4－1 方率篇

第四章、中卷內容與結構

《籌學本原》中卷包含有方率、及圓家三率，方率首列「三率」和「徑周相 求」，在這之後則是一系列面積與體積的問題，共分為十類。朴繘在編排順序上，

由「方率」的題型再轉為「圓率」

方只一段，如平方面、立方面、三乘方面、四乘方面，各一設也。方率無古 今新舊之異術只一種法也。¹

朴繘指出方率是精準值，圓率是近似值，：「古圓、徽圓徑周平立積相求之 率，今不須追煩改正，只用祖氏法，列其相求之率，而球積一款，另依經蘊如左。」

而他所用的方率是為求平方面周長、面積、立方體體積之值。方斜法是以「方五 斜七」為求正方形對角線之近似值。圓率是為求圓面積、立圓體積之近似值。現 列出一些互求的方法如下：

（1）方斜以五七為率，方求斜，以斜七乘方面，以方五除之；斜求方，以方五 乘內斜，以斜七除之。²

（2）方率，徑求周，以徑乘率；周求徑，以率除周。

（3）圓率，徑求周，以徑乘率；周求徑，以率除周。

朴繘為《楊輝算法》中「方五斜七僅可施於尺寸之間，不可用於百步之外」

3做了很好的註腳與銓釋：「方斜之間，開方多少之差，在尺寸之間甚微。而面求 弦至七十尺，則方斜之不及開方者，幾滿一尺。弦求面至七十尺，則方斜之過開 方者，亦已過半尺矣。故曰：方五斜七僅可施於尺寸之間，不可用於百步之外。」

4此外，朴繘列出一些方五斜七術之原理與公式：「面求弦：七乘五除」、「弦求面：

三乘七除」。他更清楚地說明：「方面求弦，以七乘方，則為五段斜弦。斜弦求面，

以五乘方，斜則為七段方面。七個方與五個斜，等五個斜與七個方等。」他在〈方 五斜七術〉中全部問題的內容與解法，驗證他上述的方法：

題目一：今有方面三尺，問弦幾何？

答曰：四尺五分尺之一

1 參閱黃胤錫，《理藪新編》，頁 2152。

2朴繘，《籌學本原》之〈方五斜七〉：「面求弦：七乘五除；弦求面：五乘七除。」參見金容雲，

《韓國科學技術史資料大系．數學篇(3)》，漢城：驪江出版社，1985 年，頁 273。

3 參見本論文，第 23 頁。

4朴繘，《籌學本原》〈方五斜七〉，參見金容雲，《韓國科學技術史資料大系．數學篇(3)》，漢城：

驪江出版社，1985 年，頁 243。

解法：方面＝3，3×7 5＝21 5＝4 5 1。

題目二：今有方斜弦四尺五分尺之一，問面幾何？

答曰：三尺 解法：方斜弦＝4

5

1＝21 5，21 5×5 7＝3。

題目三：今有弦三尺，問面幾何？

答曰：二尺七分尺之一

解法：弦＝3，3×5 7＝15 7＝2 7 1。

題目四：今有方斜面二尺七分尺之一，問弦幾何？

答曰：三尺 解法：方斜面＝2

7

1＝15 7，15 7×7 5＝3。

4－1 方率篇

「開方」乃算法中大節目，句股旁要演段鎖積多用例有七體：一曰：開平方、

二曰：積平圓、三曰：開立方、四曰：開立圓、五曰：開分子方、六曰：開 三乘以上方、七曰：帶從開方、併少廣、句股二章。九章：二百四十六問，

固是不出乘、除、開方三術，但下法佈置尤宜偏，例如：互乘、互換、維乘、

列衰、方程、併列圖于卷首。九章：二百四十六問，除習過、乘除、諸分開 方自餘，方田、粟米只須一日，下編：衰分、功在、立衰、少廣全類，合分、

商功皆是，折變、均輸、取用、衰分、互乘、盈不足、方乘、句股用法頗雜，

更將九章纂類，消詳庻知用算門例。事物紀原載，句股旁要，本是兩章，今 總為一章，詳觀法意，實是兩端。劉徽以旁要之術，變重差減積為海島九問，

劉益以九股之術，治演段鎖方撰議古根源二百問，帶從益隅開方實，冠前古 九章序云：或得一二，以能自成一家之書信矣，但海島題法，隱奧莫得其秘，

李淳風雖注，祇云下法，亦不曾說其源議古根源，無細草，但依術演算，亦 不知其旨，自九章句股而有二書，因二書增續諸家之妙序，又云九章儒者之 六經，醫家之難素難經素問，兵家之孫子歟，句股者句段之平面測法也，旁 要者句股之立面測法也，平立二面，雖曰異測，而其為句股則一也。⁵

