行政院國家科學委員會專題研究計畫 成果報告
函數梯度材料應用於複合材料之應力分析與破壞研究(3/3)
計畫類別： 個別型計畫
計畫編號： NSC91-2212-E-011-028-
執行期間： 91 年 08 月 01 日至 92 年 07 月 31 日 執行單位： 國立臺灣科技大學營建工程系
計畫主持人： 張燕玲
報告類型： 完整報告
處理方式： 本計畫可公開查詢
中 華 民 國 92 年 12 月 2 日
行政院國家科學委員會專題研究計畫成果報告
函數梯度材料應用於複合材料之應力分析與破壞研究(3/3) ---- 緩衝層使用“S 型”函數梯度材料之龜裂研究
Cracking in Sigmoid Functionally Graded Undercoat
計畫編號：NSC 91-2212-E-011-028 執行期限：91 年 8 月 1 日至 92 年 7 月 31 日
主持人：張燕玲 國立台灣科技大學營建系 計畫參與人員：紀翔和 國立台灣科技大學營建系
一、中文摘要
本文主要利用有限元素法分析含裂縫 之”濺鍍層-緩衝層-基材”複合材料，受外應 力作用下之應力強度因子。濺鍍層及基材 使用均質材料，而緩衝層則使用 S 型及指 數型功能梯度材料，使三層間界面之材料 性質為連續。假設裂縫在濺鍍層表面生成 並往濺鍍層內部延伸，考慮二類材料組合 之型式：(1)修正 Dundur’s 參數α*>0，
* 0
β
= ，亦即濺鍍層楊氏模數大於基材；(2) (1)修正 Dundur’s 參數α
* <0，β
* =0，亦 即濺鍍層楊氏模數小於基材。研究結果顯 示：濺鍍層與基材間使用FGM緩衝層，將 可有效消除材料介面上裂縫尖端 SIF 異點 的產生。當濺層材料勁度大於基材時，FGM 緩衝層有助於減緩裂縫延伸入基材之驅動 力；而當濺鍍層材料勁度小於基材時，FGM 濺鍍層則將使裂縫更加容易延伸入基材 中。關鍵詞：功能梯度材料，濺鍍層－基材複 合材料，應力強度因子，有限元素法 Abstract
This study evaluates the stress intensity factors of cracked coating-undercoat-substrate composite media by the finite element method. The material of the coating and substrate potion is assumed to be homogeneous isotropic, while the S-type and Exponential functionally graded materials are used in the undercoat of the composite media such that there is no material mismatch on the interface of the coating, undercoat and substrate.
Assume that the crack originates from the edge of the coating and extends along the direction perpendicular to the interface of coating and substrate. Two classifications of material combination are considered: (1) modify
Dundurs’ parameter
α
* >0,β
* =0, ie. the Young’s modulus of coating is larger then substrate; (2) modify Dundurs’ parameter* 0
α
< ,β
