Mystery of M‐theory

Singular states of Toda Theory   and N=2 Gauge Theories

Yutaka Matsuo  (U. Tokyo)

based on arXiv:0911.4787 (PRD) with S. Kanno, S.Shiba, Y. Tachikawa

NCTS‐NTHU 2010/04/16

§1 Introduction

Mystery of M‐theory

Strongly coupled system with strange internal  degree of freedom

M2 ~ O(N

) M5 ~ O(N

)

How to define multiple M‐branes?

M2 : BLG, ABJM...

M5 : ??  probably nonlocal field theory

Multiple M5  compactified on T² should produce N=4  nonabelian gauge theory.  Assuming the theory on M5 is  local, standard  KK reduction would give

vol(T²) Z

d⁴x Tr F² On the other hand, the gauge action is,

g^¡2 Z

d⁴x Tr F²

where the coupling constant g^‐2 is proportional to the modulus of T².  It implies that M5 action should not be local.

Why M5 action should be nonlocal?

Direct construction of M5 brane action ((2,0)  theory) would need  great inspiration

Æ It would be better to have some concrete hint  from a simplified set‐up

AGT relation?

Alday, Gaiotto, Tachikawa arXiv:0906.3219

N=2 gauge theory on X

Liouville

Toda theory on Σ

Multiple M5 compactified on X x Σ

Nekrasov’s

Partition function

Z^{N=2 SY M}(a; m; q) = he^{i~¯1¢~Á(z1)} ¢ ¢ ¢ e^{i~¯n¢~Á(zn)}i^Toda

Correlation function

Nekrasov’s partition function for N=2 quiver gauge theory

Z = Z_classZ_1¡loopZ_inst

Z_1¡loop : product of DOZZ factors: OPE coe±cients for vertex

¡₂(~a_i ¡ ~a_j + ²_i) etc.

Z_inst : product of factors associated with Young diagram X

Y~₁;¢¢¢ ;~Yn

Yn k=1

q_k^j~Ykjz_vec(~a_k; ~Y_k) £ ¢ ¢ ¢ z_vec(~a; ~Y ) =

Y

s2Y_k

Y

t2Y_l

(¡²₁L_Yl(s) + ²₂A_Yi(s) + a)^¡1 ¢ ¢ ¢

a: VEV of gauge field (Coulomb branch), m: mass of hyper multiplet ε: deformation parameter, 

q,τ: coupling const.

It may be possible to guess M5 brane dynamics through Toda  theory, W‐algebra, and N=2 quiver gauge theory

for example,

Geometrical interpretation of gauge symmetry behind W‐

algebra

Æ W gravity:  nonlinear higher spin gauge theory in 2D

In order to proceed such relation, we need to establish the link  with Toda theory more precisely

§2.  Virasoro, Liouville 

Toda  & W

Main strategy of 2d world

Strong command by symmetry

Virasoro algebra: infinite dim. symmetry  

determines the structures (such as correlation  functions) of the system completely for 

c < 1

Representation theory of Virasoro algebra: Highest weight module over

L_njhi = 0; (n > 0); L₀jhi = hjhi

|h> : highest weight state  Å Æ Primary fields V_h(z) [L_n; L_m] = (n ¡ m)L_n+m + c

12(n³ ¡ n)±_n+m;0

Among such states, there may exist so called Degenerate states |χ > which satisfies HWC. Such state is called singular  state or null state since all the inner product with other 

elements in the Hilbert space vanishes.  We write,

Hilbert space is spanned by the states like

L_¡n1 ¢ ¢ ¢ L_¡nrjhi

jÂi = (L

¢ ¢ ¢ L

+ ¢ ¢ ¢ )jhi L

jÂi = 0; (n > 0)

jÂi ¼ 0

Classification of the singular vectors is essential to 

understand the representation of Virasoro algebra as well  as the physics that is associated with the representation.

(cf. Minimal models)

For the application to AGT relation, we need to calculate  the correlation functions.

hV

(z

) ¢ ¢ ¢ V

(z

)i

where V_h(z) is the primary field  with conformal dimension h There are two different methods to compute such correlation  functions

1. Sandwiching  complete basis of Virasoro module 1 =

X

jvi2H

jvihvj

where  |v> is the orthonormal basis of the Virasoro module straightforward but analytic computation to all order is very  difficult.

2. Free boson representation Dotsenko and Fateev

Introduce Liouville field φ S =

Z

d²z £

(@Á)² + QÁR + ¹e^i®Á¤

Rewrite the vertex operator as vertex operator,

V

$ e

; h = 1

2 ¯

(Q ¡ ¯

)

The correlation functions are written as the 

correlation functions between vertex operators.  