5 同著 1，頁 2094-2095。

朴繘在方率篇中共收錄15 題，方面、方周、平方積、立方積、三乘方積、

四乘方積、平方面求積、平方積求面、平方周求積、立方面求積、立方積求面、

立方周求積、三乘方面求積、三乘方積求面、三乘方周求積。

用現代符號表示在方率中的方面 a，平積a²，方周4 a，半周 2 a，半面 1/2 a，

四而一即除以4，三乘方即 4 次方。書中所謂平方面求積，是已知正方形的邊長，

求正方形的面積；

所謂平方積求面，已知正方形的面積，求正方形的邊長；所謂平方周求積，

已知正方形的周長，求正方形的面積；所謂立方面求積，已知正方體的邊長，求 正方體的體積；所謂立方積求面，已知正方體的體積，正方體的邊長；所謂立方 周求積，已知正方形的周長，求正方體的體積；所謂三乘方面求積，已知 a ，求 a 的四次方；所謂三乘方積求面，已知a⁴，求 a ；所謂三乘方周求積，已知正方 形的周長，求 a 的四次方。筆者將此製成表格，供讀者參考與研究。就此一窺朴 繘註解的風貌：

題型 題意 現代符號表示

平方面求積 以正方形邊長，求面積 以 a 求a² 平方積求面 以正方形面積，求邊長 以a²求 a 平方周求積 以正方形周長，求面積 以4 a 求a² 立方面求積 以正方體邊長，求體積 以 a 求a³ 立方積求面 以正方體的體積，求邊長 以a³求 a 立方周求積 以正方形周長，求立方體體積 以4 a 求a³ 三乘方面求積 已知 a ，求四次方 以 a 求a⁴ 三乘方積求面 已知 a 的四次方，求 a 以a⁴求 a 三乘方周求積 已知周長，求 a 四次方 以4 a 求a⁴

中卷題型的編排順序，是由一次方求二次方，二次方求三次方，三次方求四 次方。而且屬於幾何觀念的題目，都是先由一度空間的題目，開始引導到二度空

間平面，再到三度空間立方體和立方面，之間的換算題目。由問題的概念及書中 作者的編排，可以看出朴繘具有算學家的邏輯概念。使我們感受到朝鮮數學家深 具有的數學素養，及韓國的學養。

平方求積法：

（1）【面求積式】設方面為 a ，則方積＝a²。

（2）【周求積式】設方周為l，則方積＝ )² (4l

。

立方求積法：

（1）【面求積式】設立方面為 a ，則立方積＝a³。

（2）【周求積式】設方周為l，則立方積＝ )³ (4l

。

三乘方面求積：

（1）【面求積式】設三乘方面為 a ，則三乘方積＝a⁴。

（2）【周求積式】設三乘方周為l，則三乘方積＝ )⁴ (4l

。

平圓求積法：

（1）【徑求積式】設圓徑（直徑）為d，則圓積＝ ² 4 3d 。

（2）【周求積式】設圓周為 c ，則圓積＝

12 c2

。

（3）【周徑求積式】設圓周為 c ，圓徑（直徑）為d，則圓積＝

4 cd 。

立圓求積法：

（1）【徑求積式】設立圓徑（直徑）為d，則立圓積＝ ³ 16

9 d 。⁶

6在傳統科學中可能用測量金丸與金方之重量的方法來推出球與立方體積之比率的。在《九章•

少章》開立圓術劉徽與李淳風所作的注記載了它的發展簡史。《九章算術》給出的球體積公式是：

（2）【周求積式】設圓周為 c ，則立圓積＝

48 c3

。

在 整 理 這 些 公 式 之 後 ， 朴 繘 在《 籌 學 本 原 》中 卷 方 率 篇 ， 展 現 他 的 數 學 觀 。 以 下 筆 者 整 理 書 中 的 算 題 ， 以 玆 參 考 如 下 ：