*=0, ie. the Young’s modulus of coating is smaller then substrate. Results show that if the FGM undercoat is used between coating and substrate, the crack tip SIF will be eliminate effectively. If the material strength of the coating is stronger than that of the substrate, the application of functionally graded material to the undercoat will decrease the drive force of crack expanding. However if the material strength of the coating is weaker than that of the substrate, the FGM undercoat will let the crack expanding into substrate more easily.Keywords: Functionally graded material, coating -substrate composite, stress intensity factor, finite element method
二、緣由與目的
1987 年功能梯度材料之觀念首次被 研究學者正式提出，其發展的目的，就是 為了改善一般陶瓷－金屬複合材料之缺 點。以高速航空機具的推進系統中最有代 表性的超音速燃燒衝壓式發動機為例，燃 燒氣體的溫度通常要超過 2000℃，對燃燒 室壁產生強烈的熱衝擊；另一方面，燃燒 室壁的另一側又要經受作為燃料液態氫的 冷卻作用。如此，燃燒室接觸燃燒氣體的 一側要承受極高溫，接觸液態氫的一側又 要承受極低溫，一般材料顯然滿足不了如 此嚴苛的要求。若能結合金屬及陶瓷材 料，則可使用金屬去承受低溫，陶瓷對付 高溫。然而用傳統技術將金屬和陶瓷結合 時，由於二者介面熱力學特性匹配不佳，
在極大的熱應力下仍會產生破壞。
為此，材料學家提出，若能降低兩材 料間的差異性，將可以有效地減少材料破
壞 的 可 能 性 ， 亦 可 以 更 有 效 地 發
揮 材 料 的 特 性 ， 因 此 有 功 能 梯 度 材 料 (Functionally Graded Material, 簡稱FGM) 之構想產生[1-3]。功能梯度材料(FGM)是 由兩種或兩種以上之材料所構成之複合材 料，藉由連續改變材料之組構，使得FGM 之材料性質合於我們的要求，因此FGM除 具有複合材料中兩種以上不同材料性質的 特性，亦不乏均質材料的連續性。
正如上例所述，陶瓷經常被用來做金 屬材料之濺鍍層，陶瓷能提供熱量阻擋作 用，並防止金屬被腐蝕及氧化，但陶瓷-金 屬之複合材料，由於界面處材料之不連續 易造成材料之損壞，因此，若濺鍍層使用 FGM，則〞濺鍍層-基材〞界面處之材料差 異性即消失。圖一為濺鍍層使用金屬陶瓷 FGM 材料分佈之示意圖，FGM 之組成除 了本身(陶瓷)之材料外，亦包含與基材(金 屬)相同之材料顆粒，金屬含量之多寡則隨 位置之不同而呈連續變化之函數。由於 FGM於原界面處之材料差異性極小，當材 料受上下不同的溫差載重作用下，界面間 不會有應力不連續或是應力集中的現象。
由於 FGM 仍架構於二材料之組合下，因此 不但具有複合材料之優點，亦消除複合材 料中界面處應力集中之問題。研究顯示，
若在金屬陶瓷複合材料之間加一層 FGM 則可很明顯降低熱殘留應力[4-6]。Lee 與
Erdogan[7]以有限元素模型計算在溫度變
化下，多層材料及 FGM 濺鍍層與基材間 界面之熱應力行為。張燕玲[8]以有限元素 法分析S型FGM之熱殘留應力。研究均指 出功能梯度材料可明顯降低熱殘留應力。
若“濺鍍層-基材”複合材料所結合之 兩 材 料 之 差 異 很 大，無 論 是 溫 度 變 化 或 是 巨 大 外 載 重 變 化 之 環 境 下，其 殘 留 應 力 可 能 造 成 裂 縫 在 邊緣產生後再 往內部延伸。FGM雖然材料是連續變化之
函數，但由於整體材料局部間仍存在著差 異，在環境改變下仍必然出現殘留應力，
