國立臺東大學教育學系教育行政碩士在職專班

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國立臺東大學教育學系教育行政碩士在職專班

碩士論文

指導教授：鄭承昌博士

國民中學國民中學

國民中學國民中學學生學生學生幾何解題與學生幾何解題與幾何解題與 β 幾何解題與 β β β 腦波變化腦波變化腦波變化腦波變化率率率

率之個案之個案之個案之個案研究研究研究研究

研究生：劉夷倩撰

中華民國一 ○ ○ 年六月

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國立臺東大學教育學系教育行政碩士在職專班

碩士論文

國民中學國民中學國民中學

國民中學學生學生學生幾何解題與學生幾何解題與幾何解題與 β 幾何解題與 β β β 腦波變化腦波變化腦波變化腦波變化率

率率

率之個案之個案之個案之個案研究研究研究研究

研究生：劉夷倩撰指導教授：鄭承昌博士

中華民國一 ○ ○ 年六月

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國立臺東大學

學位論文考試委員審定書系所別：教育學系一教育行政碩士班

本班劉夷倩君

所提之論文：民中學學生何

與 8 ^波 ^{化率之個案} 研究

業經本委員會通過合於碩士學位論文

博士學位論文

^條4：

論文學位考試委員

學位考試委員會主席

( 指導教授

論文學位考試日期： 1 0 0 年 0 6 月 3 0 日

國立臺東大學

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博碩士論文授權書

本授權書所授權之論文為本人在國立臺東大學教育學系 ( 所 ) 教育行政組 9 9 學年度第 2 學期取得碩士學位之論文。論文名稱： 國民中學學生幾何解題與 8 腦波變化率之個案研究

本人具有著作財產權之論文全文資料，授權予下列單位：

同意不同意單位

1 國家圖書館

本人畢業學校圖書館

0

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得不限地域、時間與次數以微縮、光碟或其他各種數位化方式重製後散布發行或上載網站，藉由網路傳輸，提供讀者基於個人非營利性質之線上檢索、閱覽、下載或列印。

" 同意门不同意本人畢業學校圖書館基於學術傳播之目的 ' 在上述範圍内得再授權第三人進行資料重製。

本論文為本人向經濟部智慧財產局申請專利(未申請者本條款請不予理會)

的附件之一，申請文號為：^^^^^^^^ ，請將全文資料延後半 年再公開。

公開時程

立即公開一年後公開二年後公開三年後公開

上述授權內容均無須訂立讓與及授權契約書。依本授權之發行權為非專屬性發行權利。依本授權所為之收錄、重製、發行及學術研發利用均為無償。上述同意與不同意之欄位若未勾選，本人同意視同授權

指導教授姓名： 1 1 \ 1 | ^ 、 ^ (親筆簽名）

研究生簽名

曰期

， 0 (？

中華民國！00 年

(親筆正楷）

(務必填寫）

？月曰

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謝誌

還記得兩年前，抱著忐忑不安的心情進入了研究所，當時對於教育行政領域及論文撰寫感到陌生的我，經過了這兩年來的學習以及老師們的循循善誘，終於完成了我的碩士論文，心中的感動、感激及滿足，實非筆墨所能形容。

首先，最要感謝的，我的指導教授鄭承昌老師，從一開始討論研究主題，老師針對我的教學專長，建議了幾個可以研究的方向，最後選定了腦波與數學幾何相關的研究；雖然腦波是我所感興趣的主題，但畢竟是不熟悉的領域，故一開始花了較久的時間閱讀相關書籍，所幸經由老師指引及教導之後，讓我對於研究主題有了更進一步的認識。而在論文撰寫的這一年中，感謝老師固定每週與我面談，使我能夠順利解決疑惑並保持撰寫進度；而在實驗進行之初，老師不辭辛勞的從台東帶著實驗儀器到關山指導實驗的進行，更讓我感動不已。

其次，要感謝的是口試委員王明習教授指出論文中每一個需要修改的細節，使本研究更趨完善，口試委員；蔡東鐘教授告知我需注意研究工具的信效度，以確保本實驗結果的正確性。

最後，感謝我的家人，過程中不斷的給予我支持與鼓勵，讓我在挫折中仍能堅持下去；也謝謝碩士班的同學們，有大家相互陪伴與打氣，讓學習多了歡笑與感動；同時並感謝徐金霆學長的協助，讓實驗能順利完成；更感謝校長、主任與同事們支持與幫忙，讓我在求學過程中無後顧之憂的完成論文撰寫。

