9 微分方程

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9 微分方程

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9.3 可分離微分方程

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可分離微分方程

一個可分離微分方程 (separable equation) 是指一個一階微 分方程,其表示式可以分解成 x 與 y 的函數相乘。

形如下者:

可分離的意思便是方程式表示式可以分解成兩個部分。

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4 4

可分離微分方程

若 f(y) 不為 0 ,則我們可以將方程式改寫為

其中 h(y) = 1/f(y) 。

寫成這樣的目的是我們可以將微分方程式改寫成 x, y 分離的 兩個部分:

h(y) dy = g(x) dx

這樣的微分形式(differential form)。

其中等式一邊是 x ,一邊是 y 。

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可分離微分方程

接著我們可以兩邊同時做不定積分

上式告訴我們 y 可以用隱函數的形式寫成 x 的函數,在某些 情況下我們有可能解得 y 對 x 的明確表示式。

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6 6

可分離微分方程

我們可以反過來檢驗這是微分方程式的解:兩邊同時微分

因此

於是有

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範例一

(a) 解方程式

(b) 找出滿足初始條件 y(0) = 2 的解。

解:

(a) 首先我們發現這是可分離的微分方程,於是改寫如下

y

2

dy = x

2

dx

兩邊同時積分

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8 8

範例一 / 解

其中 C 為一常數。(注意到等式兩邊均為不定積分,因此 積分結果會得到兩個積分常數,再合併)

接著解 y = y(x) ,得到

cont’d

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範例一 / 解

我們可以再改寫常數為 K = 3C ,得到

(b) 將 x = 0 代入上式,為了滿足初始條件 y(0) = 2 ,我們可 以解得 於是有 K = 8 。

因此這個初始值問題的解為

cont’d

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10 10

垂直軌跡

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垂直軌跡

一組曲線 F 的垂直軌跡 (orthogonal trajectory) ,是指一條 曲線在與 F 中的曲線相交時,在交點相交的角度為直角。如 下圖所示

垂直軌跡

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12 12

垂直軌跡

舉例說明,給定一組通過原點的直線 y = mx ,其中 m 為參 數。

我們會發現 x2 + y2 = r2 ,這些以原點為圓心的同心圓會是上 述這組直線的垂直軌跡。

同時,我們也會發現任意直線 y = mx 會是這些同心圓的垂 直軌跡。

這時候我們可以說這一組直線與 這組同心圓互為垂直軌跡。

圖八

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範例五

求一組曲線 x = ky2 的垂直軌跡,其中 k 為參數。

解:

我們發現 x = ky2 會形成一組拋物線,對稱於 x 軸。

要找到垂直軌跡,我們必須要知道垂直軌跡在相交點的斜率,

這個可以從 x = ky2 微分得到。

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14 14

我們得到的微分方程式中包含 k ,不過我們想解垂直所有拋 物線的軌跡,所以需要得到的是一次滿足所有 k 的方程式。

為了消掉參數 k ,我們可以利用函數 x = ky2 ,可知道 k =

x/y

2 ,因此微分方程式可以改寫為

或者

範例五 / 解

cont’d

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這表示這一組拋物線在 (x,y) 點時的切線斜率為

y

= y/(2x).

因此垂直軌跡在 (x,y) 的切線斜率就必須要跟 y/2x 相乘為 – 1 。因此有

這剛好是可分離微分方程,變數分離後兩邊同時積分得到

範例五 / 解

cont’d

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16 16

範例五 / 解

得到

移項後

得到橢圓表示式,其中 C 為積分常數。

因此這組拋物線的垂直軌跡便是由上式 所決定的這組橢圓。

如右圖所示。

cont’d

圖九

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混合問題

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18 18

混合問題

典型的混合問題便是在一個容器中裝入具有某種溶質的混合 溶液。

在容器中以固定速率輸入已知濃度的溶液,攪拌混合後,再 以固定速率釋出容器。

我們假設 y(t) 表示在容器中的溶質質量,則 y

(t) 便表示溶質

的變化率,這便與溶液的輸出入速率有關。

從數學的角度來看,想理解這個問題便必須要用到微分方程。

我們也可以應用到類似的其他問題:化學反應、河川湖泊的 汙染物、藥物在血液內的擴散。

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範例六

一個容器裝著 5000 公升含有 20 公斤鹽類的溶液。

該容器每分鐘有 25 公升濃度 0.03 公斤每升的水流入,

而有同樣流速在容器內充分混合的水流出。

試問在半個小時後有多少的鹽還留在容器內?

解:

假設 y(t) 是在 t 分鐘後還留在容器內的鹽類質量。

設定初始條件 y(0) = 20 ,而我們的問題是要求 y(30) 的値。

(20)

20 20

範例六 / 解

注意到 dy/dt 是鹽分的變化率,因此也就是

我們計算輸入的速度

而溶液會維持容納 5000 公升的液體,因此容器內的濃度為 y(t)/5000 。

cont’d

輸入變化率 – 輸出變化率

輸入變化率

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範例六 / 解

由於水的流出速度為 25 L/min ,因此

因此代入方程式得到

直接解方程式:

cont’d

輸出變化率

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22 22

範例六 / 解

由於 y(0) = 20 ,可解得常數 –ln 130 = C ,因此

| 150 – y| = 130e–t/200

由初始值 y(0) = 20 ,而式子右邊恆正,因此 150 – y 恆正,

可直接拆開絕對值。

cont’d

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範例六 / 解

因此 |150 – y| = 150 – y ,移項得到

y(t) = 150 – 130e

–t/200

因此半小時後的鹽類質量為

y(30) = 150 –130e

–30/200

38.1kg

cont’d

數據

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參考文獻

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