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# 國 立 中 央 大 學

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## 國 立 中 央 大 學

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(6)

### Abstract

This is a thesis which mainly focuses on: correlative topics and advance knowledge of Trigonometry, evaluating coherence and appositeness from elementary to high school in textbooks within mathematics filed. We also have compared with Singapore’s textbooks in order to make the theoretical basis for modifying future mathematics textbooks of senior high school in Taiwan in 2009.

This thesis adopted both Content Analysis Method and Comparative Method by researching and analyzing with delineation, juxtaposition and comparison from Taiwan and Singapore’s textbooks. In terms of the purposes of mathematics teaching, teaching materials from 1st to 10th grades, teaching background setting and the question conditions, the key features between two countries’ textbooks can be generalized. We give conclusions and suggestions with references to the development of the textbooks in Taiwan. The results of the research suggest Taiwan (1) Extension on Trigonometry teaching hours; (2) Improvement in teaching material’s background setting; (3) Insure the integration of information and mathematics. It is our hope that these conclusions and suggestions can make some beneficial contributions to the future mathematics textbooks of senior high school in Taiwan.

(7)

(8)

1.1 研究動機 ………1

1.2 研究背景 ………2

1.3 研究目的與問題 ………3

1.4 名詞釋義 ………4

1.5 研究限制與範圍 ………5

### 第 2 章 文獻探討 ……… 6

2.1 數學課程設計理念與發展 ………6

2.1.1 台灣與新加坡之數學課程綱要發展 ………7

2.1.2 數學課程的延續與變革 ………9

2.1.3 三角函數課程之發展………10

2.1.4 對本研究的啟示………12

2.2 台灣與新加坡三角函數相關課題與先備知識之教材發展………12

2.2.1 台灣數學教科書發展………12

2.2.2 新加坡教科書發展………13

2.2.3 對本研究的啟示………14

2.3 三角函數相關研究………15

2.3.1 數學相關概念及運算錯誤類型研究………17

2.3.2 三角函數概念及錯誤類型研究………18

2.3.3 三角函數學習困難之相關原因………20

2.3.4 國內外相關研究………20

(9)

### 第 3 章 研究方法與實施步驟………22

3.1 研究方法………22

3.1.1 內容分析研究法………22

3.1.2 比較教育研究法………24

3.2 研究對象 ………25

3.2.1 台灣南一版數學教科書………25

3.2.2 新加坡數學教科書………25

3.3 實施步驟………26

### 第 4 章 台灣與新加坡數學教科書之比較與評析………27

4.1 台灣與新加坡教學目標之描述與比較………27

4.1.1 台灣數學課程之三角函數教學目標………27

4.1.2 新加坡數學課程之三角函數教學目標………30

4.1.3 兩國三角函數教學目標之比較………31

4.2 台灣與新加坡數學教科書之描述與比較………31

4.2.1 台灣與新加坡一到三年級教材分析………31

4.2.2 台灣與新加坡四、五年級教材分析………36

4.2.3 台灣與新加坡六、七年級教材分析………43

4.2.4 台灣與新加坡八、九年級教材分析………48

4.2.5 台灣與新加坡十年級教材分析………57

4.3 教材鋪成及概念設計之評析………75

4.4 佈題背景與問題情境之評析………81

4.4.1 佈題背景………81

4.2.2 問題情境………82

### 第 5 章 結論與建議………85

5.1 兩國教材特色之發現………85

5.2 兩國教材的結論與建議………86

5.2.1 結論………86

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

### 1.3 研究目的與問題

(1) 九年一貫教科書對於三角函數先備知識的鋪陳是否完備？

(2) 國中至高中教科書編寫，對於三角函數相關課題的銜接是否連貫？

(3) 與新加坡十年級學生比較，我國高一學生所學的三角函數內容較深或較 淺、較多或較少？

(4) 台灣與新加坡的數學教材中，三角函數相關知識之教學切入點差異為何？

(5) 台灣與新加坡三角函數教材中，佈題背景之呈現與問題情境之設計有何不 同？

(15)

### 1.4 名詞釋義

(1) 新加坡學制

(16)

(2) 教學切入點

(3) 螺旋式課程 (Spiral Curriculum)

1999)。螺旋式課程提供具有邏輯先後順序的概念組合，讓學生在一至兩年期間，

### 1.5 研究範圍與限制

(1) 本研究範圍設定於「三角函數之相關課題及先備知識」，就我國一至十年級的 「數學領域教科書」進行評估。

(2) 受限於人力、物力、時間與經濟等因素，以及教科書版本與資料完整性之考 量，在資料蒐集上，以我國小學至高中階段結構性完整的一套教科書為主，

(17)