劉夷倩謹誌 2011.07

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國民中學國民中學國民中學

國民中學學生學生學生學生幾何解題與幾何解題與幾何解題與幾何解題與 β β β 腦波變化 β 腦波變化腦波變化腦波變化率

率率

率之個案之個案之個案研究之個案研究研究研究

作者作者

作者作者：：：劉夷倩：劉夷倩劉夷倩劉夷倩

國立臺東大學教育學系教育行政在職專班

摘摘摘

摘要要要要

本研究旨在探討六位國民中學學生，做數學幾何試題的解題過程對腦波變化率之影響，研究者依據八到九年級數學科學期成績及訪談資料，將受試者區分為數學能力佳組和數學能力不佳組；並藉由腦波儀蒐集受試者在作答不同難度數學幾何試題時，

β波、左右腦波、前後腦波的腦波變化率數據，分析數學能力佳組和數學能力不佳組，受試者作答數學幾何試題的專注程度、數學幾何能力的腦側化現象情形，進而透過題項分析探究大腦在作答不同難度的數學幾何試題，大腦是否呈現不同的運作狀態。本研究發現：一、受試者數學幾何能力右腦側化現象並不一致；二、

受試者數學幾何認知理解運作區大部份在後腦；三、受試者數學幾何解題之腦波變化率會隨著試題難度不同而有顯著差異；四、

作答不同難度的數學幾何試題，大腦運作分區會有顯著不同。

關鍵詞關鍵詞關鍵詞

關鍵詞：：：數學幾何、腦波、傅立葉分析：

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Case Study on the Effects of Relationships Between Geometry Problem Solving and Change Rates of Beta

Waves

Yi-Chien Liu

Abstract

In order to probe the effects of relationships between geometry problem solving and change rates of beta waves, six subjects of 9- graders were divided into two groups, high proficiency group and low proficiency group, based on subjects' semester grades of math.

Data were collected from an electroencephalography (EEG) instrument while the subjects were doing three different levels of geometry tests. The research results indicate that: (1) according to the analysis from the subjects of high proficiency group, cerebral lateralization for the use of geometry needs a further investigation to confirm; (2) the hindbrain is the cognitive comprehension zone for performing geometry problem solving; (3) the change rates of beta wave on geometry problem solving heighten with the degree of difficulty; (4) subjects uses different cognitive strategy to correspondingly solving the different difficulty levels of geometry problems.

