關於拋物線方程式的標準式與準標準式

許教授 ^講故事

◎許志農／台灣師範大學數學系

「從前…從前…有三隻小豬，叫做大豬、

二豬和小豬；大豬隨便築了草屋，二豬想木屋 應該就夠了，只有小豬用心築了磚屋。大野狼 一口氣把草屋吹壞，兩口氣也吹壞了木屋，最 後三隻小豬都躲在堅固的磚屋裡，大野狼才無 可奈何…。」這是每個小孩子都熟知的童話故 事：三隻小豬。前一陣子教育部長說「三隻小 豬」是成語，被小孩子吐嘈說：「三隻小豬是寓 言故事，不算成語。」在這裡我們介紹一則三 隻小豬的數學謎題：

1 在山谷的平地上，有三隻固執的小豬沿 著牠們自己的直線移動，每隻小豬都以自己固 定的速度前進。

大野狼在三個不同的時間點從山頂窺視，

發現三隻小豬當時所在的點分別共線。聰明的 大野狼猜想：「如果三隻小豬整個移動過程中都 沒有發生互相碰撞的情形，那麼任何時刻，三 隻小豬所處的點也都會共線。」你同意大野狼 的猜想嗎？

將平地看成平面，就可以把平地視為平面 坐標系，而小豬運動的直線就有兩點式、點斜 式、截距式及參數式等多種的表示方式。想想 看！利用哪一種比較容易解這道問題？

所謂的直線參數式就是說，每條直線L都 可以表示成

{

: x at b L y ct d

= +

= + ^（t為實數）

的形式。

設時間t時，三隻小豬的坐標為

1 1 2 2 3 3

(x ,y), (x ,y ), (x ,y ),

其中x_i與y_i（i=1, 2, 3）都是t的一次或常數 函數。

根據兩點式，通過(x₁,y₁)與(x₂,y₂)兩點 的直線方程式為

1 2 1 1 2 1

(y−y )(x −x)=(x−x)(y −y). 所以三隻小豬會共線的時間t就是方程式

3 1 2 1 3 1 2 1

(y −y )(x −x)=(x −x)(y −y) 的解。因為x_i, y_i的次數（t的次數）至多為一 次，所以此方程式的次數至多為兩次。又題意 告訴我們該方程式有三個不同的根。因此，該 方程式必須為零方程式，即任何時間t，三隻小 豬都共線。

關於拋物線方程式的標準式與準標準式

◎葉善雲／台北市東山高中

95 年大學指考數學甲選擇第 5 題：

在坐標平面上以Γ表示拋物線y=x²的圖形。

試問以下哪些方程式的圖形可以由Γ經適當的 平移或旋轉得到？ (1)y=2x² (2)y= −x² (3)x=y² (4)y=x²+4x+3 (5)x+ =y (x−y)²。 此考題前 4 個選項很容易判別（(1)不能，

(2)(3)(4)可以），至於第 5 個選項，一般（標準）

解題都將x+ =y (x−y)²旋轉45°或− °45 ，將它 化成拋物線的標準式： ² 2

x = 2 ⋅y或

2 2

y = 2 ⋅x，然後判定它不能由Γ: y=x²經適當 的平移或旋轉得到。我們的想法：從拋物線的正 焦弦長切入，拋物線的圖形經平移或旋轉後，正 焦弦長不會改變，也就是說，只要兩拋物線的正 焦弦長相等，它們就可經適當的平移或旋轉得 到。

說明：

^{拋物線Γ: y=x2的正焦弦長為 1。}

(1) ² 1

x = 2y的正焦弦長為1

2^{，它不能由}Γ經平 移或旋轉得到。

(2) x²= −y的正焦弦長為 1（實際上，它可由Γ 繞原點旋轉180°得到）。

(3) y²=x的正焦弦長為 1（實際上，它可由Γ繞 原點旋轉− °90 得到）。

(4) y=x²+4x+3的準標準式為

2 1

( 2) 4 ( 1)

x+ = ⋅ ⋅ +4 y

其正焦弦長為 1（實際上，它可由Γ經向量 ( 2 , 1)− − 平移得到）。

(5) (x+y)=(x−y)²的準標準式為

2 1

2 4 4 2 2

x y x y

 −   + 

= ⋅ ⋅

   

   ^{（後文說明）}

其正焦弦長為 1

2 ^{，它不能由}Γ經平移或旋 轉得到。

所以正確選項為(2)(3)(4)。

首先，我們引進「直線的單位法向量式」的 概念。二元一次方程式

0

ax by+ + =c 與k⋅(ax by+ +c)= （其中0 k≠ ）0 的圖形是同一條直線L，為了方便起見，我們取 方程式 2 2

1 (ax by c) 0 a b

⋅ + + =

+ 或

2 2

1 (ax by c) 0 a b

− ⋅ + + = +

來表示直線L，並稱它為直線L的單位法向量 式。例如： : 3L x−4y+ = 的單位法向量式為5 0

3 4

1 0

5x−5 y+ = 或 3 4

1 0 5x 5y

− + − = ；然後，我們

導出拋物線方程式的另一種形式—「準標準式」。

定理

（拋物線的準標準式）：

設Γ為以F h k( , )為焦點，L g x y: ( , )=0

（單位法向量式）為準線，M : ( , )f x y =0（單 位法向量式）為對稱軸（過焦點且垂直準線的直 線）的拋物線，則

(1) Γ的方程式為

[

^{( , )}

]

^{2 4 ( , ) ( , ) ( , )}

2 2

g h k g h k

f x y = ⋅ ⋅g x y −  呈現此形式的拋物線方程式稱為拋物線的 準標準式。

(2) Γ的頂點V x y( , )滿足 : ( , ) 0

( , ) ' : ( , )

2 M f x y

g h k M g x y

 =



 =

此時直線M'為通過頂點V 而垂直M的直 線（簡稱為頂線）。

(3) 令 ( , ) 2 g h k

c= ，則4c的絕對值為拋物線Γ的 正焦弦長。

在證明上述定理之前，我們先舉例說明此定 理的涵義，它可以涵蓋拋物線的標準式：y²=4cx 或x²=4cy，同時從準標準式可以直接讀出拋物 線的訊息：對稱軸、準線、正焦弦長以及頂線。

例如：

(1) 以F c( , 0)為焦點，L x: + =c 0為準線的拋物 線（此時對稱軸為y= ）之準標準式為 0 ^{y2= ⋅ ⋅4 c}

[

^{(x+ −c) c}

]

