圓柱齒輪3D零件自動建模

2014 全國技專校院學生實務專題製作競賽 研究成果報告書

圓柱齒輪 3D 零件自動建模

參賽類群：A 機械與動力機械群 編號：(由主辦單位編列)

中華民國 103 年 3 月 21 日

1

圓柱齒輪 3D 零件自動建模

摘要

本專題目的在於撰寫一個能夠輔助設 計圓柱齒輪並自動於SolidWorks 中產生齒 輪零件檔的程式。此程式主要特色在於齒 輪外形計算過程，利用嚙合原理，可解出 齒條刀在設定路徑下切割出的齒形，包含 少齒數正齒輪、圓柱螺旋齒輪在製造時過 切的外型、及轉位後的齒型皆可正確計算，

亦可自訂刀具外型參數，藉此調整齒頂、

齒底間隙、齒隙、甚至計算大壓力角、矮 齒齒型，得到符合設計需求與齒輪實際成 品外型的 3D 模型，另外亦可輸出齒輪資 料表，其中包含基本齒輪參數、量測參考 值、齒輪組裝相關尺寸等資訊。

第一章 齒輪外型計算

1.1 刀具外型定義

本專題所研究的為對常見的漸開線齒 輪。但是並不直接以漸開線函式計算齒形，

而是從切銷齒輪的齒條刀開始下手：

首先定義齒條刀的外型，齒條刀斷面 外型由五條直線加上二個圓弧構成，形狀 簡單。但其中除了壓力角這個常見的設定 參數之外，還可以藉由齒冠高、齒根高、

節齒厚的參數設定來改變齒條刀的斷面外 1 型，此可用於調整齒輪齒頂齒底間隙、

製作齒隙、及矮齒、大壓力角齒型計算等 功用，讓程式不再只是侷限於標準齒型的 計算，多了許多變化的空間。

1.2 刀具路徑 – 過切與轉位

有了刀具斷面的外型後，再根據基本 輸入參數中是否有轉位係數而決定刀具路 徑。過度切削會造成齒跟強度降低，而轉 位具有避免過切、調整齒輪對中心距等作 用。以圓柱齒輪來說，若轉位係數為零，

則切銷時齒條刀節圓與齒輪節圓貼齊做純 滾動;若轉位係數不為零，則與齒輪節圓貼 齊的線就不再是齒條刀的節圓，如圖3：

圖 2 SolidWorks 齒輪對 3D 模型組合件

圖 1 齒條刀斷面圖

圖 3 過切(左)與轉位(右)下的刀具位置及路徑

2

1.3 解齒型 - 嚙合方程式

確定刀具路徑後，接著便可開始計算 刀具沿著路徑掃出的齒型。解題的方式是 利用嚙合方程式中 [接觸點速度與表面必 定垂直]的概念建立方程式，可解出刀具在 某個時刻與齒胚的嚙合點，嚙合點相連便 是齒型曲線，只要求出每條曲線的上下端 界線即可得到最後完整的齒型。此做法雖 然複雜許多，但可以模擬切銷的結果，求 解過切與轉位齒型，可盡量貼近齒胚經實 際加工後的理論外型。

由上述方法推得圓柱螺旋齒輪漸開線 及齒底導圓公式如下：

漸開線公式：

齒底導圓公式：

其中X、Y為齒面斷面輪廓點座標，ϕ為自 變數，𝑑

₁

₀

_𝑡

₁

_𝑛

_𝑡

圖 4 嚙合原理示意圖

𝑋 _𝑡 = [ 1

2 (ϕ ∗ 𝑑 ₁ − 𝑇 _𝑡 ) − 𝑥 ₁ ∗ 𝑚 _𝑛 ∗ tan( 𝜋 2 − 𝛼 _𝑡 )]

÷ [tan( 𝜋

2 − 𝛼 _𝑡 ) − tan(−𝛼 _𝑡 )]

𝑌 _𝑡 = 𝑋 _𝑡 ∗ tan(−𝛼 _𝑡 )