Keywords: Electroencephalography, EEG, mathematics geometry,

Fourier analysis

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表目次

表 2-1-1 大腦皮質結構組織表 ... 9

表 2-1-2 腦波頻率、波形與特性 ... 12

表 2-2-1 各派對數學認知的看法 ... 17

表 2-3-1 G.polya 解題四步驟 ... 30

表 3-3-1 專家教師背景表 ... 36

表 4-1-1 受試者 S01 數學幾何解題左右腦 β 波變化率相依樣本 T 檢定表 .. 47

表 4-2-1 受試者 S01 數學幾何解題前後腦 β 波變化率相依樣本 T 檢定表 .. 59

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圖目次

圖 2-1-1 大腦皮質層四區圖 ... 8

圖 2-1-2 大腦神經元 ... 10

圖 2-1-3 國際 10-20 腦波電極配置法 ... 15

圖 2-2-1 自由探索階段三角形重心的概念教學 ... 26

圖 2-3-1 Brodmann 大腦分區圖 ... 32

圖 2-3-2 左右腦各區負責圖 ... 34

圖 3-1-1 研究架構圖 ... 35

圖 3-5-1 濾波器截取 β 波之畫面 ... 41

圖 4-1-1 受試者 S01 左右腦 β 波變化率折線圖 ... 47

圖 4-2-1 受試者 S01 前後腦 β 波變化率折線圖 ... 59

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第一章緒論

本研究旨在探討國中學生在運算幾何問題時腦波所產生變化的情形。本章將分為四節，首先說明研究的背景與動機，其次提出研究目的與問題，

再來針對本研究重要的名詞做進一步的詮釋與說明，最後提出本次研究的範圍與限制。

第一節研究背景與動機

一、研究背景

幾個世紀以來，思考與學習的神經基礎一直是各學科領域學者們倍感興趣的部份，文藝復興時期笛卡兒（ Rene Descartes）便曾經對於物質（大腦）如何能夠產生非物質（心智）而好奇（游婷雅譯，2004）。後期又有醫生及心理學家發現，當人類的腦部受損時，會影響各種能力的表現，像是語言、記憶的能力，有時甚至於造成情緒、脾氣的改變，進而使得許多學者除了從心理層面探討外更轉換到神經科學的研究。大腦是人類思考的中樞，大腦科學與相關課程的研究，更是近年來廣泛被討論的，從已知的腦部基本構造和各部份的組成與發展外，近年來，有關大腦認知功能的探討，

在各種心生理測量儀器的進步下，使得這方面的研究，更為多元客觀完整，

而許多研究測方法上，腦波 (electroencephalogram，簡稱 EEG)，具有可以直接測量腦部活動的特性，加上有時間解析度的優點，可幫助我們了解大腦神經與認知功能表現，而腦波測量實驗中可以看到大腦皮質各區域使用的情形，我們也可以在人體做各項活動時，利用大腦的電位活動來得知大腦各部份的運作狀況，目前有醫學方面例如癲癇與腦波的相關研究，更延伸到音樂、閱讀、運動等活動對於腦波變化之探討，但卻較少有討論到

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數學運算上與腦波活動之相關性。大腦在面對問題時是透過何種運作方式，在大腦活動研究（ Buther & Glass,1974； Gallin Ellis,1975）中發現，從事心算及默寫課文時是左腦腦波較活躍，與空間有關的工作時（如畫幾何圖形）則右腦腦波較活躍，也就是說左右腦對於所擅長的訊息型態是不相同的，左腦與語言的理解、表達能力有關，而右腦則和空間、圖形及音樂能力相關。

研究者從事數學教育的工作，在教學的過程中，發現學生學習不同數學主題時，所表現出來的學習情形亦不相同，特別是在幾何教學的單元，因學習內容包含圖形部分，非一般數量測量或代數問題，思考方向常因個人差異產生不同解題過程，而在強調多元智能發展的今天，教育上運用腦波的檢測來了解學生在學習、解題的過程與大腦運作及分區的研究，似乎更顯得缺乏，所以想進一步探討學生在進行幾何相關學習時，所用到的腦部區域情形與腦波所產生的變化，並藉由學生數學幾何解題過程中的腦波變化與大腦分區運作情形，提出分析及建議。

二、研究動機

數學是研究科學的入門學科，探討邏輯概念、空間與量的對應關係，與日常生活所接觸到的事物息息相關，在國中小學習的階段中，因為個人學習過程中喜好程度的不同與教師教材教法的落差，往往給人距離與難以理解的感覺。擔任國中的數學教師，在教學的過程中除了把課內的基本知識交代清楚，在如何激發學生的學習興趣，以及培養對數學直覺與數字思維上，更是身為數學教師所要追求的目標，希望藉由不同的引導方式，幫助學生組織學習的歷程，形成知識的系統性與完整性，感受解題過程中的趣味，並隨著研究的不同而漸入繁複的思考。在我國國中學習階段，教育

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部所頒定的九年一貫的課程綱要中，將國中數學分為四大主題，分別是「數與量」、「圖形與空間」、「機率與統計」、「代數」四個部份，以不同面向去培養學生觀察、分析、理解、溝通等能力，而在圖形與空間的主題中，也是學生所接觸到國中數學中的幾何課程，從單純的平面圖形到立體空間的想像，再介紹到三角形與圓形的各項性質與定義，其中也包含到幾何推理的部分，課程中利用各種不同的圖形，以貼近生活的學習方式，而圖形相關的幾何問題中，如何引發學習者思考，或是不一樣的感受與反應，是研究者所想要了解部份。

人的腦分為左、右兩半部，各有負責的工作，一般認為左腦掌管語言、判斷、思考屬於分析的、理性的，而右腦掌管想像、創造，具有立體感覺和空間構成等能力，屬於統合的、直覺的。右半腦傳統上被認為與非口語的作業有關，而左半腦則與口語的作業有關，相對於計算能力的數學推理能力，或許更強烈地受到右半腦的影響（游婷雅譯，2004）。這樣的推論與想法是否在幾何運算中也是如此，會有右腦的活動大於左腦的情形，也就是所測得的右腦波的變化率將會顯著高於左腦波，將是研究者在本次研究中所要了解的。

