國 立 中 央 大 學

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國 立 中 央 大 學

數 學 研 究 所 碩 士 論 文

台灣與新加坡三角函數課程之教科書比較

研 究 生: 張 琇 涵

指導教授: 單 維 彰 博士

中 華 民 國 九 十 五 年 六 月

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論文摘要

本論文研究目的在於:針對三角函數之相關課題及先備知識,評估由國小至高中 數學領域教科書的連貫性與合宜性,並與新加坡教科書作跨國比較,以作為九十 八學年度高中課程綱要修訂之學理依據。

本文採用內容分析研究法與比較教育研究法,將台灣與新加坡教科書依照描 述、並列與比較等階段進行探討與分析。依據兩國之數學教學目標、一到十年級 的教材、佈題背景與問題情境,歸納出兩國教科書突顯的特色,並列出值得台灣 參考與學習之項目。研究結果建議台灣 (1) 拉長三角函數的教學時程 (2) 改進 教材的佈題背景 (3) 落實資訊與數學之結合。期盼本研究對於我國未來教科書之 撰寫與數學綱要之修訂提供有益之參考。

關鍵字

數學領域教材比較、數學教科書、三角函數、新加坡。

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Abstract

This is a thesis which mainly focuses on: correlative topics and advance knowledge of Trigonometry, evaluating coherence and appositeness from elementary to high school in textbooks within mathematics filed. We also have compared with Singapore’s textbooks in order to make the theoretical basis for modifying future mathematics textbooks of senior high school in Taiwan in 2009.

This thesis adopted both Content Analysis Method and Comparative Method by researching and analyzing with delineation, juxtaposition and comparison from Taiwan and Singapore’s textbooks. In terms of the purposes of mathematics teaching, teaching materials from 1st to 10th grades, teaching background setting and the question conditions, the key features between two countries’ textbooks can be generalized. We give conclusions and suggestions with references to the development of the textbooks in Taiwan. The results of the research suggest Taiwan (1) Extension on Trigonometry teaching hours; (2) Improvement in teaching material’s background setting; (3) Insure the integration of information and mathematics. It is our hope that these conclusions and suggestions can make some beneficial contributions to the future mathematics textbooks of senior high school in Taiwan.

Keywords: comparative mathematics education, mathematics textbook,

trigonometric function, Singapore.

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致 謝

~~謝謝你們,使我的生命更加豐富精彩~~

研究所的日子,是我學會獨立的時光。首先,我要感謝我的指導教授 單維彰老 師,謝謝您時時給我指導,豐富了我對學術的視野,在一路的論文進行中,常使 我豁然開朗,也感謝黃霍老師和袁媛老師,細心研讀我的論文,提供寶貴的意見 並給予論文肯定;同時,也要感謝于振華老師以及系上所有的老師,在研究所中 給予我的教導與栽培,讓我有不斷成長與學習的動力。

再來,謝謝我的師兄,在研究所給我很大的鼓勵和支持,也謝謝一同參與討 論的伙伴們,給了我很大的協助。感謝318寢貼心又瘋狂的親密室友們,妳們帶 給我兩年愉快的同居生活;感謝303-1的同學們,有你們的陪伴及學習上的幫助,

使我受益良多;謝謝208的學弟妹們,因為你們讓我研究所更顯得精彩;謝謝系 上的學長姊,對我生活及學業上的建議與照顧,以及感謝所有在我需要時給予我 幫助的人,因為有你們,我的論文才能順利完成。

最後,我要感謝最關心我的父母親,您們對我的愛,讓我有勇氣面對生命中 的一切,謝謝您們從小到大一直給我勇氣與包容,我所有的成就都是因為有您們 的支持,我也要謝謝我最親愛的姊姊,妳的善良教會我用快樂的心看待世界,總 之,謝謝您們一直是我背後最大的支柱,在此將這份喜悅與成就與您們一同分享。

研究的路有你們的陪伴,讓我一點也不孤單,我的心中只有滿滿的感動!

張琇涵 謹誌於 中央

中華民國九十五年六月

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目 錄

中文摘要 ………Ⅰ 英文摘要 ………Ⅱ 致謝 ………Ⅲ 目錄 ………Ⅳ 表目 ………Ⅶ

第 1 章 緒論 ………1

1.1 研究動機 ………1

1.2 研究背景 ………2

1.3 研究目的與問題 ………3

1.4 名詞釋義 ………4

1.5 研究限制與範圍 ………5

第 2 章 文獻探討 ……… 6

2.1 數學課程設計理念與發展 ………6

2.1.1 台灣與新加坡之數學課程綱要發展 ………7

2.1.2 數學課程的延續與變革 ………9

2.1.3 三角函數課程之發展………10

2.1.4 對本研究的啟示………12

2.2 台灣與新加坡三角函數相關課題與先備知識之教材發展………12

2.2.1 台灣數學教科書發展………12

2.2.2 新加坡教科書發展………13

2.2.3 對本研究的啟示………14

2.3 三角函數相關研究………15

2.3.1 數學相關概念及運算錯誤類型研究………17

2.3.2 三角函數概念及錯誤類型研究………18

2.3.3 三角函數學習困難之相關原因………20

2.3.4 國內外相關研究………20

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第 3 章 研究方法與實施步驟………22

3.1 研究方法………22

3.1.1 內容分析研究法………22

3.1.2 比較教育研究法………24

3.2 研究對象 ………25

3.2.1 台灣南一版數學教科書………25

3.2.2 新加坡數學教科書………25

3.3 實施步驟………26

第 4 章 台灣與新加坡數學教科書之比較與評析………27

4.1 台灣與新加坡教學目標之描述與比較………27

4.1.1 台灣數學課程之三角函數教學目標………27

4.1.2 新加坡數學課程之三角函數教學目標………30

4.1.3 兩國三角函數教學目標之比較………31

4.2 台灣與新加坡數學教科書之描述與比較………31

4.2.1 台灣與新加坡一到三年級教材分析………31

4.2.2 台灣與新加坡四、五年級教材分析………36

4.2.3 台灣與新加坡六、七年級教材分析………43

4.2.4 台灣與新加坡八、九年級教材分析………48

4.2.5 台灣與新加坡十年級教材分析………57

4.3 教材鋪成及概念設計之評析………75

4.4 佈題背景與問題情境之評析………81

4.4.1 佈題背景………81

4.2.2 問題情境………82

第 5 章 結論與建議………85

5.1 兩國教材特色之發現………85

5.2 兩國教材的結論與建議………86

5.2.1 結論………86

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參考書目

中文部分 ………89 英文部分 ………91

附錄

附錄一 Trends in Mathematics and Science Study ………92 附錄二 三角函數的基本概念………93 附錄三 三角函數的性質與應用………94

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表 目

表 2-1 國中三角函數課題變革………11

表 2-3 國內三角函數相關文獻………15

表 3-3 研究流程………26

表 4-2-1 一到三年級教材內容並列表………33

表 4-2-2 四、五年級教材內容並列表………38

表 4-2-3 六、七年級教材內容並列表………44

表 4-2-4 八、九年級教材內容並列表………50

表 4-2-5 十年級教材內容並列表………58

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第 1 章 緒論

本章節將對本研究之研究動機、研究背景、研究目的與問題、名詞釋義及研究範 圍與限制作一通盤描述,共分為五小節,分述如下:

1.1 研究動機

爲因應時代的演進與社會的需要,課程改革成了勢在必行的教改重點之一。觀看 台灣近三十年來的課程變動,國小數學課程發展共歷經四次的修訂,分別是民國 64 年公布、67 學年度實施的國小數學課程標準,民國 82 年公布、85 學年度實施 的國小數學新課程,民國 87 年公布、90 學年度實施的九年一貫數學課程暫行綱 要及民國 92 年公布、94 學年度正式實施的九年一貫數學課程綱要。國中數學課 程的發展也歷經民國 74 年、83 年、87 年的九年一貫數學課程暫行綱要及民國 92 年公布、94 學年度正式施行的九年一貫數學課程綱要之四次修訂。高中數學課 程也歷經民國 73 年、84 年及最近一次 94 年修訂即將於 95 學年度實施的高中數 學課程暫行綱要。