− 1 2 𝑇 _𝑡

X = (𝑟 ₀ + 𝑋 _𝑡 ) ∗ cos ϕ + 1

2 (𝑑 ₁ ∗ ϕ + 2 ∗ 𝑌 _𝑡 ) ∗ sin ϕ

Y = ( 1

2 ∗ 𝑑 ₁ ∗ ϕ + 𝑌 _𝑡 ) ∗ cos ϕ − (𝑟 ₀ + 𝑋 _𝑡 ) ∗ sin ϕ

u _𝑡 = 1

2 π − tan ⁻¹ 𝑐 _𝑏𝑦 − 1 2 𝜙 ∗ 𝑑 ₁

−𝑥 ₁ ∗ 𝑚 _𝑛 − 𝑐 _𝑏𝑥 𝑋 _𝑡 = 𝑐 _𝑏𝑥 − 𝜌 _𝑏 ∗ sin u _𝑡

𝑌 _𝑡

= −𝑐 _𝑏𝑦 − 𝜌 _𝑎 ∗ cos u _𝑡

X = (𝑟 ₀ + 𝑋 _𝑡 ) ∗ cos ϕ + 1

2 (𝑑 ₁ ∗ ϕ + 2 ∗ 𝑌 _𝑡 ) ∗ sin ϕ

Y = ( 1

2 ∗ 𝑑 ₁ ∗ ϕ + 𝑌 _𝑡 ) ∗ cos ϕ − (𝑟 ₀ + 𝑋 _𝑡 ) ∗ sin ϕ

3

第二章 圓柱齒輪 3D 零件自動建模 程式與其功能

2.1 主程式介紹

主程式為一個 Windows Forms 應用程 式，以 C#物件導向程式語言撰寫，搭配 SolidWorks API 進 行 3D 建 模 ， 以 及 OpenGL 含式庫進行動畫繪製，整個程式 撰寫皆在Microsoft Visual Studio 2010 下 進 行 。 此 程 式 能 以 外 掛 組 件 方 式 掛 在 SolidWorks 工作列上，或是做為一個獨立 程 式 運 作 。 前 者 在 使 用 時 事 先 開 啟 SolidWorks 後在上方選單開啟主程式；後 者則是直接開啟主程式，直到產生 3D 模 型時才自動開啟SolidWorks。

程式介面可分為三個區塊，包括左方 的輸入區、右上半部的齒輪資料顯示區、

與右下半部的動畫顯示區，如下圖所示：

2.2 輸入參數

計算齒輪時使用的輸入參數主要集中 在程式主畫面左方。基本參數包括模數、

齒數、基準壓力角、螺旋角、左右旋、轉 位係數、齒面寬；刀具定義參數包括齒冠 高、齒根高、節齒厚；其他如齒面拓樸線 數目、咬合軌跡顯示等分數目。

圖 6 主程式畫面

圖 5 主畫面參數輸入區

程式

SolidWorks API C#

OpenGL

4

2.3 齒型計算與建模方式

於程式中任一個輸入欄位按下 Enter 鍵即可重新計算齒形，其原理詳見第一 章。

計算齒形後可選擇替大齒輪或小齒輪 進行建模，整體建模流程為:

建立齒胚 > 畫拓樸線 > 疊層拉伸建 立齒面 > 除料 > 除料環狀複製排列 >

得到完整齒型

最後得出的齒面形狀依使用者指定的 齒面取樣數分為數層，每層由五條數條拓 樸線構成，五條拓樸線共有120 個拓樸點，

以疊層拉伸的方式構成齒面。

雖然在圓柱齒輪中不論正齒輪或螺旋 齒輪斷面形狀在軸向皆無變化，照理說採 用旋轉的方式長出即可生成螺旋齒輪，此 處至所以採用疊層拉伸的方式形成齒面是 為了日後在替傘齒輪、螺旋傘齒輪等各種 齒輪建模時可以沿用此建模方式。

2.4 齒輪參數計算

位於程式畫面右上區塊為各種齒輪資 料顯示，包含各種必要個齒輪計算參數，

例如齒輪對組裝時的中心距、齒冠高、齒 根高、齒頂齒底原直徑等，其計算公式參 考小原齒輪技術資料[1]。最終可輸出齒輪

資料表文字檔，作為製造商為生產所需數 據。

資料表中亦包含二種齒輪量測參考值，

分別為跨銷球及跨齒厚二種常見的齒輪量 測方式。其中跨銷的直徑與跨齒數在一開 始時會依小原齒輪技術資料[1]中所列的 公式計算最理想的值，讓量測時儀器與齒 輪接觸點盡量落在節圓附近，理由是因為 齒輪運作時接觸的部位多在節圓附近，故 該處尺寸最重要，但實際量測時量具會有 變動，銷求直徑與跨齒數可視需求更改。

圖 8 齒面拓樸線

圖 9 主程式參數顯示區域

圖 7 齒輪資料表

圖 10 跨齒後(上)跨銷球(下)量測法示意圖

5 表 1

資料來源: [1]

