  §15.4 Double Integrals in Polar Coordinates

1      國立交通大學應用數學系 莊重教授 

§15.4 Double Integrals in Polar Coordinates

＊極座標積分

 

   



















































rdrd dA

A

r r r r

r R

A

b r a r R

ij

i i i

i ij

ij

細時 無窮 當等分成

將角度和半徑切很細時

"

"

2 1 2

of 1 Area

, ,

: ) , (

1 2

1 2

Theorem

：

(i). ^

  



f r r rdrd

dA y x

f

^b

a

R

 



^{( , )  ( cos  sin )}

(ii).

D





⁽

r

^,



^):











^,

h

1⁽



⁾

r



h

2⁽



⁾



. ) sin cos ( )

,

( ^{( )}

) (

2

 

1



^{ }

 ^







f r  r  rdr d 

dA y x

f

^h

h D

2      國立交通大學應用數學系 莊重教授 

Example 1

：

. 0 , 4 1

: . ) 4 3

( 

²



²



²

 

 ^{x y dA D x y y}

D

Solution

：

 

 

 ^{3 4}  ^.

15

sin 4 cos 3

4 3

2 2

4 1

2 0

2 1

2 2 2

2

 

2

 













 







dx dy y x

d rdr r

r dA y x

x x D











Example 2

：











 0 of 1

volume the

Find

2 2

z

y x z

Solution

：

 

 

^.

1 2

. 1 :

1

2 0

1 0

2

2 2 2

2

 

  











 



d rdr r

y x D dA y x

D

Example 3

：

1) height with Volume (Area

2 cos of

area the

Find

r







Solution

：

 





 

 



























d rdr

d rdr

2 cos 0

2 cos 0

4

) 1 ( 4

Area

Example 4

：

. 0

above

2 inside

y under

lies that solid the of volume the

Find ^{2 2}

2 2

















z

x y x

x

z

3      國立交通大學應用數學系 莊重教授 

Solution

：

 

 







 

















3

cos 2 0

2 2 2

d rdr r

dA y x V

D

地基

 

 cos 2 :

1 1

:

^{2 2}







 r D

y x

D

屋頂

2 2 2

r z

y x z







Example 5

：



 













64 1 16 16

4 of

volume the

Find

^{2 2 2}

2 2

z y x

y x

Solution

：



^{64 24 3}



8

16 2 2 ²

0 2 0

2

 







 







d rdr r V

地基

2 :

4 :

^{2 2}





 r D

y x D

屋頂

2 2

2 2

16 2

4 64

4 4 64

r r

y x z















Example 6

：



 













2 2

2 2 2

above

1

below lies

that solid the of volume the

Find

y x z

z y x

Solution

：

 

2. 1

1 1

2 2

2 2 2 2 2

2 2

2 2 2

































y x

y x y

x

y x z

z

y

x

4      國立交通大學應用數學系 莊重教授 

 



^{2 2}



1

2 0

2 1

0

2

 









 







d rdr r r V

地基

2 2

2 :

^{2 2}

1







r

y x D

屋頂

r y x z

r y

x z

















2 2

2 2

2

1

1

Example 7：

.

s coordinate polar

to converting by

integral iterated

the Evaluate

2 0

2 0

2 2

 

^xx2

^x

^

^{y dy dx}

Solution：



cos 2 2

2  ²  ² ²   



x x x y x r

y

   

9 . 16

0 cos 2 0

2 2

0 2 0

2 2

2







 

 





 

 d dr r

dx dy y x

x x

 

Example 8：

Use polar coordinates to combine the sum

 

 

 



 

^{2 }

2 4 0 2

1 0

1

2

1 1

2

2

xydy dx

^x

xydy dx

^x

xydy dx

x x

into one double integral. Then evaluate the double integral.

Solution：

16 .

15