我們得到 ˆ ln x dx = x ln x − ˆ x d(ln x) (1

1021微微微乙乙乙01-05班班班期期期末末末考考考解解解答答答 1. (15%) 令 In =

ˆ

(ln x)ⁿdx, n ≥ 1 (a) (6%) 求 I1 =?

(b) (6%) 把 I_n+1 用 I_n 表出。

(c) (3%) 利用(b)的遞迴式求 I4。

Solution:

令 In= ˆ

(ln x)ⁿdx, n ≥ 1.

(a) 使用分部積分法, 令u = ln x, dv = dx (2%), 我們得到 ˆ

ln x dx = x ln x − ˆ

x d(ln x) (1%)

= x ln x − ˆ

x · 1

xdx (1%)

= x ln x − x + C (2%)

註：未加上積分常數扣1分, 沒有計算過程根據規則得0分.

(b) 使用分部積分法, 令u = (ln x)ⁿ⁺¹, dv = dx (2%), 我們得到 I_n+1=

ˆ

(ln x)ⁿ⁺¹dx = x(ln x)ⁿ⁺¹− ˆ

x d(ln x)ⁿ⁺¹ (1%)

= x ln x − ˆ

x · (n + 1)(ln x)ⁿ· 1

xdx (2%)

= x(ln x)ⁿ⁺¹− (n + 1)In (1%)

註1：如果僅計算前幾個, 如I2, I₃,然後直接推論猜測規律出最後結果的人, 得到4分.

註2：使用別的方法計算出來的遞迴式也會有分數, 上述只是其中一個較好計算的結果.

(c) 根據遞迴式我們得到

I4 = x(ln x)⁴− 4I3

= x(ln x)⁴− 4x(ln x)³− 3I₂

= x(ln x)⁴− 4x(ln x)³+ 12x(ln x)²− 2I₁

= x(ln x)⁴− 4x(ln x)³+ 12x(ln x)²− 24(x ln x − x + C)

= x(ln x)⁴− 4x(ln x)³+ 12x(ln x)²− 24x ln x + 24x + C

評分方法：

(i) (b)若計算錯, 則(c)得0分.

(ii) 計算錯誤, 如正負號錯誤, 括號有誤等, 或是未加上積分常數總和至多扣1分.

(iii) 未使用(b)小題中所得到的遞迴式的人得1分.

2. (12%) (a) (6%) 求

ˆ x + 1

x²+ x + 1dx。 (b) (6%) 求

ˆ dx

e^x(e^2x− 1)。

Solution:

(a) ˆ

x + 1 x²+ x + 1 dx

=

ˆ x +¹₂

x²+ x + 1 dx +1 2

ˆ dx

x²+ x + 1 (2%)

= 1

2ln (x²+ x + 1) + 1

√3tan⁻¹( 2

√3(x + 1

2)) + C (4%) 在答案接近完整時，沒加 C 扣一分，但不重複扣!

(b) ˆ

dx

e^x(e^2x− 1), 令 u = e^x (2%)

= ˆ

(1 2

1 u − 1− 1

2 1

u + 1 − 1

u²) du (2%)

= 1

2ln |u − 1| − 1

2ln |u + 1| + 1 u + C

= 1

2ln |e^x− 1| −1

2ln |e^x+ 1| + e^−x+ C (2%)

3. (12%) (a) (6%) 求 ˆ ¹

2

0

x²√

1 − x²dx。

(b) (6%) 求 d dx

ˆ x² x

dt 1 + t⁵。

Solution:

(a) [6pts]

ˆ ¹

2

0

x²√

1 − x²dx

dx=cos θ

=====⇒

x=sin θ

ˆ ^π

6

0

sin²θ cos²θdθ [2pts]

sin²θ=^{1−cos 2θ}₂

=========⇒

cos²θ=^{1+cos 2θ}₂

ˆ ^π

6

0

1 − cos²2θ 4 dθ

= ˆ ^π

6

0

sin²2θ 4 dθ

sin²2θ=^{1−cos 4θ}₂

=========⇒

ˆ ^π

6

0

1 − cos 4θ

8 dθ [2pts]

=θ 8 − 1

32sin 4θ 

π 6

0

=π 48 −

√3

64 [2pts]

(b) [6pts]

d dx

ˆ _x²

x

dt 1 + t⁵

F (x)=´x 0 f (t)dt

=========⇒

f (x)= ¹

1+t5

d

dx{F (x²) − F (x)} [2pts]

=dF (x²) dx²

dx²

dx − dF (x)

dx [2pts]

Fundamental Calculus

==================⇒f (x²) · 2x − f (x)

= 2x

1 + x¹⁰ − 1

1 + x⁵ [2pts]