隨著課程的變動,我國教科書也隨之進行大幅度的修訂。以數學領域而言,

民國 82 年國小與 83 年國中課程標準之修訂傾向中間偏易,民國 89 年頒布的暫 行綱要與之前的綱要相比,再度朝簡易的趨勢發展,經過這兩次的修訂後,中小 學數學課程產生極大變化。至於高中階段,目前是依據 85 年版本的《高中數學 課程標準》,未來的 95 至 97 學年度將依據《95 學年度高中數學暫行綱要》,98 學年度將落實高中正式綱要。因此,在面臨課程不斷變動的同時,我們選定九年 一貫以及高中一年級的數學教材,挑選三角函數為課題,就教材的連貫性與合宜 性進行分析。

數學教科書的探討,除了綜觀我國教材之外,同時橫跨比較新加坡教科書的 鋪陳。近年來,新加坡的教育成就使其在國際上的數學評量大放異彩,據 TIMSS 2003 報告顯示,新加坡小四與國二學生國際數學平均成績排名均為第一名,而 我國學生成績排名均為第四名,兩者成績有顯著差異。由於新加坡國情特色與我

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國有許多相似之處,也同時深受儒家文化的薰陶,因此想試著從新加坡的數學課 程綱要及教科書特色,了解其教育過人之處。本研究擬以新加坡與我國為研究對 象,針對兩國一到十年級三角函數相關課題與先備知識進行深入的比較與評析,

期盼本文對於我國未來教科書之撰寫與數學綱要之修訂提供有益之參考。

1.2 研究背景

基於上述之研究動機,欲就台灣數學領域教科書進行深入的探究與分析,因此,

本研究挑選「三角函數」課題進行研討,其理由如下:

(1) 橫跨代數、幾何及函數概念之連結

民國 83 年課程綱要將「三角函數」列為國中選修教材,但由於國中學力基本測 驗不將選修內容納入命題中,所以間接影響高中學習此單元的基礎。如今,九年 一貫數學科正式綱要公布後,三角函數的內容已從國中教科書中刪除。教育部惟 恐造成國中與高中教科書內容上的落差,在《九年一貫數學學習領域九十四學年 度銜接高中課程教材》中,把「平面幾何的基本性質」與「三角函數的基本概念」

列入十大銜接教材 (國立中正大學,2005)。三角函數的課題涉及代數與幾何領 域,並架構於函數概念之上,因此,本研究欲以此單元分析我國數學教科書編寫 的連貫性。

(2) 依據教師的教學經驗與學生的學習狀況

三角函數的單元在高中數學第二冊佔有極重的分量,以「三角函數的基本概念」

與「三角函數的性質與應用」兩章介紹之。藉由高中教師的經驗分享、大學教授 的訪談,以及觀察許多學生的學習成效發現,高中階段之三角函數比其他課程單 元困難,且學生學習意願普遍較低,因此本研究就此現狀,以三角函數相關課題 與先備知識之內容,對教科書之鋪陳進行全面性的分析。

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(3) 先備知識涵蓋十個年級的課程

小學至國中教科書中三角函數相關課題的鋪陳範圍非常廣泛,包括三角形的認 識、角的定義、三角形的面積、平面坐標、圓周率、比與比值、相似三角形性質 與畢氏定理,以及高一上學期介紹函數的概念。因此,本研究欲針對高中教導三 角函數之所需,探討教科書先備知識的編排是否足夠,了解學生在學習三角函數 之前知識建構的完整性,更進一步分析三角函數之相關課題間的銜接性與適切 性。

1.3 研究目的與問題

本研究主要目的在於:針對三角函數之相關課題及先備知識,評估由國小至高中 數學領域教科書的連貫性與合宜性,並與新加坡教科書作跨國比較,以作為九十 八學年度高中課程綱要修訂之學理依據,也希望能提供未來教科書撰寫趨勢之參 考。

根據研究目的,本研究中針對「三角函數」的課題,提出以下五個具體問題:

(1) 九年一貫教科書對於三角函數先備知識的鋪陳是否完備?

(2) 國中至高中教科書編寫,對於三角函數相關課題的銜接是否連貫?

(3) 與新加坡十年級學生比較,我國高一學生所學的三角函數內容較深或較 淺、較多或較少?

(4) 台灣與新加坡的數學教材中,三角函數相關知識之教學切入點差異為何?

(5) 台灣與新加坡三角函數教材中,佈題背景之呈現與問題情境之設計有何不 同?

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1.4 名詞釋義

本研究所提及的名詞如「新加坡學制」、「教學切入點」與「螺旋式課程」等,為 恐有疑義,故界定如下:

(1) 新加坡學制

新加坡學校制度承襲英國教育制度再加以改革而成,採行普通教育與職業教育的 雙軌制,徹底實行菁英分流教育。新加坡於 2003 年開始執行十年義務教育,包 含小學六年、中學四年。小學一至四年級稱為基礎階段 (Foundation Stage),著重 於英語、母語及數學能力的培養,且在小四結束前,學校會依據學生的學習能力,

將之分成三種不同的語文分流課程:EM1、EM2 和 EM3;五、六年級稱為定向 階段 (Orientation Stage),在小六畢業前學生都需要參加小學離校考試 (Primary School Leaving Examination-PSLE),使學生能依能力分配到合適的中學就讀。

新加坡將中學分成特別課程、快捷課程和正規課程,且正規課程又分為學術 課程 (Academic Course) 與技藝課程 (Technical Course) 兩種。特別課程與快捷 課程設計為四年的學校教育,而正規課程規劃為五年的學校教育。學生在修習 完成中學之特別課程或快捷課程後,可參加「新加坡-劍橋普通教育」的 O 級證 書會考 (GCE O Level);參與正規課程的學生可參加「新加坡-劍橋普通教育」N 級證書會考 (GCE N Level),通過考試後可以選擇是否繼續修讀第五年的中等課 程,若完成五年正規課程即可參加 GCE O Level 之檢定。

在通過 GCE O Level 考試後,學生能依據能力和性向選擇接受後中等教育 (Post-Secondary Education),包括二年制的初級學院 (Junior Colleges)、三年制的 大學先修中心 (Centralised Institutes) 或工藝學院 (Polytechnics)。大多數準備繼續 升大學的學生會選擇進入初等學院就讀,之後參加「新加坡-劍橋普通教育」A 級證書檢定(GCE A Level),其列出語文、數學、科學、商業與電腦、人文科 學、其他與本地科目共七大科目供學生選擇,檢定結果作為進入大學就讀的依 據。

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(2) 教學切入點

教學切入點是指在初始介紹數學概念時,所採用的概念建構方式與教學活動設 計。以認識三角形「角」的教學為例,台灣數學角的切入點為「三角形中轉角的 地方」,架構於形狀的概念之上;新加坡數學以「角是交於一點的兩條直線間的 旋轉量」定義之,同時引入角的形狀與量的概念,因此最原始定義的切入點不同 之下,將影響數學整體後續知識鋪陳的方式與概念設計的發展。

(3) 螺旋式課程 (Spiral Curriculum)

螺旋式課程指根據某一學科知識結構的「概念結構」,配合學生的「認知結構」

以促進學生的認知能力發展為目的的一種課程發展與設計 (黃光雄、蔡清田,

1999)。螺旋式課程提供具有邏輯先後順序的概念組合,讓學生在一至兩年期間,

學習探究一套逐漸加深加廣的複雜概念實例,例如,台灣國小三年級教導學生認 識量角器,四年級進一步教導學生使用量角器,並學會利用量角器量角度。

1.5 研究範圍與限制

(1) 本研究範圍設定於「三角函數之相關課題及先備知識」,就我國一至十年級的 「數學領域教科書」進行評估。

(2) 受限於人力、物力、時間與經濟等因素,以及教科書版本與資料完整性之考 量,在資料蒐集上,以我國小學至高中階段結構性完整的一套教科書為主,

並以其他版本教科書作為輔助參考;新加坡則選定民間廣用版的數學教科書 進行比較。由於新家坡於 2001 年實施新課程,截至目前為止,「My Pals are here!Maths」國小數學教科書發行至五年級,因此六年級採用「Primary Mathematics」之教材。研究中同時涉獵兩國相關的官方網站與民間報告書、