^{，即標準式y2=4cx。}

(2) 以F(0 , )c 為焦點， :L y+ = 為準線的拋物c 0 線（此時對稱軸為x=0）之準標準式為 ^{x2= ⋅ ⋅4 c}

[

^{(y+ −c) c}

]

^{，即標準式x2=4cy。}

(3) 以F(1 , 1)為焦點， :L x+ + = 為準線的y 2 0 拋物線（此時對稱軸為x− = ，頂點為y 0

(0 , 0)

V ）之準標準式為

2 4 2 4

2 4 2 2 2 2 2

x y x y

 −   + + 

= ⋅ ⋅ −

   

   

即(x−y)²=8(x+y)（已不是準標準式）或

2 2

2 8 8 0

x − xy+y − x− y= 。

定理證明：

(1) 設g x y( , )=ax by+ +d，其中a²+b² =1，且 ( , )

P x y 為拋物線上任意點，則根據拋物線的 定義^{PF=d P L}

(

^,

)

，得

2 2 2

(x−h) +(y−k) =(ax by+ +d) 展開並合併相同項得

2 2 2 2

2 2 2

(1 ) 2 (1 )

2 2 2 2

a x abxy b y

adx bdy hx ky d h k

− − + −

= + + + + − −

利用a²+b²=1得

2

2 2 2 2

( )

2 ( ) 2( ) 2

bx ay

d ax by hx ky d d h k

−

= + + + + − − −

……○¹ 由於

2( )( )

2( ) 2( )( )

bx ay bh ak

hx ky ax by ah bk

− − −

= − + + + +

且

2 2 2 2

(bh−ak) =h +k −(ah bk+ ) 在 ○¹式左右兩側分別加上

2(bx ay bh)( ak) (bh ak)2

− − − + − 與

[ ]

2 2 2

2( ) 2( )( )

( ) 2 ( ) 2 ( )

hx ky ax by ah bk

h k ah bk d ah bk d ah bk

− + + + +

+ + − + + + − +

得

[ ]

[ ] [ ]

2

2

( ) ( )

2 ( )( ) ( )

bx ay bh ak

ax by d ah bk d ah bk d

− − −

= + + + + − + +

所以

[

^{( ) ( )}

]

²

4 ( )

2 2

bx ay bh ak

ah bk d ah bk d

ax by d

− − −

+ +  + + 

= ⋅ ⋅ + + − 

亦即Γ的方程式為

[

^{( , )}

]

^{2 4 ( , ) ( , ) ( , )}

2 2

g h k g h k

f x y = ⋅ ⋅g x y − 

（此為準標準式）

(2) 另一方面，對稱軸M 與準線L的交點為

2 2

( , )

H b h−abk−ad −bd−abh+a k 故頂點坐標為

2 2

2 , 2

b h h abk ad a k k bd abh

V + − − + − − 

 

 

關於此定理，我們 引入下面的口訣來 幫助記憶：

「軸²=4c⋅頂線」

由於

( )

2 2

2

2

2 2

2 2

2 , 2

2

2

( ) 2

2

2 1

( , ) 2

b h h abk ad a k k bd abh g

b h h abk ad a

a k k bd abh

b d

ah bk a b d d

ah bk d

a b g h k

 + − − + − − 

 

 

+ − −

= ⋅

+ − −

+ ⋅ +

+ − + +

=

+ +

= + =

=

因為

所以頂點

2 2

2 , 2

b h h abk ad a k k bd abh

V + − − + − − 

 

 

在直線 ( , )

( , ) 2 g h k

g x y = 上。

(3) 由於拋物線的正焦弦長為焦點到準線距離的 2 倍，故Γ的正焦弦長為

2⋅d F L( , )= ⋅2 ah bk+ + = ⋅d 2 2c = 4c 。

＊例題 1＊

（取材自 龍騰版數學甲(上), P85 習題 8）

求通過點 (1 , 0),A B(1 , 1)，且以 :L y= 為對稱軸x 的拋物線方程式。

【說明】

以 :L y= 為對稱軸的拋物線方程式可設為 x : (x y)2 m x( y k)

Γ − = ⋅ + +

將A(1 , 0), B(1 , 1)代入 : (x y)2 m x( y k)

Γ − = ⋅ + + 可解得k= − , 2 1

m= − ，故Γ的方程式為(x−y)²= − + −(x y 2)或

2 2

2 2 0

x − xy+y + + − =x y 。

＊例題 2＊

（取材自 南一版數學甲(上), P165 例題 3）

討論二元二次方程式

2 2

: 4x 4xy y 2x 4y 8 0

Γ − + − − + = 的圖形。

【說明】

將Γ化成準標準式

2 2 2

: 4

5 5

x y x y

α c β

 − +   + +  Γ   = ⋅ 

   

顯然可得 1

0, , 4

c 2 5

α = = β = − ，即Γ可化成

2 7 1

2 1 2 2 2

: 4

5 2 5 5 5

x y x y

 + − 

 

 − 

Γ   = ⋅ ⋅ − 

   

（準標準式），可知Γ的圖形為一拋物線。

其進一步的訊息如下：

○^1EA 正焦弦長 1 2 4⋅2 5 = 5

A○^2EA 對稱軸方程式為 : 2 0M x y− =

A○^3EA 頂線方程式為 ' : 2 4 0M x y+ − =

A○^4EA 頂點坐標為M 與 'M 的交點 4 8 5 5, V 

 

 

○^5EA 準線方程式為 : 2L x+4y− = 7 0

A○^6EA L與M 的交點 7 7

10 5, H 

 

 

○^7EA 焦點坐標F為

8 16 7 7 9 9

2 , , ,

5 5 10 5 10 5 F = V−H =    −    = 

＊例題 3＊

若已知二元二次方程式

2 2 2

:x 6xy 9y (k 2)x (k 2)y 1 0

Γ − + − + + + + = 的圖

形為兩平行線，求 k 之值。

【說明】

Γ的圖形為兩平行線意謂Γ可化成 : (x 3y α)2 β

Γ − + = ，其中β > 0 比較 x 、y項係數及常數項可得方程式組

2 2

2 ( 2)

