函數體上的算術一一圓法

函 數體上的算術一一圓法

許志農

1. 前言與符號定義

古 典 的 華 林 問 題 是 在 研 究“每 個 充 分 大的正整數是否可表為某些正整數的 d 次 方和”; 而古典的哥德巴赫問題是在探討“每 個大於 3 的偶數是否可表為兩個質數的和;

每個大於 5 的奇數是否可表為三個質數的 和”。 至於古典的華林-哥德巴赫問題是在探 索“每個充分大的正整數是否可表為某些質 數的 d 次方和”。 探討這些問題大致是在研 究底下的四個問題:

(1) 充分大到底是多大才辦得到。

(2) 某些到底是多少個才可能。

(3) 表示的方法數是否有公式或者是漸近的 公式存在。

(4) 漸近公式的主項與其常數 (奇異級數)。

有關古典華林問題的進展是很快速的, 最新 的結果可以參考 Vaughan 的書 [10]的最後 一章。 至於古典哥德巴赫或華林-哥德巴赫問 題的進展較為遲緩。 大概是因為質數較難掌 握及處理的關係。

有關 d = 1 的進展如下: 在 1937 年, 蘇聯數學家維諾格拉陀夫 (Vinogradov) 利

用圓法證明 “每個充分大的奇數皆可表為三 個質數的和”(稱之為三質數定理); 在 1974 年, 中國數學家陳景潤利用篩法 (大篩法、 小 篩法) 證明 “每個充分大的偶數皆可表為一 個奇質數與一個至多兩個奇質數乘積之數的 和” (稱之為 1 + 2 定理)。 無論是三質數定理 或者是 1 + 2 定理, 後續都有許多文章重證 或改進原來的證明。

有關 d ≥ 2 (也就是古典華林-哥德巴赫 問題) 的進展, 我所知道的文獻僅有華羅庚著 的“堆壘素數論”。 事實上, 這本書的主要內容 就是在探討華林-哥德巴赫問題, 而且絕大部 分的內容都是華羅庚的創作。 華羅庚證明了:

當正整數 s ≥







2^d+ 1 2 ≤ d ≤ 10, 2d²(2 ln d+ln ln d+2.5) 10 < d, 時, 每個滿足

N ≡ s (mod K)

的充分大正整數 N 皆可表為 s 個質數的 d 次方和, 這裡的 K 是指

K =

^Y

(p−1)|d

p^rp,

17

其中 p 是質數, r2 = θ2+2, rp = θp+1(p ≥ 3), θp 是使得 p^θp|d 成立的最大正整數。

中國的數學家王元告訴過我“華羅庚在 這個結果所用的不等式是很精湛的, 因此他 的結果是很難再給予改進了”。 這也是五十年 來, 沒有任何有關華林-哥德巴赫問題進展的 原因。 就是因為這些與質數相關的圓法之結 果很精湛, 所以才引起本人想建立函數體上 的這些相關之不等式及探索函數體上的華林- 哥德巴赫問題。

為了方便起見, 我們將所有有關函數體 的符號及定義列在本節的最後, 在這裡不再 給定符號的說明與定義。 所謂多項式華林-哥 德巴赫問題是在探討方程式

M = r1P₁^d+ r2P₂^d+ · · · + rsP_s^d 的解 (P₁, P2, . . . , Ps) ∈ A^s 的個數問題, 這 裡要求 P1, P₂, . . . , P_s 是首項係數為 1 且滿 足

deg M/d ≤ deg Pi < deg M/d + 1, (1 ≤ i ≤ s) 的質多項式。 為了讓方程式有解, 我們必須對 多項式 M 及係數 r1, r2, . . . , rs ∈

^F

^×_q^d 做如 下必要的限制

r1 + r2+ · · · + rs

= M 的 d · ⌈deg M/d⌉ 次方項的係數。

(1.1) 如果 M ∈ A 滿足 (1.1) 的必要限制且令 G_z^d_,s(M) 為上述方程式解的個數, 則我們得

到: 當 2 ≤ d < p 且

s ≥



 

 

 

 

2^d+ 1 2 ≤ d < 11,

2d²(2 ln d + ln ln d + 2) − 4d + 2 d ≥ 11.