論文與書籍等資料進行探討。

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第 2 章 文獻探討

許多研究指出課程、教材與學生學習成效緊密關聯。我國教育趨勢強調學校得因 應地區特性、學生特質與需求,選擇或自行編輯合適的教科書和教材,以及編選 彈性學習時數所需的課程教材 (教育部,2000);Tornroos 更主張教材分析對於提 升學生學習數學有很大的助益 (引自吳麗玲,2005),由此可知,課程安排與教材 設計的好壞,反應於學生學習之成效。在本章中針對相關文獻進行分析,共分為 三節探討,第一節「數學課程設計理念與發展」、第二節「台灣與新加坡三角函 數相關課題與先備知識之教材發展」以及第三節「三角函數相關研究」。

2.1 數學課程設計理念與發展

課程的含義在近年有極大的改變,課程之界說、模式、性質和結構也漸引起研究 者的興趣 (黃光雄,1981)。由文獻可以看出,課程的概念仍十分分歧,如艾絲納 與范蘭絲所云,今日教育的問題爭議反映了關於課程形式、內容及學校教育目標 之優先順序上的基本衝突,而衝突的強烈及解決的困難,是由於不能認識各種衝 突的課程概念 (Eisnor&Vallence, 1974)。歐用生 (1998) 將課程一詞界定為有計畫 的學習,根據此定義,課程是指學校提供的資料,或這些學科所欲達成之讀、寫、

算等知識、技能的目標,也就是具體化於課程、教學指引、教科書或學校教育目 標、學校規則的內容。本研究不探討學校教育目標以及學校規則的內容等細微的 變因,主要著重於教科書內容之研究,因此在進行教科書分析前,就數學教育理 念與課程綱要發展、數學課程的延續與變革、三角函數課程之發展做一通盤的說 明。

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2.1.1 台灣與新加坡之數學課程綱要發展

以下分別簡介台灣與新加坡之數學教育理念與課程目標,以及兩國小學至高中課 程綱要:

(1)台灣九年一貫數學課程

台灣自 87 年 9 月教育部公布國民中小學九年一貫課程總體綱要,爾後,教育部 又公布國民中小學九年一貫課程 (第一學習階段) 暫行綱要,繼之於 90 年 1 月公 布國民中小學九年一貫課程暫行綱要。九年一貫課程總目標強調能力的開拓,為 國民的終身學習奠下基礎,以因應社會的變遷,並培養分析資料、形成臆測、驗 證與判斷的能力,以提升生活品質,改善生活環境,進而養成關懷環境、尊重自 然的情操。數學課的精神指標指民主社會中,具備理性與溝通的素養;多元社會 中,養成開放與尊重的態度,激勵多樣性的獨立思維,並尊重各種不同的合理觀 點,分享各別族群的生活數學以及欣賞不同文化的數學發展 (教育部,2000)。九 年一貫數學課程期望學生達成下列目標:

1. 掌握數、量、形的概念與關係。

2. 培養日常所需的數學素養。

3. 發展形成數學問題與解決數學問題的能力。

4. 發展以數學作為明確表達、理性溝通工具的能力。

5. 培養數學的批判分析能力。

6. 培養欣賞數學的能力。

為達成這些目標,數學課程的發展應以生活為中心,配合各階段學生的身心 與思考型態的發展歷程,提供適合學生能力與興趣的學習方式,據以發展數學學 習活動。數學學習活動應讓所有學生都能積極參與討論,激盪各種想法,激發創 造力,明確表達想法,強化合理判斷的思維與理性溝通的能力,期盼在社會互動 的過程中建立數學知識。

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(2)台灣高中數學課程

高中數學教學秉承國中數學教育的基礎,進一步培養學生邏輯推理能力、運算能 力和空間想像能力 (教育部,1995)。我國 85 年高級中學數學課程標準修訂之總 體目標如下:

1. 引導學生瞭解數學的內容、方法與精神,培養學生用數學方法思考問題的素 養與能力。

2. 增進學生的基本數學能力,奠定學習相關學科的基礎。

3. 提供學生在實際生活與未來生涯所需的數學知能。

4. 培養學生欣賞數學內涵簡明有效及結構嚴謹優美的特質。

(3)新加坡數學課程

新加坡教育重視每個孩子個別能力與性向的發展,目的使孩子的潛能得以盡情發 揮,以成為未來建設新加坡的棟樑;藉由廣泛的課程以提升文化水準,以培養其 健全的道德價值觀(翁婉珣,2004)。新加坡於 1979 年頒布新學制,為現行學制 的基礎,1991 年再次進行修訂,將小學三年級結束參加的分流考試延後至四年 級,並於 2001 年頒布新的課程綱要。

新加坡小學數學綱要是由兩部分寫成,A 部分解釋綱要的哲理與實施的精 神,並且詳細說明數學綱要的目標。數學綱要的結構概述了學校數學教育與學習 的精髓,在各階段的數學學習包含了基本概念的取得與技能的實作,同時也包含 數學思想的理解、一般問題的解決策略、擁有學習數學的正確態度及欣賞數學的 能力,以做為日常生活中一項重要且有用的工具。此數學綱要分別在小學的基礎 階段與定向階段中,總結綱要目標以提供各階段概念和技能的總覽。

B 部分詳列各階段的教學內容,並謹慎確保小學至中學課程的連貫性。在教 學大綱中,確保每個主題在各階段能合適地被重複提及,採螺旋式的方法加深課 程內容,使學生能鞏固學習的概念和技能,且更進一步發展一套概念和技能。在 EM3 的綱要中重複編寫一些基礎階段的重要主題,如此能確保學生在進入下個

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主題前,能擁有正確的數學概念。此份綱要作為教師設計教學課程的指南,教師 不必受綱要安排的主題順序限制,但應保持課程的層級性與連貫性,善用綱要達 到靈活與創意的教學 (Ministry of Education in Singapore, 2001)。新加坡數學教育希 望學生能達到以下目標:

1. 獲得關於數、測量和空間等概念之技能和知識,並且應用於日常生活中。

2. 獲得基本的數學概念和技能,以做為未來學習數學或其他學科之基礎。

3. 透過解決數學的問題與過程,了解自己的數學思考和推理技能,發展邏輯演 譯和歸納的能力。

4. 精確、簡明且合乎邏輯地使用數學語言,傳達數學的想法與論證。

5. 發展對於數學的積極態度,包含信心、樂趣與毅力。

6. 欣賞數學的功用,包括樣式和關係,並增加學生智能的好奇心。

新加坡七到十年級的學校教育以考試主導教學,因此課程綱要只有概括性的 描述。新加坡學生在中四或中五課程結束時參加 GCE O level 考試,所以課程綱 要是依照 GCE O level 考試大綱訂定,沒有如國小綱要般分年分項探討,而是以 大方向的數學項目加以分類。

2.1.2 數學課程的延續與變革

近年來國際數學課程的改革,皆著重於數學與學生生活的連結。1998 年美國數 學教師委員會將數學內容分為「數與運算」、「代數」、「幾何」、「測量」、「資料分 析與機率」五個主題。同時認為學生應可透過「解決問題」、「推理與證明」、「溝 通」、「連結」、「表徵」五種數學的過程獲得數學知識或應用數學知識,說明數學 課程的變革以符應社會發展之趨勢,及未來生活之所需為方向(NCTM, 2000)。

Hoyles et al (1999) 認為數學課程不外乎兩個互補的目標:促進社會進步和個人的 發展。1989 年美國研究委員會提出「Everybody Counts」報告中,預期課程改革 七個重大的轉變,其中包括數學教育的趨勢與前景,分述如下 (丁爾升,2001):

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1. 中學數學的目標應從雙重使命轉變到單一目標,為所有學生提供重要的、共 同的核心數學。