以〈平方積求面〉第二題為例：

積通內二十五，又分母四之一，一百開方一十，又分母四而一，餘各半之。

以現代的意思，已知a²為 4

25，開平方後，

求得 a ＝ 4 25 ＝

4 4

4 25

×

× ＝ 4 100 ＝

4 10＝

2 5。

再以〈立方積求面〉第五題為例：

積通一百二十五，又分母羃六十四之八千，開立方得二十，又分母八而一之，餘各 四約之。

以現代的意思，已知a³為 8

125，開立方後，

求得 a ＝³ 8

125＝³ ₂

2

8 8

8 125

×

× ＝³ ₃ 8

64 125×

＝ 8 8000

3

＝ 8 20＝

2 5。

朴繘用上述所列公式，為還原文本的風貌，筆者列舉方率中全部問題的內容 與解法為下列：

題目 解法

平方面求積 方面 a ＝

2 5

面通內五，自之二十五。分母羃四 而一，不滿法者，命之。

a2＝25 4

球體積＝16

9 直徑³。關於這一公式的由來，劉徽注記述了兩條：一是實物的測量；一是幾何的

估算。劉徽注：「黃金方寸，重十六兩。金丸徑寸，重九兩。率生於此，未曾驗也。」，《周官•

考工記》：「巣氏為量，改煎金錫則不耗，不耗然後權之，權之然後準之，準之然後量之。”言煉 金使極精，而後分之，則可以為率也。」

平方積求面 方積＝25 4

積通內二十五，又分母四之一百，

開方一十，又分母四而一，餘各半 之。

4

25 ＝ ₂ 4

100 ＝10 4＝5 2

平方周求積 方周＝4 a

周自之，十六而一，得積。

( )

立方面 a ＝ 2 5

面通內五，再自之，一百二十五。

分母再自之，八而一。

立方積＝a³＝125 8

立方積求面 立方積＝125 8

積內通一百二十五，又分母羃六十 四之八千，開立方，得二十，又分 母八而一，餘各四約之。

3 8

125＝³ 64 8

8000

× ＝20 8

＝5 2 立方周求積

方周＝4 a

周再自之，六十四而一，得積。

( )

三乘方面求積 方面 a ＝

2 5

面通內五，三自之，六百二十五，

分母三自之，得一十六而一。

P.S 三自之：4 次方

三乘方積＝

4

2 5



 



 ＝

16 625

三乘方積求面 三乘方積＝

16 625

積內通六百二十五，分母再乘四千 空九十六，而乘之二百五十六萬，

三乘方開之，四十又分母一十六而 一，餘各八約之。P.S 三乘方開之：

開4 次方

16³＝4096，

4 16

625＝⁴

4096 16

4096 625

×

× ＝

4 164

2560000

＝40 16＝5 2。

三乘方周求積 方周＝4 a

三乘方：指 a 的四 次方

周三自之，二百五十六而一，得

積。

( )

4－2 圓率三家

討論圓田的面積，就是離不開圓周率。圓周率的研究，在朝鮮傳統數學的重 要議題。《九章算術》、《籌解需用》等著作均使用周三徑一，⁷中國漢劉歆（前 50-23 年）為王莽作銅斛，使用 π＝3.1547，⁸張衡（78-139 年）求出 π＝ 10 ，⁹魏劉

