植基於退火粒子群最佳化演算法之奇異質分解於 二維濾波器之設計
林灶生 張蓺英 黃世演
國立勤益科技大學資訊工程系
摘 要
本論文旨在提出以退火粒子群最佳化 (Annealed particle swarm optimiza- tion, APSO) 演算法求得不等距取樣點之空間頻率取代傳統等距取樣點空間頻 率，以產生平面響應矩陣。粒子群最佳化演算法是一種具有群體智慧概念、屬 於演化計算領域的一種計算方法，在決策過程中利用個體所擁有的經驗以及他 人的經驗，經由考慮這二項資訊，來做最佳的決策。當不等距取樣點之空間頻 率取得後，再以奇異值分解法 (Singular value decomposition, SVD) 求得多級可 分離之一維濾波器；最後以這些一維濾波器組合成二維濾波器。由實驗數據可 看出，以粒子群演算法求得不等取樣點之空間頻率，由奇異值分解法所設計出 來之二維濾波器，比傳統等距取樣點空間頻率可得到較佳之增益響應。
關鍵詞：二維濾波器，奇異值分解，粒子群最佳化。
2-D FILTERS DESIGNED BY USINGSINGULAR-VALUE DECOMPOSITION BASED ON AN ANNEALED
PARTICLESWARM OPTIMIZATION
Jzau-Sheng Lin Yi-Ying Chang Shi-Yuang Huang Department of Computer Science and Information Engineering
National Chin-Yi University of Technology Taichung, Taiwan 411, R.O.C.
Key Words: 2-D filter design, SVD, PSO.
ABSTRACT
In this paper, an annealed particle swarm optimization (APSO) is pro- posed to randomly select non-equal scaling spatial frequency points in or- der to generate the spatial-response matrix for the singular-value decompo- sition (SVD) algorithm to a 2-D filter design. PSO is a swarm intelligent strategy which also is a new evolutionary computation technique. In the decision process, each particle adjusts its position to get a promising posi- tion in accordance with its own flying experience and its companion’s fly- ing experience. The SVD algorithm is used to get multiple separated 1-D filters after generating non-equal scaling spatial frequency points. Finally, we can combine these 1-D filters to construct a 2-D filter. From the ex- perimental results, the non-equal scaling spatial frequency points randomly selected by the PSO for the SVD algorithm to design a 2-D filter can get a better frequency response than those gotten by the traditional method, which generates equal scaling spatial frequency points.