2. 數學教學從「傳授知識」的傳統模型轉變到「以激勵學習為特徵,以學生為 中心」的實踐模型,由學生被動聽講的課堂轉變為學生積極主動參與。

3. 公眾對數學的態度從冷漠與敵意,轉變到承認數學在現今社會中的重要性。

隨著科學技術的發達,數學的重要性也增加,對於公民來說數學文化與文化同 等重要。

4. 數學教育從熱衷於數學規則的練習轉變到有廣闊基礎的數學能力。學生的數 學能力應能辨明關係、邏輯推理,並運用各種數學方法解決多樣化的非例行 性問題等。

5. 數學內容強調將問題呈現在真實情境中,且邏輯體系要隨著年齡的增加慢慢 建立。

6. 數學教學從原始的紙筆計算轉變到使用計算器和計算機。使用計算器和計算 機的目的是擴充學生的數學能力,提高數學學習的質量。

7. 大眾對數學的理解從不變的法則規條轉變到是一門嚴格而生動的科學模式。

2.1.3 三角函數課程之發展

三角的課程目標、教學目標及教材內容,隨著課程改革歷經多次的精簡或刪除。

民國 74 年 4 月教育部修訂公布的國民中學數學課程標準,將相似形、二次函數 等相關內容列為三角函數的先備知識,且課程編排「數值三角及其應用」的單元,

讓學生進入高中前對三角函數有基本的認識。民國 83 年 10 月,教育部修訂公布 的國民中學數學課程標準,只編寫銳角三角函數與三角函數的應用之內容,對相 關教材內容修訂如下:

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表 2-1 國中三角函數課程之演變

民國八十三年十月教育部修訂公布的國民中 學數學課程標準對相關教材之變革

民國七十四年四月教育部修訂 公布的國民中學數學課程標準

內容 列入必

修教材

列入選 修教材

大幅精簡 或刪除

備 註 第一章 相似形

1-1 比例線段 1-2 相似形的意義 1-3 相似三角形 1-4 相似形的應用

9 9 9

9 9 直角三角形

相似定理列 為選修教材。

第二章 二次函數 2-1 變數與函數 2-2 二次函數的圖形 二次函數的最大值與最 小值

9 9 9 第三章 數值三角及其應用

3-1 銳角三角函數

3-2 三角函數的基本關係

3-3 用查表法求三角函數值 3-4 三角函數的應用

9

9

9

9

只介紹正、餘 弦與正切函 數之函數值。

資料來源 台灣南一高中教師手冊

民國 83 年的課程大幅精簡數值三角及其應用的內容,且民國 87 年九年一貫 數學課程暫行綱要,將所有三角函數的內容從國中教科書中刪除。因此現行國中 學生在進入高中之前,只具備相似三角形的判別法、二次函數圖形的概念與三角 形性質的幾何證明等先備知識。而教育部鑒於現行國民中學與高級中學課程之落 差,委任國立中正大學數學系編寫高中銜接教材,提供 94 學年度高中入學新生 進行數學領域補強教學之用,並對高中三角函數課程提出兩點建議:(1) 只處理 正弦、餘弦和正切三個三角函數的圖形,至於餘切、正割和餘割函數的圖形可列 為參考資料;(2) 刪除反三角函數,希望能讓學生在整體的知識上有連貫的學習。

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2.1.4 對本研究的啟示

數學綱要之目標與課程的發展,著重於數學素養的養成,以及強調將數學的概念 與知識應用於日常生活中,以因應未來生活之所需。由上述文獻可知,台灣與新 加坡對於基礎數學能力的重視,不僅規劃於理念層面,更強調落實於真實情境 中。因此,本研究試圖從兩國教學目標與教科書內容,分析數學教材之鋪陳是否 連貫、佈題背景是否與學生生活經驗連結,以及問題情境是否真實,並由國中數 學內容的刪減趨勢,探討學生進入高中前三角函數的先備知識是否備足。

2.2 台灣與新加坡三角函數相關課題與先備知識之教材發展

民國 73 年教育部修訂之高級中學課程標準,編審教材的內容提及「教材乃實現 教育及課程目標之主要資料,其重要自不待言,目前,部分教材或為分量過多,

或為內容艱深,或與學生生活不發生密切關聯,因而影響教學效果。在教材修訂 方面,要求各科教材的分量及難度須配合各該科教學時數及學生能力,其內容應 顧及上下銜接,彼此聯繫,盡量與學生生活相結合,務期各科教科用書或教材分 量一定要與教學時數密切配合,以免分量過多教學不完,發生因趕進度而草草了 事,學生無法消化之不良現象。又教材內容亦要求切合學生能力,尤應注意與學 生生活經驗相結合,以激勵學生學習興趣,提高學生程度。現行教材間有高、國 中彼此重複或相互脫節之情形,高中各科教材之間,亦屢有重複或雷同之現象,

教材編制應予以避免」。因此本節探討台灣與新加坡教科書之內容鋪陳,以台灣 一到十年級南一版數學教科書與新加坡同期教科書進行分析。

2.2.1 台灣數學教科書發展

南一文教集團成立於 1956 年,正式於 1961 年出版國小至高中之參考書。爾 後,於 2000 年根據教育部公布的國民中小學九年一貫數學學習領域課程綱要,

出版九年一貫南一版數學教科書。本研究採用九年一貫暫行綱要審定通過的九年

(24)

(1)南一版一到六年級數學教科書

南一國小教材之學習活動與內容設計皆以兒童的生活經驗為主,展開單元間的學 習,並且分別於學期中與學期末編排「加油小站」的活動設計,希望能讓學生複 習已學過的概念及做單元間的觀念連結。教材的設計能啟發學生學習數學的興趣 和培養學生自行建構數學概念的能力,以及養成學生良好的學習態度。其中台灣 一到六年級數學教材在三角函數相關課題與先備知識鋪陳共 28 單元 (一年級 2 單元、三年級 7 單元、四年級 10 單元、五年級 3 單元和六年級 6 單元)。

(2)南一版七到十年級數學教科書

南一國中教材配合學生的身心發展,以生活週遭事物為素材,設計適當的學習活 動、問題與探討及腦力激盪等,讓學生都能積極參與討論,並且激發出各種想法,

使學生能從中澄清數學概念,探討數、量、形等之樣式與規律,並建構出一套自 己的思考模式。以認識環境並培養學生邏輯思維,使學生具備獨立思考與解決問 題的能力。在每章節後附有重點整理,幫助學生掌握重點,增強其學習之效果,

並且安排適當份量的自我評量,供學生檢視學習成果及反省之用。綜觀台灣七到 十年級數學教材,在三角函數相關課題與先備知識鋪陳共 24 單元(七年級 5 單 元、八年級 2 單元、九年級 4 單元及十年級 13 單元)。

2.2.2 新加坡數學教科書發展

新加坡於 2001 年教改推出一到八年級的教學大綱,「My Pals are here!Maths」即 是新加坡 Time Media 公司因應教改編制的一套國小教材,但截至目前為止只發 行至小學五年級,因此本研究六年級採用「Primary Mathematics」之教材,七到 十年級採用 2001 年 Shinglee 公司發行的「Mathematics」之數學教科書。

(1)My Pals are here!Maths 及 Primary Mathematics 一到六年級數學教科書

「My Pals are here!Maths」是專門為小學生編製的一套教材,讓學生有系統地學 習數學概念,並透過課堂的綜合活動能反覆練習、重建數學的知識。在熟悉基本

(25)

的數學內容時,教材的設計讓學生不需藉由具體的操作,即能發展出抽象的概 念。每單元的第一部分教導學生主要的數學概念、技巧及解決問題的策略;第二 部分透過團體活動或競賽的方式,讓學生在合作中學習數學;第三部分鼓勵學生 使用計算器或是電腦完成回家作業,能將科技教育融入真實學習中;此外為高能 力的學生設計挑戰性的問題,使能培養其思考能力與發展潛能。綜合上述,新加 坡一到六年級數學教材在三角函數相關課題與先備知識鋪陳共 25 單元 (一年級 1 單元、二年級 5 單元、三年級 4 單元、四年級 5 單元、五年級 8 單元和六年級 2 單元)。

(2)Mathematics 七到十年級數學教科書

「Mathematics」為新加坡針對 GCE O Level 考試編寫的教科書。每個章節課程內 容編寫廣泛,使學生能具備紮實的學科基礎,且利用清楚的語言及配合簡單的插 圖介紹數學的概念與原理。教材中依照學生的年級與程度編寫合適的例題與課後 習題,有些例題前註記星號,表示這些例題需要一些技巧或是牽涉較為複雜的計 算,且每章節最後編排較困難或具有挑戰性的題目,學生必需應用自己的知識與 經驗來解決。綜觀新加坡七到十年級數學教材,在三角函數相關課題與先備知識 鋪陳共 26 單元(七年級 8 單元、八年級 7 單元、九年級 9 單元及十年級 2 單元)。