在數學領域的問題解決過程中，因數學問題大多屬於定義明確且結構性質明顯，學生欲解決問題需付出心智努力與運用符號或解題策略等分析，透過各項解題歷程與步驟，研究者可從受試者的解題過程中去分析其思考的歷程與狀況。幾何問題與一般代數問題不同，在做數與量或代數的計算時，解法多為單一解題過程，即能求出未知的值，但幾何問題上因有圖形輔助，時常不只一種解法，有時切入的角度不同或是相關輔助線的畫法不一樣，也能導引出不同的解題過程，對於不同難度的幾何問題所能激

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發出的想法亦不相同，身為國中數學教師，在引導解題思考的過程中，若給予不同難度的問題去做思考，哪一種難度的題目最能引發出學生的深層思考，亦是研究者所想探討的部份。

第二節研究目的與問題

本研究透過分析受試者在運算數學幾何問題時的腦波變化，了解不同難度幾何問題對於大腦腦波影響的相關性，並探討數學學習能力不同的學生，在運算不同難度的幾何問題時，腦波變化的關聯性與差異。本研究目的與研究問題如下：

一、研究目的

（一）探究運算不同難度幾何問題時，左腦與右腦的腦波變化。

（二）探究運算不同難度幾何問題時，前腦與後腦的腦波變化。

（三）探究運算不同難度幾何問題時，腦波變化率的高低。

（四）探究運算不同難度幾何問題時，大腦運作分區的不同。二、研究問題

（一）運算不同難度幾何問題時，左腦與右腦的腦波變化為何？

（二）運算不同難度幾何問題時，前腦與後腦的腦波變化為何？

（三）運算不同難度幾何問題時，腦波變化率的高低為何？

（四）運算不同難度幾何問題時，大腦運作分區有何差異？

第三節名詞釋義

一、腦波

大腦神經系統對作用於感覺系統的刺激事件所產生的電位變化，透過測量大腦皮質各電極點的電位活動，了解認知心理運作歷程，並藉由提供

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不同頻率的波與高度時間解析，可探討腦部的活動與差異。二、腦波變化率

研究者將受試者在運算幾何問題時的 β 波功率，以每兩秒擷出一個 β 波功率平均值，再將此平均值除以受試者閉眼二十秒的 β 波功率平均值，以此兩個 β 波功率平均值的比值為本研究進行統計分析之腦波變化率比值，透過此分析的方式降低個體間的差異，以增加正確性。

三、傅立葉分析

傅立葉分析是基於傅立葉轉換的理論來解析各種波的性質的數學方法，當儀器測量所得的數位訊號為時間 -振幅的數據時，可以使用傅立葉轉換將此一訊號轉換為頻率 -振幅，從而進行此一訊號的頻率特性的分析，也就是如果一個波為週期波，不管它多麼複雜，都可以分解成很多的簡單波，

目前這方面的研究分析多應用在聲紋分析、圖像檔壓縮、心電圖及核磁共振等的訊號處理。本研究中透過 FIR 濾波器來取得受試者在運算幾何試題時之 β 波，藉由傅立葉轉換將 β 波訊號轉換為頻率 -振幅，並分析此訊號特性，以瞭解不同難度的幾何問題對大腦運作狀態的影響。

四、幾何問題

國中的幾何課程的學習中，從點表示一個位置開始，再探討到線，包含了直線與線段，進而是整個面與體的各種形象，如數線、多邊形的內角與外角、平行線、圓等，其中也介紹了三角形中的三心、全等與相似性質應用與幾何推理的部分，本研究以含有幾何圖形的相關問題為探討的範圍。

第四節研究範圍與限制

本研究基於研究者之時間、能力及經費之考量，分述研究範圍與限制如下：

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一、研究對象

本研究基於時間、人力等因素，選擇台東縣某國中九年級學生進行實驗，結論敘述僅針對本研究實驗對象之結果進行評估，並未推論至其它九年級學生。挑選之樣本以八年級下學期與九年級上學期數學學期成績高於一個標準差與低於一個標準差分為數學能力佳與數學能力不佳之學生為研究對象。