為了評估FGM之損傷或破壞程度，對FGM 破壞行為之暸解是很重要的。對於“濺鍍 層-基材”複合材料之龜裂研究，一般假設 濺鍍層為單一均質材料[9-12]。最近有關功 能梯度材料應用“濺鍍層-基材”之龜裂 研究則陸續被提出。Atkinson 與List[13]， Dhaliwal與Singh[14], Delale與Erdogan[15]
推導含裂縫之非均質固體受外力作用之 解。Jorgensen[16]對多層濺鍍層進行分析，
並對裂縫產生後裂縫造成剝離過程有詳細 的描述。Gu 與 Asaro[17]研究 FGM 內裂 縫偏向之行為。 Jin 與 Noda [18]指出：
FGM 裂縫附近之應力行為與均質材料相 同，應力強度因子可用來研究功能梯度材 料之龜裂行為。Cai 與 Bao [19] 假設裂縫 表面有類似橋樑連接，稱為crack-bridge， 以預測功能梯度材料內裂縫之延伸行為。
Bao與Wang[20]以混合理論定義出FGM材 料變化曲線，於橫向應力作用下，以有限 元素法分析在 FGM 濺鍍層中垂直裂縫尖 端之能量釋放率及應力強度因子變化。
FGM 之型式大多採用指數函數[7]或 冪次方函數[20]，但指數函數FGM或冪次 方函數FGM應用於複合材料時，界面之一 仍存在應力異點，因此計劃中採用Ｓ型函 數於 FGM。此Ｓ型 FGM 之特點為應用於 多層複合材料時，任何界面上均不會有應 力異點產生，第二年計劃研究S型FGM應 用於“濺鍍層-基材”複合材料中之龜裂行 為。本文則深討S型FGM應用於“濺鍍層- 緩衝層-基材”複合材料中之龜裂行為。
三、研究成果
考慮如圖二所示之“濺鍍層-緩衝層- 基材”複合材料，濺鍍層及基材為均質材 料，楊氏模數及包森比分別為Ec,
ν
c，E
s, νs ；緩衝層則使用S型FGM，由濺
鍍層之材料性質漸變為基材之性質。假設 有一裂縫由濺鍍層上緣產生，且有一均佈 外力作用在裂縫表面使得裂縫續繼往前延 伸。當裂縫通過濺鍍層-緩衝層-基材之界 面時，由於FGM緩衝層與濺鍍層及基材界 面處之材料性質為連續，故無雙材料之界 面問題，其行為則像是裂縫於均質材料之
Matrix Coating
FGM Layer
圖一 金屬陶瓷FGM材料分佈之示意圖
延伸，所以當裂縫尖端位於濺鍍層與基材 界面而欲往基材內部延伸時，假設其延伸 方向仍延 y 軸，如圖二所示。隨著裂縫之
σ
x y
Substrate hs
2L
(a) (b)
圖二 含裂縫之濺鍍層-緩衝層-基材複合材料 σ
x y
Coating
Substrate
hf
hs
2L
Coating
FGM Undercoat hu FGM Undercoat
hf
hu
成長，假設外力持續作用於裂縫表面上。
為有效模擬濺鍍薄層之應力行為，基 材厚度、緩衝層及濺鍍層厚度之比為25： 1：1。取hf =hu =10mm，hs =250mm，
850
L= mm。以MARC有限元素軟體進行 數值對稱分析，y 向上之邊界為自由活動 之滾支承，但在y= −hs處為一固定鉸接。
為模擬緩衝層內之函數材料性質的變化，
在元素切割上將濺鍍層細分為32層，各層 之材料性隨下式定義之S型函數而變化。
1 1
( ) ( ) s {1 ( )} c
E y =g y E + −g y E 0≤ ≤y hu/ 2
2 2
( ) ( ) s {1 ( )} c
E y =g y E + −g y E hu/ 2≤ ≤y hu
1 1
( )y g y( ) s {1 g y( )} c
ν
=ν
+ −ν
0≤ ≤y hu/ 22 2
( )y g y( ) s {1 g y( )} c
ν
=ν
+ −ν
hu/ 2≤ ≤y hu(1)
其中 1( ) 1 2 / 2
p
u
g y y
h
=
,0≤ ≤y hu/ 2;
2
( ) 1 1
2 / 2
p u
u
h y g y
h
−
= −
,hu/ 2≤ ≤y hu,稱為 局部體積分數函數。
在裂縫尖端附近及應力分佈可能較複 雜處，採六點三角型元素以及八點四邊型 元素切割，其餘則為三點與四點元素之組 合。圖三為裂縫尖端附近之元素細部圖。