2.2.3 對本研究的啟示

台灣與新加坡教材的設計皆以學生為主體,以啟發學生學習數學的興趣和培養學 生自行建構數學概念的能力為目標。兩國三角函數相關知識的課程編排順序與教 材設計篇幅沒有明顯的差異,但新加坡於八年級正式引入三角比的內容,台灣則 晚於十年級開始教導三角函數的知識,且在三角內容的編排時程與深度有明顯的 差異。因此,本研究希望能透過教材的深入分析,探討兩國在三角函數教材設計 的不同之處。

(26)

2.3 三角函數相關研究

本研究以數學領域中三角函數的課題進行探討,因此以「三角函數」與「數學教 材」蒐集相關之學位論文與文獻,作為本研究的理論基礎。而國內已有不少針對 三角函數之文獻可供參考,查閱到的學位論文旨在分析學生學習三角函數的學習 現象,以及對於三角函數基本概念應用運算錯誤類型等,在此依研究者、年代、

研究題目與研究內容等類別所有三角函數之相關課題與先備知識之文獻,如表:

表 2-3 國內三角函數相關文獻

研究者(年代) 研究題目 研究內容

曾淑鑾 (1990)

高中生線性內插法瞭 解的研究

(1) 探討高中生在估測函數值問題的解題 表現,並分析其解題策略。(2) 檢驗不同 的變因對線性內插法概念瞭解的影響。(3) 歸納研究結果,試提若干建議供教學上參 考。

張景媛 (1994)

國中生數學學習歷程 統整模式的驗證及應 用:學生建構數學概 念的分析及數學文字 題教學策略的研究

(1) 以模式考驗的方式驗證本研究之「國 中生數學學習歷程統整模式」;(2) 以質的 研究方法探討學生在數學文字題上所產 生的錯誤概念,並探究學生如何建構出正 確的數學概念;(3) 編製「後設認知與動 機信念訓練課程」及「數學文字題解題策 略訓練課程」,並以教學實驗的方式利用 這些課程進行策略教學效果的考驗。

施盈蘭 (1995)

五專生的三角函數學 習現象

探討五專生對三角函數在廣義角,廣義數 值三角及三角函數概念三部份的認知情 形。

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黃純杏 (2001)

高中學生廣義角的三 角函數運算錯誤概念 類型之研究

探討高中學生在廣義角的三角函數運算 的錯誤類型及造成學生犯錯的原因。

吳佳起 (2003)

函數單元學習前後的 概念成長探討

探討國二學生在函數的單元學習前後,其 函數概念層次的變化情形,及學生的錯誤 類型與迷思概念。

陳忠雄 (2003)

高中學生三角函數概 念學習錯誤類型研究

探討高中學生在三角函數單元存在那些 錯誤概念,並分析學生的三角函數錯誤概 念的類型與形成錯誤概念的原因。

黃建興 (2004)

國小教師數學單元教 學之探討─以圓周率 教學為例

分析現有教科書中圓周率課程設計的內 容,瞭解圓周率課程的設計梗概,並從中 探討學生學習的困難。

簡志明 (2004)

高一學生銳角及廣義 角三角函數基本概念 應用運算錯誤類型之 研究

探討高一學生學習銳角及廣義角三角函 數的基本概念後,其概念發展情形與學生 運算錯誤的類型及造成錯誤之原因。

賴潔芳 (2004)

二階段評量應用在高 中生三角函數學習成 效之研究

探討運用二階段診斷評量分析高中學生 學習三角函數的錯誤概念類型,與錯誤概 念形成的原因,並依據此項發現來設計高 中學生學習三角函數之教學活動,據此探 究教學活動對學生學習三角函數單元的 成效。

黃振乾 (2005)

高一學生解反函數問 題之研究

以反函數定義的認知、反函數的求解及反 函數的驗證,三個階段進行測驗及訪談。

(28)

黃世穎 (2005)

台灣與日本高中現行 數學教材比較

探討兩國高中數學課程之設計,就數系、

多項式、不等式、三角函數、指數與對數、

圓錐曲線、平面向量與空間圖形、矩陣、

微積分、數值計算和機率與統計等十一個 主題進行教材比較。

以下將查閱的文獻分為四部份探討,分別為「數學相關概念及運算錯誤類型研 究」、「三角函數概念及錯誤類型研究」、「三角函數學習困難之原因」與「國內外 相關研究」,分述如下。

2.3.1 數學相關概念及運算錯誤類型研究

曾淑鑾 (1990)「高中生線性內插法瞭解的研究」文獻中,就內插法概念知識方面 發現約六成學生對內插法表徵系統圖形到數學式的轉換能力不夠好;在過程知識 方面發現,計算錯誤為可線性估算函數值問題的錯誤主因之一;解題方面發現,

有規律的非局部線性圖形,會因其規律性使學生認為可以使用內插法,且估算函 數值時,不管函數是否局部線性,似乎線性內插法是學生主要的估測策略。

張景媛 (1994)「國中生數學學習歷程統整模式的驗證及應用:學生建構數學概念 的分析及數學文字題教學策略的研究」論文中,分析國中學生在數學文字的錯誤 概念,其中基模知識的錯誤概念包含:學生常憑直覺或關鍵字作反應,或思考模 式和基模知識有功能固著的現象,而使用了錯誤的基模知識。

吳佳起 (2003)「函數單元學習前後的概念成長探討」發現,國中二年級學生在函 數方面存在許多錯誤類型,以及對於函數的迷思概念:

(1) 在學生初次學習函數的概念前後,其函數概念有顯著的不同。

(2) 函數單元的學習,最有助於「壓縮」層次的學生進階到「物化」層次。

(3) 學生存在著許多錯誤類型。如:自變數與應變數的角色混淆顛倒。

(4) 學生存在著許多關於函數的迷思概念。如:可以寫出關係式的就是函數。

(29)

黃建興 (2004)「國小教師數學單元教學之探討─以圓周率教學為例」中發現,學 生學習圓周率困難的原因有二:一是對於圓心、直徑、半徑和圓周長相關概念的 知識不足;二是缺少長度測量的能力,不會測量圓周長。

黃振乾 (2005)「高一學生解反函數問題之研究」發現,學生普遍在非映成函數的 概念發生錯誤,此外對於以合成函數定義反函數的定義存在一些迷思。在個案方 面顯示將函數的對應域、值域混淆,導致判斷非映成函數其反函數是否存在上發 生錯誤。但學生可以使用變數變換的方式求變數表徵函數之反函數,以合成函數 的方式驗證。此外,學生誤解反函數的定義,使其解題過程中發生部分錯誤。

2.3.2 三角函數概念及錯誤類型研究

施盈蘭 (1995)「五專生的三角函數學習現象」研究中,在廣義角三角函數概念知 識方面發現:(1) 多數學生對於廣義角的認識模糊不清,易受到思維經驗及典例 的視覺心像影響,而將坐標平面、象限、始邊的位置等非本質屬性納入廣義角的 概念中。(2) 在求值廣義三角函數的過程中,常易受到思維經驗中銳角三角函數 定義的概念心像影響,使得在利用教科書上的操作型定義圖解題目時,形成錯誤 的程序性知識。(3) 對於三角的函數概念沒有很明確的認識,且易受到思維經驗 的影響,產生知識的副遷移而進行錯誤的判斷或代數運算。

黃純杏 (2001)「高中學生廣義角的三角函數運算錯誤概念類型之研究」指出,高 中學生在廣義角的三角函數運算錯誤類型主要有兩部份:

(1) 廣義角部分的錯誤類型有:圖形錯覺,由圖形誤導廣義角度數、地理方位錯 誤、有向角方向錯誤、廣義角大小錯誤及數字計算錯誤。

(2) 廣義角的三角函數部份的錯誤類型有:三角函數基本定義錯誤、三角函數值 錯誤、各三角函數值範圍錯誤與其他錯誤類型。

(30)

陳忠雄 (2003)「高中學生三角函數概念學習錯誤類型研究」中,學生在三角函數 概念學習的錯誤類型主要分為下列六部份:

(1) 三角函數與反三角函數定義的概念不清:三角函數與反三角函數的定義混 淆、不瞭解三角函數的定義域、值域與反三角函數的定義域。

(2) 三角函數符號運用的概念不清:乘法性質的誤用、函數與反函數合成的誤用 與三角形三邊長性質的誤用。

(3) 三角函數運算性質的概念錯誤:三角函數的遞增與遞減不清楚、三角函數的 平方關係不清楚、誤認三角函數具有線性性質、三角函數的正負不會判斷、

三角函數的奇偶性質錯誤、三角函數的疊合性不清楚與三角函數值相等的概 念不清。

(4) 角度的基本性質概念不清:角度的單位換算有問題、同界角的認識不清。

(5) 三角函數的圖形概念不清:三角函數的圖形與平移認識不清、三角函數圖形 的對稱性概念不清。

(6) 三角函數的週期與振幅概念不清:函數週期的定義概念不清、三角函數的週 期與振幅性質認識不清。

賴潔芳 (2004)「二階段評量應用在高中生三角函數學習成效之研究」,將高三學 生的錯誤概念類型分為:(1) 弧度與函數值概念的錯誤概念。(2) 圖形概念的錯 誤。(3) 正餘弦疊合概念的錯誤概念。(3) 廣義三角函數的錯誤概念。(4) 廣義三 角函數概念的錯誤概念。(5) 三角函數的運算性質錯誤概念。(6) 反三角函數概 念的錯誤概念。(7) 角度單位換算的錯誤概念。

簡志明 (2004)「高一學生銳角及廣義角三角函數基本概念應用運算錯誤類型之研 究」文獻中,發現學生運算的錯誤類型主要為:銳角三角函數及廣義角三角函數 定義不清楚、角度與邊長的對應關係為片斷性的認知、三角形的三角函數值運算 概念不清楚、角度的範圍無法用不等式表示、各象限角的三角函數值正負判斷錯 誤、角度轉換錯誤、三角函數方程式不會分解、象限角的三角函數值為錯誤值等。

(31)

2.3.3 三角函數學習困難之相關原因

賴潔芳 (2004) 指出三角函數單元的學習成效與其他單元相較之下較不理想且學 生且學生的學習意願普遍低落原因有二:

(1) 學習者需要將三角函數的圖像與數字關係做連結,去處理如「

斜邊

= 對邊

A

sin 」 這類的比例問題及操弄有關的符號 (Blackett & Tall, 1991)。

(2) 語言背景使學生對於三角函數的英文寫法及唸法較無法了解其命名的意義。

簡志明 (2004) 提出學生在學習銳角及廣義角三角函數的基本概念時的學習困難 有下列各項:(1) 預備知識的不足無法貫通;(2) 計算過程感覺繁雜,產生困難;

(3) 對於文字符號不能清楚掌握;(4) 銳角擴展至廣義角三角函數時,難以銜接;

(5) 無法仔細認清題目的各項條件而加以連接;(6) 代數觀念沒有落實;(7) 在日 常生活中,少有實際應用相關題目,以致學習時較為抽象吃力;(8) 邏輯推理觀 念不足,無法逐步思考。

2.3.4 國內外相關研究

國際間關於數學教育的文獻眾多,顯示對數學教學的重視。但針對數學教材分析 的研究顯然較少,更缺乏跨國比較的文獻。目前查閱到黃世穎 (2005)「台灣與日 本高中現行數學教材之比較」的相關文獻,就兩國三角函數的課程設計提出七點 比較結果,分述如下:

(1) 日本將三角函數課程分兩階段完成,先從直角三角形介紹三角比,接著從銳 角擴充到0 到° 180 ,接著進入三角形的正弦定理、餘弦定理、面積計算,最° 後正式介紹三角函數,並擴張到任意角,介紹各種公式。台灣則一口氣於一 個學期內介紹完畢,且順序安排上有很大的不同。

(2) 台灣對於六種三角函數都有介紹,日本只介紹正弦、餘弦、正切,完全沒有 提及餘切、正割、餘割。

(32)

(3) 台灣有介紹海龍公式、半角公式、積化和差與和差化積的公式、反函數,日 本則沒有。

(4) 台灣完整介紹三角測量與應用,而日本只有基本概念,不強調實際的應用。

(5) 台灣有完整的介紹如何查表,甚至還有介紹內插法、計算機的使用方法,而 日本只有提到「整數角度」的查表,其餘均沒有介紹。

(6) 日本有介紹三角函數的極限、微分、積分,台灣則沒有提及。

(7) 台灣有介紹複數的極式表示法、隸美弗定理、1 的 n 次方根,日本則沒有。

最後就兩國高中的教材比較,提出增加數學課上課時數、重視基本微積分課程、

文組可以考慮不用學圓錐曲線、重視數學在電腦上的應用、課程盡量多元化以及 捨棄繁雜的四則運算等建議。

2.3.5 對本研究的啟示

上述關於三角函數概念學習錯誤類型與迷思之文獻,以教師教學與學生學習之成 效提出許多分析與建議,但相對而言,針對三角函數教材的研究顯然較少。因此 本研究希望就三角函數之相關課題與先備知識,以台灣一到十年級之數學領域教 科書進行綜觀全面的探討與分析,並且與新加坡同期教科書做跨國比較研究,針 對數學教材的內容鋪陳與佈題背景、問題情境等進行分析。

(33)

第 3 章 研究方法與實施步驟

本章旨在說明本研究所採取的研究方法與程序,共分為三節,第一節「研究方 法」,第二節「研究對象」,第三節「實施步驟」,分述如下。

3.1 研究方法

本研究欲探討台灣與新加坡一到十年級數學教材中,三角函數之相關課題及先備 知識的課程設計時程、教材鋪陳的連貫性與合宜性、教科書編排的深度及廣度,

以及分析教材的佈題背景及問題情境的呈現。基於此研究主題,本研究採用「內 容分析研究法」與「比較教育研究法」,藉此了解三角函數相關課題知識之推進,

進而將兩國教材依照描述、並列與比較等階段進行探討與分析,研究方法說明如 下。

3.1.1 內容分析研究法

內容分析法發展於二十世紀初,早期的研究對象限於大眾傳播媒體介,之後逐漸 為社會學、歷史學及政治學的研究所採用。現在內容分析法已成為一種常用的教 育研究法,研究對象漸擴及教科書等課程材料,而且教材的內容分析已成為當前 課程研究的重要領域之一 (歐用生,1998)。而內容分析法,通常是分析文件內容,

包括教科書、短文、報紙、小說、雜誌、論文、圖片等、任何傳達工具的內容,

都可以加以分析 (J. R. Fraenkel & N. E. Wallen,2003)。內容分析法式一種量化的 分析過程,但並不表示是一種純粹的「量的分析」,它是以傳播內容「量」的變 化來推論「質」的變化,因此可以說是一種「質」與「量」並重的研究法 (歐用 生,1998)。內容分析研究法對於改進教育或社會的實務方面,或增添重要的知 識方面而言,都能發揮其功能 (王文科,1993)。因此,本研究以台灣與新加坡的 教科書為研究對象,利用內容分析法分析三角函數之相關課題與先備知識的整體 課程鋪陳,了解兩國知識建構的模式。

(34)

內容分析法在教育研究上有其用處,但也有缺點和困難,因此本研究依據以 下兩項應用的原則 (歐用生,1998):

(1) 分析的文件和內容應求周全

所欲分析的文件應蒐集齊全,才不致產生偏差。因此本研究備齊台灣與新加 坡廣用版本之教科書一套,並輔以其他版本教科書進行參考,還包括教師手 冊以及習作等,希望能對兩國教科書進行全面性的評析。

(2) 併用其他方法

內容分析法若能配合其他方法一起使用,更能收到效果。本研究同時採用比 較教育研究法進行兩國教科書內容的比較。

本研究依據內容分析步驟進行文獻的分析,其步驟如下(王文科,1993):

(1) 確立目標:首先確定有待達成的具體目標或有待考驗的假設,即在於提供描 述性資訊、複合研究發現與考驗假設。本研究針對三角函數的課題提出五個 具體問題,藉此評估由國小至高中數學領域教科書的連貫性與合宜性。

