VF CF 2

(1)

高雄市明誠中學高二數學平時測驗日期：98.02.25 班級

範

圍 1-2 拋物線

座號

姓名一、選擇題 ( 每題 10 分 )

( ) 1. 以 F(0﹐1)為焦點﹐以 L：y   1 為準線的拋物線的方程式為何﹖

(1)y²  4x (2)y²   4x (3)x²  4y (4)x²   4y (5)y  x²﹒ 解答 3

解析焦點 F(0﹐1)﹐準線 L：y   1  對稱軸方程式為 x  0﹐

4 | c |  4  1  4﹐頂點(0﹐0)﹐由標準式得拋物線方程式為 x²  4y﹒

( ) 2. (複選)下列選項何者正確﹖

(1) 設點 F 與直線 L 在同一平面上﹐則所有滿足PF d(P﹐L)（P 到 L 的距離）的點 P 所形成之圖形為一拋物線﹒

(2) 設 F﹐V 分別為拋物線



的焦點與頂點﹐則



的圖形對稱於直線 FV﹒

(3) 方程式 y  x²的圖形是拋物線﹐方程式 y²  x 的圖形也是拋物線﹒

(4) 設 F﹐V 分別為拋物線



的焦點與頂點﹐則



上可找到一點 P 使PF VF 2

1 ﹒ (5) 設 F 為拋物線



的焦點﹐P 在



上﹐P 不是頂點﹐則在



上必

可找到另一點 Q 使PFQF﹒ 解答 235

解析

(1) F 不在 L 上時﹐P 的圖形才是拋物線﹒

(2) 由拋物線的定義可得﹒

(4) 頂點是拋物線上與焦點距離最近的點﹒

(5) 過 P 點作與拋物線軸垂直的直線 L﹐則 L 與拋物線的交點Q會使PFQF﹒ ( ) 3. (複選)關於拋物線 y²  4x  2y  7  0 的敘述﹐下列何者正確﹖

(1)開口向上 (2)頂點( 2﹐1) (3)正焦弦長 4 (4)焦點 F(2﹐1) (5)準線：x  3  0﹒ L 解答 235

解析 y²  4x  2y  7  0  (y  1)²  4(x  2)﹐

故此拋物線開口向右﹐頂點 V( 2﹐1)﹐c  1﹐

且焦點 F( 1﹐1)﹐準線：x   3﹐正焦弦長  L 4 c  4﹒

( ) 4. (複選)已知一拋物線之焦點為(1﹐1)﹐準線為 y  3  0﹐則下列何者正確﹖

(1)其頂點為(  1﹐1) (2)其焦距為 2 (3)其對稱軸為 x   1 (4)若此拋物線與 x 軸交於 A﹐B 兩點﹐則AB 4 2

(5)過 P(1﹐ 1)且與其相切之直線方程式為 x  1﹒

解答 24

解析焦點 F(1﹐1)﹐準線 L1：y  3  0﹐則拋物線如圖﹐對稱軸 L2  L1且過 F(1﹐1)﹐

∴對稱軸 L₂：x  1  0﹐L1﹐L₂之交點 C(1﹐ 3)﹐

∴頂點 V 為 CF 之中點(1﹐ 1)  PV﹐

焦距 | c | VF  2﹐過 V(1﹐ 1)且與拋物線相切之直線為 y   1﹐

(2)

拋物線



：(x  1)²  8(y  1)……﹐令 y  0 代入  (x  1)²  8﹐得 x  1  2 2 ﹐ 即 A(1  2 2 ﹐0)﹐B(1  2 2 ﹐0)  AB 4 2 ﹒

二、填充題 ( 每題 10 分)