However, an important fact is that one may introduce  so called screening operators

S

= Z

d³e

; 1

2 ®

(Q ¡ ®

) = 1

Such operators commute with all Virasoro generators:  it does not  change the conformal properties of the correlation functions. It  implies that the correlation functions are obtained in the following  form.

he^i¯1Á(z1) ¢ ¢ ¢ e^i¯nÁ(zn)S₊ ¢ ¢ ¢ S_¡ ¢ ¢ ¢ i

where the integration of the screening currents is performed along some particular paths, usually between z_i’s. It gives Selberg style  integral for parameter ζ

Z

d^r³₊d^s³_¡(³₊ⁱ ¡ ³_¡^j )^¡®+®¡(z_a ¡ ³₊)^¡®+¯a(z_a ¡ ³_¡)^¡®¡¯a

Dotsenko and Fateev has managed to integrate this expression to  obtain the exact expression for the four point functions for the some  minimal model.

Notice:  similar integration appears in the (generalized) matrix  model

How about the system with c > 1 ?

Virasoro symmetry is not enough to control the system:

Extended chiral algebras

Kac‐Moody : spin 1 current

Super Virasoro: spin 3/2 curren(s)

W‐algebra: higher spin currents (spin 3,4,5...) Zamolodchikov: add spin 3   ``W‐algebra’’

Fateev‐Lukyanov:  add 3, 4, ..., n‐1 ``W_n‐algebra’’

Definition of W‐algebra

Virasoro algebra + primary fields T (z)T (0) » c=2

z⁴ + 1

z²T (0) + 1 z@T T (z)W (0) = ¢

z²W + 1

z @W

Δ must be (half) integer to keep locality, modular inv. etc.

W (z)W (0) » c

3z⁶ + 2

z²T + 1

z³@T + 1

z²

μ 3

10@²T + 2q²¤

¶

+ ¢ ¢ ¢

¤ = : T² : ¡ 3

10@²T; q² = 3 22 + 5c For Δ=3

Feature of W algebras:

Nonlinear symmetry ( appearance of Λ ) Relation with Lie algebras 

higher spin generators can be constructed out  of Casimir operators

W₃ / d_abcJ^aJ^bJ^c : d_abc : 3^rd Casimir of g

Dimensions of extra generators: dimensions of Casimirs A_n : 2; 3; ¢ ¢ ¢ ; n

D_n : 2; 4; ¢ ¢ ¢ ; 2n

Free field representation of W

algebra

R_N =:

YN m=1

μ

Q d

dz + ~h_m ¢ @ ~Á

¶ :=

XN k=0

W^(k)(z) μ

Q d dz

¶_{N ¡k}

W⁽⁰⁾ = 1; W⁽¹⁾ = 0; W⁽²⁾ = T; ¢ ¢ ¢

R_N is called ``Quantum Miura transformation’’

which appeared in the context of integrable system to describe Lax operator

W: KdV potential etc,   φ: free bosons

Link with integrable models: KP hierarchy, Toda hierarchy

Minimal models of W

algebra

c = (N ¡ 1) μ

1 ¡ N (N + 1) p(p + 1)

¶

; p = N + 1; N + 1; ¢ ¢ ¢ Classify system with Z_N symmetry  with c less than N‐1 For applications of N=2 SYM

c = (N ¡ 1) ¡

1 + N (N + 1)Q²¢

; Q = b + 1=b = ²₁ + ²₂ p²₁²₂ It matches with chiral anomaly on M5

I₈(A_N¡1) = (N ¡ 1)I₈(1) + N (N² ¡ 1)p₂(N ) 24

observation by Alday, Benini, Tachikawa 0909.4776

Such relation exists for arbitrary ADE Lie algebras

Gauging chiral algebra: every chiral algebra  can be derived from gauge symmetry in 2D

(super) Virasoro: 2d (super) gravity Kac‐Moody: 2d Yang‐Mills

Virasoro: Knizhnik‐Polyakov‐Zamolodchikov

S = S₀ + Z

d²zh_zzT (¹¹ z);

h_zz : lightcone component of metric

r_zT¹ = @_zT ¡ 2@¹ _z¹h ¹T ¡ h@_z¹T =¹ c

12@_z¹³h

! @_z³_¹h = 0; h = J^(¡) + ¹zJ⁽⁰⁾ + ¹z²J⁽⁺⁾ Anomalous conservation law

J’s satisfy sl(2) current algebra

Extension to W‐algebra 

S = S₀ + Z

d²z(h_zzT (¹¹ z) + A_zzzW )¹

OPEs for h and A are described by sl(3,R) current algebra W‐gravity  : YM  ‘89

Correspondence between the representations of  sl(n,R) current algebra and W algebras 

for arbitrary A‐D‐E Lie algebra

Taking Conformal gauge

:     description by `free’ bosons

2d gravity sl(2,R) KM

KPZ

Liouville

(Distler‐Kawai)

W‐gravity sl(n,R) KM Toda

Toda field theory

S = Z

d²zp g

Ã

(@ ~Á)² + ¹

X

i

e^b~eiÁ~ + Q

4¼R~½~Á

!