NO 參數名稱 代號 計算公式

1 齒直角模數 𝑚

_𝑛

基本輸入參數

2 齒數 z

3 齒直角基準壓力角 𝛼

_𝑛

4 螺旋角 β

5 齒直角轉為係數 𝑥

_𝑛

6 齒面寬 b

7 軸直角壓力角 𝛼

_𝑡

⁻¹

_𝑛

cos β ) 8 𝛼

_𝑤𝑡

_𝑤𝑡

_𝑛

_𝑛1

_𝑛2

𝑧

₁

₂

_𝑡

_𝑤𝑡

¹

²

2 cos β( cos𝛼

_𝑡

cos𝛼

_𝑤𝑡

11 中心距離 a ₍^𝑧

¹

²

2 cos β − 𝑦)𝑚

_𝑛

12 節圓直徑 d ^𝑧𝑚

_𝑛

cos 𝛽 13 基圓直徑 𝑑

_𝑏

_𝑡

14 咬合節圓直徑 𝑑

_𝑤

_𝑏

cos𝛼

_𝑤𝑡

15

齒冠高 ℎ

_𝑎1

ℎ

_𝑎2

(1 + 𝑦 −𝑥

_𝑛2

_𝑛

(1 + 𝑦 −𝑥

_𝑛1

_𝑛

16 全齒深 h {2.25 + 𝑦 − (𝑥

_𝑛1

_𝑛2

_𝑛

17 齒頂圓直徑 𝑑

_𝑎

_𝑎

18 齒底圓直徑 𝑑

_𝑓

_𝑎

6 表 2 螺旋齒輪跨齒數與跨齒厚計算公式

資料來源: [1]

表 3 理想銷球直徑計算公式表

資料來源: [1]

表 4 跨銷球尺寸計算公式表

資料來源: [1]

NO 參數名稱 代號 計算公式

1 f 𝑥

_𝑛

2 K

1 𝜋{(1

+ sin

²

cos

²

²

_𝑛

²

²

_𝑛

²

− 𝑖𝑛𝑣 𝛼

_𝑡

_𝑛

3 跨齒數 k 𝑘

_𝑡ℎ

_𝑡ℎ

_𝑛

_𝑛

_𝑡

_𝑛

_𝑛

_𝑛

NO 參數名稱 代號 計算公式

1 等價正齒輪齒數 𝑧

_𝑉

³

2 齒槽半腳 η

_𝑉

2𝑧

_𝑉

_𝑛

_𝑛

_𝑛

_𝑉

^′ _𝑉

⁻¹

_𝑉

_𝑛

𝑧

_𝑉

_𝑛

_𝑉

^′ _𝑉

_𝑉

5 理想銷球直徑 𝑑

^′ _𝑝

_𝑉

_𝑛

_𝑛

_𝑉

_𝑉

NO 參數名稱 代號 計算公式

1 銷球直徑 𝑑

_𝑝 使用與經由表 3 求得的銷球直徑相近的尺寸

2 ψ的漸開線函數 inv φ 𝑑

_𝑝

𝑚

_𝑛

2𝑧+ 𝑖𝑛𝑣 𝛼

_𝑡

_𝑛

_𝑛

4 跨銷球尺寸 M

偶數齒

^{𝑧𝑚 𝑛 cos 𝛼 𝑡}

cos 𝛽 cos 𝜑

_𝑝

^{𝑧𝑚 𝑛 cos 𝛼 𝑡}

cos 𝛽 cos 𝜑

^{90 ∘}

𝑧

_𝑝

7

2.5 OpenGL 動畫

即時圖像顯示對齒輪設計者有很大的 幫助，以圖像的方式顯示計算數據可以幫 助使用者直覺的判斷尺寸比例、過切程度、

齒輪對運作狀況等資訊，比起繪出模型在 SolidWorks 中檢視外型要方便、迅速非常 多，幾乎成為不可缺少的一部分。

本程式透過 OpenGL 函式庫的導入而 得以繪製2D、3D 動畫。其中主要透過畫 直線與三角平面兩個指令，透過有技巧的 使用，即可完成齒輪相對複雜的畫面繪

製。

2D 動畫中顯示齒輪斷面咬合狀況，同 時亦顯示齒頂圓、齒底圓、咬合節圓、接 觸線，每項可獨立開啟或關閉顯示，二齒 輪中心距可微調。

圖 11 2D 動畫顯示組合件模型預覽

圖 12 2D 動畫顯示組合件模型預覽

圖 13 軌跡圖顯示兩齒輪間的運作軌跡，更容易檢 查干涉、接觸範圍

//畫線指令開始

GL.glBegin( GL.GL_LINE_STRIP );

GL.glVertex3d( X1, Y1, Z1 );

GL.glVertex3d( X2, Y2, Z2 );

//畫線指令結束

GL.glEnd();

//畫三角平面指令開始

GL.glBegin(GL.GL_TRIANGLES);

//點 1

GL.glNormal3d( nX1, nY1, nZ1 );//面法向量 GL.glVertex3d( X1, Y1, Z1 );//點座標

GL.glNormal3d( nX1, nY1, nZ1 );