6 2

1 k k αα

α β

= − +

− = +

 − =



並解得k²+ −2 3(k+2)= ⇔ = −0 k 1或k= 。 4 當k= −1時， 1 ²

, 1 0

α= −2 β α= − < （不合）；

當k= 時，4 α= −3, β α= ²− =1 8。 此時

: (x 3y 3)2 8

Γ − − =

圖形為兩平行線，所以k= 。 4

＊例題 4＊

（取材自 92 年指考數學甲選填題第 D 題）

坐標平面上，當點P x y( , )在曲線

2 2

:x 2xy y 2x 6y 1 0

Γ + + − + + = 上變動時，求點 P到直線l x: − + =y 4 0的距離的最小值。

【分析】若直線 l 與Γ不相交且與準線平行，則 所求最小值即為頂點（在對稱軸上）到直線 l 的 距離，亦即頂線到直線 l 的距離。

【說明】

將 ² 1

: ( ) 2 3 x y x y 2 Γ + =  − − 化成

1 2 1 1 1

: 4

2 2 2 2

x y x y

 + +   − + 

Γ   = ⋅ ⋅ − 

   

可知Γ的圖形為一拋物線，其頂點為對稱軸 : 1 0

M x+ + = 與頂線y M' :x− = 的交點y 0 1 1

2, 2

V− − 。由於直線l x: − + =y 4 0與準線 1 0

x− + = 平行，且準線在直線 l 與頂線之間，y

推得直線 l 與Γ不相交，於是當點P變動到頂點 1 1

2, 2

V− − 時，點P到直線 l 的距離之最小值

為 4

( , ) 2 2

d V l = 2 = 。

底下，我們運用「拋物線的準標準式定理」，

探討決定唯一一條拋物線的條件。當拋物線之對 稱軸為鉛直線時，設拋物線之對稱軸為x− = ， h 0 準標準式為Γ: (x−h)²=4 (c y−k)，其中c≠0， 此時仍需三個獨立條件才可決定唯一一條拋物 線；當拋物線之對稱軸不是鉛直線時，設拋物線 之對稱軸為y=mx+d（其中 m 為其斜率），拋物 線方程式為Γ: (mx− +y d)²=4 (c x+my+e)，其 中c≠0，此時仍需四個獨立條件才可決定唯一一 條拋物線。

＊例題 5＊

（取材自 94 年指考數學甲選擇題第 9 題）

有一條拋物線位於坐標平面之上半面（即其y坐 標≥0），並與 x 軸、直線y= − 、直線x 1 y= − −x 1 相切，則下列選項何者正確？

(1) 此拋物線的對稱軸必為y軸。

(2) 若此拋物線的對稱軸為y軸，則其焦距為 1。

(3) 此拋物線的頂點必在 x 軸上。

(4) 有不只一條拋物線滿足此條件。

【說明】

就對稱軸是否有斜率分別討論，將條件代入標準 式或準標準式求解。

1. 當拋物線之對稱軸為鉛直線時：

設拋物線之對稱軸為x− = ，準標準式為 h 0 : (x h)2 4 (c y k)

Γ − = − ，其中c≠ 。 0

若Γ與 x 軸相切，則頂點在 x 軸上，於是 k= ，此時0 Γ: (x−h)²=4cy。

若Γ與直線y= − 相切，則方程式 x 1 (x−h)² =4 (c x−1)有重根，即

x²−2(h+2 )c x+(h²+4 )c =0有重根，於是 1

h+ = ……○c ^1E

由Γ與直線y= − − 相切，可得 x 1 1

h c− = − ……○^2E

由 ○¹○²解得h=0, c=1，此時拋物線為 :x2 4y

Γ = ，其焦距為 1。

2. 當拋物線之對稱軸不是鉛直線時：

設拋物線之對稱軸為y=mx+d（其中 m 為其 斜率），拋物線方程式為

Γ: (mx− +y d)²=4 (c x+my+e)，其中c≠0。 若Γ與 x 軸（y= ）相切（此時0 m≠0），則 方程式(mx+d)²=4 (c x+e)有重根，即

m x^{2 2}+2(md−2 )c x+(d²−4 )ce =0有重根，由 判別式得(md−2 )c²−m d²( ²−4 )ce =0，於是

2 0

c−md+m e= ……○^3E

由Γ與直線y= − 相切（此時x 1 m≠1），得

2 2 2

(m+1) c−(m −1)(d+ −1) (m−1) (m e− =) 0 ……○^4E 由Γ與直線y= − − 相切（此時x 1 m≠ −1）， 得

2 2 2

(m−1) c+(m −1)(d+ −1) (m+1) (m e− =) 0

……○⁵ 由 ○^3EAA○^4EAA○^5EA解得

2

2 2 2

( 1)( 1) 2 3 1

, ,

1 1 1

m m m m m

c e d

m m m

− + −

= = =

+ + + ^，

此時拋物線方程式為

2 2

2

2 2

3 1

: 1

4 ( 1)( 1) 2

1 1

mx y m m

m m m m

x my

m m

 − 

Γ  − + + 

− +  

= +  + + + 

（若拋物線Γ在上半平面，則對稱軸的斜率 m>1或m< − 。） 1

此拋物線的相關訊息如下：

(1) 正焦弦長為

2 2

4 ( 1)( 1) ( 1) 1

m m m

m m

− + + +

(2) 對稱軸方程式為

2

2

3 1

: 0

1 M mx y m

m

− + − =

+

(3) 頂線方程式為 2₂

' : 0

1 M x my m

+ +m = + (4) 頂點坐標為M 與M'的交點為

2 2

2 2 2 2

(3 1) 1

( 1) ,( 1)

m m m

V m m

− + − 

 

+ +

 

(5) 準線方程式為 :L x+my+ = m 0 (6) L與M 的交點為

3 2 2

2 2 2 2

4 ( 1)

( 1) , ( 1)

m m

H m m

 − − − 

 

+ +

 

(7) 焦點坐標為

2

2 2

2 1

2 ,

1 1

m m

F V H

m m

 − − 

= − =  

+ +

 

＊例題 6＊

（取材自 92 年指考數學乙選填題第 C 題）

已知坐標平面上的四個點，

( 1 , 2), (0 , 0), (1 , 2), ( , )

A− B C D x y

其中D為 AB 中點與BC中點的連線段的中點。

設有一拋物線通過 ,A D C, 三點，求此拋物線的 焦點坐標。

【說明】

AB中點為 1 2, 1

− 

 

 ，BC中點為 1 2, 1

 

 

 ，D點

坐標為(0 , 1)。就對稱軸是否有斜率分別討論，

將條件代入標準式或準標準式求解。

1. 當拋物線之對稱軸為鉛直線時：

設拋物線之對稱軸為x− = ，方程式為 h 0 : (x h)2 4 (c y k)

Γ − = − ，其中c≠0

將A( 1 , 2)− , C(1 , 2), D(0 , 1)三點分別代入

方程式得

2 2 2

( 1 ) 4 (2 ) (1 ) 4 (2 )