(2) 決定蒐集資料的方法:在蒐集資料前需決定方法的結構程度,是採取非結構 的、質的、非系統的、主觀的方法;亦有的強調結構的、量的、有系統的、

客觀的方法。本研究選用分析教科書的質性研究法進行探討。

(3) 安排分析程序:最後即是決定使用特定的分析程序。綜合內容分析資料最常 見用的方法為使用絕對次數以及相對次數,前者如在資料中發現特定事件的 數目,後者如特定事件對全部事件的比例。本研究探討教科書編寫的問題情 境,屬於相對次數的分析方式。

綜合以上所述,本研究搜集台灣與新加坡的數學課程目標,兩國小學至高中 的數學教科書,以及國內的相關論文,用以描述並比較兩國的三角函數課程。此 外,對於教材進行內容歸納、分析與資料詮釋,以探討學生學習三角函數相關課 題與先備知識的概念是否連貫,並由佈題背景及三角函數的問題情境,突顯兩國 教材的特色,並沒有預設立場。

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3.1.2 比較教育研究法

顧名思義,比較教育是用比較的方法,研究教育。在教育研究中,所謂比較教育 法有兩種意義:一是因果比較研究;二是國與國之間、文化與文化之間的比較研 究。因果比較研究是介於敘述研究法 (如問卷、調查、個案、晤談等) 及實驗研 究法之間,探求事實形成原因的方法。至於國與國之間,文化與文化之間的比較,

是一種以較大的空間為領域,所從事的比較研究 (林清江,1998)。本研究屬後者 之比較教育,探討台灣與新加坡兩國間數學教科書的內容鋪陳。

本研究採用貝瑞岱 (George Z. F. Bereday) 比較教育研究法。貝瑞岱建構的比 較教育方法架構,將比較教育研究分成區域研究與比較研究兩個部分,分述如下:

(1) 區域研究係以單一國家或地區為研究中心主題,但多國教育資料若僅是逐一 做描述或解釋,也可視為區域研究。其研究步驟又可分為兩個階段:1. 描述 階段,旨在進行教育資料的搜集;2. 解釋階段,是運用社會科學的方法對正 式教育的資料進行分析(Bereday,1964)。

(2) 比較研究乃是同時對多個國家或地區的教育現象進行研究,其研究步驟可分 為以下兩階段:1. 並列階段,將不同國家的資料進行初步的對比;2. 比較階 段則是對教育所做的跨國界同時分析(Bereday,1964;Bereday,1967)。

因此,本研究在資料蒐集上,購齊台灣與新加坡小學至高中階段廣用版本的 數學教科書,並涉獵兩國相關的官方網站、民間報告書、論文與書籍等資料,且 廣泛閱讀我國與新加坡教科書單元內容。由於新加坡為一多元民族的社會,其語 文課程採多元化發展,但教材內容均以官方語言的英文編寫,因此本論文將之翻 譯成中文,進而針對兩國的課程綱要與考試制度進行解釋。依據貝瑞岱提出雙欄 的連貫式列表,將我國與新加坡的數學教科書內容 (三角函數部分) 依年級進行 並列摘錄,以尋求一統的概念與假設,使兩國教科書內容易於了解。從中針對教 科書編排順序、先備知識的概念鋪陳與內容深淺,依主題將兩國教材以對稱與交 替的方式進行闡釋比較,並提出具體性的評析與建議。

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3.2 研究對象

本研究以三角函數之相關課題與先備知識的教科書內容為研究對象。現今的教育 趨勢更強調教材內容應能符合每一位學生的需要,使學生有均等的學習機會(教 育部,2000),因此說明教科書的鋪陳影響著學生的概念建構與學習成效。本研 究探討的教科書版本分述如下:

3.2.1 台灣南一版數學教科書

我國教科書隨著時代的變遷,不斷進行修正與編制。教科書實施一綱多本政策之 後,民間教科書根據教育部頒訂的課程標準進行多元化的編寫,而教育部審定通 過的教科書版本包括「康軒」、「牛頓」、「龍騰」、「康熙」、「翰林」和「南一」等 出版社,其中「康軒」和「牛頓」以國小與國中階段的學生為編寫主體,「龍騰」

和「康熙」以國中與高中階段的學生為主。本研究欲在一份綱要之下,完整分析 十二年教科書的連貫性,因此我們選定以「南一」版為分析對象,同時輔以「翰 林」等版本教科書作為參考,希望能完整綜觀我國教科書的全貌。

3.2.2 新加坡數學教科書

新加坡於 2001 年頒布新綱要,數學教材從統一版本開放至六種版本,本研究據 以考察的國小數學教科書是 2003 年 Times Media 出版國小一至五年級 My Pals are here!Maths 叢書,全套共 10 冊,六年級是 2004 年 Federal 出版之教材 2 本,習 作則是 2001 年 Singapore Asian 公司出版的 Topical Revision in Mathematics 共 6 本。

國高中教科書是 1982 年 shinglee 公司出版的 Mathematics 叢書,七到十年級共 4 本,皆為新加坡民間使用率最高的教科書版本。

新加坡國小叢書的特色,能讓學生在課堂活動或獨立練習中,以話語或分組 活動的方式回答問題,使學生自行建構出一套概念,且提供非例行性的問題讓學 生在解題中進行思考;國高中教科書的編排,相似於我國大學教科書的撰寫模 式,對於數學名詞皆給予嚴謹的釋義。本研究希望能藉由新加坡教科書的跨國比 較,能對台灣教科書的編製提出有參考價值的意見。

(37)

3.3 實施步驟

本研究針對我國小學至高中數學領域的教科書進行探討與分析。研究的實施步驟 如下圖所示:

表 3-3 研究架構圖 準備階段

1. 藉由「中小學數學科課程綱要評估與發展研究」之報 告書中,了解新加坡、英國、韓國、日本、大陸與台 灣的學制和課程背景等比較教育相關知識。

2. 蒐集王燦琛民國 68 年的《各國小數學課程比較》與 民國 70 年的《各國國民中學數學課程之比較研究》,

並研讀《亞洲及西方各主要國家及地區的數學課程比 較研究》、《各界人士對數學課程觀感的分析》及《數 學課程全面檢討報告》等文獻。

1. 研讀我國小學至高中階段之數學教科書,在期間分析 後期中等教育較為困難的課題,過程中不斷修正研究 方向並縮小研究範圍,最後確立以「三角函數」課題 作為研究主題。

2. 根據研究目的蒐集所需之研究資料,以兩國的數學教 科書為主,還有期刊、論文與書籍等文獻。

3. 根據內容分析法及比較教育研究法進行研究。

文獻探討階段

資料彙整階段

1. 彙整我國與新加坡之三角函數教材內容 (國小至高 中),並將新加坡英文教科書翻譯成中文,且將新加 坡原文置於網路上 (p.33),以供讀者對照參考使用。

2. 分析台灣與新加坡教科書中,三角函數相關課題與先 備知識之鋪陳與時程安排,將教科書內容依年級製作 並列比較表,且提出其內容編寫之特色。

資料分析階段

1. 針對新加坡教科書編寫較完備的單元,撰寫整合成新 加坡教學資料,以供教師與教科書作者參考。

2. 對我國教科書的連貫性與合宜性、佈題背景與問題情 境進行分析。

將分析結果撰寫成論文,並對我國教科書做出具體的建 議,提供我國未來數學教科書編寫之參考。

論文寫作階段

(38)

第 4 章 台灣與新加坡數學教科書之比較與評析

本章分為四節,第一節「台灣與新加坡教學目標之描述與比較」,第二節「台灣 與新加坡教科書之描述與比較」,第三節「教材鋪陳及概念設計之評析」以及第 四節「佈題背景與問題情境之評析」。本文所有的比較與分析皆只針對三角函數 之相關課題及先備知識。

4.1 台灣與新加坡教學目標之描述與比較

本研究針對三角函數之相關課題及先備知識,評估我國小學至高中數學領域教科 書的連貫性與合宜性。因此,本節以高中三角函數單元的教學目標,分析九年一 貫教科書中三角函數先備知識的鋪陳是否完備,以及國中至高中三角函數相關課 題的教科書編寫是否連貫進行探討,並與新加坡比較之。

