因為EF = 4 − CF − CE = 2 − CF + 2 − CE = DF + BE = BG + BE = EG 且AE共用 所以∆AEF ≅ ∆AEG，故∠EAF = ∠EAG =12∠

109 學年度高級中學數學科能力競賽複賽試題 南區（台南區） 筆試（一）{參考解答}

一、如圖所示，正方形𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴的邊長為2，點𝐸𝐸和𝐹𝐹分別在邊𝐴𝐴𝐴𝐴和𝐴𝐴𝐴𝐴上，使得∆𝐴𝐴𝐸𝐸𝐹𝐹

的周長為4，試求：

(1) ∠𝐸𝐸𝐴𝐴𝐹𝐹的度數；

(2) ∆𝐸𝐸𝐴𝐴𝐹𝐹 面積的最小值。

【參考解答】

(1).延長CB至G，使BG = DF，則∆ABG ≅ ∆ADF。因此，AG = AF，∠GAB =

∠FAD，∠FAG = ∠DAB = 90^°。

因為EF = 4 − CF − CE = 2 − CF + 2 − CE = DF + BE = BG + BE = EG 且AE共用

所以∆AEF ≅ ∆AEG，故∠EAF = ∠EAG =¹₂∠𝐹𝐹𝐴𝐴𝐹𝐹 = 45^°。 (2).設CE = 𝑥𝑥，CF = 𝑦𝑦，EF = 𝑧𝑧，則 �𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 = 4

𝑥𝑥²+ 𝑦𝑦² = 𝑧𝑧² ⟺ �𝑥𝑥 = 4 − 𝑦𝑦 − 𝑧𝑧 𝑥𝑥²+ 𝑦𝑦² = 𝑧𝑧² 於是(4 − 𝑦𝑦 − 𝑧𝑧)²+ 𝑦𝑦² = 𝑧𝑧² ⟹ 2𝑦𝑦²+ (2𝑧𝑧 − 8)𝑦𝑦 + (16 − 8𝑧𝑧) = 0 因為y > 0，考慮判別式D = 4(𝑧𝑧 − 4)²− 64(2 − 𝑧𝑧) ≥ 0，即

(z + 4 + 4√2)(z + 4 − 4√2) ≥ 0

又因為z > 0，所以z ≥ 4√2 − 4。當x = y = 4 − 2√2時等號成立。

∆EAF的面積= ∆FAG的面積=¹₂𝐸𝐸𝐹𝐹 × 𝐴𝐴𝐴𝐴 = ¹₂𝑧𝑧 × 2 = 𝑧𝑧 ≥ 4√2 − 4 故∆EAF面積的最小值為4√2 − 4。

二、已知函數 f 的定義域為正整數而其函數值為非負整數，並滿足 f(m + n) – f(m) – f(n) = 0 或 1，f(1) = 0, f(2) > 0, f(300) = 150。

試求 f(109)之值?

【參考解答】：m=n=1 時會得到 f(2)=0 或 1，所以我們知道 f(2)=1。從 f(m+n)-f(m)-f(n)=0 或 1 可以得到 f(m+2)的可能值為 f(m)+1 或 f(m)+2，或 者說最小的可能性為 f(m)+1，而 f(m+4)的最小可能性為 f(m)+2。由此推知，

f(300)最小的可能性為 150 符合給定的條件 。也就是說，當 m,n 都是偶數 是會滿足 f(m+n)-f(m)-f(n)=0 或 f(2k)=k。

當 n=2k+1 奇數時，f(2k+1)=f(2k)+f(1)+0 或 1，因此 f(2k+1)=k 或 k+1，

如果有某個 2k+1=<109 滿足 f(2k+1)=k+1，則 f(4k+2)=f(2k+1)+f(2k+1)+0 或 1，或者說 f(4k+2)=2k+2 或 2k+3，和已知 f(4k+2)=2k+1 矛盾。

所以我們就知道 f(109)=f(2*54+1)=54。

三、設𝑓𝑓(4𝑎𝑎) + 4𝑓𝑓(𝑏𝑏) = 𝑓𝑓(𝑓𝑓(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏))，函數 f 的定義域及值域均為整數，求此函 數為何?

【參考解答】b = x a = 0，𝑓𝑓(0) + 4𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑓𝑓(𝑥𝑥))

a = 1，𝑓𝑓(4) + 4𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓�𝑓𝑓(𝑥𝑥 + 1)� = 𝑓𝑓(0) + 4𝑓𝑓(𝑥𝑥 + 1) 𝑓𝑓(4)−𝑓𝑓(0)

4 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥 + 1) − 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 故𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑚𝑚𝑥𝑥 + 𝑛𝑛

𝑚𝑚(4𝑎𝑎) + 𝑛𝑛 + 4(𝑚𝑚𝑏𝑏 + 𝑛𝑛) = 𝑚𝑚(𝑚𝑚(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) + 𝑛𝑛) + 𝑛𝑛 4𝑚𝑚(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) + 5𝑛𝑛 = 𝑚𝑚²(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) + 𝑚𝑚𝑛𝑛 + 𝑛𝑛

所以 m = 0, n = 0；m = 4, 𝑛𝑛 ∈ ℤ

因此 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 0 或 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 4𝑥𝑥 + 𝑛𝑛, 𝑛𝑛 ∈ ℤ

四、從 1 到 2020 這 2020 個正整數中，最多可以取出多少個相異數，使得所取 出的數中任意 5 個數的和均為 55 的倍數?(答案須詳敘理由)

【參考解答】設

a

a

a

a_i <a_j <a_k <a_l <a_m<a_o, , i, j, k, l, m, o = 1, 2, ….., n 55|

a

a

a

a

a

a

a

l

55|

a

a

a

a

a

a

l

l

l

l

又 37

55 11 2020 55

1 ≤ − <

=

a

a l

l

11, 11+55×1, 11+55×2, 11+55×3, ……, 11+55×36.