Dundurs’常數α與β[21]常被用做雙 材料(即相鄰兩材料之材料性質不同，但皆
圖三 裂縫尖端附近之元素細部圖
為均質材料)之材料參數。本文中濺鍍層及 基材之材料性質以 Dundurs’常數α與β決 定之，其定義為：
c s
c s
E E E E
α
= −+ , (1 2 ) (1 2 )
2 (1 ) 2 (1 )
c s s c
c s s c
µ ν µ ν
β µ ν µ ν
− − −
= − − −
(2) 其中，Ei =Ei/(1−νi2), i=c s, 稱為材料之 平面應變模數；μ為材料之剪力模數。緩 緩 衝 層 內 部 之 材 料 性 質 則 依 (1) 式 計 算 之。大部份複合材料之β值介於β =0.0至 β α= 4之間，本文取β =0 而改變
α
之值 分析之。圖二所示之“濺鍍層-緩衝層-基材”
複合材料，其基材與濺鍍層之材料性質，
根據不同之修正Dundurs 參數α*及β*，依 (2)式計算基材與濺鍍層之材料性質。對於
* 0
β = ；α*=0.99~-0.99 與濺鍍層之材料性 質Ec, νc及基材之材料性質Es, νs之關係 如圖四。圖四為 p=2 且濺鍍層頂層之楊氏 模數
E
c固定下，緩衝層楊氏模數之曲線。由圖四可知當α*愈大時，濺鍍層與基材之 材料差異性愈大。
研究中除討論含裂延伸之濺鍍層-緩
衝層-基材問題，同時亦對指數型 FGM 緩 衝層進行裂縫延伸分析，二者將作一比 較，討論材料分佈對裂縫尖端SIF之影響。
3.1 S 型 FGM 緩衝層之含裂縫延伸問題 對於S型FGM緩衝層含裂縫延之問 題，研究中將分為(1)修正Dundurs參數α*
＞0，β*=0，及(2)修正Dundurs參數α*＜ 0，β*=0之二類情況討論，其中修正
Young's modulus
α∗=0.0 α∗=0.1
α∗=0.3
α∗=0.5
α∗=0.7 α∗=0.9
Undercoat
Substrate Coating
Ec Es
圖四 不同α*時，S 型 FGM 內楊氏模數分佈圖
Dundurs參數α*＞0表示濺鍍層材料勁度 高於基材，反之，α*＜0則表示濺鍍層材 料勁度低於基材。
(A) 修正 Dundurs 參數α*＞0，β*=0 圖五為修正Dundurs參數α*＞0，β*=0 時，“濺鍍層-S 型 FGM 緩衝層-基材”複合 材料之裂縫尖端 SIF 曲線。圖中顯示，當 裂開自濺鍍層邊緣產生後，隨著裂縫長度 的成長，SIF 亦隨之升高。於 α*愈大之材 料型式下，亦即濺鍍層勁度愈高於基材 時，SIF 上升之速度則愈快，此表示若外 力。當裂縫尖端延伸至FGM緩衝層之中央 時，SIF出現最大值，此表示若外力持續作 用下，FGM緩衝層有幫助裂縫延伸至基材 之趨勢，然而一旦裂縫尖端進入基材後，
α*愈大之材料其SIF 反而愈低，表示裂縫 於此處受到抑制。
0 1 2
Crack length a/hc 0
0.5 1 1.5 2 2.5 3
Dimensionless SIF KI/σ(π hf)0.5 α∗=0.9
α∗=0.7 α∗=0.5 α∗=0.3 α∗=0.1 α∗=0.0
Coating Undercoat Substrate
圖五 修正 Dundurs’參數α* >0時 S 型 FGM 緩衝 層之 SIF 分佈曲線
(B) 修正 Dundurs 參數α*＜0，β*=0 圖六為修正Dundurs參數α*＜0，β*=0 時，“濺鍍層-S 型 FGM 緩衝層-基材”複合
材料之裂縫尖端 SIF 曲線。圖中顯示當裂 縫自濺鍍層自由邊緣向內部延伸時，SIF隨 α*值愈小而下降，表示裂縫愈不易向下延 伸。但隨著裂縫通過濺鍍層進入緩衝後，
由於 S 型的材料分配型式，使得裂縫尖端 之 SIF 呈 現 上 升 之 現 象 ， 其 中 因 為
* 0.9
α = − 之濺
濺鍍層及基材材料性質差異最大，因此其 上升的幅度亦最大，最後導致SIF呈現最 大的現象。此一結果亦表示在裂縫由緩衝 層入基材時，FGM之材料漸變型式幫助了 裂縫成長之趨勢。
0 1 2
Crack length a/hc 0