4. (12%) (a) (6%) 求 ˆ

sec³θdθ。(若知道 ˆ

sec θdθ 可以使用) (b) (6%) 求曲線 y = x²

2 + 1 由 x = 0 到 x = 2 之弧長。

Solution:

(a)

ˆ

sec³θ dθ = ˆ

(1 + tan²θ)secθ dθ

= ˆ

secθ dθ + ˆ

tan²θsecθ dθ (1 points)

= ˆ

secθ dθ + ˆ

tanθ dsecθ

= ˆ

secθ dθ + tanθsecθ − ˆ

sec³dθ (2 points)

= ln|secθ + tanθ| + tanθsecθ − ˆ

sec³dθ (2 points)

=⇒

ˆ

sec³θ dθ = 1

2ln|secθ + tanθ| +1

2tanθsecθ + C (1 points)

or ˆ

sec³θ dθ = ˆ

sec³θcosθ cosθ dθ

= ˆ

sec⁴θ dsinθ

=

ˆ 1

(1 − sin²θ)² dsinθ (Let u = sinθ) =

ˆ 1

(1 − u²)² du

=

ˆ 1

(1 − u)²(1 + u)² du (2 points)

= 1 4

ˆ 1

(1 − u) + 1

(1 + u) + 1

(1 − u)² + 1

(1 + u)² du (2 points)

= 1 4



−ln|1 − u| + ln|1 + u| + 1

(1 − u) − 1 (1 + u)

 + C

= 1 4

 ln

1 + u 1 − u    

+ 2u 1 − u²

 + C 1 

1 + sinθ

2sinθ 

(b)

ˆ ₂

0

p1 + (y⁰)²dx = ˆ ₂

0

√1 + x²dx (2 points)

(Let x = tanθ) =

ˆ _tan⁻¹₂

tan⁻¹0

√

1 + tan²θ dtanθ

=

ˆ tan⁻¹2 tan⁻¹0

sec³θ dθ (2 points)

= 1

2ln |tanθ + secθ| +1

2tanθsecθ

tan⁻¹2 tan⁻¹0

= 1 2ln|√

5 + 2| +√

5 (2 points)

5. (10%) 求由 x = 0, x = 1, y = 0, y =√

x²+ 1 所圍區域對 y- 軸旋轉的旋轉體體積.

Solution:

M ethod I ˆ 1

0

2πx√

x²+ 1 dx (5%)

= 2

3π(x²+ 1)³²|¹₀ (3%)

= (4√

2 − 2)π

3 (2%)

M ethod II ˆ ^√2

1

π(1²− (y²− 1)) dy + ˆ 1

0

π dy

= (4√

2 − 2)π 3

6. (15%)

(a) (8%) 寫出 f(x) = sin x 在 x = 0 處之第四次泰勒多項式，並寫出泰勒定理中之餘項。

(b) (7%) 求 sin 20^◦ 之近似值，誤差小於 10⁻⁴。答案可用 π 表示，不必帶入 π = 3.14 · · · ，餘項 需仔細估計，以證明近似值之準確度。

Solution:

(a)

f (x) = x − x³/3! + cos(c)x⁵/5! , form some c (b)

sin(π/9) = (π/9) − (π/9)³/3! + cos(c)(π/9)⁵/5! ( 3 points )

|R(π/9)| ≤ (π/9)⁵/120 , where R(π/9) means the remainder term ( 2 points ) compute (π/9)⁵/120 ≤ (2/5)⁵/120 ≤ 4/46875 ≤ 1/10000 ( 2 points )

7. (12%) (a) (6%) 求 lim

x→∞x^1x。 (b) (6%) 求 lim

x→0

ln(1 + x²) 1 − cos x 。 Solution:

(1)lim_x−>∞x^1x = lim_x−>∞exp(1

xln(x))(3pt) If has some calculation error 2pt

= lim_x−>∞exp(1

x)(LHrule) = 1(3pt) (2) lim_x−>0ln(1 + x²)

1 − cos(x)=lim_x−>0

2x 1+x²

sin(x)(LH rule) (3PT) =lim_x−>0

2 1+x² sin(x)

x

=2 (3PT)

8. (12%) 一人欲扛著長竹竿，要維持水平通過下圖之窄巷(寬為 1, 1 公尺)，請問竹竿之長度最長可 以幾公尺?



1

1

Solution:

Observe that the length must be not larger than f (θ) := 1/ sin θ + 1/ cos θ, so it suffices to find the min. of f. (3pt)

f⁰(θ) = sin θ/ cos²θ − cos θ/ sin²θ = sin³θ − cos³θ

sin²θ cos²cos²θ, so f’=0 at θ = π/4 (3pt); f’> 0 for π/4 < θ < π/2 and f’< 0 for 0 < θ < π/4 (3pt).

So length ≤ f (π/4) = 2√

2 ≤ f (θ) (3pt)