4 (1 )

h c k

h c k

h c k

 − − = −

 − = −

 = −



解得 1

0, 1,

h= k= c= 4，此時拋物線為 :x2 y 1

Γ = − ，其正焦弦長為 1，頂點坐標為

(0 , 1)

V ，焦點坐標為 5 0 ,4 F 

 

 。 2. 當拋物線之對稱軸不是鉛直線時：

設拋物線之對稱軸為 y mx d= + （其中 m 為其 斜率），拋物線方程式為

: (mx y d)2 4 (c x my e)

Γ − + = + + ，其中c≠ 0

將A( 1 , 2),− C(1 , 2), D(0 , 1)三點分別代入方

程式得

2 2 2

( 2 ) 4 ( 1 2 ) ( 2 ) 4 (1 2 ) ( 1) 4 ( )

m d c m e

m d c m e

d c m e

 − − + = − + +

 − + = + +

 − = +

 可解得

2 2

2

2 2

2

( 1)( 1) 4( 1) ,

5 3

2( 1), (3 1) 4 ( 1)( 1)( 1) , m m m

c m

d m m

e m m

m m m m

− +

= +

= +

+ +

= −

− + +

此時拋物線方程式為

2 2

2

2

2 2

2

5 3 : 2( 1)

( 1)( 1) 1

(3 1) 4 ( 1)( 1)( 1) mx y m

m m m m

m

x my m m

m m m m

 + 

Γ  − + + 

− +

= ×

 + ++ + − 

 − + + 

 

（對稱軸的斜率不可能為m=0, 1, − ，即對 1 稱軸不平行DC DC DCAC CD AD, ,

）。

以m=2為例，

拋物線

23 2 6 71

: 2 2

10 5 120

x y x y

   

Γ  − +  =  + − 

   ^，將它

化成準標準式

23 2 35 3

2 2

10 3 120 10

: 4

5 10 5 5 5

x y x y

 − +   + − 

   

Γ   = ⋅ ⋅ − 

   

   

   

可得下列訊息：

(1) 對稱軸為M: 20x−10y+23= 0 (2) 頂線為120x+240y−71= 0 (3) 頂點坐標為 481 209

600 300, V− 

(4) 準線方程式為 :120L x+240y−35= 0 (5) L與M的交點為 517 173

600 300, H− 

(6) 焦點坐標為 89 49 120 60, F− 

後記：

本文利用「拋物線的準標準式」提出關於拋物線的看法與解析，不論「94 年指考數學甲選擇題第 9 題」或「92 年指考數學乙選填題第 C 題」，解題的關鍵觀念均為：「若拋物線之對稱軸平行坐標軸，則由 三個獨立條件可決定唯一一條拋物線；否則需要四個獨立條件才能決定唯一一條拋物線。」因此，在解 題策略上，我們針對對稱軸的斜率，寫出符合給定條件的拋物線通解，並舉一特例作說明。一些出版社 或雜誌也有相關的討論，羅列如下：

1. 南一「高中數學新視界第 3 期」（代數解法）。

2. 南一「教學快訊之 94 年指考解析」（至少可找到三條拋物線）。

3. 翰林「數學天地第 19 期：拋物線的爭議」（給準線斜率 m ，其中 1− < < ，就有一條拋物線）。 m 1

4. 龍騰「數學新天地第 12 期：用 Lambert 定理作拋物線」（在上半單位圓取一點為焦點，由幾何作圖得 出拋物線）。

5. 龍騰「數學新天地第 10 期：誰怕坐標平移旋轉」。

6. 中研院「數學傳播第 117 期：94 年指定科目考試數學的一疑題（以明）及 94 數學(甲)指考中的拋物 線（劉紹正）」。

二次曲線 上哪個點離焦點最近？

◎莊勤忠、南婷婷／台北市立中山女高 自古以來，太陽一直與人類作息密切相關，

更是維持我們人類生活的重要關鍵，也因此引發 許多宗教及科學的熱烈討論。眾所皆知，伽利略 便為了堅持自己的理念，蒙上不白之冤；克卜勒 的行星三大運動定理為行星運動奠定了基礎，更 加說明地球運行的軌道為橢圓，而太陽位於其中 一個焦點上。

在某次的課堂教學中，進行到一個練習題，

題意如下：

某一行星運轉軌道為一橢圓，且以太陽為焦點。

設此行星與太陽最近距離為 100 萬公里，最遠距 離為 900 萬公里，當行星與太陽連線和橢圓長軸 成60°夾角時，如下圖所示。

試問此時行星與太陽的距離為多少萬公里? （此 為翰林版高級中學數學第四冊課本 P.42 的隨堂 練習）

圖中所繪最近點及最遠點即為長軸的兩頂 點，課本對此事實卻著墨不多，但仍免不了讓人 去懷疑這樣的事實是否為真。對自然組的學生而 言，或許就默認這樣的理論方便在物理上去解 題；但是對社會組的學生來說，就不是一件很自 然的事情了。在教學過程中，徒手繪製的橢圓並 不精確，焦點的位置也略有偏差，以目測的方式 可能會讓人誤以為橢圓上與焦點最近的點不是

長軸的頂點，但是這樣的結論與天文上的認知有 所不同。因此接下來的主題，便是討論橢圓上的 哪個動點，與焦點的距離是最近的？同樣地，其 他的圓錐曲線：拋物線與雙曲線，是否也會有類 似的特質呢？

以下，我們的證明方法相當簡單，不論是橢 圓、拋物線、雙曲線，都只用了基本的兩個觀念，

一個是圓錐曲線的幾何定義，另一個是三角不等 式，是很適合給學生做為思考、練習及統整的題 材。

《主題 1》

橢圓上與焦點最近的點為長軸頂點，即：

證明橢圓上任意點P，皆滿足PF1>AF1，其中 P≠A。

﹝證﹞

如圖，

取點A為橢圓右半部的頂點，點P為橢圓上任意 點。所以點A和點P滿足

1 2 2 , 1 2 2

PF +PF = a AF +AF = a. 因此，

2 1

2 1

2 ...(1) 2 ...(2) PF a PF AF a AF

= −

= − ^.

在△PF F_{1 2}中，因為三角形兩邊之差小於第三邊，

所以得到

2 1 1 2

PF −PF <F F . 又因為F F_{1 2} =AF₂−AF₁，所以得到

2 1 2 1

PF −PF <AF −AF .