二、研究內容

本研究所設計之實驗內容無法涵蓋到國中數學課程中全部的幾何課程，僅能針對部份幾何相關之問題進行實驗。本研究以運算不同難度的幾何問題時所測得的腦波變化率為主，腦波實驗部分由於腦波極容易受到干擾，除了盡量讓實驗環境保持安靜無外界干擾外，因為每位受試者在進行實驗時，可能會有身體移動或其它動作發生，所以研究者只能在實驗前要求受試者配合，並進行實驗完成後的處理，儘量降低對實驗數據之影響。

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第二章文獻探討

本章將分為三節依序進行討論，由大腦的皮質及其功能，說明大腦在不同狀態下所產生的腦波與其測量方式，其次，探討數學學習的理論與國中幾何教學分析，最後介紹數學解題與腦部處理區域的關聯性。

第一節腦波

一、大腦皮質結構與腦波

（一）大腦皮質結構

腦可大致區別為大腦、小腦與腦幹三個部份，在顱骨底的是腦幹，其上為大腦與小腦。腦的表面被覆著一層由神經元集合而成、大約有一至三公釐厚的物質，那就是皮質，人類的腦最發達的地方就是大腦皮質與小腦皮質（張淑懿譯， 1986）。

大腦（ cerebrum）佔腦的 80％重量，被大腦縱列（ longitudinal fissure）分成左右兩大腦半球（ hemispheres），此兩大腦半球則由胼胝體（ corpus callosum）連接起來，大腦包括大腦皮質（ cerebral cortex）及深部的腦核（ cerebral nuclei）（卓貴美， 2000）。

大腦皮質層（ cerebral cortex）是大腦最重要的結構，具有迴旋狀的外觀。皺褶的存在是因為皮質表層的範圍太大（大約有兩千四百平方公分），無法攤在頭蓋骨下的小小空間內。在皺褶上突出的部分稱為腦回（ gyrus）；在皺褶上凹陷的部分則稱為腦溝（ sulcus）。大腦皮質主要負責知覺訊息的處理，例如視覺、聽覺等，動作的控制以及經驗的儲存，即學習與記憶（游婷雅譯， 2004）。每一半的大腦都可分成四個區域（見表 2-1-1），最後面是枕葉（ occipital lobe），在下面側邊大

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約耳朵的位置是顳葉（ temporal lobe），上面是頂葉（ parietal lobe），

前面是額葉（ frontal lobe）。每一腦葉都有它自己特殊的專才，枕葉幾乎全屬視覺處理區。頂葉掌管動作、方向、計算和物體辨認等功能的處理，可分為前半部與後半部，前半部稱為感覺運動腦皮質層

（ somatosensory cortex），主要的功能在接收感覺器官所傳送過來的訊息；後半部的頂葉，主要在分析、整合所有接受到的訊息，並維持空間刺激的專注（王秀園， 2005）。顳葉跟聲音、語言理解有關，也與記憶的某些層面有關。額葉主要掌管邏輯推理分析的能力，是所有大腦功能的總匯合，包含思考、概念的形成、計畫的執行等，另外也在有意識的情緒上扮演重要角色（洪蘭譯， 2002）。下圖 2-1-1 是一張大腦的剖面圖，所代表的是一個臉朝讀者左手邊的人，看到的區域為一個人的左半腦，而額葉位在額頭的部位。

圖 2-1-1 大腦皮質層四區圖

（引自

http://zh.wikipedia.org/zh-tw/File:Brain_diagram_ja.svg）

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表 2-1-1

大腦皮質結構組織表

結構位置相關功能

額葉

（ frontal lobes）

腦部皮質最前方，額頭的後面部位

包含腦細胞容量的 30％，主要功能在控制運動，也處理包括計畫、產生想法、語言、閱讀能力、工作記憶、情緒、推理與數學能力

顳葉

（ temporal lobes）

腦部皮質的側邊，位在耳朵及頭兩側

的部位

聽覺訊息處理、語言聲音與視覺的辨識、解讀非語言的部分，如：

聲調、情緒等頂葉

（ parietal lobes）

腦皮質上後方部位掌管感覺功能的整合，特別是觸覺與視覺

枕葉

（ occipital lobes）

腦皮質後方，位在頭後側部位

視覺處理，空間工作記憶，部分與形體的知覺、運動、顏色有關資料來源：研究者整理

由表 2-1-1 大腦皮質區相關功能中可以得知，在運算數學問題時，除了需要語文能力了解題意之外，在解題的過程中，更需要大腦皮質區額葉的部份去做推理與思考。

（二）神經元

中樞神經系統（ central nervous system,CNS）裡的細胞組成了腦和脊髓，他們能沿著內分泌系統，提供身體大部分的控制功能；中樞神經系統裡的細胞有兩種，一種是神經元細胞（ neuron cell），一種是神經膠質細胞（ glial cell）（梁雲霞譯， 2004）。