時, 有一個常數 S(M) 使得 G_z^d_,s(M) − q^{N (s−d)}

N^s · S(M) ≪ q^{N (s−d)} N^s+1 , 且在 q > p 或 q = p, d = p − 1, M ≡ s (mod T^p− T ) 時, 我們可以證明常數 (奇異 級數) S(M) > 0。

華林-哥德巴赫問題是屬於圓法的處理 模式, 也就是討論單位圓上或單位圓內相關 的指數和問題。 在 §5 中, 我們要探討一種 非歐基里德線上的圓法, 也就是在整個非歐 基里德線做積分或是指數和的意思。 基本上, 非歐基里德線上的圓法都是在探討一些稠密 與逼近的算術問題。

數學符號的定義與縮寫:

F

_q= 具有 q 個元數的有限體, 這裡 q 是質數 p 的某次方。

F

_p=

^Z

/(p)。 具有 p 個元數的有限體。

Tr = 由有限體

^F

q映至有限體 F_p 的跡 函數(trace map)。

ψ(a) = exp 2πi · a^′ p

!

。 這裡a ∈

^F

_q,a^′ 是指滿足[a^′] = Tra ∈

^F

_p的任意 整數。

A = 以

^F

q 為係數, T 為變數的多項式 環

F

_q[T ]。

A+= 多項式環A中, 首項係數為1的

多項式所構成的子集合。

K = 以

^F

q為係數, T 為變數的有理函 數體

F

_q(T )。

K∞= {f = cdT^d+ cd−1T^d−1+ · · ·

|c_i ∈

^F

_q, c_d 6= 0, d ∈

^Z

}。 稱此 體為非歐幾里得線。

degf = d, 此 f 如上所表示。 稱此為 f 的次數。

sgn(f ) = cd, 此 f 如上所表示。 稱此為 f 的首項係數。

|f | = q^{deg f}, 此 f 如上所表示。

稱此為 f 的絕對值。

在此絕對值之下, K∞ 剛好是有 理函數體

^F

_q(T ) 的完備體。

Resf = c−1。

E(f ) = ψ(Resf )。 稱函數E : K∞→

^C

^× 為非歐幾里得線 K∞ 上的指數 函數。

M = {f ∈ K∞| deg f ≤ −1}。

µ(M) = 1, 這裡的 µ 是指哈爾測度 (Haar Measure)。

πN = #{f ∈ A+|deg f = N 且 f 是 一個質多項式}。

2. 多項式上的華羅庚不等式與 維諾格拉陀夫不等式

我們都知道: 實數線上的指數和 (或者 是三角和) 在解析數論上扮演著極為重要的

角色。 因此, 在非歐幾里得線 K∞ 上發展相 對應的指數和理論可以說是探討函數體上的 算術問題之第一步。 在本文的前幾節裡, 我們 先把焦點放在探索函數體的幾種指數和的問 題上。 事實上, 我們在這些指數和的問題上得 到相當有價值的上界, 這使得我們在多項式 華林-哥德巴赫問題上得到很好的結果。

2.1 多項式上的華羅庚不等式與華羅 庚引理

給定多項式 Q ∈ A+ 及以 A 為係數 的多項式

f (x) = adx^d+ · · · + a1x + a0 ∈ A[x].

規定指數和 S(f, Q) 及 W (f, Q) 如下:

S(f, Q) =

^X

a∈A,deg a<deg Q

E f (a) Q

!

,

W (f, Q) =

^X

a∈A,deg a<deg Q (a,Q)=1

E f (a) Q

!

.

在 [4] 的第二節中, 我們得到如下精湛的估 計:

定理 2.1. (多項式上的華羅庚不等式)¹: 對任意的多項式 Q ∈ A+ 及多項式 f 如 上。 若 f 滿足 1 ≤ deg f = d < p 及 (ad, . . . , a1, Q) = 1, 則我們有

S(f, Q) ≪ |Q|^1−1d, W (f, Q) ≪ |Q|^1−1d,

這裡的維諾格拉陀夫常數 ≪ 僅與多項式 f 的次數 d 及有限體的個數 q 有關。

1.有關詳細證明請參考[4]定理2.1及引理2.5。

有關這個定理的證明, 我們從 Q 是一個 質多項式的次方開始著手。 這時的情形, 需要 用到佈於有限體的代數曲線之黎曼假設 (也 就是威伊 (A. Weil) 的結果)。 事實上, 當 Q = P^N 時 (P ∈ A+是一個質多項式), 我 們得到如下更精確的不等式: 如果 |P | ≥ 2^d 或者 ad ∈