將(1)(2)式代入得到

(

¹

)

¹

(

¹

)

¹

1 1

1 1

1 1

2 2

2 2 2 2 2 2

,

a PF PF a AF AF a PF a AF

PF AF PF AF

− − < − −

⇒ − < −

⇒ − < −

⇒ >

故得證。

《主題 2》

拋物線上與焦點最近的點為頂點，即：

證明拋物線上任意點P，皆滿足PF₁>AF₁，其 中P≠A。

﹝證﹞

如圖，

點A為拋物線上的頂點及點P為拋物線上任一 點，所以點A和點P滿足

( ) ( )

1 , 1, 1 , 1

PF =d P L =PP AF =d A L = AA . 在△PP F_{1 1}中，因為三角形兩邊之和大於第三邊，

所以

P F_{1 1}<PF₁+PP₁=2PF₁. 又因為△A P F_{1 1 1}為直角三角形，所以 斜邊 P F_{1 1}>股 A F_{1 1}=2AF₁. 因此，

1 1 1 1 1 1 1 1

2PF =PF +PP >P F >A F =2AF , 即

2PF₁>2AF₁ ⇒PF₁>AF₁, 故得證。

《主題 3》

雙曲線上與焦點最近的點為貫軸頂點，即：

證明雙曲線上任意點P，皆滿足PF₁>AF₁，其 中P≠A。

﹝證﹞

如圖，

取點A為雙曲線右半部上的頂點及點P為雙曲 線右半部上的任意點, 所以點A和點P滿足

2 1 2 , 2 1 2

PF −PF = a AF −AF = a. 因此，

2 1

2 1

2 ...(1) 2 ...(2) PF a PF AF a AF

= +

= + ^.

在△PF F_{1 2}中，因為三角形兩邊之和大於第三邊，

所以得到

1 2 1 2

PF +PF >F F . 又因為F F_{1 2} =AF₁+AF₂，所以得到

1 2 1 2

PF +PF >AF +AF . 將(1)(2)式代入得到

( ) ( )

1 1 1 1

1 1

1 1

1 1

2 2

2 2 2 2 2 2

,

PF a PF AF a AF a PF a AF

PF AF PF AF

+ + > + +

⇒ + > +

⇒ >

⇒ >

故得證。

以上的證明僅供參考。

我們提供的方式是使用最基本的定理及計 算來解決問題，其實證明的方法並不唯一，還可 以利用曲線上的參數式，透過三角函數一連串繁 複的計算後得到。或者分別計算曲線的焦半徑；

或者以焦點為圓心作圓等概念，也可以得到相同 的結果。或者你也有不同的想法呢？

12

圓錐曲線作圖法舉例

◎趙文敏／台灣師範大學數學系

幾何教學的困難點之一，就是教師不容易繪製 準確的幾何圖形以提供教師作解說或學生觀察之 用。隨著電腦科技的突飛猛進及幾何作圖軟體的開 發，繪製準確幾何圖形的工作可以由電腦來代勞，

而電腦使用者所要做的工作則是規劃各種指揮電 腦繪製幾何圖形的方法。例如：根據拋物線的定 義，至定點F及定直線 l 等距離的所有點構成一拋 物線；那麼，要繪製拋物線就需要知道：一、如何 作出至 F 及l等距離的單一的點？二、如何利用作 圖軟體的「軌跡」功能將前述單一的點轉化成拋物 線？此外，根據拋物線的其它性質，也可以使用其 他方法來繪製拋物線。因此，對曲線的性質所知愈 多，繪製曲線的方法也愈多。

在以往的幾何教材中，由於受到作圖工具的限 制及考試方式的影響，幾何作圖的教學並沒有受到 應有的重視，教材中屬於作圖教學的部分非常少。

即使在幾何作圖軟體方便好用的今天，幾何教材中 也沒有使用作圖軟體繪製幾何圖形的教材出現，這 種現象難免可惜。在本文中，筆者舉出二十種繪製 圓錐曲線的方法，提供給有興趣的讀者參考。根據 這些方法，利用作圖軟體都可以在電腦上繪製圓錐 曲線。對初學圓錐曲線的學生來説，能在電腦螢幕 上作出這些圖形，應該是一件令人興奮的事吧！

本文中的圓錐曲線作圖法分成四部分：一、錐 線作圖法；二、拋物線作圖法；三、橢圓作圖法；

四、雙曲線作圖法。在每一種作圖法中，先介紹各 種作圖法供讀者練習，接著給出各作圖法的理論根 據或證明。

一、錐線作圖法舉例

1. 錐線作圖法一(已知焦點、準線與離心率)：

給定一點F、一直線 l 及一正數 e ，且點F不 在直線l上。

設點F至直線 l 的垂足為D，在 FD 上作點A

使得 AF e

AD= ，設過點A而與 FD 垂直的直線為 l0。對於直線 l 上異於D的任意點X，過X作 l 的 垂直線l_X，設線段 FX 與直線l₀交於點N_X，以點

NX 為圓心作一圓c_X與直線l_X相切，過點F作圓 cX的切線。當點X在直線 l 上變動時，點F至圓c_X 的切線與直線l_X的交點P_X、Q_X（可能只有一點）

所成的圖形，就是以點F為焦點，直線 l 為對應準 線， e 為離心率的錐線。

《圖一(1)》

《圖一(2)》

《圖一(3)》

【原理】

連接P N_{X X} （參看圖一(3)）

因為∠XP N_{X X} = ∠FP N_{X X}，所以依三角形內角平分 線的性質，可知

X X

X X

P F N F P X = N X .

另一方面，因為AN_X 與 DX 平行，所以可得

X X

N F AF e N X = AD = .

由此可知：

X X

X X

P F P F

P l P X e

= =

至焦點 的距離

至準線 的距離 ^.

請注意！因為上述作圖法中只考慮直線 l 上 異於D的任意點X，所以所得的點P_X與Q_X不會 在直線FD上。換言之，交點P_X、Q_X 所成的圖形 Γ，其實是上述錐線去掉直線FD上的（一個或兩 個）頂點。（參看圖一）

2. 錐線作圖法二(已知焦點、準線與離心率)：

給定一點F、一直線l及一正數e，且點F不 在直線 l 上。

設點F至直線 l 的垂足為D，以點F為圓 心、e FD⋅ 為半徑作一圓 c 。對於圓 c 上（但不在 直線 l 上，也不在直線FD上）的任意點X，過F 作 DX 的平行線l_X 與直線 l 交於點Q_X，設過點Q_X 而與 l 垂直的直線交直線FX 於點P_X。當點X在圓

c上變動時，點P_X 所成的圖形就是以點 F 為焦 點、直線 l 為對應準線、 e 為離心率的錐線。

《圖二(1)》

《圖二(2)》

《圖二(3)》

14

【原理】

因為△FQ P_{X X}〜△XDF（參看圖二）

所以，可得

X X

X X X

P F P F FX

P至焦點 的距離l =P Q = FD =e

至準線 的距離 ^.