1. 過(2﹐1)﹐(3﹐0)﹐(5﹐4)三點且對稱軸平行 y 軸的拋物線方程式為____________﹒

解答 y  x²  6x  9

解析已知對稱軸平行軸﹐故設拋物線方程式為 y  axy ²  bx  c﹐

此拋物線過(2﹐1)﹐(3﹐0)﹐(5﹐4)﹐

則  a  1﹐b   6﹐c  9，所以拋物線方程式為 y  x²  6x  9﹒

1 4 2 0 9 3 4 25 5

a b c a b c a b

  

   

  

 c

2. 已知 A(5﹐ 3)﹐B( 1﹐ 3)為平面上兩點﹐則

(1)以 A 為頂點﹐B 為焦點的拋物線方程式為____________﹒

(2) 以AB為正焦弦﹐開口朝下的拋物線方程式為____________﹒

解答 (1)(y  3)²   24(x  5);(2)(x  2)²   6(y  2 3)

解析 (1) 拋物線



以 A(5﹐ 3)為頂點﹐B( 1﹐ 3)為焦點如圖﹐

則 c   6﹐



的方程式為(y  3)²  4( 6)(x  5)﹐

即(y  3)²   24(x  5)﹒

(2) 以AB為正焦弦的拋物線﹐焦點為AB的中點(2﹐ 3)﹐

且開口朝下﹐此時 c  2

3﹐頂點(2﹐ 3  2

3)  (2﹐

2

3 )﹐

此拋物線方程式為(x  2)²  4(

2

3)(y  2

3)﹐即(x  2)²   6(y  2 3)﹒

3. 以點 F(2﹐2)為焦點﹐以直線 x  y  0 為準線的拋物線方程式為____________﹒

解答 x²  2xy  y²  8x  8y  16  0

解析以 F(2﹐2)為焦點﹐L：x  y  0 為準線的拋物線﹐

設 P(x﹐y)在拋物線上﹐則PF d(P﹐L)﹐

即

2 )

2 ( ) 2

( ² ²

x y

y

x









 ﹐

亦即 2(x²  4x  4  y²  4y  4)  x²  2xy  y²﹐ 整理 x²  2xy  y²  8x  8y  16  0﹒

(3)

4. 與 y²  4x  6y  5  0 共軸､共焦點且過(3﹐1)之拋物線方程式為____________﹒

解答 (y  3)²   16(x  4)或(y  3)²  4(x  1) 解析 y²  4x  6y  5  0  (y  3)²  4(x  1)﹐

∴頂點為( 1﹐ 3)﹐c  1 焦點為(0﹐ 3)且對稱軸為 y  3  0﹐

設



：(y  3)²  4k(x  k)﹐將(3﹐1)代入﹐

∴16  4k(3  k) k²  3k  4  0 k  1 或  4﹐

故(y  3)²   16(x  4)或(y  3)²  4(x  1)﹒



 

5. 以(y  1)²  4x 之正焦弦為直徑的圓方程式為____________﹒

解答 (x  1)²  (y  1)²  4

解析 ⁽ ¹⁾² ⁴ (y  1)²  4 y  1   2 y  3 或 y   1﹐

1

y x

x

  

 

   

∴(1﹐ 1)﹐(1﹐3)為直徑之兩端點﹐

∴(x  1)(x  1)  (y  3)(y  1)  0  (x  1)²  (y  1)²  4﹒

6. 已知一拋物線的頂點為(2﹐0)﹐準線為 4x  3y  2  0﹐則

(1) 此拋物線的焦點為_____﹒(2) 正焦弦長為_____﹒(3) 正焦弦長所在直線方程式為____﹒

解答 (1)(

5 18﹐

5

6);(2)8;(3)4x  3y  18  0

解析設拋物線的對稱軸方程式為 3x  4y  k  0﹐過(2﹐0)﹐則 6  0  k  0﹐得 k   6﹐

∴對稱軸方程式為 3x  4y  6  0﹐

(x﹐y)  (













0 6 4 3

0 2 3 4

y x

y

x



5 2﹐

5

6 )﹐

頂點(2﹐0)為(

5 2﹐

5

6)與焦點(i﹐j)之中點﹐∴(2﹐0)  ( 2 5 2

i

﹐ 6 5

2

  j )