若將大腦的某一區放大來看，會看到綿密的神經網路，大部分是結構比較簡單的膠質細胞，主要的功能是支撐大腦的架構，將整個構造黏在一起成為整體。真正創造大腦活動的細胞是神經元（ neurous），他們只占大腦細胞總數的十分之一（洪蘭譯， 2002）。

神經元主要出現在腦和脊髓裡，數量大約有一千億個，具有傳送訊

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息的能力，能以電子訊號和化學訊號的方式，和其他神經元互通聲息，形成訊息網路；大多數的神經元都由一個細胞體（ cell body，裡面含有神經核）、數千個叫做樹狀突（ dendrite）的短小突出物，以及一個軸突（ axon）構成；樹狀突負責接收來自其他細胞的訊息，而軸突則負責傳送訊息到其他細胞，軸突的末端分裂成樹枝狀，每條分支的末端都有個軸突末梢，神經元之間的溝通就是靠著突觸（ synapse）在軸突末梢和樹突棘（ dendritic spine）或細胞體之間以電化效應傳送訊息（梁雲霞譯， 2004）。

神經元可以傳送電流，每一個神經元可以跟大約一萬個鄰居相連接，彼此以分支相連（見圖 2-1-2），突觸（ synapse），為了要讓電流通過這個空隙，軸突必須分泌化學物質，叫做神經傳導物質

（ neurotransmitter），當神經元準備發射訊息時，神經傳導物質會釋放到突觸中，這些化學物質再啟動附近的神經細胞發射訊息，這樣的連環效應就會引發幾百萬個彼此連接的細胞進行同步活動。神經元和分子之間發生的這些活動，建構了我們心智生活的基礎（洪蘭譯， 2002）。

圖 2-1-2 大腦神經元

（引自 http://www.ucode.com.tw/images/derma/intro-04-002.gif）

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（三）腦波的發現

腦部是神經元的集合體，它的活動伴隨者電的現象，如果我們在頭皮上安裝電極，就能測出神經元的活動狀態；而在頭皮安裝電極紀錄腦部的活動，會觀察到五十微伏左右微弱且頻率不同的電現象，將這些電活動紀錄下來則稱為腦電圖，腦電圖是以波狀的形式呈現，所以腦電圖一般又稱為腦波（張麗瓊譯，2005）

。早在 1875 年，英國利物浦的生理

學教授李察克通首度從兔子的大腦皮質表面紀錄到記錄到一種電波，此電波與呼吸或心跳無關，是一種腦部的生理變化，隨著動物受麻醉或缺氧而破壞，且動物在死亡後消失。後來他又發現刺激動物的身體能使腦波發生變化，他利用這種變化來研究身體之部位與大腦皮質區的關係，並探討大腦皮質區的功能，成為後來神經診斷學中誘發電位（ evoked potential）發展的基礎。一直到 1929 年，從李查克通發現腦波以後經過了 50 多年，一位德國精神柯醫師漢斯伯格（ Hans Berger），經過多年潛心研究，在人類完整的頭蓋骨上紀錄到相同的電氣活動，這是首次發表人類的腦波記錄。（引自林威志， 2005）

我們為了能夠了解神經元相互溝通時快速的電子活動與每一瞬間的變化，可使用腦電圖（ electroencephalogram,EEG）去做觀察與測量。

EEG 可以測量到神經元振動時的電位型態，在持續活動的狀態下，即使是在睡眠中，這些電子訊號仍不斷的在腦中閃動，人類身體的組織是良好導電系統，所以貼在頭皮上的感受器透過頭殼和頭皮可察覺到腦中的電能流動，腦波儀將這些訊號放大並紀錄在螢幕或紙上（梁雲霞譯， 2004）。經由腦電波圖所紀錄下來的大腦電位活動，可幫助我們了解大腦在接受不同刺激時，所反應電位活動的來源區域。

