數學哲學的內容和意義

數學哲學的內容和意義

鄭毓信

什麼是數學哲學? 什麼又是數學哲學研 究的基本意義? 這顯然是數學哲學研究的二 個基本問題, 並事實上關係到了數學哲學的 研究方向或途徑。 本文將分別圍繞數學哲學 的歷史發展和數學哲學的現實意義對此作出 簡要的分析。

一. 什麼是數學哲學?

“什麼是數學哲學?”這無疑是數學哲學 研究最為基本的一個問題。 儘管數學哲學這 一學科在世界上建立已久, 而且, 即使在中 國, 這也不再是一個陌生的名詞; 然而, 就數 學哲學研究的現實情況進行分析, 可以看出, 有不少不能令人滿意的地方其根源仍應追溯 到對於上述基本問題的模糊或錯誤認識。

具體地說, 我們在此可以首先考慮以下 的問題:

一些專業的數學工作者、 甚至是著名的 數學家, 他們平時的一些哲學言論、 或者是對 於自己數學工作較為自覺的哲學反思, 能否 就說是數學哲學?

應當肯定, 這些言論、 特別是著名數學 家對於自己工作自覺的哲學反思, 無論對於 數學哲學或是新的數學研究都具有十分重要

的意義; 然而, 作為上述問題的明確回答, 我 們則又應當說, 這種言論或分析不應被等同 於數學哲學, 或者說, 它們不應被看成數學哲 學的主要內容, 因為, 即如任何一門科學的理 論, 數學哲學也具有自己特殊的研究問題, 從 而, 數學哲學的基本內容就具有相對的穩定 性, 即是圍繞這些基本問題展開的, 而不能被 等同於個人隨意的哲學暇想或反思。

例如, 從歷史的角度看, 數學對象的實 在性問題 (本體論問題) 和數學的真理性問 題 (認識論問題) 可以被看成數學哲學研究 的兩個基本問題; 而除去一般哲學的影響外, 這在很大程度上又是由數學本身的特殊性所 決定的: 由於數學的抽象性, 因此, 數學對 象就並非經驗世界中的客觀存在, 然而, 在 數學中我們所從事的又顯然是一種客觀的研 究, 從而, 我們就必須對數學對象的實在性問 題作出明確的解答; 另外, 由於數學是演繹地 展開的, 因此, 如果我們能對數學公理的真理 性作出合理的說明, 數學似乎就可以被看成 先驗論的“最堅固堡壘”, 但是, 我們又應怎 樣去解釋數學在現實世界中的成功應用呢—

當然, 我們在此不能僅限於斷言這是一個“不 可思議的謎”, 而必須從根本上對數學的真理

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性、 特別是數學的認識論問題作出深入的分 析。

也就是圍繞上述的基本問題, 從古希臘 的時代起, 在數學哲學的範圍內就形成了“柏 拉圖主義”和“唯名論”、 以及“先驗論”和“經 驗論”等對立的觀點, 這種對立並一直延伸到 了今天。

其次, 作為對於“什麼是數學哲學?”的 具體分析, 我們又應強調指出, 與其它科學的 理論一樣, 數學哲學也有一個歷史發展過程, 從而, 其基本內容就不應被看成絕對不變的。

例如, 就早期的數學哲學研究而言, 主要 是作為一般哲學研究的一個部分得到了發展;

然而, 從十九世紀中期開始, 數學哲學則進入 了一個以數學基礎研究為中心的新的不同時 期, 而其基本問題就在於: 如何為數學奠定一 個可靠的基礎, 並借助於可靠的方法去開展 (重建) 出全部或大部分的數學, 從而徹底地 解決數學的可靠性問題。

對於基礎問題的重視在本質上也是由數 學本身的特性所決定的。 事實上, 在數學中歷 來存在有兩種不同方向的研究: 一是由已有 的數學去發展、 構造出新的、 更為複雜的結論 和理論; 另一則是研究已有的數學可以以何 種更為一般的概念和原理作為基礎而得到建 立。 顯然, 公理化方法在數學中的普遍採用即 是與後一方向上的研究直接相聯繫的。 另外, 以下的一些實際發展則又構成了數學基礎研 究的特殊的“歷史背景”: 分析 (微積分理論) 的嚴格化, 非歐幾何的建立, 悖論的發現。