(18)

### 2.1.1 台灣與新加坡之數學課程綱要發展

（1）台灣九年一貫數學課程

1. 掌握數、量、形的概念與關係。

2. 培養日常所需的數學素養。

3. 發展形成數學問題與解決數學問題的能力。

4. 發展以數學作為明確表達、理性溝通工具的能力。

5. 培養數學的批判分析能力。

6. 培養欣賞數學的能力。

(19)

（2）台灣高中數學課程

1. 引導學生瞭解數學的內容、方法與精神，培養學生用數學方法思考問題的素 養與能力。

2. 增進學生的基本數學能力，奠定學習相關學科的基礎。

3. 提供學生在實際生活與未來生涯所需的數學知能。

4. 培養學生欣賞數學內涵簡明有效及結構嚴謹優美的特質。

（3）新加坡數學課程

B 部分詳列各階段的教學內容，並謹慎確保小學至中學課程的連貫性。在教 學大綱中，確保每個主題在各階段能合適地被重複提及，採螺旋式的方法加深課 程內容，使學生能鞏固學習的概念和技能，且更進一步發展一套概念和技能。在 EM3 的綱要中重複編寫一些基礎階段的重要主題，如此能確保學生在進入下個

(20)

1. 獲得關於數、測量和空間等概念之技能和知識，並且應用於日常生活中。

2. 獲得基本的數學概念和技能，以做為未來學習數學或其他學科之基礎。

3. 透過解決數學的問題與過程，了解自己的數學思考和推理技能，發展邏輯演 譯和歸納的能力。

4. 精確、簡明且合乎邏輯地使用數學語言，傳達數學的想法與論證。

5. 發展對於數學的積極態度，包含信心、樂趣與毅力。

6. 欣賞數學的功用，包括樣式和關係，並增加學生智能的好奇心。

### 2.1.2 數學課程的延續與變革

Hoyles et al (1999) 認為數學課程不外乎兩個互補的目標：促進社會進步和個人的 發展。1989 年美國研究委員會提出「Everybody Counts」報告中，預期課程改革 七個重大的轉變，其中包括數學教育的趨勢與前景，分述如下 (丁爾升，2001)：

(21)

1. 中學數學的目標應從雙重使命轉變到單一目標，為所有學生提供重要的、共 同的核心數學。

2. 數學教學從「傳授知識」的傳統模型轉變到「以激勵學習為特徵，以學生為 中心」的實踐模型，由學生被動聽講的課堂轉變為學生積極主動參與。

3. 公眾對數學的態度從冷漠與敵意，轉變到承認數學在現今社會中的重要性。

4. 數學教育從熱衷於數學規則的練習轉變到有廣闊基礎的數學能力。學生的數 學能力應能辨明關係、邏輯推理，並運用各種數學方法解決多樣化的非例行 性問題等。

5. 數學內容強調將問題呈現在真實情境中，且邏輯體系要隨著年齡的增加慢慢 建立。

6. 數學教學從原始的紙筆計算轉變到使用計算器和計算機。使用計算器和計算 機的目的是擴充學生的數學能力，提高數學學習的質量。

7. 大眾對數學的理解從不變的法則規條轉變到是一門嚴格而生動的科學模式。

### 2.1.3 三角函數課程之發展

(22)

1-1 比例線段 1-2 相似形的意義 1-3 相似三角形 1-4 相似形的應用

9 9 9

9 9 直角三角形

9 9 9 第三章 數值三角及其應用

3-1 銳角三角函數

3-2 三角函數的基本關係

3-3 用查表法求三角函數值 3-4 三角函數的應用

9

9

9

9

(23)

(24)

（1）南一版一到六年級數學教科書

（2）南一版七到十年級數學教科書

### 2.2.2 新加坡數學教科書發展

（1）My Pals are here！Maths 及 Primary Mathematics 一到六年級數學教科書

「My Pals are here！Maths」是專門為小學生編製的一套教材，讓學生有系統地學 習數學概念，並透過課堂的綜合活動能反覆練習、重建數學的知識。在熟悉基本

(25)