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二、腦波信號分析

（一）腦波的頻率

腦波的頻率是以每秒產生的循環或振動來計算，每秒振動越多，腦波的頻率越高；如果以一秒內的振幅週期來區分腦波，則從較低到較高可分 δ 波（ 0~3Hz）、θ 波（ 4~7Hz）、α 波（ 8~12Hz）、β 波（ 13~35Hz），

進入沉睡狀態時，則會產生波福較大速度緩慢的腦波，稱為 δ 波（ delta wave）；當我們昏昏欲睡或進入淺眠狀態時，腦波變慢，稱為 θ 波（ theta wave）；在清醒時，腦波的振福小而快速，稱為 α 波（ alpha wave）；最高頻率的振動稱為 β 波（ beta wave），而 β 波通常是在專注時和密集的心智活動時產生（梁雲霞譯， 2004）。緊張度越高，腦波的週期就會越高，一般人從事日常活動時的腦波會送出 β 波。表 2-1-2 中介紹四種不同波的波形與特性。

表 2-1-2

腦波頻率、波形與特性頻段頻率

（ Hz）

波形特性

δ 波

（ delta wave）

0~3 在大腦皮

質均可記錄到頻率慢的波形，為深度熟睡或無意識狀態，與睡眠品質相關。

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θ 波

（ theta wave）

4~7 意識介於

清醒與昏迷之間，通常在新生兒或承受重大壓力的成人可紀錄到，睡眠第二、三期亦可見此波為較慢頻率的波形。 α 波

（ alpha wave ）

8~12 處於一個

清醒、放鬆且閉眼休息時，為情緒安定的狀態，通常在頂葉或枕葉紀錄到，因波長處於意識與潛意識間連接的頻率，也稱為學習波。 β 波

（ beta wave）

13~35 當我們意

識清醒或精神集中時，有視覺刺激或思考，如：講話、聆聽、運算數學，便會處在 β 波的狀態。資料來源：研究者整理

由以上的資料顯示，我們可以從腦波頻率的變化情形，來判別個人情緒與腦部運作正處何種狀態之下，這對於了解學生的學習狀況以及診

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斷學生學習困難上，能夠提供可參考的訊息，並由學生的學習困難中，調整教師教學內容，以改善學生學習成效。

（二）腦波的測量與分析

腦部神經活動所產生的電位變化，透過在大腦皮層或頭皮表層貼附電極的方式紀錄下來。腦波的生理電位通常很微弱，大約在 5-30 µV 左右，型態屬於 0.5-60Hz 的交流訊號，腦電圖 (Electroencephalographg, EEG)的功能，便在將這些腦部產生的生理訊號轉換為可見的波形變化，做腦波測量測時必須按照「國際 10-20 腦波電極配置法」（見圖 2-1-3）

操作標準黏貼電極，其黏貼電極流程如下：（阮致維， 2005）

1. 頭部縱線以鼻根（ nasion）和枕骨隆突（ inion）之間作為劃分，將兩位置間的全部距離定為 10%、 20%、 20%、 20%、 20%、 10%共 6 個部分（ 5 個電極配置點），名稱依序為 Fpz、 Fz、Cz、 Pz、 Oz。

2. 頭部周線以鼻根（ nasion）和枕骨隆突（ inion）之間作為劃分，分為左半部與右半部周線。將兩位置間的全部距離各定為 10%、

20%、20%、20%、20%、10%共 6 個部分（ 5 個電極配置點），以右半部來看從鼻跟至枕骨隆突間的 5 個電極配置點依序為 Fp2、F8、

T4、 T6、 O2，左半部則依序為 Fp1、 F7、 T3、 T5、 O1。

3. 頭部橫線以左右兩耳的耳前點（ pre-auricular）之間作為劃分，將兩位置間的全部距離定為 10%、 20%、 20%、 20%、 20%、 10%共 6 個部分，由左而右名稱依序為 T3、 C3、 Cz、 C4、 T4。

(26)