0.4 0.8 1.2 1.6 2 2.4
Dimensionless SIF KI/σ(π hf)0.5 α∗=−0.9
α∗=−0.7 α∗=−0.5 α∗=−0.3 α∗=−0.1 α∗=0.0
Coating Undercoat Substrate
圖六 修正 Dundurs’參數α*<0時 S 型 FGM 緩衝 層之 SIF 分佈曲線
3.2 指數型 FGM 緩衝層之含裂縫延伸問 題
對於指數型 FGM 緩衝層含裂縫延之 問題，與上節相同，研究中亦分為(1)修正 Dundurs 參數α*＞0，β*=0，及(2)修正 Dundurs 參數α*＜0，β*=0 之二類情況討 論。
(A) 修正 Dundurs 參數α*＞0，β*=0 圖七為修正Dundurs參數α*＞0，β*=0 時，“濺鍍層-指數型FGM 緩衝層-基材”複 合材料之裂縫尖端 SIF 曲線。當裂縫仍位 於濺鍍層內部時，SIF隨裂縫長度成長而增 加，而對於α*愈大之材料，增加的速度則 愈快。然而一旦裂縫進入緩衝層後，α*較
0 1 2 Crack length a/hc 0
0.4 0.8 1.2 1.6 2 2.4
Dimensionless SIF KI/σ(π hf)0.5 α∗=0.9
α∗=0.7 α∗=0.5 α∗=0.3 α∗=0.1 α∗=0.0
Coating Undercoat Substrate
圖七 修正 Dundurs’參數α*>0時指數型 FGM 緩
衝層之 SIF 分佈曲線
小(α* =0.1, 0.3)之材料，其SIF仍保留上升 之趨勢，但較先前情況為緩和；對於α*較 大之材料(α*=0.7, 0.9)，其 SIF 則明顯下 降，並於緩衝層到基材界面上出現最小 值。此一結果說明了緩衝層一定程度地減 少了裂縫向基材延之趨勢。
(B) 修正 Dundurs 參數α*＜0，β*=0 圖八為修正Dundurs參數α*＜0，β*=0 時，“濺鍍層-指數型 FGM緩衝層-基材”複 合材料之裂縫尖端SIF曲線。與S型FGM 緩衝層有相同的趨勢，當裂縫於緩衝層內 部時， α*=0.9之SIF值亦由最小轉變為最 大，然而與圖六比較下可發現，SIF上升之 幅度則較S型FGM緩衝層為緩和。同時由 二圖亦顯示，當裂縫進入基材後，裂縫尖 端SIF值相似，表示FGM緩衝層之材料型 式對基材上之裂縫延伸並無明顯之影響。
0 1 2
Crack length a/hc 0
0.4 0.8 1.2 1.6 2 2.4
Dimensionless SIF KI/σ(π hf)0.5 α∗=−0.9
α∗=−0.7 α∗=−0.5 α∗=−0.3 α∗=−0.1 α∗=0.0
Coating Undercoat Substrate
圖八 修正 Dundurs’參數α*<0時指數型 FGM 緩 衝層之 SIF 分佈曲線
四、結論與討論
本 文 主 要 以有限元素之數值分析方 法，分析含裂縫之 FGM 緩衝層的應力行 為，考慮兩種材料型式組合：(1)S型FGM； (2)指數型FGM，外力則勻佈作用於裂縫表 面上。綜合分析之結果，可歸納出數個結 論：
(1) 當修正 Dundurs參數α*＞0，裂縫自表 面形成後即呈現快速之增長，對於α*值愈 大之材料，在緩衝層中央材質變化較巨之 處，SIF呈現大幅之增長，代表裂縫更容易 向下延伸。然而當裂縫尖端靠近緩衝層與 基材之界面時，SIF呈現下降之現象，表示 裂縫延伸之趨勢受到阻撓。
(2) 當修正 Dundurs參數α*＜0，裂縫於緩 衝層內向下延伸時，對於S型FGM及指指 型FGM之SIF值均呈現增加之趨勢，但初 期指數型FGM之SIF上升較S型為緩和，
並於裂縫接近基材時出現較快速之增加。
(3) 當裂縫延伸入基材後，材料性質之分配 型式對SIF之影響則較不明顯。
(4) FGM 緩衝層之存在，可以有效地消除 原本出現於相異材料間之界面異點現象，
避免了裂縫無預警的斷裂，然而卻也有可 能增加了裂開向基材延伸之趨勢。
五、參考文獻
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7