GL.glVertex3d( X1, Y1, Z1 );

//點 3

GL.glNormal3d( nX1, nY1, nZ1 );

GL.glVertex3d( X1, Y1, Z1 );

//畫三角平面指令結束

GL.glEnd();

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2.6 SolidWorks API 應用程式開發界面 API 全 名 Application Programing Interface(應用程式介面)，是做為程式與程 式之間銜接的方法之一，這次專題便是藉 由API將自記撰寫的WindowForm程式與 SolidWorks 2012做連接。

SolidWorks 提供的API能夠讓二次該 發的使用者以程式碼來操作SolidWorks幾 乎 所 有 的 功 能 ， 這 次 專 題 便 透 過 使 用 SolidWorks API 中 的 各 種 類 別 與 函 式 在 SolidWorks中建立、繪製零件檔。

SOLIDWORKS API主要應用物件：

ISldWorks：ISldWorks為最高等級的類別，

他其實就是SolidWorks的主視窗。當建立 此 類 別 的 物 件 時 就 相 當 於 建 立 程 式 與 SolidWorks之間的連結，如果SolidWorks 尚未開啟則會自動在背景運作下啟動，此 時將該ISldWorks物件底下的visible屬性設 為true即可看見SolidWorks的主畫面。

IModelDoc2：IModelDoc2為SolidWorks類

別底下的子類別，為所有SolidWorks檔案 共同的類別，你可以選擇讓其成為零件檔 (PARTDOC) 、 組 合 件 (ASSEMBLYDOC) 或是工程圖(DRAWINGDOC)。且所有可 對該檔案進行編輯的功能都為這個類別底 下的method，如繪繪製草圖時用的直線、

橢圓、中心線、方形、多邊形，或是長出、

除料、疊層拉伸等等，都是IModelDoc2下 的method。例：modDoc為IModelDoc2類 別物件，下列為IModelDoc2類別底下用座 標建立曲線的method。

SLDWORKS

MODELDOC2 MODELDOCEXTENSION

PARTDOC ASSEMBLYDOC

DRAWINGDOC

BODY2

VIEW SHEET

MATE

COMPONENT2

FEATURE

ATTRIBUTE

。。。。

。。。。

。。。。

SKETCH

。。。。

。。。。

。。。。

。。。。

modDoc.InsertCurveFileBegin ();

modDoc.InsertCurveFilePoint(X1, Y1, Z1);

modDoc.InsertCurveFilePoint(X2, Y2, Z2);

modDoc.InsertCurveFilePoint(X3, Y3, Z3);

. . .

modDoc.InsertCurveFileEnd();

9

第三章 成果與驗證

3.1 零件檔

此章節所有圖片為此程式實際產生三 維模型:

3.2 驗證-干涉檢查

繪製一對齒輪的 3D 模型之後，在 SolidWorks 中以公式計算出的中心距作組 裝，再以SolidWorks 自帶的干涉檢查功能 確認兩個齒輪是否相嚙合。

下圖方圖 17 為例，兩個齒輪模數 1.3mm、齒數皆為 7 齒、基準壓力角 20 度、

螺旋角30 度，左方齒輪作 0.6 倍模數的轉 位，右方齒輪不作轉位，為過切齒型。

以理論中心距11.182840163205578 毫 米取至小數點第四位 11.1828mm 進行第 一次干涉檢查，出現微量干涉，其中最大 干 涉 量 為 1e-005mm^3 ，干涉區域長約 3.192mm、寬約 0.0235mm，估計干涉深度

1e-005 / 3.2 / 0.0235 = 0.000133mm 然而實際上，將中心距加大0.13 微米，增 為11.18293mm，即可得到圖 18 無干涉結 果，若考慮到干涉面法向量角度問題，實 際干涉深度將比上方推算的 0.133 微米更 小，由此可見 3D 模型最終結果因小數點 取捨問題而有些微干涉，但仍有相當高的 靜確度。

圖 16 正齒輪，20 齒 壓力角 20 度

圖 14 過切正齒輪，7 齒 壓力角 20 度

圖 15 過切轉位螺旋齒輪，7 齒 壓力角 20 度

圖 17 干涉檢查，中心距 11.1828mm

圖 18 干涉檢查，中心距 11.18293mm

10

[1] KHK 小原齒輪工業, “齒輪技術資料,”

2012.

[2] 李羿慧, “正齒輪 SolidWorks 自動三維 建模方法之研究,” 台灣台北市, 民國 九十九年.

[3] F. L. a. F. A. Litvin, Gear Geometry and Applied Theory, 2nd edition, Cambridge University Press, NJ, 2004.