^F

^×_q 且 a1 = a2 = · · · = ad−1 = 0 時, 我們有

|S(f, P^N)|

≤ max {1, d|P |^1/d−1/2}|P |^{N (1−1/d)},

|W (f, P^N)|

≤ max {1, d|P |^1/d−1/2}|P |^{N (1−1/d)}. 接下來, 我們來考慮非歐幾里得線 K∞ 上的 一個積分不等式。 如果給定以 K∞ 為係數的 多項式 g(z) ∈ K∞[z], 我們定義此多項式的 外爾和 (polynomial Weyl sum) S(g, N) 為

S(g, N) =

^X

b∈A+,deg b=N

E(g(b)).

有關多項式外爾和的初步的結果為

定理2.2 (多項式上的華羅庚引理)²: 若 多項式 f (如上) 滿足 1 ≤ deg f = d < p 及 (ad, . . . , a1, a0) = 1, 則當 1 ≤ v ≤ d 時, 我們有

Z

M|S(α · f, N)|^2vdα ≪ q^{N (2v−v)}N^C2, (2.1) 這裡的維諾格拉陀夫常數 ≪ 僅與 D, v, d, 及 q 有關; 而常數 C2 與 v, d, 及 q 有關, 其

中 D = max{deg ad, . . . , deg a0}。 換句話 說, 方程式

f (x1) + · · · + f (x₂^v−1)

= f (y1) + · · · + f (y2^v−1) 在

xi, yi ∈ A+, deg xi = deg yi = N 的條件之下的解個數是 ≪ q^{N (2v−v)}N^C2。

2.2. 多項式的維諾格拉陀夫不等式

在定理 2.2 中, 我們僅得到 2^v 次方的 多項式外爾和之估計。 顯然的, 這在應用上有 很大的限制及不方便, 所以發展較好用的外 爾和估計是有其必要的。 這就是本小節所要 敘述的定理。

定理2.3 (多項式上的維諾格拉陀夫不 等式)³: 給定多項式 f (x) ∈ A[x] 及正整 數 l。 若 f 滿足 1 ≤ deg f = d < p, 則我 們有

Z

M|S(α · f, N)|^2sdα ≪ q^{N (2s−d+δ)}, 這裡 s = dl, 2δ = d²(1 − 1/d)^l; 而且維諾 格拉陀夫常數 ≪ 僅與 d, l 及 q 有關。

顯然, 維諾格拉陀夫不等式比華羅庚引 理好用, 但是當 deg f = d 值較小的時候, 華羅庚引理的估計卻比維諾格拉陀夫不等式 來得好。 因此, 華羅庚引理與維諾格拉陀夫不 等式是不能互相取代的。

2.3. 以質多項式為變數的外爾和

2.有關詳細證明請參考_[4]定理_4.2。 3.有關詳細證明請參考[4]定理5.4。

與質多項式相關的算術問題常常需要用 到以質多項式為變數的外爾和估計。 因此在 這子節裡我們探討以質多項式為變數的指數 和估計問題。 設 f (z) ∈ K∞[z] 是一個首項 係數為 α ∈ K∞, 次數為 deg d ≥ 1 的 多項式。 我們定義以質多項式為變數的外爾 和 S^′(f, N) 為

S^′(f, N) =

^X

deg P =N

′ E(f (P )),

這裡的求和

^P

^′ 是針對所有首項係數為 1 的 質多項式而言。

定理2.4⁴: 設 d = 1 且 α = a/Q, 其 中 Q ∈ A+, a ∈ A 滿足 (a, Q) = 1。 我們 有

|S^′(f, N)| << max{1, ln deg Q}

N · q^{deg Q2}

·

^

q^N + q^{N2+deg Q}· deg Q

^

, 這裡的維諾格拉陀夫常數 ≪ 僅與 q 有關。

在定理 2.4 中, α 要求為 a/Q 的形式。

事實上, 我們很容易由此推得 α ∈ K∞ 的 一般結果。 這些結果可以參考 [2]推論 3.4 及 3.5。 又在定理 2.4 中, 當 deg Q ≥ (2N)/3 時, S^′(f, N) 的估計是不好的。 這時, 我們需 要底下的估計作為補助。