請注意！因為上述作圖法中只考慮在圓 c 上 而不在直線FD上的任意點X，故所得的點P_X不 會在直線FD上。換言之，交點P_X 所成的圖形Γ， 其實是上述錐線去掉直線FD上的（一個或兩個）

頂點。另一方面，若圓 c 與直線 l 不相交，則上述 錐線是橢圓；若圓 c 與直線 l 相切，則上述錐線是 拋物線；若圓 c 與直線 l 有兩相異交點，則上述錐 線是雙曲線。當點X是圓 c 與直線 l 的交點時，沒 有對應的點Q_X與點P_X，或是說，此時的點P_X是 上述拋物線或雙曲線上的無窮遠點。（參看圖二）

3. 錐線作圖法三(已知五點)：

給定平面上的五個相異點 A、B、C、D 與 E ， 且其中任意三點都不共線。

設直線AE與BD交於點R。對於通過點R的 每一條直線 x ，設直線 CD 與直線 x 相交於點

QX、直線CE與直線 x 相交於點P_X、直線AQ_X與 直線BP_X相交於點F_X 。當直線 x 在過點R的線束 中變動時，點F_X 所成的圖形就是過五點A、B、

C、D與E的錐線。（參看圖三）

《圖三》

作圖法三中所作的錐線，到底是圓、橢圓、雙 曲線或拋物線，這是依給定的五個點的位置所決定 的，而無法像作圖法一和作圖法二做清楚地分類；

而且僅用肉眼觀察它們的位置，也不容易判斷它們 所決定的錐線是哪一種。例如：給定四點A(0,1)、

(0, 1)

B − 、C(1, 2)與D(1, 2)− 。若將第五個點選為 下述四點之一（請注意：下述四點彼此的距離最大 值是0.3）

1

1, 0 E −5 

 ；E₂(2− 5, 0)；

3

1, 0

E −3 ； ₄ 1 2, 0 E − ；

則根據第五點的四種不同選擇，所決定的錐線分別 為橢圓、圓、拋物線、雙曲線。

【原理】

作圖法 三就是一 般所稱的 「五點決 定一錐 線」，此作圖法的理論根據是下面的 Pascal 定理。

下面我們只寫出 Pascal 定理的內容，而將證明略 去。

【

Pascal 定理

】

設Γ為圓或橢圓或雙曲線或拋物線，而A、 B、C、D、E與F為Γ上六相異點。

(1) 若直線BF與直線CE交於點P、直線 CD與直線AF交於點 Q 、直線AE與直線BD交 於點R，則點P、 Q 與R共線。

(2) 若直線BF與直線CE交於點P、直線 CD與直線AF交於點 Q 、直線AE與直線BD平 行，則直線 PQ 與直線AE、直線BD平行。

(3) 若直線BF與直線CE平行、且直線CD 與直線AF平行，則直線AE與直線BD也平行。

《圖四(1)》

《圖四(2)》

根據 Pascal 定理如何引出錐線作圖法三呢？

它們之間的連結是這樣的；已知錐線上的六個相異 點A、B、C、D、E與F，依 Pascal 定理(1)，

可得出一直線 PQR 。當其中的五個點A、B、C、 D與E固定而第六個點F在錐線上變動時，點P 與點 Q 也隨著變動，但點R卻固定不動。於是，

直線 PQR 也跟著變動但卻保持通過點R。既然在 A、B、C、D與E固定時，由錐線上的每一個 點F可得出過點R的一條直線，我們將由點F得 出過點R一直線的過程逆向操作，亦即：由過點R 的每一條直線 x 來得出錐線上的一個點F_X，不同 的直線可得出不同的點，這就是錐線作圖法三的意 義所在了。

將錐線作圖法三的條件推廣，可以得出其它的 錐線作圖法。例如：將「已知五點」換成「已知四 點及一切線」、「已知三點及二切線」、「已知二 點及三切線」、「已知一點及四切線」、「已知五 切線」等，而且有些情形的作圖法不只一種。

二、拋物線作圖法舉例

1. 拋物線作圖法一(已知焦點與準線)：

給定一點F、一直線l，且點F不在直線l上。

對於直線 l 上每個點X，作 FX 的垂直平分 線；又過點X作直線l的垂直線。設此垂直平分線 與垂直線相交於點P_X，則當點X在直線 l 上變動 時，點P_X所描繪的圖形就是以點F為焦點、直線

l為準線的拋物線。

《圖五》

【原理】

因為點P_X 在 FX 的垂直平分線上，所以，

X X

P F=P X 。 因 為 直 線P X_X 與 直 線 l 垂 直 於點 X，所以，點P_X至直線 l 的距離為P X_X 。於是，

點P_X在以點F為焦點、直線 l 為準線的拋物線上。

請注意！前面作圖法中 FX 的垂直平分線，就 是所作拋物線過點P_X的切線。所以，又可得下述 拋物線作圖法二。

2. 拋物線作圖法二(已知焦點與準線)：

給定一點F、一直線 l ，且點F不在直線 l 上。

對於直線 l 上每個點X，作 FX 的垂直平分線 l ，則當點X X在直線 l 上變動時，垂直平分線l 所_X 包絡的圖形就是以點F為焦點、直線 l 為準線的拋 物線。

16

《圖六》

3. 拋物線作圖法三(已知焦點與頂點)：

給定兩相異點 F 與 A 。

過點A作直線AF的垂直線l₀。對於直線l₀ 上每個點X，過點X作一個矩形XFQ P_{X X}使得直 線XQ_X 與直線l₀垂直，則當點 X 在直線l₀上變動 時，點P_X所描繪的圖形就是以點F為焦點、點A為 頂點的拋物線。

《圖七》

【原理】

作一直線 l 與直線l₀平行，使得直線 l 和點F 在直線l₀的異側而且平行線 l 與l₀的距離等於

AF 。設射線 FXFFF

與直線 l 相交於Y，因為平行線 l 與l₀的距離等於 AF ，所以點X是 FY 的中點且直 線XP 是 FY 的垂直平分線。另一方面，因為_X

X X

XFQ P 是矩形，所以，P Q_{X X} 與 FX 平行且等長。

於是，P Q_{X X} 與 XY 平行且等長，由此知YXQ P_{X X}是 平行四邊形且YP_X 與XQ_X 平行。因為直線XQ_X與 直線l₀垂直，所以直線YP_X與直線 l 垂直。依前述

