2-4 空間中的直線方程式
國立新莊高級中學202班 98學年度上學期
授課教師：林岳璋 實習老師
方向向量 方向向量
方向向量：空間坐標中向量 dJK = (l m n課本P.119) 與
方向向量：空間坐標中向量 與 直線L平行，則可稱 為直線L 的
個方向向量
( , , ) d = l m n ( , , )
d = l m n JK
一個方向向量。
注意：滿足上述條件，若存在與向量 平 行的其它向量，例如： ，則向量 亦可dJK
t d //
K JK
Kt行的其它向量，例如： ，則向量 亦可 稱為直線L的方向向量。因此方向向量的表 示法不唯
t d //
t示法不唯一。
ex： dJK = (3, 3, 9)− 可取平行向量 為 (1,1, 3)
t = −
K
可取平行向量 為
新的方向向量。( , , ) ( , , )
空間中的直線方程式表示法 空間中的直線方程式表示法
空 中的直線方程式表 法主要有 種
課本P.119
空間中的直線方程式表示法主要有三種：
第一種：直線的參數式
第 種：直線的參數式
第二種：對稱比例式
第三種：兩面式
甲、直線的參數式 甲、直線的參數式
還記得 中的直線參數式如何產生
課本P.119
還記得平面中的直線參數式如何產生嗎？
(可自行參閱課本P.47~48)
( )
空間中的直線參數式
圖2-33 圖2 33
圖2-33
動點 且 在直線L上的充要條
件為 即 是實數
P A ≠ ( , , ) P x y z AP d //
JJJK JK
AP d JJJK JK
件為 即 , t是實數
….
AP d // AP td =
….
⎧ x x =
0+ ⋅ l t
⎪ ⎨ y y
0m t
為實數z z n t
⎪ = + ⋅
⎨ ⎪ = + ⋅
⎩
, t為實數
z z =
0+ n t
⎩
課本P.120
x x =
0+ ⋅ l t
⎧ ⎪
⎨ y y
0m t
為實數z z n t
⎪ = + ⋅
⎨ ⎪ = + ⋅
⎩
, t為實數
直線參數式L ：
z z =
0+ n t
⎩
除非必要否則 『 t為實數』可省略。
若
B x y z ( ,
0′ ′ ′
0,
0)
為直線L上另外一點，可將⎧ x x
0l t
⎧ = ′ + ⋅
參數式改寫成L：⎪⎪ ⎪ ⎨ y = y
0′ + ⋅ m t
⎪ ′
z z
0n t
⎪ = ′ + ⋅
⎪⎩
隨堂練習 隨堂練習
直線參數式
課本P.120
x = + 4 4 t
⎧ ⎪
1、直線參數式L ：
5 5 2 3
y t
z t
⎪ = − +
⎨ ⎪ =
⎩ z 2 3 t
⎪ = −
⎩
x = + 1 2 t
⎧ ⎪
2、直線參數式 ：
1 2 3
y t
t
⎪ = − +
⎨ ⎪
⎩ z 2 3 t
⎪ = +
⎩
3、t=0的點 ， L的方向向量為
(-1 , 2, 5)
(3 -7 2) L的方向向量為 (3 , -7, 2)
空間中，平面與直線關係
空間中，平面與直線關係
空間中，平面與直線關係
空間中，平面與直線關係
空間中，平面與直線關係
空間中，平面與直線關係
例題一
例題
課本P.120隨堂練習 隨堂練習
設直線
課本P.121
x = − + 2 5 t
⎧ ⎪
設直線L：
4 3
, 平面E：3x-y-4z-2=03 3
y t
z t
⎪ = +
⎨ ⎪ = +
⎩ z 3 3 t
⎪ = − +
⎩
試判斷直線L與平面E的關係。
<Sol>將L參數式代入平面E可解得
<Sol>將L參數式代入平面E可解得 -6+15t-4-3t+12-12t-2=0
→ 0t=0
所以 t是實數，因此所求L的點皆在平面E上 所以 t是實數，因此所求L的點皆在平面E上
因此 若將直線 參數式代至 後 解
課本P.121
因此，若將直線L參數式代至平面E後，解 出t的情形，若…
t 的情形 直線L與平面E的關係 恰有一解 相交於平面E上一點 恰有一解
無解
相交於平面E上一點 直線L與平面E不相交 無解
無限多解
直線L與平面E不相交 直線L在平面E
上
例題二、隨堂練習 例題二、隨堂練習
投影點坐標 即找直線 上 點與 點
課本P.121、122
Hint：投影點坐標，即找直線L上一點與A點 為最短距離的點。
d JK
乙、直線的對稱比例式 乙、直線的對稱比例式
動點 在直線 上的充要條
課本P.122
動點 且 在直線L上的充要條 件為