7 參考洪宜亭，《洪大容的《籌解需用》》第三章台北：國立台灣師範大學數學研究所碩士論文，

2003 年。

8 參考周宗奎，《黃胤錫《算學入門》探源》，台北：國立台灣師範大學數學系教學碩士班碩士論 文，2003 年。

9 錢寶琮，《中國數學史》，科學出版社，1964 年，頁 138；又見《李儼錢寶琮科學史全集》第 5

徽首次創造圓周率的科學方法，¹⁰求出 π＝

50

157，他還用此圓周率修正了《九章

算術》中與圓有關的面積、體積公式。¹¹π＝

50

157 常稱為徽率。南朝宋何承天

（370-447 年）提出相當於 7

22的圓周率。¹²宋末南徐州從事史祖沖之（429-500

年）將圓周率精確到 8 位有效數字，並將π＝

7

22稱作約率，又提出密率π＝

113 355。

13在《籌學本原》曾引用《隋志律曆志》這一段：

隋志曰：古之九數，圓周率三，圓徑率一，其術疏舛。自劉歆、張衡、劉徽、

王蕃、皮延宗之徒各設新率，未臻折衷。宋末南徐州從事史祖沖之更開密法，

以圓徑一億為一丈，圓周盈數三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒數三 丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正數在盈朒二數之間。密率：圓徑一百 一十三，圓周三百五十五。約率：圓徑七，圓周二十二。又設開差密開差立，

兼以正負參之指要精密算氏之最者也，所著之書名為綴術，官莫能究其深 奧，是故廢而不理。¹⁴

因此，《籌學本原》一系列與圓有關的面積、體積公式，所列出當時流傳的 三個圓周率：

古率 周三徑一

徽率 周一百五十七徑五十 密率 周二十二徑七

朴繘在《 籌 學 本 原 》中卷開宗明義，引用楊輝的論述，指出古法的圓周率 3 一數值是有誤差的：「楊輝曰：以徽密二術言之，圓三徑一亦未為是。古人取 圓三方四之義，故行圓三徑一之法。」即朴繘認為古法圓周三圓徑一（即π＝3）

的比率是不正確的。

卷，遼寧教育出版社，1998 年，頁 153。

10劉徽在計算圓面積的過程中，實際上也計算了圓周率。劉徽從圓的內接正6 邊形起算，依次將 邊數加倍，分別求出內接正12，24，48，…等正多邊形的一邊之長，從而算出內接正 24，48，

96，…等正多邊形的面積。邊數增加的越多，內接正多邊形面積與外接圓面積的差越小，算得的 圓面積也就越準確，求得的圓周率也就更加精密。邊數增加越多，把圓越割越細，因此，劉徽的 這種方法稱為割圓術，劉徽用這種方法求得圓周率157 50（相當於π＝3.14）。

11 郭書春，《古代世界數學泰斗劉徽》，台北：明文出版社，1992 年，頁 234-242。

12 同註 3，分別見頁 87、95。

13 唐魏徵等，《隋書》〈律曆志〉，北京中華書局，1973 年，頁 388。

14參見金容雲，《韓國科學技術史資料大系．數學篇(3)》，漢城：驪江出版社，1985 年，頁 346。

而雖然劉歆、張衡、劉徽等人各各改定新率，卻仍然不夠準確。於是祖沖之 又進一步進行了更精密的計算。祖沖之以一丈作為直徑，並把它分為一億份

（一丈＝一億微）來進行計算，最後算得準確的圓周長應在三丈一尺四寸一 分五厘九毫二秒七忽，數三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽之間。由這段 記載說明祖沖之算得圓周率的近似值

3.1415926＜

＜3.1415927

（比較精密些的）：π＝

113

355（相當於 3.14159292，即小數點後 6 位數字準

確），約率（比較簡便些的）：π＝

7

22（相當於 3.14285714，即小數點後第 2 位數字準確）。¹⁵

朝鮮算學者認為在處理圓面積與圓周問題時，以用古率3 即可收簡捷之便，

但是，如果要求得更精確的值，則應採用西法新率。也就是說，取圓周率的近似 值取法是極為務實且因時制宜的，而徽率與密率在精確度不及新率：

圓法之周三徑一，古率也，徽率、密率比古差，精而猶不免盈朒。蓋粗數不 如古率之簡，精數莫如西法之密，學者詳之。¹⁶

朴繘使用（古率）：周三徑一、（徽率）：周一百五十七徑五十、（密率）：周 二十二徑七，求圓面積及立圓體積的各種公式。求圓面積及立圓體積時，使用三 個圓周率十個公式中，立圓徑體積指的是球的體積。