技術學刊 第二十四卷 第一期 民國九十八年 69
Journal of Technology, Vol. 24, No. 1, pp. 69-75 (2009)
一、前 言
已有相當多研究者使用奇異值分解法或是相類似分 解法設計二維濾波器[1-5]。奇異值分解法係將一個二維訊 號以平面響應矩陣表示，經由奇異分解後，以二個一維濾 波器串接成一組，並以數組依並接方式組合而成，以完成 二維濾波器之設計。奇異值分解法具有高效率、低成本且 設計簡單之特性，除了可以一連串技術成熟之一維濾波器 加以完成設計之外，若將二維濾波器以一維濾波器並行結 構方式建構，則其處理運作即可依並行方式處理，以節省 其處理時間；且只要每一個一維濾波器穩定，則所建構之 二維濾波器亦屬穩定。奇異值分解法除了可設計二維有限 脈衝響應 (Finite impulse response, FIR) 濾波器之外，亦可 設計無限脈衝響應 (Infinite impulse response, IIR) 濾波 器。
在設計二維濾波器的過程中，傳統均以等距空間頻率 取樣點方法，直接取得取樣點以及已知的增益響應求解二 維濾波器。以等距空間頻率取樣點方法設計濾波器時，其 通帶接近截止頻率時，存在一個過大的增益響應值。Shen 與 Kuo [6, 7]指出以不等空間頻率取樣點取代等距空間取 樣點，可以改善濾波器之通帶 (Pass band) 以及禁帶 (Stop band) 之增益響應，進而改善濾波器之整體增益響應。
Shen 與 Kuo [6]曾利用柴比雪夫 (Chebyshev) 多項式 之根取代截止頻率之空間取樣點形成不等距取樣點，藉以 改善通帶以及禁帶之增益響應，但整體增益理想性改善有 限；接著他們以基因演算法 (Genetic algorithm, GA) 求解 最佳解之特性藉以取得一組最佳化的空間頻率取樣點，以 做為二維濾波器之增益響應的空間頻率取樣點。最後再以 奇 異 值 分 解 法 及 離 散 最 小 平 方 最 佳 法 (Discrete least- squares optimal method) 設計數位濾波器[7]。
眾所周知，基因演算法係以一族群利用交配 (Cross- over) 以及突變 (Mutation) 方式，配合一適應函數 (Fit- ness function)，以找出最佳之數個個體作為下一次訓練流 程之子代 (Offspring)。其過程均配合適應函數而自我調 整，個體間並無相互學習之機制。本論文旨在提出以退火 粒子群最佳化演算法，利用個體所擁有的經驗以及他人的 經驗，經由考慮這二項資訊，以退火方式決定個體之運動 方向，來做最佳的決策以求得不等取樣點之空間頻率取代 傳統等距取樣點空間頻率，用來產生平面響應矩陣，再以 奇異值分解法依最小均方誤差值 (Least mean square error, LMSE) 求解最佳化之二維濾波器。
二、奇異值分解法求解二維濾波器
一個二維濾波器可被定義為
1 2
1 2
1 1 2 2
/ 2 / 2
1 2 1 2 1 2
/ 2 / 2
( , ) ( , )
N N
n n
n N n N
H z z h n n z− z−
=− =−
= ∑ ∑ (1)
F1 G1
F2 G2
F2 G2
+
Input
Output
圖1 以SVD實現之二維濾波器
其中h n n( ,1 2)為濾波器之脈衝響應 (Impulse response)，若
1 2 1 2
( , ) ( , )
h n n = −h n n 且h n n( ,1 2)為實數，則在(ω ω1, 2)平面 上之頻率響應可表示為
1 1 2 2
1 2
( , ) ( j T, j T)
X ω ω =H eω eω (2)
在實軸上，其係數與原點對稱，亦既
1 1 2 2 1 1 2 2
( j T, j T) ( j T, j T )
