(39) 點與線的距離

39-1

(39)點與線的距離

上圖中，有一點P 與一直線 L。在 L 上取一點 Q，使得PQ⊥L。PQ的長度d 就 是P 點到直線 L 的距離。

在一般教科書中，L 的方程式是 ax+by+c=0

假設 P 點的坐標(x0,y0)，則 P 點到直線 L 的距離 d 是：

0 0

2 2 ...(39.1) ax by c

d

a b

+ +

= +

而我們所使用的直線方程式是 y =ax+b

如果使用這個方程式，則 P 點到直線 L 的距離 d 是：

0 0

2 ...(39.2) 1

y ax b d

a

− −

= +

以下我們用三種不同的方法來導出(39.2)

39-2

方法(1)：幾何法 請看下圖

我們先作一條通過P=(x0,y0)且與 y =ax+b 平行的直線 L’

因為L’與 y =ax+b 平行，我們可以設 L’的直線方程式為 y =ax+b’

因為 P=(x0,y0)在 L’上，所以 y₀=ax₀+b’

→ b’= y0−ax0

L’的直線方程式是 y =ax+(y0−ax0)……(39.3) L’與 y 軸交於 Q 點，Q=(0, y0−ax0)

L 與 y 軸交於 S 點，S=(0, b)

0 0

QS = y −ax −b

39-3

過Q 作一直線與 L 垂直，此直線與 L 交於 R 點，則QR就是 P 與 L 的距離，因為 L’//L，而且QR//PU 。

△QSR 和△TSO 相似，因此∠SQR=∠STO=θ

△QSR 中，QR=QS cosθ=( y0−ax0−b) cosθ……(39.4) tanθ=a

∴1 tan² 1 ² sec^{2 1}₂ a cos

 

+ = + = = 

∴ 2

cos 1 ...(39.5) 1 a

 = +

代(39.5)到(39.4)，得

QR=( y0−ax0−b) cosθ= ^{0 0} 1 2

y ax b a

− −

+

因為y0−ax0−b 之值可能為負，求距離 d 時我們應該取絕對值

0 0

1 2

y ax b d QR

a

− −

= =

+

因此我們導出了(39.2)

39-4

方法(2)：三角形面積法 請看下圖

y =ax+b 與 y 軸和 x 軸分別交於 Q、R 兩點，其中 Q=(0,b)，R=( ^b

−a,0)

△PQR 的三頂點分別是：

P(x0,y0)、Q(0,b)、R( ^b

−a,0)

如果三角形三點為(x1,y1)、(x2,y2)、(x3,y3)，則面積為

1 2 3 2 3 1 3 1 2

1 ( ) ( ) ( )

2 x y −y +x y − y +x y −y 代入 P、Q、R 三點

0 0 0

2

0 0

0 0

0 0

1 ( 0) 0( ) ( )( )

2 1 2

1 ( )( )

2

1 ( )

2

b b

x b y y b

a a

b b

bx y

a a

b y ax b a

b y ax b a

− + − − + − −

= − +

= − − −

= − −

39-5

根據畢式定理，

2

2 2

2 1

b b

QR b a

a a

= + = +

又△PQR 的面積是¹

2PS QR ， 所以可以列出：

2

0 0

0 0

2

1 1

( ) 1

2 2

1

b b

y ax b PS a

a a

y ax b PS

a

− − =  +

− −

= +

PS就是P 點到直線 L 的距離

39-6

方法(3)：向量法 請看下圖

如上圖，L2是通過P 且與 L1垂直的直線，L1與 L2相交於 Q，因此PQ=d 是 P 點 到L1的距離。

L1的方程式是y =ax+b

其中a 是 L1的斜率。因為 L2與 L1垂直，所以 L2的斜率是 ¹

−a。 L2的方程式可以寫成是y = ¹

−ax+c 因為 P(x0,y0)在 L2上，所以

y0 = ¹

−ax0+c c = y0+¹

ax0

所以L2的方程式可以寫成 y = ¹

−ax+ y0+¹ ax0

39-7

我們現在有聯立方程式：

0 0

...(39.6)

1 1

...(39.7) y ax b

y x y x

a a

= +



 = − + +



將(39.6)代入(39.7)，得 ax+b = ¹

−ax+ y0+¹ ax0

ax+¹

ax = y0+¹ ax0−b (a +¹

a)x = y0+¹ ax0−b (a² +1)x = ay0+x0−ab

0 0

2 1

ay x ab

x a

+ −

= + ……(39.8)

0

0 0

2 0

2

0 0 0

2 2

2

0 0 0 0

2 2

2

0 0

2

0 0

2

1

( 1)

1 1

1 1

1

( )