關於球體積（立圓徑體積）公式：最早《九章算術》給出的球體積公式是：

15祖沖之運用連分數，在中國古代的天文曆法的計算中，曾經有過依種逐漸調整分母和分子數 值，以求得使分數值更加接近真值得方法，叫作“調日法”。宋代學者認為“調日法”始自南北 朝時期稍早於祖沖之。“調日法”的基本內容是：假如

b a，

d

c 分別為不足和過剩近似分數，則

適當選取 m、n，新得出的分數

nd mb

nc ma

+

+ 有可能更加接近真值。由

50

157（劉徽），和

7

22（祖沖

之約率）即可算得

9 7 1 50

9 22 1 157

× +

×

× +

× ＝

113

355。用“調日法”由

1

3（古率）和

7

22也可以算得

16 7 1 1

16 22 1 3

× +

×

× +

× ＝

113

355。的分數值，在用割圓術校驗求得精確數值，即可斷定

113

355為密率。

16參見洪大容，《籌解需用》，台北：國立台灣師範大學數學研究所碩士論文，2003 年。

球體積V＝

16

9 直徑D³，古人用測量金丸與金方之重量的方法來推出球與立方體 積之比率。¹⁷

徽注又云：為術者，蓋依周三徑一之率。令圓羃居方羃四分之三，圓囷居立 方亦四分之三。更令圓囷為方率十二，為丸率九，丸居圓囷又四分之三也。

置四分自乘得十六分，三自乘得九，故丸居立方十六分之九也。¹⁸

《九章算術》可能考慮球與圓囷的體積之比而推導出球積上述的公式的。圓囷之 積：立方之積=圓羃：方羃=3：4；而估計球積：圓囷之積=9：12=3：4，即圓囷 之積=4

3立方之積；球積=

4

3圓囷之積，故球積=

16

9 立方之積=

16

9 直徑³。¹⁹

〈圓率三家〉共有分十類型及四十二條題目，主要內容是：平徑求積、平積 求徑、平周求積、平積求周、平徑求周、平周求徑、立徑求積、立積求徑、立周 求積、立積求周為主。古法圓率的π≈3，劉徽新術的π≈

50

157，祖沖之密率的π

≈ 7 22。²⁰

〈圓率三家〉中圓徑指的是直徑 2r，周指的是圓周長 2πr，平積指的是圓 面積πr²，立積指的是

2

3πr³。所謂「平徑求積」，是已知圓的直徑，求圓的面 積；所謂「平積求徑」，已知圓的面積，求圓的直徑；所謂「平周求積」，已知圓 的周長，求圓的面積；所謂「平積求周」，已知圓的面積，求圓的周長；所謂「平

17關於這一公式的由來，劉徽注記述了兩條：一是實物的測量；一是幾何的估算。徽注云：黃金 方寸，重十六兩。金丸徑寸，重九兩。率生於此，未曾驗也。《周官•考工記》：“巣氏為量，改 煎金錫則不耗，不耗然後權之，權之然後準之，準之然後量之。”言煉金使極精，而後分之，則 可以為率也。

18 李繼閔，《《九章算術》及其劉徽注研究》，台北：九章出版社，1992 年，頁 344。

19劉徽指出推算是粗略的。他說：以周三徑一為圓率，則圓羃傷少。令圓囷為方率，則丸積傷多。

互相通補，是以九與十六之率偶與實相近，而丸由傷多耳。

20宋元時期，”密率”一詞已遍及諸家算書。南宋楊輝《續古摘奇算法》中”方圓論”有記載：”密率：

云七乘周，如二十二而一。”其《田畝比類乘除捷法》中”圓田”諸法亦載有：”密率求徑曰：以七 乘周，如二十二而一。”元代朱世杰《算學啟蒙》有關於圓率的記載：”古法圓率：周三尺，徑一 尺；劉徽新術：周一百五十七尺，徑五十尺；冲之密率：周二十二尺，徑七尺。”追溯古算書中”

密率”詞義的演化，乃為詞義縮小之一例。在早期劉徽與李淳風的著述中，密率原義泛指圓周與 直徑較精確的比率，有時也藉以指代計算圓周與直徑精確比率的方法。到了宋元之後，密率變成 了祖冲之圓率π＝