H eω eω = H e−ω e−ω (3) 令A={ap q,}為滿足公式 (3) 之取樣振幅平面響應，
則
, ( j p, j q) 1 , 1
ap q= H eπμ eπν ≤ ≤p P ≤ ≤ (4) q Q
其中μp與νq為正規化取樣頻率，可表示為
1 1
1, 1
p q
p q
P Q
μ = − ν = −
− − (5)
經由奇異值分解，平面響應矩陣可表示為
' 1 r
i i i
i σ
= ∑=
A μ ν (6)
其中ν 為 ν'i i轉置 (Transpose) 矩陣，且σ1≥ σ2≥ … ≥ σr為矩陣 A 所有之奇異值，μi與νi分別為矩陣 AA'與 A'A 第 i 個特徵向量 (Eigenvector)，r 為矩陣 A 之秩 (Rank)。
令Fi=σ1/ 2i μ 及i Gi=σi1/ 2ν 為 m-維度與 n-維度之正交集合'i
向量，則公式 (6) 可改為
1 r
i i
= ∑i=
A F G (7)
則依第(4)式推論，一個二維濾波器可以利用 r 個並聯 之子濾波器完成設計，而每一子濾波器則由脈衝響應增益 分別為 Fi以及 Gi之一維濾波器所組合而成，其結構如圖 1 所示。
林灶生、張蓺英、黃世演：植基於退火粒子群最佳化演算法之奇異質分解於二維濾波器之設計 71
就 SVD 分解法而言，前面 (l l<r)個奇異值即可表示 訊號大部分之特徵，因此排列後面較小的奇異值往往可被 忽略，因此，設計時即可以較少之 l 個並聯之子濾波器簡 化其設計。
三、粒子群最佳化演算法
粒子群最佳化演算法是由 Kennedy 與 Eberhart [8]所提 出的隨機性最佳化演算法，是一種具有群體智慧概念、屬 於演化計算領域的一種計算方法，在 PSO 的理論中，一個 最佳化問題的解就像是一群在空間中飛行的雁鳥一樣，他 們稱作“粒子 (Particle)”，在空間中移動的所有粒子都有一 個由適應函式 (Fitness function) 所決定的適應值，另外每 個粒子還有一個速度來決定他們移動的方向與距離，一群 粒子靠著追隨本身成功經驗與目前最佳粒子的腳步在求解 空間中飛行，就相當於人們在做決策的過程中會利用到二 項重要的資訊，一項為個體所擁有的經驗，另一項則是他 人的經驗，經由考慮這二項資訊，來做最佳的決策。Omran [9]等教授以 PSO 演算法完成彩色影像量化，將彩色影像中 像素彩度做不同類別分類，可以比 SOM 神經網路得到更 佳的解。Sugisaka 及 Fan 二位學者[10]以 PSO 演算法完成 以神經網路為基礎之臉部辨識；Bergh [11]在他的博士論文 中分析了 PSO 演算法之收斂特性及其限制。
在初始階段，PSO 會隨機產生一組粒子 (位置與速 度)，然後透過一次次的疊代找尋最佳解，在每次的疊代過 程中每個粒子利用二個“最佳值”來更新自己的速度。一 個 是 粒 子 本 身 所 找 到 的 最 佳 解 ， 稱 為 ” 個 體 最 佳 值 (pbest)”，另一個最佳值是由 PSO 所記錄與更新，為全體 粒子所找到的最佳解，稱為”全體最佳值 (gbest)”，當粒子 找到這二個最佳值之後，再利用(8)與(9)二個式子來更新粒 子的速度與位置：
1 1
2 2
( 1) ( ) ( ( ))
( ( ))
i i i i
i
V k wV k c rand pbest S k c rand gbest S k
+ = + × −
+ × − (8)
( 1) ( ) ( 1)
i k+ = i k +V ki +
S S (9)
在這二個式子中，Vi(k)代表粒子 i 在第 k 次疊代中的 速度；w 是權重函式；c1與 c2是學習因子，通常，c1 = c2； rand 是一個介於 0~1 之間的隨機值；Si(k)代表粒子 i 在第 k 次疊代中的位置；pbesti是粒子 i 的最佳值；gbest 是全體 的最佳值。粒子群在一開始時是處於分散的狀態，而隨著 不停的疊代程序逐漸收斂並找到問題的近似最佳解，此時 大部分的粒子會處在一個相似的狀態，也就是產生類似的 問題解。