§3 N=2 Gauge Theories

Quiver Diagrams

Graphic description of gauge group and matter  content of  N=2 gauge theories

n SU(n) gauge group

n Hypermultiplet with  n‐dim. 

representation 

n

n n Hypermultiplet with  

bifundamental representation 

2 2

2

2 2

N

=4 SU(2) gauge theory

Brane configuration in IIA and  Seiberg‐Witten curve

NS5

D4

Quiver diagram

Seiberg‐Witten curve

2 2

2

2 2

Brane configuration

(v ¡ ~m₁)(v ¡ ~m₂)t² +c(v² ¡ M v ¡ u)t

+c⁰(v ¡ m₁)(v ¡ m₂) = 0

Gaiotto’s curve (G‐curve)

puncture  hypermultiplet

cylinder  vector multiplet

modulus  coupling const.

S‐duality of the system is rewritten as the modular  transformation of G‐curve

For SU(N) (N>2), G‐curve is more complicated

n n n₁ n₂ n_r

Configuration of gauge groups can not be arbitrary to  keep conformal invariance

At a’s node, one has to attach k_a=2n_a‐n_a‐1‐n_a+1 

fundamental hypermultiplets to keep symmetry. k_a must  be positive.  So one must attach increasing/decreasing  sequence of numbers on the left/right ends.  In G‐curve,  these sequences are represented by punctures with the  label of Young diagram

d₁ d₂ d₃ d_r

Young diagram assignment

w_a = d_a+1 ¡ d_a;

X

w_a = N

w₀ w₁

w_l¡1 ... ...

N N

Examples

[1^N]

Full puncture

2 3 4 N [N‐1,1]

Simple puncture

G‐curve for linear quiver

...

...

Simple puncture

More nontrivial example...

T

theory

„No coupling constants

„tri‐fundamental matter which carries O(N³) dof

„Building block for general N=2 theories 

0 1

AGT conjecture 

Nekrasov’s partition  function for SU(2)  gauge theory

Liouville conformal  block 

(correlation function)

Z(q; a; m) = Z^treeZ^1¡loopZ^inst

q: coupling constant

a: VEV of adjoint scalar field m: mass of bifundamental

hypermultiplet

hV_®1(1)V_®2(1)V_®3(z)V_®4(0)i Translation rule

α_i Å a,m,       z Å q

Extension to SU(N) 

SU(N) N_f=2N, N=2 gauge theory Proposal: 

simple puncture <‐‐> a singular  vertex κω_n‐1 (Fateev‐Litvinov) full puncture <‐‐> generic vertex Using the result of correlation function by FL, one may 

reproduce Nekrasov’s partition function for SU(N) case also.

§4 Some original results

Construction of degenerate vertex for punctures with arbitrary Young diagram

Kanno‐M‐Shiba‐Tachikawa arXiv:0911.4787

• We construct singular vertex operators that corresponds  to the puncture associated to general Young diagram.

• This is necessary to establish general AGT relation for SU(N)

• So far, Nekrasov partition functions for linear quiver are  known so one may compare them with Toda correlation  function

• In Toda side, it may be possible to calculate correlation  function which gives a hint for partition functions of 

strongly coupled system (such as T_N)

• We will seek degenerate states which has null states at 

level one.  Only level one null states exist irrespective of the  central charge, this is what we need.

Construction of level 1 null states

Screening operator S_j^(§) =

Z dz

2¼iV_j^(§)(z) =

Z dz

2¼i : e^i®§~ejÁ~ : General discussion:  Kato‐Matsuda, Fateev‐Lukyanov

They commute with all W generators ^{[Wr; S}j^(§)] = 0 If we apply them to the highest weight state some times and if they are nonvanishing, they are singular vector

(S_j^(§))^`j~¯i = W_Yj~¯⁰i; j~¯i = e^{i~¯ ~Á}(0)j0i

In order to have level one null states, we need impose

~e_i ¢ ~¯ = 0; for some i

Since ^~ei = (0; ; ¢ ¢ ¢ ; 1; ¡1; 0; ¢ ¢ ¢ ) , this condition is equivalent to

¯_i = ¯_i+1; for some i It implies that β takes the following form,

¯ = (¯~ ₍₁₎; ¢ ¢ ¢ ; ¯₍₁₎

| {z }

l₁

; ¯₍₂₎; ¢ ¢ ¢ ; ¯₍₂₎

| {z }

l₂

; ¢ ¢ ¢ ; ¯_(s); ¢ ¢ ¢ ; ¯_(s)

| {z }

ls

)

Such states are indeed labeled by Young diagram

l₁ l₂

l_s

Why or how we can claim that this is the desired  vertex operator?