由於各自觀點的不同, 在基礎研究中形 成了邏輯主義、 直覺主義和形式主義等不同

的學派。 這些學派的一個共同特點是“哲學分 析與數學工作”的密切結合: 依據各自的哲 學主張, 他們分別提出了自己的基礎研究規 劃, 並希望通過這些規劃的實施 (這主要是一 種數學工作) 來證明自己的哲學觀點的正確 性。 這樣, 就數學哲學的研究而言, 在1890至 1940 年之間就出現了一個“百花齊放”、 欣欣 向榮的“黃金時代”。(關於數學基礎研究可參 見夏基松、 鄭毓信: 《西方數學哲學》, 人民出 版社, 1986年。)

然而, 數學哲學以基礎研究為中心的時 代現在也已過去了。 這不僅是因為邏輯主義 等學派的基礎研究規劃都未能取得成功, 而 且也是因為這種“失敗”及隨之而出現的發展 的停頓引起了關於應當如何去從事數學哲學 研究的新的思考: “數學哲學往何處去?”

對於數學哲學的現代發展可參見本期另 文“數學哲學現代發展概述”。

綜上可見, 數學哲學具有自己特殊的研 究問題, 從而就不應被等同於各種片斷的見 解; 另外, 又正是通過研究問題的解決和轉 移, 數學哲學獲得了自己的歷史發展, 從而我 們也就不應對此持絕對的、 僵化的觀點。

二. 數學哲學研究的基本意義

作為一般哲學、 特別是科學哲學的一個 重要組成部分, 數學哲學顯然有著一定的理 論意義, 或者說, 具有作為獨立學科存在的必 要性; 然而, 筆者在此所關心的主要是數學哲 學的實際意義。 這即是指: 除去專門的研究家 外, 誰最需要數學哲學?

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顯然, 作為可能的解答, 我們可以分別列 舉出哲學家、 數學家和數學教師。

的確, 從歷史的角度看, 數學哲學可以被 認為對於一般哲學、 特別是認識論研究有著 特殊的重要性。 事實上, 在很長時期內, 數學 被認為是唯一的真理, 從而就為相應的哲學 思考提供了必要的立足點。 這就正如 M. 克 萊因所指出的: “在各種哲學系統紛紛瓦解、

神學上的信念受人懷疑以及倫理道德變化無 常的情況下, 數學是唯一被大家公認的真理 體系。 數學知識是確定無疑的, 它給人們在沼 澤地上提供了一個穩妥的立足點。”(《古今數 學思想》, 上海科學技術出版社, 1979 年, 第 一冊, 第 251 頁。) 例如, 正是以數學為典範, 笛卡兒發展起了自己的理性主義方法論; 另 外, 也就是基於關於“純數學何以可能?”的分 析, 康德提出了自己的先驗主義的認識論。 一 般地說, 正如前面所已提及的, 數學往往被認 為是先驗論的最堅固堡壘, 從而, 數學的真理 性問題也就成了經驗主義所必須認真對待的 一個難題。 即如休謨關於兩類命題的區分; 這 一立場並一直延續到了現代的邏輯實證主義。

但是, 在邏輯實證主義以後, 數學與哲學 的這種密切聯繫開始變得疏遠起來。 特別是, 現代的哲學大師們對於數學已經不那麼熟悉 了。 對於造成這種現象的原因可以從各個角 度去進行分析: 即如現代數學已經變得過分 專門化、 從而對於非專門家來說是過於深奧 了; 或是因為另有更重要的問題吸引了哲學 家的注意; 等等。 但是, 無論最終的原因是什 麼, 這已表明了這樣一個事實, 即數學在現代 的哲學研究中已不再占有特別重要的地位。

其次, 數學哲學能否說對於實際的數學 研究工作有著重要的指導意義? 應當肯定:

數學家的研究工作必定處在一定哲學觀念、

特別是數學哲學觀念的指導或影響之下; 但 是, 現在的問題卻在於, 一個成熟的數學工作 者往往已經形成了固定的觀念—儘管這可能 只是一些素樸的觀念, 但由於這些是與其研 究活動密切相關、 並就是在這種實踐活動逐 漸地 (並且常常是不知不覺地) 形成的, 因此, 他們通常就感受不到有必要對此進行系統學 習和反思、 以期達到由不自覺向自覺狀態的 轉化和必要的更新。 事實上, 除個人的特殊與 趣外, 大部分數學家在自己的工作生涯中主 要地都是集中於專業研究, 而根本無暇從事 系統的哲學思考, 從而也就談不上對於數學 哲學的迫切需要。 另外, 從整體上說, 作為數 學的哲學分析, 數學哲學相對於數學本身而 言在發展上必然表現出一定的滯後性, 從而, 對一個處在自己學科前沿的數學家來說, 數 學哲學也就往往會顯得過於陳舊落後。(當然, 筆者在此並不是要完全否定數學哲學對於實 際數學活動的促進作用, 而只是認為這種作 用往往是以一種較為間接的形式體現出來的。

對此可見以下的討論。)

那麼, 數學哲學是否對於任何人來說都 是不必要的呢? 不! 筆者認為, 對於廣大的 數學教師來說, 我們就應作出肯定的答覆。

具體地說, 與數學家的研究活動一樣, 各 種層次上的數學教師的教學工作也都處於其 哲學觀念、 特別是數學哲學觀念的指導或影 響之下; 然而, 這種教學活動則又不僅反映了 教師本身的觀念, 而且也直接影響到了新的

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年輕一代的數學觀念的形成—正是在後一意 義上, 我們即應明確肯定數學哲學對於數學 教師特殊的重要性。

為了清楚地說明問題, 在此可以借助道 德教育的例子來進行分析。 如眾所知, 正常 人的行動都是在一定的道德規範指導下進行 的。 然而, 儘管道德教育對任何人來說都有一 定的意義, 但又只是對於年輕人來說才是特 別重要的, 因為, 他們尚未形成固定的道德規 範, 而這一旦形成, 則又將對其整個人生產生 十分重要的影響; 與此相反, 成年人則往往不 能感到對自己的道德規範進行自覺反省的必 要性, 另外, 這也是一個無可否認的事實, 即 要改變一個人所已形成的道德規範是十分困 難的。

進而, 上述的比喻同時也表明了這樣一 點: 正如教師的日常言行往往對於學生道德 觀念的形成有著十分重要的影響 (這就是通 常所說的 “身教重於言教”), 學生往往也就 是在教師的影響下逐步地形成了自己的數學 觀念。 例如, 正如 G. 波利亞所指出的: “有 一條絕對無誤的教學法—假如教師厭煩他的 課題, 那麼, 整個班級也將毫無例外地厭煩 它。”(《數學的發現》, 內蒙古人民社, 1982年, 第二冊, 第 174頁。)

由此, 從教育的角度看, 我們就應充分 肯定數學哲學對於數學教育的重要性; 進而,

考慮到素樸的哲學觀念往往是片面或膚淺的;

我們則又應當說, 首要的任務就是應幫助廣 大的數學教師通過數學哲學的學習建立起正 確的數學觀。

值得指出的是, 就數學教育的現代發展 來說, 我們已經看到數學哲學、 特別是數學哲 學現代發展的重要影響。 例如, 數學觀的現代 演變, 即由靜態的數學觀向動態的數學觀的 過渡, 就是現代數學教育中突出強調“問題解 決”的重要原因之一。 一般地說, 這就正如同 美國著名數學教育家倫伯格 (T. Romberg) 所指出的: “兩千多年來, 數學一直被認為是 與人類的活動和價值觀念無關的無可懷疑的 真理的集合。 這一觀念現在遭到了越來越多 的數學哲學家的挑戰, 他們認為數學是可錯 的、 變化的, 並和其它知識一樣都是人類創 造性的產物。· · · 這種動態的數學觀具有重要 的教育涵義。”(可參見另文“數學哲學、 數學 教育與數學教育哲學”, 載 《哲學與文化》[台 灣],1992年, 第十期。)

在筆者看來, 以數學教育為“中介”, 數 學哲學最終也將對數學的未來發展產生重要 和深遠的影響, 從而, 這也就更為清楚和全面 地表明了數學哲學的意義。

—本文作者任教於南京大學哲學系—