7

22的專有名詞了。參閱李繼閔，《《九章算術》及其劉徽注研究》，台北：九

章出版社，1992 年，頁 298。

徑求周」，已知圓的直徑，求圓的周長；所謂「平周求徑」，已知圓的周長，求圓 的直徑；所謂「立徑求積」，已知球的直徑，求球的體積；所謂「立積求徑」，已 知球的體積，求球的直徑；所謂「立周求積」，已知圓的周長，求球的體積；所 謂「立積求周」，已知球的體積，求圓的周長。

〈圓率三家〉內容涵蓋直徑、圓周、圓面積、立圓徑求積、方求斜、斜求方，

平徑求積、平積求徑、平周求積、平周求積、平徑求周、平徑求周、平周求徑、

立圓徑求積、立積求徑、立圓周求積、立圓積求周，皆是實用性問題。以下是這 四十二條的內容說明：

原文 現代符號 註解

【1】 圓徑 D＝2R

( )

:

R 徑 指直徑

【2】 周 S＝2πr ^{S 周 指圓周 :}

( )

: r 半徑

【3】 平積 A＝πR² A:平積（指圓面積）

【4】 立積 V＝3r³ 2 V:立積（指立圓徑 體積）

【5】 平徑求積 A＝πR² 4

【6】 平積求徑

D＝ 4A/

π

【7】 平周求積 A＝s² π ^{s 半周:}

【8】 平積求周

S＝ 4

π

【9】 平徑求周 S＝πR

【10】 平周求徑 R＝S π

【11】 立徑求積 V＝3R³ 16 V:立積（指立圓徑 體積）

【12】 立積求徑

R＝³16V/3

π

【13】 立周求積 V＝S³ 48 S:圓周

【14】 立積求周

S＝³ 48V

中國的劉徽推測《九章算術》，「徽注云：為術者，蓋依周三徑一之率。令圓 羃居方羃四分之三，圓囷居立方亦四分之三。更令圓囷為方率十二，為丸率九，

丸居圓囷又四分之三也。置四分自乘得十六分，三自乘得九，故丸居立方十六分 之九也。」可能是由考慮球與圓囷的體積之比而推導出球積上述的公式的。圓囷 之積：立方之積=圓羃：方羃=3：4；而估計球積：圓囷之積=9：12=3：4 即圓囷 之積=4

3立方之積；球積=

4

3圓囷之積；故球積=

16

9 立方之積=

16

9 直徑³。但是這

公式是粗略的。但是，朴繘給出球積=

16

3 直徑³，朴繘所用公式是比較精緻的。²¹

4－2－1 古法

圓率三家共分為三類，一為古法（即指的是古法圓率），二為徽術（即指的 是劉徽新術），三為密率（即指的是祖沖之密率）。朴繘在《籌學本原》以「圓率 三家之分。」為標題，提到「古人取圓三方四之義，故行圓三徑一之法。」「古法」

就是指古代的算學所用的圓周率π＝3。作者刻意將此三率互相運用在十類題 型，可以互相比較數值，以下為〈圓率三家〉中「古法」的算題已知與題型及解 法，筆者細心地將作者算題與解法，按其一條一條地詳細解說，使我們體會朝鮮 算學家的細心求證的精神，以下供讀者參考：

算題 公式 解法

圓徑 D ＝2r

＝22 1＝

2 5

∴r＝4 5

周L＝2πr＝7 2

1 平積A＝πr²＝

16 75＝4

16 11

平徑求積

r＝4

5，r²＝ 16

25 πr²＝3×

16 25＝

16 75

21參閱李繼閔，《《九章算術》及其劉徽注研究》，台北：九章出版社，1992 年，頁 344。

平積求徑

公式是

π

π

16 16

16 100

×

× ＝ 16 1600 ＝

16 40＝

2 5

平周求積

公式是

( )

π π

＝

π π

4 4 ²r²

＝πr²

( )

π π

＝ 4 3 2 15 ²

×



 





＝ 48 225＝

16 75＝

416 11

平積求周

公式是

π

π

π

πr²×4×π＝

16

75×4×3＝

16 900

2πr＝ 16 900＝

16 14400

＝ 16 120

＝ 2 15

平徑求周 公式是2r×π

2r×π＝

2 5×3＝

2 15

平周求徑 公式是2r＝2πr÷π

2r＝2πr÷π＝

2 15÷3＝

2 5

立徑求積

公式是

( )