P A ≠
.( , , ) P x y z
AP d //
JJJK JK
即
當l 皆不為0時 上述條件即
0 0 0
(x x y y z z− , − , − ) //( , , )l m n
當l, m, n皆不為0時，上述條件即
0 0 0
x x− 0 y yy y− 0 z z− 0
l = m = n
當 中有 時 我們以參數式表示即可
課本P.122
當l, m, n中有0時，我們以參數式表示即可
⎧ x = +1 2t
⎪
: 3 7
L y t
⎧⎪ = −
⎨⎪ z 4
⎪ =
⎩
1 3
x y
⎧
或可表式成
1 3
: 2 7
x y
L
− −
⎧ =
⎪ −
⎨⎪ z 4
⎪ =
⎩
隨堂練習 隨堂練習
l 點 在 上
課本P.123
<Sol> 點(1, -4, -5)在L上，
L的方向向量(2, -3, 7) L的方向向量(2, 3, 7)
x = + 1 2 t
⎧ ⎪
4 3 5 7
y t
t
⎪ = − −
⎨ ⎪
⎩ z 5 7 t
⎪ = − +
⎩
例題三
例題三
課本P.123 (1)
(2)
(2)
例題三
例題三
課本P.123 <Sol>
(2)先算 JJJKAB = − −( 2 8 3)
(2)先算
此平面之法向量可利用L方向向量 與 外積求之
( 2, 8, 3) AB
JJJKAB dJK
外積求之。
取平行向量可得 ( 30, 3, 12)
d ABJK JJJK× = − −
dJK
(10, 1, 4)
nK = − n d ABK JK JJJK= ×
d
隨堂練習 隨堂練習
請自行練
課本P.124
請自行練習。
(1) 2 4 2
3 1 1
x + = y + = z −
−
(2)
3 1 1
2 0 y z+ + =
(2) y z+ + =2 0
例題四 例題四
利用兩個參數式求 的交點
課本P.124
<Sol> 利用兩個參數式求 , 的交點
令交點 為 2
1 L L
0 0 0
( , , ) P x y z
令交點 為
(2+t, -3-4t, -1+2t)與 (7+4s, 3-3s, -1+3s)
0 0 0
( , , ) P x y z
⎧
則欲使
0
2 7 4
3 4 3 3
x t s
y t s
= + = +
⎧ ⎪ = − − = −
⎨
…(1) (2)
則欲使 0
0
3 4 3 3 1 2 1 3
y t s
z t s
= =
⎨ ⎪ = − + = − +
⎩
…(2)
…(3)
由(1)(2)可求得t=-3, s=-2 代入(3) 亦滿足
所以交點
⎩
( ) ( 1 9 7)
P x y z =
所以交點
P x y z ( ,
0 0,
0) = − ( 1, 9, 7) −
隨堂練習 隨堂練習
交點坐標
課本P.125
交點坐標(1/2, 0, 0)
空間中的直線方程式表示法 空間中的直線方程式表示法
補充 兩 式
補充：兩面式
空間中兩平面的相交情形
空間中兩平面的相交情形
1、兩平面平行 2 兩平面重合
2、兩平面重合
3、兩平面相交→ 相交於一直線
將兩平面方程式寫在同一個聯立方程組內，
將兩平面方程式寫在同 個聯立方程組內 稱為兩面式 ex、例題五
兩面式 兩面式
可透過兩 式的變換化出空 中直線的參
可透過兩面式的變換化出空間中直線的參 數式及對稱比例式
i.e. 參數式 、對稱比例式、兩面式可互換。
兩面式換參數式的方法
兩面式換參數式的方法
<Method 1>：令其中一個變數為參數，再行
請寫在P.125頁空白處
改寫。(如課本提供的解法)
<Method 2>：利用兩平面法向量外積可得直
Method 2 ：利用兩平面法向量外積可得直 線方程式的方向向量，再找直線上一點，可得 直線方程式。
直線方程式
例題五
參 課本
例題五
課本P.125 <Sol><M1>參閱課本 L
<M2>
L
<M2>
dJJKL
(2, 1, 3) (1, 4, 2)
L A B
dJJK JJK JJK= n × n = − × −
找直線上一點dJJKL = −( 10, 7, 9) JJK JJK
找直線上 點
將 nA nB
(1) (2) 2− × ⇒ 9y − 7z +18 = 0
取一組解令 可解出
，因此可得所求。(如課本表示) 2, 0
y = − z =
x = ，因此可得所求。(如課本表示)11 x =