拋物線作圖法一，可知點P_X在以點F為焦點、直 線 l 為準線的拋物線上，亦即：點P_X在以點F為 焦點、點A為頂點的拋物線上。

請注意！前面作圖法中的直線XP_X，就是所作 拋物線過點P_X的切線。所以，又可得下述拋物線 作圖法四。

4. 拋物線作圖法四(已知焦點與頂點)：

給定兩相異點F與A。

過點A作直線AF的垂直線l₀。對於直線l₀ 上每個點X，過點X作一直線l_X與 FX 垂直，則 當點X在直線l₀上變動時，直線l_X 所包絡的圖形 就是以點F為焦點、點A為頂點的拋物線。

《圖八》

5. 拋物線作圖法五(已知軸、頂點與另一點)：

給定一直線 l 及其上一點 A，另給定不在直線 l 上、也不在點A至直線 l 的垂直線上的一點B。 設點A至直線 l 的垂直線為l₀、且點B至直線

l0的垂足為點C。在直線 l 上作出點S使得：點S 與點B在直線l₀異側，且AS=4BC。過點C作直 線CS的垂直線，設此垂直線與直線 l 交於點F， 則以點 A 為頂點、點 F 為焦點（依拋物線作圖法 三所作）的拋物線就是以直線 l 為軸、點A為頂點 且通過點 B 的拋物線。

《圖九》

【原理】

因為△CSF是直角三角形且∠SCF是直 角，所以依相似三角形的性質，可知

AC²=AS×AF=4BC×AF. 因為

( )

2 2

2

4 . BF AC AF BC

BC AF AF BC AF BC

= + −

= × + −

= +

另一方面，設以點A為頂點、點F為焦點所作拋 物線的準線為直線l₁，則點 A 至準線l₁的距離為

AF 。因此，點B至準線l₁的距離等於AF+BC。 對於拋物線的作圖法，還有其他可行的條件。

例如：「已知三點及軸的方向」、「已知兩點、一 切線及軸的方向」、「已知二點及二切線」、「已 知一點及三切線」、「已知四切線」等，而且有些 情形的作圖法不只一種。此外，除了以直線來包絡 拋物線外，也可以用圓來包絡拋物線。

三、橢圓作圖法舉例

1. 橢圓作圖法一(已知兩焦點及長軸長)：

給定兩相異點F與F'、又給定一正數 a ，且 ' 2

FF < a。

以點F'為圓心、2a為半徑作一圓Γ。對於圓 Γ上每個點X，作 FX 的垂直平分線；又連接線段

'

F X 。設此垂直平分線與F X 相交於點' P_X，則 當點X在圓Γ上變動時，點P_X所描繪的圖形是以 點F及點F'為焦點、長軸長等於2a的橢圓。

《圖十》

【原理】

因為F X' >F F' ，所以 FX 的垂直平分線必與 '

F X 相交。因為點P_X在 FX 的垂直平分線上，所 以P F_X =P X_X 。於是，得

' ' ' 2

X X X X

P F+P F =P X+P F =F X = a. 於是，點P_X在以點F及點F'為焦點、長軸長等於

2a 的橢圓上。

請注意！前面作圖法中 FX 的垂直平分線，就 是所作橢圓過點P_X 的切線。所以，又可得下述橢 圓作圖法二。

18

2. 橢圓作圖法二(已知兩焦點及長軸長)：

給定兩相異點F與F'、又給定一正數 a ，且 ' 2

FF < a。

以點F'為圓心、2a為半徑作一圓Γ。對於圓 Γ上每個點X，作 FX 的垂直平分線l_X，則當點X 在圓Γ上變動時，垂直平分線l_X 所包絡的圖形就 是以點F及點F'為焦點、長軸長等於2a的橢圓。

《圖十一》

3. 橢圓作圖法三(已知一焦點、一頂點與中心)：

給定共線三相異點F、A與C，且CF<CA。 以點C為圓心、CA為半徑作一圓Γ。對於 圓Γ上每個點X，過點X作一個矩形XFQ P 使_{X X} 得直線XQ 通過圓_X Γ的圓心C，則當點X在圓Γ 上變動時，點P_X所描繪的圖形就是以點F為一焦 點、點A為長軸上一頂點、點C為中心的橢圓。

《圖十二》

【原理】

設矩形XFQ P_{X X}的兩對角線XQ_X 與FP_X 相交 於點R_X，則R_X也是 FX 的垂直平分線與直線CX 的交點。因為CX >CF，所以 FX 的垂直平分線必 與CX相交，亦即：點R_X在CX 上。又設點F對 點C的對稱點為F'，則得

' 2 2

2 2 2 2 .

X X X X

X X

P F P F R F R C

R X R C CX CA

+ = +

= + = =

於是，點P_X在以點F及點F'為焦點、長軸長等於 2CA的橢圓上。因為點C是兩焦點所連線段的中 點，所以點C是此橢圓的中心。因為點A在中心 與焦點的連線上，且與中心C的距離等於橢圓長軸 長的一半，所以點A是此橢圓長軸上的一頂點。於 是，點P_X在以點 F 為一焦點、點 A 為長軸上一頂 點、C為中心的橢圓上。

請注意！前面作圖法中的直線XP_X，就是所作 橢圓過點P_X的切線。所以，又可得下述橢圓作圖 法四。

4. 橢圓作圖法四(已知一焦點、一頂點與中心)：

給定共線三相異點 F 、 A 與 C ，且CF<CA。 以點C為圓心、CA為半徑作一圓Γ。對於圓

Γ上每個點X，過點X作 FX 的垂直線l ，則當_X 點X在圓Γ上變動時，直線l 所包絡的圖形就是_X 以點 F 為一焦點、點 A 為長軸上一頂點、點 C 為 中心的橢圓。

《圖十三》

5. 橢圓作圖法五

(已知長軸上一頂點、短軸上一頂點與中心)：

給定三相異點A、B與C，且CA⊥CB、 CA>CB。

以點C為圓心、CA為半徑作一圓Γ，又作 點A對點C的對稱點A'。對於AA 上每個點' X， 過X作AA 的垂直線與圓' Γ交於點Q_X 與Q'_X，以

點X為伸縮中心將點Q_X與Q'X縮小CB

CA倍，分別 得出點

P

_X與

P′

_X，則當點X在A ′A 上變動時，點

PX與P'X 所描繪的圖形是以點A為長軸上一頂 點、點B為短軸上一頂點、點C為中心的橢圓。

《圖十四》

【原理】

因為點Q_X與Q'_X在圓Γ上且Q X_X ⊥AA'，所 以，得

2 2 2

CX +Q XX =CA . 因為 _X CB _X

P X Q X

CA

 

=   ^{或 X X} Q X CA P X

CB

 

=   ^，

所以，得

2

2 2 2

2 X

CX CA P X CA CB

+ = 或

2 2

2 P X^X 2 1

CX CA CB

+ = .