8 1 2 2r ³×π×3× ＝

2 3πr³

Step1：

( )

3

2 5



 



 ＝

8 125

Step2：

8 125

8 1 23 ×

×

×π ＝

128 1125

立積求徑

公式是 ³

3

3

8 2 2

3

π π

×

×

× r

＝2r

π

π

×

×

× 3

8 2 2

3 ₃ r

＝ ×

π

× 3 128 16 1125

＝

128 2000

3 128

2000 ＝³ ₃ 128 32768000

＝128 320＝

2 5

立周求積

公式是2

3×

( )

2 3

8 2

π π

＝2 3πr³

2

3πr³＝ 2

3×

( )

2 3

8 2

π π

step1：

( )

step2：

2 3×

8 1× ¹₂

π ＝ 48

1

step3：∴

8 48

3375

× ＝ 384 3375＝

128 1125

立積求周

公式是³

2 3

3 8 2 2

3πr × × ×π

＝2πr

∴ 3 3 3 8 2× × ×

＝48

2

3Πr³＝ 128

1125求2πr＝？

step1：1125×48＝54000 step2：128²＝16384

step3：54000×16384＝884736000 step4：³ 884736000 ＝960 step5：

128 960＝

2 15

4－2－2 徽術

此處所指「徽術」是劉徽的圓周率π＝

50

157，特地將三率互相比較，以下為

「圓率三家」中「徽術」的算題已知與題型及解法：

算題 公式 解法

圓徑 D ＝ 2r＝22

1＝

2 5

∴r＝4 5

周L＝2πr＝

2 5×

50 157＝

20 157＝

720 17

平積A＝πr²＝ 32 157＝4

32 29

立積2

3πr³＝

12800 123245

＝ 2560 24649

＝ 92560

1609

平徑求積 平積A＝πr²

πr²＝ 50 157×

16 25＝

32 157

平積求徑

公式是

π

π

Step1：157×4＝628 Step2：628÷

50 157＝

157 31400

＝200 Step3：

32 200 ＝

32 32

32 200

×

× ＝ 32 6400

＝2 5

平周求積

公式是

( )

π π 4 2 r ²

＝

π π

4 4 ²r²

＝πr²

( )

π π 4 2 r ²

＝πr²，2πr＝

20 157

atep1：157²＝24649 step2：

50 4 20 157

24649

2× ×

＝125650 616225

＝ 32 157

（約3925）

平積求周

公式是

π

π

π

＝2πr

πr²×4×π＝

32 157×4×

50 157 ＝

32 92 . 1971

＝

2πr＝ 32 32 32 92 . 1971

×

× ＝ 320 2512＝

20 157

（約16）

平徑求周 公式是2r×π

2r×π＝

2 5×

50 157＝

20 157

平周求徑 公式是2r＝2πr÷π

2r＝2πr÷π＝

20 157÷

50 157＝

2 5

立徑求積

公式是

( )

8 1 2 2r ³×π×3× ＝

2 3π r³

( )

3

2 5



 



 ＝

8 125

8 125

8 1 23 ×

×

×π ＝

6400 58875

＝ 256 2355＝

9256

51 （約25）

立積

求徑 公式是 ³

3

3

8 2 2

3 π π

×

×

× r

＝2r

π π

×

×

× 3

8 2 2

3 ₃ r

＝ ×π

× 3 256 16 2355

＝ 24 375

3 24 375＝

6 3375

3

＝ 6 15＝

2 5

立周求積

公式是2

3×

( )

2 3

8 2 π πr

＝2 3πr³

2

3×

( )

2 3

8 2 π πr

＝2 3πr³

( )



 



 20 157 ₃

＝ 8000 3869893

2 3×

8 1× ¹₂

π ＝ 48

1

2 3×

8000 3869893

×8 1×

157 50 ×

157 50 ＝

256 2355

＝9256 51

立積求周

公式是³

2 3

3 8 2 2

3πr × × ×π

＝2 πr

3

( )