 焦點(i﹐j)  ( 5 18﹐

5

6)﹐正焦弦長  4 | c |  4 ⁽¹⁸ ²⁾² ⁽⁶ ⁰⁾

5   5 ² 4  2  8﹐

設正焦弦長所在直線方程式為 4x  3y  t  0﹐過(

5 18﹐

5 6) 4 

 5

18 3  5

6 t  0  t   18﹐∴所求為 4x  3y  18  0﹒

7. 試求：拋物線 (x2)² (y2)² 

2

4

 y

x

的

(1) 對稱軸方程式為_________﹒(2) 頂點坐標為__________﹒(3) 正焦弦長為____________﹒

解答 (1)x  y  0;(2)(0﹐0);(3)8 2 解析拋物線 (x2)²(y2)²  ⁴

2 x y

﹐焦點 F(2﹐2)﹐準線 L：x  y  4  0﹐

設對稱軸方程式為 x  y  k  0﹐過 F(2﹐2)  2  2  k  0 k  0﹐

∴對稱軸方程式為 x  y  0﹐又

 4 0

0 x y x y

  

  

 A( 2﹐ 2)﹐

則頂點為 A 與 F 中點﹐∴頂點(

 2 2

2

  ﹐^² ² 2

 )  (0﹐0)﹐

正焦弦長  2AF 2 ( 2 2)  ²   )( 2 2 ² 2  4 2 8 2﹒

(4)

8. 根據下列條件﹐求出拋物線之方程式：

(1) 焦點(2﹐1)﹐準線平行於 y 軸﹐正焦弦長為 8：____________﹒

(2) 頂點(0﹐0)﹐焦點在直線 x  y  2 上﹐對稱軸為 y 軸：____________﹒

解答 (1) (y  1)²  8x 或(y  1)²   8(x  4);(2) x²   8y

解析 (1) 焦點 F(2﹐1)﹐準線平行於 y 軸 軸的方程式為 y  1（軸垂直 y 軸）

4 | c |  8 4c   8 c   2﹒

 c  2 時﹐拋物線開口向右﹐頂點在焦點 F(2﹐1)的左方﹐

所以頂點坐標為(0﹐1)﹐拋物線方程式為(y  1)²  8x﹒

 c   2 時﹐拋物線開口向左﹐頂點在焦點 F (2﹐1)的右方﹐

頂點坐標為(4﹐1)﹐拋物線方程式為(y  1)²   8(x  4)﹐

∴拋物線方程式為(y  1)²  8x 或(y  1)²   8(x  4)﹒

(2) 焦點在直線 x  y  2 上﹐也在對稱軸 x  0 上﹐

∴焦點坐標為 F(0﹐ 2)﹐

又頂點 A(0﹐0)﹐∴| c | 

 

AF 2﹐又拋物線開口向下 c   2﹐ 故拋物線方程式為 x²   8y﹒



9. 頂點 A(1﹐1)﹐焦點 F(2﹐3)的拋物線﹐其

(1) 準線方程式為____________﹒(2) 正焦弦長為____________﹒

解答 (1)x  2y   2;(2)4 5

解析頂點 A(1﹐1)﹐焦點 F(2﹐3)﹐

則對稱軸為過 A﹐F 之直線方程式： ¹ 1 y x



 ^{3 1} 2 1



  2x  y  1﹐

設準線方程式為 x  2y  k﹐過 B(a﹐b)﹐則 A(1﹐1)為 F(2﹐3)與 B(a﹐b)之中點﹐

∴(a﹐b)  (0﹐ 1) 0  2  k k   2﹐

∴準線方程式：x  2y   2﹐正焦弦長  4| c |  4

 