...(39.9) 1

x x

ay x ab a x

ay x ab a x

a a

ay x ab a x x

a a

ay a x ab a

a y ax a a

−

+ −

= −

+

+ − +

= −

+ +

+ − +

= −

+ +

− −

= +

− −

= +

39-8

將(39.8)代入(39.7)，得

0 0

0 0

2

2

0 0 0 0

2 2

2

0 0 0 0 0 0

2 2

0 0

2

1 1

( )

1

1 1

( 1)( )

1 1

1 1

1 1

y

ay x ab

y x

a a a

y x b a y x

a a

a a

y x b a y ax y x

a a

a a y ax b

a

+ −

= − + +

+

− − + + +

= +

+ +

− − + + + + +

= +

+ +

= +

0 2

0 0

2 0

2 2

0 0 0

2 2

2 2

0 0 0 0

2

0 0

2

1

( 1)

1 1

1

( )

...(39.10) 1

y y

a y ax b a y

a y ax b a y

a a

a y ax b a y y a

y ax b a

−

+ +

= −

+

+ + +

= −

+ +

+ + − −

= +

− − −

= +

39-9

根據畢式定理 PQ= (x−x₀)² +(y− y₀)² 將(39.9)和(39.10)代入

2 2

0 0 0 0

2 2

2 2 2

0 0 0 0

2 2 2 2

2 2 2

0 0 0 0

2 2

2 2

0 0

2 2

2

0 0

2

0 0

2

( ) ( )

( ) ( )

1 1

( ) ( )

( 1) ( 1)

( ) ( )

( 1)

( 1)( )

( 1)

( )

1

1 PQ

a y ax b y ax b

a a

a y ax b y ax b

a a

a y ax b y ax b

a

a y ax b

a y ax b

a y ax b

a

− − − − −

= +

+ +

− − − −

= +

+ +

− − + − −

= +

+ − −

= +

− −

= +

− −

= +

我們證明了 P 點到直線 L1的距離

39-10

例1：直角坐標平面上有直線 L：y=x 和一點 P(0,2)，試求 P 和 L 的距離。

解答：

利用公式 ^{0 0} 1 2

y ax b d

a

− −

= +

根據題意，a=1、b=0、x0=0、y0=2 P 和 L 的距離為：

2

2 1 0 0 1 1 2

2 2

−  − +

=

=

我們可以用幾何方式來驗證這公式得到的答案是正確的

我們可以發現α=β=45°

∴PQ=OQ

2 2 2 2

2 PO = PQ +OQ = PQ

∴ ^{1 2 1}2² 2

2 2

PQ= PO = =

39-11

例2：直角坐標平面上有直線 L：y=−x+1 和一點 P(1,1)，試求 P 和 L 的距離。

解答：

利用公式 ^{0 0} 1 2

y ax b d

a

− −

= +

根據題意，a=−1、b=1、x0=1、y0=1 P 和 L 的距離為：

2

1 ( 1 1) 1 1 ( 1) 1

2 1

2

− −  − + −

=

=

我們可以用幾何方式來驗證這公式得到的答案是正確的

△PRS 是一個等腰三角形，，所以PQ平分RS

∴Q 的坐標為(¹ 2,¹

2)

2 2 2 2

1 1 1 1 2 1

(1 ) (1 ) ( ) ( )

2 2 2 2 4 2

PQ = − + − = + = =

39-12

例3：直角坐標平面上有直線 L：y=−3x+5 和一點 P(2,5)，試求 P 和 L 的距離。

解答：

利用公式 ^{0 0} 1 2

y ax b d

a

− −

= +

根據題意，a=−3、b=5、x0=2、y0=5 P 和 L 的距離為：

2

5 ( 3) 2 5 1 ( 3) 6

10 6 10

− −  − + −

=

=

例4：直角坐標平面上有直線 L：y=3 和一點 P(2,6)，試求 P 和 L 的距離。

解答：

利用公式 ^{0 0} 1 2

y ax b d

a

− −

= +

根據題意，a=0、b=3、x0=2、y0=6 P 和 L 的距離為：

2

6 0 2 3 1 0 3

1 3

−  − +

=

=

同學們可以很容易地看出這個答案是正確的

39-13

例5：直角坐標平面上有直線 L：x=3 和一點 P(5,2)，試求 P 和 L 的距離。

解答：

這次我們換一個公式

當L 的方程式是 ax+by+c=0，P 點的坐標是(x0,y0)，則 P 點到直線 L 的距離 d 是：

0 0

2 2

ax by c d

a b

+ +

= +

x=3 可以寫成 x+0y−3=0

所以a=1、b=0、c=−3、x0=5、y0=2 P 和 L 的距離為：

0 0

2 2

2 2

2

1 5 0 2 ( 3) 1 0 5 3

1 2

ax by c a b

+ +

+

 +  + −

= +

= −

=

同學們可以很容易地看出這個答案是正確的