定理2.5: Vino22⁵ 設 d = 1 且 deg α = −N + m (此時 α ∈ K∞ 就可 以), 其中0 ≤ m ≤ N/2。 我們有

|S^′(f, N)| = O(q^m+N/2),

這裡的維諾格拉陀夫常數 ≪ 僅與 q 有關。

定理2.6⁶: 設 σ0 ≥ 0 是一個實數, 2 ≤ d < p 且 α = a/Q, 其中 Q ∈ A+, a ∈ A 滿足 (a, Q) = 1 及 σ ln N ≤ deg Q ≤ dN − σ ln N。 那麼當 σ ≥ d2^6d(σ0+ 1)時, 我們有

| S^′(f, N) |≪ q^N N^σ0,

這裡的維諾格拉陀夫常數 ≪ 僅與 d, σ0 及 q 有關。

定理 2.4 及 2.6 分別就一次及高次的外 爾和做估計。 在 [2]的第三節裡, 我們針對一 次 (線性) 的情形做了很完整且詳細的探索。

3. 外爾不等式與更精密的華羅 庚引理

在 §2.3中, 我們探討了以質多項式為變 數的外爾和問題, 這些不等式是為了解決與 質多項式相關的算術問題 (例如多項式華林- 哥德巴赫問題及§5.1 與§5.2 所研究的問題)。

但是, 大部分的算術問題都是與一般多項式 相關的, 所以發展以多項式為變數的外爾和 是基本且必要的。 定理 3.1就是在探索這方面 的問題。

定理3.1⁷: 設 g(z) = αdz^d + · · · + α1z ∈ M[z]。 若 2 ≤ d = deg g < p 且存 在 Q ∈ A+, h ∈ A 滿足 (h, Q) = 1, N <

deg Q ≤ (d − 1)N 及

deg(α_d− h/Q) < −(deg Q + (d − 1)N),

4.有關詳細證明請參考[2]定理3.2。 5.有關詳細證明請參考_[2]定理_3.3。 6.有關詳細證明請參考[4]定理11.8。

則我們有

S(g, N) =

^X

z∈A+,deg z=N

E(g(z))

≪ q^{N (1−1/σd)}, 這裡

σd=







2^d−1+ 1 if 2 ≤ d < 13, 2d²(2 lnd+ln ln d+3) if 13 ≤ d, 且維諾格拉陀夫常數 ≪ 僅與 d 及 q 有關。

在第 2 節裡, 我們發展了多種的指數和 不等式。 綜合這些結果, 我們可以得到更精密 的華羅庚引理如下:

定理3.2⁸: 給定多項式 f (x) = adx^d+

· · · + a1x + a0 ∈ A[x]。 若 d = deg f ≥ 2, (ad, . . . , a1) = 1 且

s ≥



 

 

 

 

d²(d − 2) + 6 if 2 ≤ d < 9, d²(2 ln d + ln ln d + 2) − 2d if 9 ≤ d,

則我們有

Z

M|S(αf, N)|^2sdα ≪ q^{N (2s−d)}, 這裡的維諾格拉陀夫常數 ≪ 僅與 d, s, D 及 q 有關。

4. 多項式華林-哥德巴赫問題

在這一節中, 我們將探討多項式華林- 哥德巴赫問題的解之漸近公式, 及其漸近公 式的常數 (稱為多項式華林-哥德巴赫奇異

級數)。 漸近公式的獲得是將多項式的單位圓 M 分割成優弧及劣弧所產生的; 而如何去證 明所產生的奇異級數為正實數則是另一個棘 手的問題。

在這節中, 設多項式 f (z) = adz^d +

· · · + a1z ∈ A[z] 滿足:f 的係數是互質的且 2 ≤ d = deg f < p, f (0) = 0.