4.1.1 台灣數學課程之三角函數教學目標

三角函數的課程內容編寫在高一下學期第二章與第三章。第二章「三角函數的基 本概念」中,引入廣義角與三角函數的概念,探討三角形邊角之間的關係,導出 正弦定理、餘弦定理,並討論解三角的問題及測量上的應用。共分六節,教學目 標如下:

z 銳角三角函數

1. 了解兩直角三角形中,若有一雙銳角對應相等,則其任意兩對應邊所成的 六個比的比值也對應相等。

2. 了解銳角θ 的六個三角函數值:

sin

θ 、

cos

θ 、

tan

θ 、

cot

θ 、

sec

θ 、

csc

θ 的意義,並知道它們隨θ 的度數而變。θ 給定,這六個值也跟著確定,它 們都是θ 的函數。

z 三角函數的基本關係

1. 能利用銳角三角函數的定義,證明倒數關係、商數關係及平方關係。

2. 知道銳角的某一三角函數值,利用上述關係,求得其餘五個三角函數值。

(39)

3. 能利用上述關係,證明一些簡單的三角恆等式。

4. 能利用銳角三角函數值的定義,證明餘角關係。

5. 能利用倒數關係、商數關係、平方關係及餘角關係,簡化三角函數值的計 算。

z 簡易測量與三角函數值表

1. 能認識測量術語:仰角、俯角及方位,並了解方位的表示法。

2. 能根據所附的三角函數值表,及利用線性內插法求得銳角的三角函數值。

3. 給一個三角函數值,能利用所附的三角函數值表,查得其所對應的銳角。

4. 能將簡單的測量問題轉化為三角形邊角的問題,並利用三角函數的概念求 解。

z 廣義角的三角函數

1. 能了解始邊、終邊、旋轉量、正角、負角及廣義角的意義。

2. 能了解廣義角及同界角的意義,並知道同界角的三角函數值相同。

3. 給定一廣義角,能求出其介於0 與° 360 之間的同界角。 ° 4. 能判斷每一象限角各三角函數值正負。

5. 能知道當θ 為± 90 的同界角時,°

tan

θ 與

sec

θ無意義。

6. 能知道當θ 為0 或° 180 的同界角時,°

cot

θ與

csc

θ 無意義。

7. 能將(− 、

θ

) (180° ±

θ

)、(360°

θ

)、(90° ±

θ

)、(270° ±

θ

)的三角函數值 化為θ 的三角函數值。

z 正弦定理與餘弦定理

1. 能推得面積公式,並利用面積公式導出正弦定理。

2. 能證明餘弦定理。

3. 能利用正弦定理、餘弦定理理解三角形,並推導其他幾何性質。

z 基本三角測量

能將日常測量問題轉化為解三角形問題,並利用各種三角關係式求解。

(40)

第三章「三角函數的性質與應用」中,引入角的弧度度量,將三角函數視為 實數間的對應,並在坐標平面描繪其圖形,了解其特性,然後導出和、差角公式,

倍角、半角公式,和、差與積的互化公式,進而討論正、餘弦函數之疊合問題及 反三角函數的基本概念,最後介紹複數的極式、隸美弗定理,並介紹極坐標。共 分為七節,本研究不將複數的內容納入比較,教學目標如下:

z 三角函數的圖形

1. 知道“弧度”單位的意義及度量方法,及作“弧度”與“度”間的轉換。

2. 能由圓半徑及圓心角求其所對的弧長與所成之扇形的面積。

3. 能利用描點法描繪正弦函數的圖形,並知道如何透過平移及伸縮,由 sin

y

=

x

的圖形描出

y

=

a

sin(

bx c

+ + 及)

d y

=cos

x

之圖形。

4. 能透過平移和伸縮,由

y

=cos

x

的圖形描出

y

=

a

cos(

bx c

+ + 之圖形。 )

d

5. 能利用描點法描繪出正切函數的圖形,並利用平移及鏡射的方法,由

tan

y

=

x

的圖形描出

y

=cot

x

的圖形。

6. 能利用倒數關係,由

y

=cos

x

的圖形描出

y

=sec

x

的圖形。

7. 能利用平移的方法,由

y

=sec

x

的圖形描出

y

=csc

x

的圖形。

8. 能知道六個三角函數的定義域、遞增或遞減之變化情形、週期、最大值與 最小值以及判斷是為奇函數或偶函數。

z 和角公式

1. 能證明正弦函數與餘弦函數的和角公式,且應用其求值。

2. 能導出正切函數的和角公式。

z 倍角、半角公式

1. 能導出正弦函數、餘弦函數及正切函數的倍角公式。

2. 能導出正弦函數、餘弦函數及正切函數的半角公式。

z 和、差與積的互化

1. 能利用和、差角公式導出積化和差與和差化積的公式。

2. 能利用上述公式求值及轉換三角函數式。

(41)

z 正餘弦函數的疊合

1. 能將

y

=

a

sin

x b

+ cos

x

轉化成

y

=

a

2+

b

2sin(

x

+

θ

)或

y

=

a

2 +

b

2 cos(

x

+

φ

) 的形式。

2. 能應用上述的方法,能解最大值或最小值的實際問題。

z 反三角函數的基本關係

1. 能了解符號sin a1 的定義,並知道定義域為[-1,1],值域為[ , ] 2 2

π π

,且與

定義於[ , ] 2 2

π π

上之正弦函數

y

=sin

x

互為反函數。

2. 能了解符號cos a1 的定義,並知道定義域為[-1,1],值域為 [0, ]

π

,且與定 義於[0, ]

π

上之餘弦函數

y

=cos

x

互為反函數。

3. 能了解符號tan a1 的定義,並知道定義域為 R ,值域為 ( , ) 2 2

π π

,且與定

義於 ( , ) 2 2

π π

上之正切函數

y

=tan

x

互為反函數。

4.1.2 新加坡數學課程之三角函數教學目標

新加坡將三角的相關內容分述於八、九年級兩個單元中,教學目標如下:

z 三角比 (Trigonometrical Ratios)

1. 能求出直角三角形的邊長,以及銳角三角形的 sine、cosine 和 tangent 的三 角比值。

2. 能處理平面上的三角形問題。

z 三角學 (Trigonometry)

1. 能求出鈍角三角形的三角比。

2. 能處理兩個邊和一個角、兩個角和一個邊或三個邊的不等邊三角形問題。

3. 能計算複雜的三角形面積問題。

4. 能求出一條直線與平面間夾角的角度。

5. 能利用方位角與三角學的概念,解決生活中距離和高度等簡單的問題。

(42)

4.1.3 兩國三角函數教學目標之比較

台灣的教學目標著重於三角函數的理論與技術層面,新加坡強調生活經驗的連 結與應用。兩國十年級三角函數教學目標之內容上有明顯的差異,以廣度而言,

新加坡只將銳角三角比推廣到鈍角上,而台灣直接介紹廣義角的概念;以深度 而言,新加坡沒有教導三角函數的圖形、和角公式、半角公式、三角疊合以及 反三角函數等內容。但新加坡學生準備 A-level(相當於我國 11、12 年級或 12 年級與大一)時,數學教材內有更多三角函數的介紹與應用。本研究探討兩國 教材至十年級為止,因此,就上述的教學目標而言,我國高一學生所學的三角 函數課題較深且較多。

4.2 台灣與新加坡數學教科書之描述與比較

台灣國民中小學九年一貫課程綱要中,將課程分為四階段:一至三年級為第一階 段;四、五年級為第二階段;六、七年級為第三階段;八、九年級為第四階段。

因此在本研究中,加上高中一年級的數學教材,將一到十年級三角函數之相關課 題與先備知識,分為五個階段分析比較之。其中新加坡教材之相關原文 (英文) 內容,整理於以下網址供讀者參考:

http://www.libai.math.ncu.edu.tw~shann/Teach/mathedu/xiuhan 4.2.1 台灣與新加坡一到三年級教材分析

描述

臺灣小學一年級上學期「認識形狀」的單元,以立體圖形著手,讓學生從實物中 分辨出長方體、圓柱體、球體、角錐等模型的實體,並觀察實物的面,分辨平面 與非平面,進而認識三角形、四邊形和圓形等平面圖形。而後讓學生藉由觀察將 形狀很像的圖形放在一起,從中分辨出三角形、正方形、圓形與長方形等圖形之 不同,並同時給予命名,在此為三角形的概念作初步的鋪陳。一年級下學期「平

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