四、退火粒子群求解最佳化頻率取樣點
前一章節中權重函式 w 用來控制歷史速度對當前速度
的衝擊，所以權重函式會影響移動粒子整體以及區域之探 險能力。當調整查尋區域時，大的權重函式會幫助整體性 探險能力，小的權重函式則傾向於協助區域性之探險能 力。在參考文獻[12]中，Shi 及 Eberhart 指出使用隨時間變 化之權重函式可得到更好的效能。藉由加入慣性權重因子 以提升粒子群於初始時全域搜尋及末期時局部搜尋的能 力。不同之處在於速度的更新公式，將粒子的第 k 次速度 乘上慣性權重因子做為第 k + 1 次速度的調整，此慣性權 重因子最初採用定值，當慣性權重因子取較大值時，則粒 子前次之速度權重提高，在初期演算法或許能由於粒子移 動量大，而快速收斂至最佳解區域，但是搜尋精確度不良。
相反的，當慣性權重因子取較小值時，則粒子提高局部搜 尋能力，需要較長時間才能達到最佳解區域，但搜尋的精 確度較高。因此慣性權重因子其值大小的選擇扮演著演算 法效能重要的指標。
Shi 和 Ebethartln [12]提出將慣性權重因子的變化量 呈線性變化，也就是隨著迭代的次數增加而呈線性遞減，
改善了慣性權重因子等值設定的問題。因為在初期給予較 大的慣性權重因子，使得粒子群能有較大範圍的搜尋，且 不會因等值慣性權重的關係，而容易錯過了最佳解區域，
並於後期將慣性權重因子隨著迭代的次數增加而呈線性 遞減，慣性權重對於粒子速度的影響減少，故粒子能在已 搜尋到的最佳區域內，進行小範圍的局部搜尋，提高最佳 解的精確度。在他們的經驗中，前面幾次的迭代過程，由 0.9 至 0.4 做規則性地線性遞減；最後幾次的迭代則保持在 0.4，則可得到最佳效果。然其所謂「前面幾次的迭代」與
「最後幾次的迭代」，並未加以定義，似乎是一經驗值，
將尋找最佳解陷入了經驗法則，徒造成最佳解的不確定 性。
為了要符合時變之權重函式，在粒子群最佳化迭代過 程中，加入了由作者曾經提出使用於退火機制如公式 (10) 之冷卻排程 (Cooling schedule) [13]，以取代權重函式 w。
( ) 1 tanh( ) ( 1) 1
T k =τ+ ⎡⎣τ+ Ωk⎤⎦T k− (10)
其中 Ω 為一接近 1 的常數且 τ 亦為 常數。作者曾 經驗證公式 (10) 之冷卻速度，較傳統之冷卻排程快。因 此，在公式(8)中的 w 可以利用公式 (10) 的 T(k) 取代之。
公式 (8) 可以修改成
1 1
2 2
( 1) ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ( ) ( ))
i i i i
i
k T k k c rand k k
c rand k k
+ = + × −
+ × −
V V pbest S
gbest S (11) 在以粒子群最佳化找出空間頻率取樣點過程中，以 j 個粒子表示搜尋空間中之 j 組空間頻率取樣點，每一粒子 之維度為 l (空間頻率取樣點ω)，Vi(k) 為第 k 次粒子 i 之 速度 (空間頻率取樣點)；Si(k) 為第 k 次粒子 i 之座標 (空 間頻率取樣點)。pbesti(k) 為粒子 i 到第 k 次為止之最佳座
表一 等距取樣之空間頻率
0.00 0.04 0.08 0.12 0.16 0.20 0.24 0.28 0.32 0.36 0.40 0.44 0.48 0.52 0.56 0.60 0.64 0.68
0.72 0.76 0.80 0.84 0.88 0.92 0.96 1.00 ×π
表二 不等距取樣之空間頻率
0.030 0.068 0.088 0.109 0.193 0.217 0.273 0.314 0.342 0.358 0.394 0.417 0.487 0.546 0.586 0.596 0.622 0.663 0.708 0.752 0.759 0.802 0.861 0.882 0.914 0.966 ×π
1. x P(Q)
2.