4.1. 多項式華林-哥德巴赫奇異級數

設 s 是一個正整數且係數r1, r2, . . . , rs

∈

^F

^×_q^d。 對任意的多項式 M ∈ A, 多項式華 林-哥德巴赫奇異級數 S(M) 定為

S(M) =

^X

Q∈A+

X

h∈A,(h,Q)=1 deg h<deg Q

s

Y

i=1

W (hrif, Q) Φ^s(Q)

·E −hM Q

!

=

^Y

P

SP(M),

乘積中的 P 是針對所有首項係數為 1 的質 多項式而言, 而且

SP(M)=1 +

∞

X

N =1

X

h∈A,P^∤h deg h<N deg P

s

Y

i=1

W (hrif, P^N) Φ^s(P^N)

·E −hM P^N

!

.

7.有關詳細證明請參考_[4]推論_6.2。 8.有關詳細證明請參考[4]定理7.5。

為了證得 SP(M) > 0, 我們定義 Xs(M, P ) 為方程式

r1z₁^d+ · · · + rsz_s^d ≡ M (mod P ) 在 z1, z2, . . . , zs ∈ A, zi 6= 0, deg zi <

deg P 的條件下解的個數。

引理4.1⁹: 設

^F

^×_p^d 6= {1}, 也就是 說 2 ≤ d < p − 1。 如果 s ≥ 3d, 則 對所有的質多項式 P 及多項式 M, 我們有 X_s(M, P ) > 0。

引理4.2¹⁰: 設

^F

^×_p^d = {1}, 也就是說 2 ≤ d = p − 1。 對所有的質多項式 P 及多 項式 M, 我們有

(a) 若 q ≥ p⁴且 s ≥ d+1, 則 Xs(M, P ) >

0。

(b) 若 q = p² 且 s ≥ 2d + 1, 則 Xs(M, P ) > 0。

(c) 若 q = p³, p ≥ 5 且 s ≥ (d + 1)(d + 2)/2, 則 Xs(M, P ) > 0。

(d) 若 q = p³, p = 3 且 s ≥ 3, 則 Xs(M, P ) > 0。

(e) 若 q = p,

s ≥







(d + 1)(d + 2)/2 p ≥ 5,

3 p = 3,

且

M ≡ s (mod T^p− T ), 則 X_s(M, P ) > 0。

我們有

定理4.1: 設 f (z) = z^d 且當 q = p 時, 規定 M 必須滿足 M ≡ s (mod T^p−T )。

若

s ≥



 

 

 

 

3d 2 ≤ d < p − 1,

(d+1)(d+2)

2 d = p − 1, p ≥ 5, 3 d = p − 1, p = 3, 則 S(M) > 0。

4.2. 多項式華林-哥德巴赫問題

設多項式 M ∈ A 滿足 sgna_d· (r₁+ r₂+ · · · + r_s)

= M 的 d · ⌈deg M/d⌉ 次方項的係數;

令 G_f,s(M) 為方程式

M = r1f (P1) + · · · + rsf (Ps) 在下列條件之下的解 (P₁, . . . , P_s) 之個數:

P1, . . . , Ps 為首項係數為 1 且滿足 (deg M − deg ad)/d

≤ deg Pi

< (deg M − deg ad)/d + 1 的質多項式。

我們得到多項式華林-哥德巴赫問題的 漸近公式為

定理4.2¹¹: 如果

s ≥



 

 

 

 

2^d+ 1 2 ≤ d < 11,

2d²(2 ln d + ln ln d + 2) − 4d + 2 d ≥ 11,

9.有關詳細證明請參考[4]引理9.3。 10. 有關詳細證明請參考_[4]引理_9.4。 11. 有關詳細證明請參考[4]引理10.1。

則當 s1 > s 時, 我們有 Gf,s(M) − q^{N (s−d)}

|ad| · N^s · S(M) ≪ q^{N (s−d)} N^s1 , 這裡的維諾格拉陀夫常數 ≪ 僅與 d, D, s, s1 及 q 有關。

當多項式 f (z) = z^d, 我們得到

定理4.3¹²: 設 f (z) = z^d 且當 q = p, d = p − 1 時, 規定 M 必須滿足 M ≡ s (mod T^p− T )。 若

s ≥



 

 

 

 