（2）Mathematics 七到十年級數學教科書

「Mathematics」為新加坡針對 GCE O Level 考試編寫的教科書。每個章節課程內 容編寫廣泛，使學生能具備紮實的學科基礎，且利用清楚的語言及配合簡單的插 圖介紹數學的概念與原理。教材中依照學生的年級與程度編寫合適的例題與課後 習題，有些例題前註記星號，表示這些例題需要一些技巧或是牽涉較為複雜的計 算，且每章節最後編排較困難或具有挑戰性的題目，學生必需應用自己的知識與 經驗來解決。綜觀新加坡七到十年級數學教材，在三角函數相關課題與先備知識 鋪陳共 26 單元（七年級 8 單元、八年級 7 單元、九年級 9 單元及十年級 2 單元）。

(26)

### 2.3 三角函數相關研究

(1) 探討高中生在估測函數值問題的解題 表現，並分析其解題策略。(2) 檢驗不同 的變因對線性內插法概念瞭解的影響。(3) 歸納研究結果，試提若干建議供教學上參 考。

(1) 以模式考驗的方式驗證本研究之「國 中生數學學習歷程統整模式」；(2) 以質的 研究方法探討學生在數學文字題上所產 生的錯誤概念，並探究學生如何建構出正 確的數學概念；(3) 編製「後設認知與動 機信念訓練課程」及「數學文字題解題策 略訓練課程」，並以教學實驗的方式利用 這些課程進行策略教學效果的考驗。

(27)

(28)

### 2.3.1 數學相關概念及運算錯誤類型研究

(1) 在學生初次學習函數的概念前後，其函數概念有顯著的不同。

(2) 函數單元的學習，最有助於「壓縮」層次的學生進階到「物化」層次。

(3) 學生存在著許多錯誤類型。如：自變數與應變數的角色混淆顛倒。

(4) 學生存在著許多關於函數的迷思概念。如：可以寫出關係式的就是函數。

(29)

### 2.3.2 三角函數概念及錯誤類型研究

(1) 廣義角部分的錯誤類型有：圖形錯覺，由圖形誤導廣義角度數、地理方位錯 誤、有向角方向錯誤、廣義角大小錯誤及數字計算錯誤。

(2) 廣義角的三角函數部份的錯誤類型有：三角函數基本定義錯誤、三角函數值 錯誤、各三角函數值範圍錯誤與其他錯誤類型。

(30)

(1) 三角函數與反三角函數定義的概念不清：三角函數與反三角函數的定義混 淆、不瞭解三角函數的定義域、值域與反三角函數的定義域。

(2) 三角函數符號運用的概念不清：乘法性質的誤用、函數與反函數合成的誤用 與三角形三邊長性質的誤用。

(3) 三角函數運算性質的概念錯誤：三角函數的遞增與遞減不清楚、三角函數的 平方關係不清楚、誤認三角函數具有線性性質、三角函數的正負不會判斷、

(4) 角度的基本性質概念不清：角度的單位換算有問題、同界角的認識不清。

(5) 三角函數的圖形概念不清：三角函數的圖形與平移認識不清、三角函數圖形 的對稱性概念不清。

(6) 三角函數的週期與振幅概念不清：函數週期的定義概念不清、三角函數的週 期與振幅性質認識不清。

(31)

### 2.3.3 三角函數學習困難之相關原因

(1) 學習者需要將三角函數的圖像與數字關係做連結，去處理如「

= 對邊

### A

sin 」 這類的比例問題及操弄有關的符號 (Blackett & Tall, 1991)。

(2) 語言背景使學生對於三角函數的英文寫法及唸法較無法了解其命名的意義。

(3) 對於文字符號不能清楚掌握；(4) 銳角擴展至廣義角三角函數時，難以銜接；

(5) 無法仔細認清題目的各項條件而加以連接；(6) 代數觀念沒有落實；(7) 在日 常生活中，少有實際應用相關題目，以致學習時較為抽象吃力；(8) 邏輯推理觀 念不足，無法逐步思考。

### 2.3.4 國內外相關研究

(1) 日本將三角函數課程分兩階段完成，先從直角三角形介紹三角比，接著從銳 角擴充到0 到° 180 ，接著進入三角形的正弦定理、餘弦定理、面積計算，最° 後正式介紹三角函數，並擴張到任意角，介紹各種公式。台灣則一口氣於一 個學期內介紹完畢，且順序安排上有很大的不同。

(2) 台灣對於六種三角函數都有介紹，日本只介紹正弦、餘弦、正切，完全沒有 提及餘切、正割、餘割。

(32)