選取一坐標系，使得直線CA為 x 軸、直線 CB 為y軸，則上式表示點P_X的坐標 ( , )x y 滿足

2 2

2 2 1

x y

CA CB + = .

點P'_X 也有相同的情形。

6. 橢圓作圖法六

(已知長軸上一頂點、短軸上一頂點與中心)：

給 定 三 相 異 點 A、B 與C ， 且CA⊥CB、 CA>CB。

以點C為圓心、CA為半徑作一圓Γ_A，又以點 C為圓心、CB為半徑作一圓Γ_B。對於小圓Γ_B上 每一點X，若射線CXFFF

與大圓Γ_A交於點Q_X，過點 X作一直線與直線CA平行、過點Q_X作一直線與 直線CA垂直，設平行線與垂直線的交點為P_X，則 當點X在小圓Γ_B上變動時，點P_X所描繪的圖形是 以點A為長軸上一頂點、點B為短軸上一頂點、

點C為中心的橢圓。

《圖十五》

【原理】

選取一坐標系，使得直線CA為 x 軸、直線CB 為y軸。若以CAFFF

為始邊、CXFFF

為終邊的有向角為 θ，則

點X的坐標為^{X CB}

(

^{cos ,θ CBsinθ}

)

^、

點Q_X 的坐標為^QX

(

^{CAcos ,θ CAsinθ}

)

^、

點P_X的坐標為^PX

(

^{CAcos ,θ CBsinθ}

)

^。

由此可知：點P_X的坐標(x,y)滿足

2 2

2 2 1

x y

CA CB + = .

對於橢圓的作圖法，還有其他可行的作法，而 且除了以直線來包絡橢圓外，也可以用圓來包絡橢 圓。

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四、雙曲線作圖法舉例

1. 雙曲線作圖法一(已知兩焦點及貫軸長)：

給定兩相異點F與F'、又給定一正數 a ，且 ' 2

FF > a。

以點F'為圓心、2a為半徑作一圓Γ。對於 圓Γ上每個點X，作 FX 的垂直平分線；又作直線

'

F X。設此垂直平分線與直線F X' 相交於點 PX，則當點X在圓Γ上變動時，點P_X所描繪的圖 形是以點 F 及點F 為焦點、貫軸長等於' 2a的雙曲 線。

《圖十六》

【原理】

因為F X' <F F' ，所以， FX 的垂直平分線必 與F X 不相交，亦即： FX 的垂直平分線與直線'

'

F X的交點P_X必不在F X 上。因為點' P_X在 FX 的垂直平分線上，所以P F_X =P X_X 。於是，得

' ' ' 2

X X X X

P F−P F = P X−P F =F X = a. 於是，點P_X在以點 F 及點F'為焦點、貫軸長等於

2a 的雙曲線上。(參看圖十六並與圖十比較) 請注意！前面作圖法中 FX 的垂直平分線，就 是所作雙曲線過點P_X 的切線。所以，又可得下述 雙曲線作圖法二。

2. 雙曲線作圖法二(已知兩焦點及貫軸長)：

給定兩相異點F與F'、又給定一正數 a ，且 ' 2

FF > a。

以點F'為圓心、2a為半徑作一圓Γ。對於圓 Γ上每個點X，作 FX 的垂直平分線l_X，則當點X 在圓Γ上變動時，垂直平分線l_X所包絡的圖形就 是以點F及點F'為焦點、貫軸長等於2a的雙曲 線。

《圖十七》

3. 雙曲線作圖法三

(已知一焦點、一頂點與中心)：

給定共線三相異點 F 、 A 與 C ，且CF>CA。 以點 C 為圓心、CA為半徑作一圓Γ。對於圓

Γ上每個點X，過點X作一個矩形XFQ P_{X X}使得 直線XQ 通過圓_X Γ的圓心 C ，則當點X在圓Γ上 變動時，點P_X所描繪的圖形就是以點F為一焦 點、點A為貫軸上一頂點、點 C 為中心的雙曲線。

《圖十八》

【原理】

設矩形XFQ P_{X X}的兩對角線XQ_X 與FP_X 相交 於點R_X，則R_X也是 FX 的垂直平分線與直線CX 的交點。因為CX <CF，所以 FX 的垂直平分線與

CX不相交，亦即：點R_X不在CX 上。又設點F對 點C的對稱點為F'，則得

' 2 2

2 2 2 2 .

X X X X

X X

P F P F R F R C

R X R C CX CA

− = −

= − = =

於是，點P_X在以點F及點F'為焦點、貫軸長等於 2CA的雙曲線上。因為點C是兩焦點所連線段的 中點，所以，點C是此雙曲線的中心。因為點A在 中心與焦點的連線上，且與中心C的距離等於雙曲 線貫軸長的一半，所以點A是此雙曲線貫軸上的一 頂點。於是，點P_X在以點F為一焦點、點A為貫 軸上一頂點、點C為中心的雙曲線上。

請注意！前面作圖法中的直線XP ，就是所作_X 雙曲線過點P_X的切線。所以，又可得下述雙曲線 作圖法四。

4. 雙曲線作圖法四

(已知一焦點、一頂點與中心)：

給定共線三相異點 F 、 A 與 C ，且CF>CA。 以點 C 為圓心、CA為半徑作一圓Γ。對於圓

Γ上每個點X，過點X作 XF 的垂直線l ，則當_X 點X在圓Γ上變動時，直線l 所包絡的圖形就是_X

以點F為一焦點、點A為貫軸上一頂點、點C為 中心的雙曲線。

《圖十九》

5. 雙曲線作圖法五

(已知貫軸上一頂點、共軛軸上一頂點與中心)：

給定三相異點A、B與C，且CA⊥CB。 作點A對點C的對稱點A'。對於射線FFFFAA' 的相反射線上每個點X，在過X而與直線AA'垂 直的直線上作兩點Q_X與Q'_X使得

2 2

X 'X

Q X =Q X = CX −CA ,

再以點X為伸縮中心將點Q_X與Q'_X伸縮CB CA倍，

分別得出P_X與P'_X ，則當點X在射線FFFFAA' 的相反 射線上變動時，點P_X與P'_X 所描繪的圖形是以點 A為貫軸上一頂點、點B為共軛軸上一頂點、點 C 為中心的雙曲線的一支。

《圖二十》