2^d+ 1 2 ≤ d < 11,

2d²(2 ln d + ln ln d + 2) − 4d + 2 d ≥ 11,

則當 s1 > s 時, 我們有 S(M) > 0 及 G_z^d_,s(M) − q^{N (s−d)}

N^s · S(M) ≪ q^{N (s−d)} N^s1 , 這裡的維諾格拉陀夫常數 ≪ 僅與 d, s, s₁ 及 q 有關。

5. 非歐基里德線上的圓法

無論是華林問題或是華林-哥德巴赫問 題都是屬於圓法的處理模式, 也就是討論單 位圓上或單位圓內相關的指數和問題。 在本 節中, 我們要探討一種非歐基里德線上的圓 法, 也就是在整個非歐基里德線做積分或是 指數和的意思。 基本上, 非歐基里德線上的 圓法都是在探討一些稠密與逼近的算術問題, 我們分成一次與高次逼近個別討論。

5.1. 一次的質多項式逼近法

一次逼近最有名的問題是貝克所證明的 一個問題: 設 λ1, λ2, λ3 是三個非 0 且不同 時為正或為負的實數。 若三實數

λ1

λ2

,λ2

λ3

,λ3

λ1

至少有一個是無理數, 則集合

{λ1p1+ λ2p2+ λ3p3 | p1, p2, p3 是質數}

會稠密於整條實數線 (dense in the real line)。

在非歐基里德線上, 利用定理 2.4 及定 理 2.5, 我們證明了

定理5.1¹³: 設 λ1, λ2, λ3 是非歐基里德 線 K∞ 上三個非 0 的元素。 若 λ₁, λ₂, λ₃ 滿 足

sgn(λ1) + sgn(λ2) + sgn(λ3)

= 0 且 λ1

λ2 6∈ K, 則集合

{λ₁P₁+λ₂P₂+λ₃P₃|p₁, p₂, p₃ 是質多項式}

會稠密於整個非歐基里德線上。

5.2. 高次的質多項式逼近法

高次逼近有名的問題是達文波特 (Da- venport)、 海爾布倫 (Heilbronn) 及後來 的 Ramachandra 所證明的一個問題: 設 λ1, λ2, . . . , λK 是 K 個非 0 且不同時為正 或為負的實數。 若 ^λ1

λ2 是一個無理數, 則當

K ≥



 

 

 

 

2^k+ 1 1 ≤ k ≤ 11,

2[2k²ln k+k²ln ln k+2.5k²]−1 12 ≤ k

12. 有關詳細證明請參考_[4]引理_10.1。 13. 有關詳細證明請參考[2]定理2.1。

時, 集合

{λ₁p^k₁ + λ₂p^k₂+ · · · + λ_Kp^k_K | p1, p2, . . . , pK 是質數}

會稠密於整條實數線 (dense in the real line)。

在非歐基里德線上, 利用定理 vinthm, 我們證明了

定理5.2¹⁴: 設 λ1, λ2, . . . , λD 是非歐 基里德線 K∞ 上 D 個非 0 的元素。 若 λ1, λ2, . . . , λD 滿足

sgn(λ₁) + sgn(λ₂) + · · · + sgn(λ_D)

= 0 且 λ₁ λ2 6∈ K, 則當

D≥



 

 

 

 

2^d+ 1 1 ≤ d < 11,

2[2d²ln d+d²ln ln d+2d²−2d]+1 11 ≤ d

時, 集合

{λ1p^d₁ + λ2p^d₂ + · · · + λDp^d_K | p1, p2, p3, . . . , pD 是質多項式}

會稠密於整個非歐基里德線上。

參考文獻

1. 許志農, The Distribution of Irreducible Polynomials in

^F

_q[t], Journal of Num- ber Theory, 61 (1996), 85-96.

2. 許志農, Diophantine Inequalities for Polynomial Rings, Journal of Number Theory, 78 (1999), 46-61.

3. 許志農, On Hardy-Littlewood method for non-Archimedean line, preprint.

4. 許志農, On Polynomial Waring-Gold- bach Problem, preprint.

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8. R. Lidl and H. Niederreiter, Finite Fields, Cambridge University Press (1997).

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10. R. C. Vaughan, The Hardy-Littlewood method, Cambridge University Press (1997) .

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本文作者任教於國立台灣師範大學數學 系

—

14. 有關詳細證明請參考[3]定理2.1。