Raudenbush, Bryk, Cheong, Congdon & du Toit, 2004），故於本研究範例中，當筆者探討 第一階層固定效果（模型二）與第二階層固定效果（模型三）適配度時，分 別將該模型之離異數與零模型（模型一）比較。而在探討第一階層隨機效果
（模型四）時，該模型之比較對象轉為模型二，最後完整模型則再次與零模 型之離異數比較。本範例提供之離異數比較主旨在於闡述模型適配概念，至 於離異數差異之統計顯著性考驗並非本研究之重點，礙於篇幅不多陳述，
讀者可以逕自參考相關文獻作進一步瞭解（溫福星，2006；Raudenbush &
Bryk, 2002; Raudenbush et al., 2004）。
複核效化分析旨在探討完整模型在單一母群下之穩定度，文中使用之 折半樣本乃針對組內個數做隨機折半，以求在組間層面之母群代表性。因為 組內個數減半，自然導致模式的截距與斜率參數之估計標準誤提高，相對造 成其t檢定之顯著性降低。值得注意的是此一不顯著結果應被視為統計考驗
力下降，而非變項效果量降低。本研究之組間樣本數為160，讀者亦可針對 組間個數做隨機折半，再與本研究結果比較。然而組間折半或能保有較高之 統計考驗力，但其母群代表性將不如組內折半樣本。
綜合以上，本研究旨在提供概念圖像及模式發展機制，以幫助多階層 分析研究者建立其最佳適配多階層模型。然而多階層模式概念複雜且影響模 式發展之因素眾多，為了不讓系統過於繁雜，筆者於文中僅選擇較為重要之 影響因素探討。自然本模式發展機制有其限制，例如文中並未探討組內與組 間樣本數、殘差分佈（第二階層殘差變異數共變數矩陣）情形、貝氏參數縮 動（Bayes estimator shrinkage）、 變項之間共線性問題及參數估計收斂性等 因素對模式發展之影響，該等因素對模式發展的潛在影響可以參考溫福星與 邱皓政（2009）。後續研究者可以針對以上因素或更多其他相關影響因素作 進一步之分析與探討，也可以針對本文中之圖像與模型發展上加以改良，另 外研究者也可採取不同之折半樣本選取法與本研究之結果比較。本文闡述之 概念圖像與模式發展機制為國內之創舉，筆者希望藉由本文達到拋磚引玉之 效，也將持續多階層模式發展之研究。
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