(3) 台灣有介紹海龍公式、半角公式、積化和差與和差化積的公式、反函數，日 本則沒有。

(4) 台灣完整介紹三角測量與應用，而日本只有基本概念，不強調實際的應用。

(5) 台灣有完整的介紹如何查表，甚至還有介紹內插法、計算機的使用方法，而 日本只有提到「整數角度」的查表，其餘均沒有介紹。

(6) 日本有介紹三角函數的極限、微分、積分，台灣則沒有提及。

(7) 台灣有介紹複數的極式表示法、隸美弗定理、1 的 n 次方根，日本則沒有。

(33)

### 3.1.1 內容分析研究法

(34)

(1) 分析的文件和內容應求周全

(2) 併用其他方法

(1) 確立目標：首先確定有待達成的具體目標或有待考驗的假設，即在於提供描 述性資訊、複合研究發現與考驗假設。本研究針對三角函數的課題提出五個 具體問題，藉此評估由國小至高中數學領域教科書的連貫性與合宜性。

(2) 決定蒐集資料的方法：在蒐集資料前需決定方法的結構程度，是採取非結構 的、質的、非系統的、主觀的方法；亦有的強調結構的、量的、有系統的、

(3) 安排分析程序：最後即是決定使用特定的分析程序。綜合內容分析資料最常 見用的方法為使用絕對次數以及相對次數，前者如在資料中發現特定事件的 數目，後者如特定事件對全部事件的比例。本研究探討教科書編寫的問題情 境，屬於相對次數的分析方式。

(35)

### 3.1.2 比較教育研究法

(1) 區域研究係以單一國家或地區為研究中心主題，但多國教育資料若僅是逐一 做描述或解釋，也可視為區域研究。其研究步驟又可分為兩個階段：1. 描述 階段，旨在進行教育資料的搜集；2. 解釋階段，是運用社會科學的方法對正 式教育的資料進行分析（Bereday，1964）。

(2) 比較研究乃是同時對多個國家或地區的教育現象進行研究，其研究步驟可分 為以下兩階段：1. 並列階段，將不同國家的資料進行初步的對比；2. 比較階 段則是對教育所做的跨國界同時分析（Bereday，1964；Bereday，1967）。

(36)

(37)

### 3.3 實施步驟

1. 藉由「中小學數學科課程綱要評估與發展研究」之報 告書中，了解新加坡、英國、韓國、日本、大陸與台 灣的學制和課程背景等比較教育相關知識。

2. 蒐集王燦琛民國 68 年的《各國小數學課程比較》與 民國 70 年的《各國國民中學數學課程之比較研究》，

1. 研讀我國小學至高中階段之數學教科書，在期間分析 後期中等教育較為困難的課題，過程中不斷修正研究 方向並縮小研究範圍，最後確立以「三角函數」課題 作為研究主題。

2. 根據研究目的蒐集所需之研究資料，以兩國的數學教 科書為主，還有期刊、論文與書籍等文獻。

3. 根據內容分析法及比較教育研究法進行研究。

1. 彙整我國與新加坡之三角函數教材內容 (國小至高 中)，並將新加坡英文教科書翻譯成中文，且將新加 坡原文置於網路上 (p.33)，以供讀者對照參考使用。

2. 分析台灣與新加坡教科書中，三角函數相關課題與先 備知識之鋪陳與時程安排，將教科書內容依年級製作 並列比較表，且提出其內容編寫之特色。

1. 針對新加坡教科書編寫較完備的單元，撰寫整合成新 加坡教學資料，以供教師與教科書作者參考。

2. 對我國教科書的連貫性與合宜性、佈題背景與問題情 境進行分析。

(38)

### 4.1.1 台灣數學課程之三角函數教學目標

z 銳角三角函數

1. 了解兩直角三角形中，若有一雙銳角對應相等，則其任意兩對應邊所成的 六個比的比值也對應相等。

2. 了解銳角θ 的六個三角函數值：

θ 、

θ 、

θ 、

θ 、

θ 、

### csc

θ 的意義，並知道它們隨θ 的度數而變。θ 給定，這六個值也跟著確定，它 們都是θ 的函數。

z 三角函數的基本關係

1. 能利用銳角三角函數的定義，證明倒數關係、商數關係及平方關係。

2. 知道銳角的某一三角函數值，利用上述關係，求得其餘五個三角函數值。

(39)