1. (10)
2. pbest
3. pbest gbest
4. (11) (9)
n
y gbest
圖2 以退火粒子群求解非等距頻率點流程圖
標，gbest(k)為第 k 次為止之整體最佳座標，並以均方誤差 (Mean square error, MSE) 作為適應函式，其定義如下：
min{ }
fitness= MSE (12)
其中 MSE 定義為
1, 2 , 1, 2 , 2 1/ 2
1 1
{[ ( p , q ) ( p , q )] }
P Q j P j Q j P j Q
d I
p q
MSE H eω eω H eω eω
=∑ ∑= = −
(13) 其中Hd為被設計二維濾波器之頻率響應，HI則為理
想二維濾波器頻率響應。若適應函數越小，既表示所設計 濾波器之頻率響應越接近理想濾波器；經由若干次迭代 後，均方誤差越來越小，最後即可找到最佳之空間頻率取 樣點。以退火粒子群求解最佳化頻率取樣點之處理流程如 圖 2 所示。
五、實驗結果
在實驗過程中，以參考文獻[14]中所使用一個具對稱 性、零相位之二維濾波器作為本論文之範例，其振幅響應 如下：
1 2
1 [0.0, 0.4]
( , ) (0.6 ) / 0.2 [0.4, 0.6]
0 [0.6, 1.0]
d
R
H R R
R ω ω
∈
⎧⎪
=⎨ − ∈
⎪ ∈
⎩
(14)
其 中R= ω12+ω π22/ ， 若 於 二 維 之 空 間 頻 率 響 應
1, 2,
( , )
d p q
H ω ω ，則等距空間頻率為
1, 2,
/ , 0 / , 0
p
q
p P p P
q Q q Q
ω π
ω π
= ≤ ≤
= ≤ ≤ (15)
其 中R= ω12+ω π22/ ， 若 於 二 維 之 空 間 頻 率 響 應
1, 2,
( , )
d p q
H ω ω ，則等距空間頻率為
令空間頻率取樣點數為 P = Q = 26，若使用等距空間 頻率取樣點方法，每個取樣點之間距為π/25，共取得 如表 一之 26 個取樣點。同樣的方式，以退火粒子群演算法其求 得如表二不等距取樣之空間頻率。
將表一及表二之取樣之空間頻率代入公式 (14)，可得 到平面響應矩陣。將這些平面響應矩陣中之頻率點經奇異 值分解之後，可得到奇異值 σi 及相對應之特徵向量 Fi以 及 Gi。利用 r 個特徵向量 Fi與 Gi以圖 1 結構即可完成二 維濾波器之設計。完成的二維濾波器再與理想二維濾波器 做比較，以求得其間的差異性。圖 3 所示為理想二維濾波 器 HI平面頻率響應圖。
圖 4 為等距 26 點取樣空間頻率之空間振幅響應 Hd； 圖 5 則為退火粒子群演算法與 Shi & Eberhart [12] 粒子群 演算法求得不等距 26 點取樣空間頻率之空間振幅響應 Hd。
為了展現退火粒子群演算法絕佳的最佳化效能，在實 驗過程，以等距取樣法以及傳統粒子群演算法做比較。首 先令 r = 3，求得第三階之奇異值。圖 6 為 r = 3 時等距取 樣法空間振幅響應及其等高線圖；圖 7 為 r = 3 時退火粒子
林灶生、張蓺英、黃世演：植基於退火粒子群最佳化演算法之奇異質分解於二維濾波器之設計 73
表三 不同方法所得之MSE值
方法 1 2 3 4 5 6 7 8 Avg.
等距 26.86 26.86
PSO 20.2 25.7 22.0 20.8 20.1 22.7 23.1 19.8 21.8
Shi & Eberhart 22.1 19.9 21.9 20.2 20.9 19.8 20.5 21.0 20.8
APSO 23.3 19.1 21.2 18.5 19.4 19.6 21.8 20.5 20.4
表四 不同方法不同r階SVD所得之MSE值
Order SVD 1 SVD 2 SVD 3 SVD 4 SVD 5 SVD 6 SVD 7 SVD 8 SVD 9 等距 43.19 30.83 26.86 26.33 26.23 26.09 25.94 25.80 25.70
PSO 31.77 27.58 21.80 21.73 21.45 21.43 21.37 21.36 21.28 Shi & Eberhart 31.26 23.88 19.97 19.46 19.33 19.21 19.10 19.05 19.04 APSO 30.71 23.13 19.73 19.14 18.99 18.90 18.88 18.86 18.86 註：SVD n 表示取 r = n 之奇異值分解