1. It should correctly reproduce the Nekrasov partition function Æ It requires the 

computation of correlation function.   We  are working on it (to be published soon,  hopefully)

2. It can correctly reproduce SW curve  Æ Yes, we could do it at least in the semi‐

classical limit

3. At least one can show that such operators  has real eigenvalues for W₀.   Æ OK. we  did it.

Reality of eigenvalues of W

looks like a trivial mathematical problem?

NOT REALLY SO since we have W‐system with c > N‐1!

β’s are not real nor pure imaginary but general complex number.

From the experience of Liouville, we expect to have

where p and ρ  are real.   However, it breaks the reality condition  of eigenvalues of W generators. Correct prescriptions seems to be

¯~ = ~p ¡ iQ~½

¯ = ~p ¡ iQ(~½ ¡ ½_Y ); ½_Y = (½_l1; ¢ ¢ ¢ ; ½_lr)

Eigenvalues (weight) of W‐generators can be written out of  power sum of βi.  With above combination, such power sums  becomes real.

In particular, vertex for massless matter fields corresponds to  p=0 limit in above formula.

Derivation of Seiberg‐Witten curve in semiclassical limit

Definition of W‐generators

R_N =:

YN m=1

μ Q d

dz + ~h_m ¢ @ ~Á

¶ :=

XN k=0

W^(k)(z) μ

Q d dz

¶_{N ¡k}

SW curve is expected to be described by <R_N V V... V>=0.

This is, however, difficult since we have factors of higher  derivatives in the def. of Ws.  So we take a `semi‐classical’ 

(or dispersionless) limit where we drop higher derivative  terms.  We may put

Q d

dz ! ix (c-number)

This limit can be justified when all mass parameters (or p in V) is very large

Semiclassical analysis

r_N =:

YN m=1

³

x ¡ i~h_m ¢ @ ~Á

´ :=

XN k=0

w^(k)(z)x^{N ¡k}

We evaluate the correlation function near the singular  vertex operator at z=0.  For  ^{¯ = (¯~ (1)}; ¢ ¢ ¢ ; ¯₍₁₎

| {z }

l₁

; ¯₍₂₎; ¢ ¢ ¢ ; ¯₍₂₎

| {z }

l₂

; ¢ ¢ ¢ ; ¯_(s); ¢ ¢ ¢ ; ¯_(s)

| {z }

l_s

)

h¢ ¢ ¢ ~r_N(z)V_¯~(0) ¢ ¢ ¢ >

= c₀

Y

k

(v ¡ ¯_(k))^ll + c₁z

Y

k

(v ¡ ¯_(k))^ll¡1(v^d1 + ¢ ¢ ¢ ) + ¢ ¢ ¢ where r~_N = z^Nr_N; v = zx

This is precisely the same as SW curve at z=0

In particular, for

¯ = (¯~ ₍₁₎; ¢ ¢ ¢ ; ¯₍₁₎

| {z }

l₁

; ¯₍₂₎; ¢ ¢ ¢ ; ¯₍₂₎

| {z }

l₂

)

l₁ l₂

We have very simple relation among level one states (mw₀^(m)w_¡1⁽ⁿ⁾ ¡ nw₀⁽ⁿ⁾w_¡1^(m))j~¯i ¼ 0

One may confirm this relation for the insertion of vertex  at arbitrary point

Toward proof of AGT relation

1. Formulae in the gauge side is completely known (after  Nekrasov)

2. Nontrivial issue is how to compute the correlation  functions in 2d side.

3. Two computation methods (insertion of complete basis & 

Dotsenko‐Fateev integral) give  some algorithm to give the  correlation function.

4. For the Virasoro case (N=2), this seems to be established  soon (some groups seem to be very close to it)

5. For the W case (N>2), there seems to be a technical  difficulty (Fateev‐Litvinov: treatment of W_‐1) which will  need some inspiration from W‐gravity 

§5  Summary and Speculation

We give (somewhat lengthy) review of Virasoro, W‐

algebra, W‐gravity etc with a hope that they will be  useful to understand M5 dynamics in the future.

We proposed the degenerate vertex of Toda theory  which should be used to derive AGT relation for 

SU(N) quiver gauge theories.

We proved, in particular, that Seiberg‐Witten curve  can be derived as VEV of quantum Miura 

transformation.

A difficulty for the W case (N>2)

We can not replace W_‐1 in the correlation function for  the generic case (except for the linear quiver where we  can use the null state condition)

We need extra coordinates to describe such generators The number of coordinates increases as N.  What is the  interpretation?

It may be possible to interpret such extra coordinates  as coming from the string dynamics instead of particles  on M5.