2 3

8 2 2 3

π π

× ＝2πr

3

2 3

3 8 2 2

3

π

π

＝

3

3

50 157 50 16 157 256

2355× × ×

＝ 2 15

2

3×

( )

2 3

8 2

π π

＝2 3×

50 157 50 8 157

20 157 ³

×

×



 





＝

8 3375

3 8

3375＝ 2 15

4－2－3 密率

朴繘在《籌學本原》中卷「圓率三家」「密率」中「今依密率真數考政見」為 標題。指的是祖沖之的圓周率π＝

7

22，以下為「圓率三家」中「密率」的算題 已知與題型及解法：

算題 公式 解法

圓徑 D ＝ 2r＝2¹＝⁵

周L＝2πr＝

2 5×

7 22＝

7

55＝ 平積A＝πr²＝ 56 275＝4

56 51

2r＝22 1＝

2 5

∴r＝4 5

77

6 立積

2

3πr³＝ 1568 15125

＝91568 1013

平徑求積 平積A＝πr²

πr²＝ 7 22×

16 25＝

112 550＝

56 275

平積求徑

公式是

π

π

πr²×4π ＝ 56 275×4×

22 7 ＝

4 25，

4 25

＝2 5

平周求積

公式是

( )

π π 4 2 r ²

＝

π π

4 4 ²r²

＝πr²

( )

π π 4 2 r ²

＝πr²，2πr＝

7 55

atep1：55²＝3025 step2：

7 4 7 22

3025

2× ×

＝ 4312 21175

＝ 56 275

（約之77）

平積求周

公式是

π

π

π

＝2πr

πr²×4×π＝

56 275×4×

7 22＝

49 3025

2πr＝ 49 3025 ＝

7 55

平徑求周 公式是2r×π

2r×π＝

2 5×

7 22＝

14 110＝

7 55

平周求徑 公式是2r＝2πr÷π

2r＝2πr÷π＝

7 55÷

7 22＝

2 5

立徑求積

公式是

( )

8 1 2 2r ³×π×3× ＝

2 3π r³

( )

3

2 5



 



 ＝

8 125

8 125

8 1 23 ×

×

×π ＝

896 8250＝

448 4125＝

9448 93

立積求徑

公式是³

3

3

8 2 2

3 π π

×

×

× r

＝2r

π π

×

×

× 3

8 2 2

3 ₃ r

＝ ×π

× 3 448 16 4125

＝ 29568 462000

＝ 8

125＝8r³

3 8 125＝

2 5

立周求積

公式是2

3×

( )

2 3

8 2 π πr

＝2 3πr³

2

3×

( )

2 3

8 2 π πr

＝2 3πr³

( )



 



 7 55 ₃

＝ 343 166375

2 3×

8 1× ¹₂

π ＝ 48

1

2 3×

343 166375

×8 1×

7 22×

7 22＝9

448 93

立積求周

公式是³

2 3

3 8 2 2

3πr × × ×π

＝2 πr

3

2 3

3 8 2 2

3πr × × ×π

＝

3

3

7 22 7 16 22 448

4125× × ×

＝ 2 15

由《籌學本原》算學書中感受到，朝鮮算學者已經擁有獨自的見解，並且能 將當時的社會現象融入在算學例題當中，²²也使得朝鮮算學文本成為韓國數學自 主發展的一種獨特風貌。近年來，中日韓數學史家如金容雲、川原秀城、洪萬生 與金永植等都已經注意到此一非常重要的歷史圖像。²³另外在數學方面，由中卷

〈圓家三率〉我們可看出一些特點，作者編排順序是先由「方率」的題型再轉為

「圓率」的討論。一般題型的編排順序是由一次方求二次方，二次方求三次方，

三次方求四次方。而一些屬於幾何觀念的題型，由一度空間到二度空間再到三度 空間換算。由書中一些問題的概念，朴繘具有邏輯完整的概念，使我們在閱讀本 書時同時能感受到朝鮮數學家深具的數學素養，及韓國學養的自主性，以自成一 格。

22 參見本論文第二章《籌學本原》的歷史脈絡。

23參考Kim Yong Woon (1986)；川原秀城 (1998)；Kim Yun Sik (1998)。