3. 能利用上述關係，證明一些簡單的三角恆等式。

4. 能利用銳角三角函數值的定義，證明餘角關係。

5. 能利用倒數關係、商數關係、平方關係及餘角關係，簡化三角函數值的計 算。

z 簡易測量與三角函數值表

1. 能認識測量術語：仰角、俯角及方位，並了解方位的表示法。

2. 能根據所附的三角函數值表，及利用線性內插法求得銳角的三角函數值。

3. 給一個三角函數值，能利用所附的三角函數值表，查得其所對應的銳角。

4. 能將簡單的測量問題轉化為三角形邊角的問題，並利用三角函數的概念求 解。

z 廣義角的三角函數

1. 能了解始邊、終邊、旋轉量、正角、負角及廣義角的意義。

2. 能了解廣義角及同界角的意義，並知道同界角的三角函數值相同。

3. 給定一廣義角，能求出其介於0 與° 360 之間的同界角。 ° 4. 能判斷每一象限角各三角函數值正負。

5. 能知道當θ 為± 90 的同界角時，°

θ 與

### sec

θ無意義。

6. 能知道當θ 為0 或° 180 的同界角時，°

θ與

θ 無意義。

7. 能將(− 、

) (180° ±

)、(360°

)、(90° ±

)、(270° ±

### θ

)的三角函數值 化為θ 的三角函數值。

z 正弦定理與餘弦定理

1. 能推得面積公式，並利用面積公式導出正弦定理。

2. 能證明餘弦定理。

3. 能利用正弦定理、餘弦定理理解三角形，並推導其他幾何性質。

z 基本三角測量

(40)

z 三角函數的圖形

1. 知道“弧度”單位的意義及度量方法，及作“弧度”與“度”間的轉換。

2. 能由圓半徑及圓心角求其所對的弧長與所成之扇形的面積。

3. 能利用描點法描繪正弦函數的圖形，並知道如何透過平移及伸縮，由 sin

=

=

sin(

+ + 及)

=cos

4. 能透過平移和伸縮，由

=cos

=

cos(

+ + 之圖形。 )

### d

5. 能利用描點法描繪出正切函數的圖形，並利用平移及鏡射的方法，由

tan

=

=cot

6. 能利用倒數關係，由

=cos

=sec

7. 能利用平移的方法，由

=sec

=csc

### x

8. 能知道六個三角函數的定義域、遞增或遞減之變化情形、週期、最大值與 最小值以及判斷是為奇函數或偶函數。

z 和角公式

1. 能證明正弦函數與餘弦函數的和角公式，且應用其求值。

2. 能導出正切函數的和角公式。

z 倍角、半角公式

1. 能導出正弦函數、餘弦函數及正切函數的倍角公式。

2. 能導出正弦函數、餘弦函數及正切函數的半角公式。

z 和、差與積的互化

1. 能利用和、差角公式導出積化和差與和差化積的公式。

2. 能利用上述公式求值及轉換三角函數式。

(41)

z 正餘弦函數的疊合

1. 能將

=

sin

+ cos

=

2+

2sin(

+

)或

=

2 +

2 cos(

+

### φ

) 的形式。

2. 能應用上述的方法，能解最大值或最小值的實際問題。

z 反三角函數的基本關係

1. 能了解符號sin a1 的定義，並知道定義域為[-1,1]，值域為[ , ] 2 2

，且與

=sin

### x

2. 能了解符號cos a1 的定義，並知道定義域為[-1,1]，值域為 [0, ]

，且與定 義於[0, ]

=cos

### x

3. 能了解符號tan a1 的定義，並知道定義域為 R ，值域為 ( , ) 2 2

，且與定

=tan

### 4.1.2 新加坡數學課程之三角函數教學目標

z 三角比 （Trigonometrical Ratios）

1. 能求出直角三角形的邊長，以及銳角三角形的 sine、cosine 和 tangent 的三 角比值。

2. 能處理平面上的三角形問題。

z 三角學 （Trigonometry）

1. 能求出鈍角三角形的三角比。

2. 能處理兩個邊和一個角、兩個角和一個邊或三個邊的不等邊三角形問題。

3. 能計算複雜的三角形面積問題。

4. 能求出一條直線與平面間夾角的角度。

5. 能利用方位角與三角學的概念，解決生活中距離和高度等簡單的問題。

(42)

### 描述

110 年度臺中市推動硬筆書法與美感教育師生硬筆書法比賽

4.以年資辦理國民小學教師加註英語專長證書者，以本參照表為採認依據，不在本參照表之