AF  4 1² 2²  4 5 ﹒

10. 拋物線(x  3)²  8(y  1)的(1) 頂點坐標為____________﹒(2) 焦點坐標為____________﹒

(3) 準線方程式為____________﹒

解答 (1)(3﹐ 1);(2)(3﹐1);(3)y   3

解析 (x  3)²  4  2(y  1)﹐∴c  2﹐頂點(3﹐ 1)﹐

焦點(3﹐ 1  2)  (3﹐1)﹐準線 y  1   2  y   3﹒

11. 已知一拋物線焦點(4﹐0)﹐頂點(2﹐0)﹐則拋物線方程式____________﹒

解答 y²  8(x  2)

解析拋物線焦點(4﹐0)﹐頂點(2﹐0)﹐則對稱軸方程式：y  0﹐c  2﹐

∴拋物線方程式為 y²  4  2(x  2)﹐即 y²  8(x  2)﹒

12. 探照燈的外殼是拋物線繞它的對稱軸旋轉一周所形成的曲面﹐如圖所示﹒已知燈口處的直徑是 60 公分﹐燈的深度是 40 公分﹐則焦距（焦點與頂點的距離）是____________公分﹒

(5)

解答 8 45

解析建立坐標系﹐頂點 O 為原點﹐則設拋物線方程式為 y²  4cx﹐

過(40﹐30)與(40﹐ 30)

 (30)²  4c(40)  c ⁹⁰⁰ 160 ⁴⁵

8 ﹐即焦距 ⁴⁵ 8 ﹒

13. 設 F 為拋物線(y  1)²  12(x  1)的焦點﹐若 P(a﹐b)在拋物線上﹐且 PF 9﹐則 a  ___________﹒

解答 7 解析

拋物線(y1)² 12(x1)﹐頂點(1﹐1)﹐4c12﹐c3﹐

∴開口向右﹐焦點F(4﹐1)﹐準線：L x 2﹐

∵ 在拋物線上且P PF 9﹐

∴PFd(P﹐ ) L  9  a ( 2)  a7﹒

14. 設有一拋物線



：y²  8x﹐若與共軸､共焦點﹐通過點(1﹐2



6 )的拋物線為 y²  ax  b﹐

a  0﹐則(a﹐b)  ____________﹒

解答 (12﹐12)

解析拋物線



：y²  8x(

y

0)²     )4 2 (

x

0 ，頂點(0, 0)，焦點(2, 0)

與 y²  8x 共軸､共焦點之拋物線﹐其方程式可設之為 y²  4(2  t)(x  t)﹐t

R﹐

∵過(1﹐2 6 ) 24  4(2  t)(1  t) t²  3t  4  0 t  4﹐ 1﹐

t  4

y²   8(x  4)   8x  32﹐a  0 不合﹐

t   1

y²  12(x  1)  12x  12﹐∴a  12﹐b  12﹒

  



15. 拋物線 y  ax²

 bx  1 的正焦弦長為

3

1﹐開口向下﹐其焦點為(k﹐

4

9)﹐又 k  0﹐則 (1)拋物線之對稱軸方程式為____________﹒ (2) 準線方程式為____________﹒

解答 (1) x 3

2 0;(2) y  12 29

解析正焦弦長為 3

1 1 1

4| | ,| |

3 1

c c

  

2，又開口向下 1

c

12

   且頂點為 9 1 7

( , ) ( , ) 4 12 3

k

 

k

故拋物線之方程式可設為 ² 1 7

( ) 4( )(

12 3

x



k

 

y

 )，又拋物線又為 y  ax²

 bx  1

表圖形過(0,1)，代入上式 ² 1 7 ²

(0 ) 4( )(1 )

12 3 9

k k

4

      ，又 k  0 2

k

3

  ， 故拋物線方程式(x²

3)²  ¹

3(y⁷

3)﹐對稱軸方程式 x²

3 0﹐頂點(² 3﹐⁷

3)  準線 y ⁷

3 ¹ 12²⁹

12 ﹒