1 0.8 0.6
0.2 0 0.4
2 0 2
-2 -2 0
圖3 理想二維濾波器HI平面頻率響應圖
1 0.8 0.6
0.2 0 0.4
2 0 2
-2 -2 0
圖4 等距取樣空間頻率之空間振幅響應
群演算法與 Shi & Eberhart [12] 粒子群演算法不等距取樣 空間振幅響應及其等高線圖。
在 8 次實驗過程中，由表三可知退火粒子群 (APSO) 求解最佳化頻率取樣點法比較傳統之粒子群演算法 (PSO) 與等距法，可以得到較好的 MSE 值，且 Shi & Eberhart [12]
1 0.8 0.6
0.2 0 0.4
2 0 2
-2 -2 0
1 0.8 0.6
0.2 0 0.4
2 0 2
-2 -2 0
(a) APSO
(b) Shi & Eberhart
圖5 不等距取樣空間頻率之空間振幅響應
方法中，「前面幾次的迭代」與「最後幾次的迭代」在運 算過程中較難掌控，實驗結果驗證退火粒子群 (APSO) 求 解最佳化頻率取樣點法可以得到較好的頻率響應。 表四列 出等距、PSO 、APSO 以及 Shi & Eberhart 在不同 r 值之 下所求得之 MSE 值，由表四可看出本文所提之 APSO 亦可 得到較好之結果。
1 0.8 0.6
0.2 0 0.4
2 0 2
50 45 40 35 30 25 20 15 10 0 5
-2 -2
y x
(a) (b)
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
Intensity
圖6 等距取樣法r = 3空間振幅響應及其等高線圖
50 45 40
30 35
20 25
10 5 15
50 45 40
30
30 35
50 45 40 35 20
20 25
25 10
10 5
5 15
15
30 35 40 45 50 20 25
10
5 15
2 2 0 0
-2 -2
y x
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0
2 2 0 0
-2 -2
y x
Intensity
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0
Intensity
(a.2) Shi & Eberhart (a.1) APSO
(b.2) Shi & Eberhart
(a) (b)
(b.1) APSO
圖7 不等距取樣法r = 3空間振幅響應及其等高線圖
六、結 論
在本論文中提出了退火粒子群演算法求解最佳化頻 率取樣點，配合奇異點分解法設計一維子濾波器。再以多 個子濾波器，將之併聯後即可設計出二維濾波器。藉由退 火機制控制粒子群收斂流程，使得其解往整體最佳點逼 近。由實驗數據得知退火粒子群求解最佳化頻率取樣點法 比較傳統 PSO 求不等距頻率點或傳統等距法，可以得到較 好的頻率響應。
符號索引
A 平面響應矩陣 ap, q 振幅平面響應 c1，c2 學習因子
Fi m-維度正交集合向量
fitness 適應函式
Gi n-維度正交集合向量
gbest 全體粒子最佳值
林灶生、張蓺英、黃世演：植基於退火粒子群最佳化演算法之奇異質分解於二維濾波器之設計 75
H(z1, z2) 二維濾波器系統函數
Hd 被設計二維濾波器之頻率響應 HI 理想二維濾波器頻率響應 h(n1, n2) 二維濾波器脈衝響應 MSE 均方誤差
pbesti 粒子 i 的最佳值 r 矩陣 A 之秩 (Rank)
rand 介於 0~1 之間的隨機值
Si(k) 粒子 i 在第 k 次疊代中的位置
T(k) 冷卻排程中在第 k 次疊代之溫度
Vi(k) 粒子 i 在第 k 次疊代中的速度 w 權重函式
X(ω1, ω2) 二維濾波器頻率響應 Ω 接近 1 的常數 μp 正規化水平取樣頻率 νq 正規化垂直取樣頻率 σr 矩陣 A 在秩 = r 之奇異值
τ 常數
ω1, p 等距空間水平第 p 點之取樣頻率 ω2, q 等距空間垂直第 q 點之取樣頻率
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2008 年 03 月 21 日 收稿 2008 年 03 月 28 日 初審 2008 年 11 月 24 日 複審 2008 年 12 月 19 日 接受