圖 2-1-3 國際 10-20 腦波電極配置法（ Malmivuo ＆ Plonsey, 1995）

此系統確保各個腦波實驗室電極名稱的一致性，透過貼附於頭皮上電極的不同輸入功率的放大器及濾波器，將腦部產生的生理訊號轉換為可見的波形變化。腦波的量測方式分為單極誘導（ monopolar

derivation）與雙極誘導（ bipolar derivation）兩種類型。單極誘導使用一個探查電極（ C3 或 C4）和一個參考電極黏貼固定於頭皮表面，使用探查電極與參考電極之相對值作為比較，故能獲得最大的腦波振幅。雙極誘導使用兩個探查電極（ C3 與 F3 或 P3）和一個參考電極黏貼固定於頭皮表面，兩探查電極皆能反映腦波訊號，故腦波振幅較小（阮致維， 2005）。本研究腦波儀採用雙極誘導進行運算幾何解題時測量腦波的變化。

目前較普遍的腦波分析方式可以分為頻率面分析、時間面分析。頻率面分析可以以頻譜分析為代表，此方式最普遍程序是以快速傅立葉轉換 (Fast Fourior Transformation, FFT)將整理過的腦波分解成頻譜功率圖 (spectral-power plot)，再以統計方法比較不同組別或情境間在某一或某段頻率之功率是否有差異。因為不同的頻率有其對應之心理狀

(27)

態 (Andreassi,1995)。例如 β 波 (13-35Hz)屬於快速低振幅的腦波，這種腦波通常表示興奮狀態。 α 波 (8-12Hz)則屬於慢快速高振幅的腦波，這種腦波通常表示放鬆狀態，比較某一或某段頻率功率之差異可以據以推測其心理狀態之差異。

時間面分析則以事件關連電位 (Event-related Potential, ERP) 為代表。 ERP 是腦波對內在時間點估計或外在事件 (event)的反應。例如在一個有警告訊號的單一反應時間測試裡，觀察受試者在收到警告訊號後至反應訊號前之事件關聯電位 (ERP)，可以提供研究者對受試者之動機強度、專注力之了解。由於大部分的 ERP 訊號是隱藏於腦波的背景訊號裡，因為 ERP 訊號的幅度比起腦波的背景訊號幅度要小很多，而且 ERP 訊號很難由單一次數的腦波反應中看出，但是現今有一些技術可以用單一試作的腦波來分析 ERP。因此 ERP 訊號通常是將一連串實驗試做所引發之腦波反應加以平均後方可得到。而 ERP 通常是藉由測量某波峰的振幅或潛伏時間來推測大腦處理該刺激之訊息（洪聰敏、石恒星， 2009）。

三、腦波相關研究

EEG 在臨床上的應用其實已經非常廣泛，它據有經濟、安全、方便的特性。可以用於篩檢病患，以及昏迷、中風、癲癇、腦炎、和其他腦疾病病人的追蹤檢查（林威志，2005）。特別是在癲癇症和睡眠生理學領域，或是在手術室對於患者麻醉狀況的監視、睡眠感覺、藥效等進行研究；它也應用在教育相關的議題上，例如語言處理歷程（梁雲霞譯，2004）。目前腦波相關的研究，除了一般所熟知的醫學方面外，還有閱讀、音樂、運動、色彩等相關研究，以了解大腦在接受不同刺激時，所測得各項腦部活動的

(28)

生理訊號，提供學者在日後做各項研究時的參考。

第二節數學學習

一、數學認知發展歷程與學習理論

（一）數學認知發展歷程

數學認知包含了人類許多的心智活動，它的範圍可以從嬰兒時期的知覺和感覺動作到成人階段的抽象概念與心理程序（ mental

procedures），它的主題含蓋的面相當多，包括知覺（如數量的區辨）、

語言（如數數時的法則）、問題解決（如應用問題）、程序性知識（如心算）以及理解（如部分－全體基模）（陳李綢編，1999）。由表 2-2-1 中，介紹各家學派對於數學認知的看法與理論觀點。

表 2-2-1

各派對數學認知的看法

學派提出者論點

一、聯結論桑代克

（ Thorndike，

1913）

提出刺激－反應聯結理論，認為學習是許多刺激、反應的聯結。練習律：練習的越多，聯結就越強。效果律：回饋能強化刺激與正確的反應聯結。

二、完形論布朗爾

（ Brownell）、

查瑞（ Chazal）

主張「意義化學說」，否定反覆練習的功用，強調領悟與相關有意義的學習，了解原理原則比無意義的計算過程更為重要。

皮亞傑

（ Piager）

1.兒童認知結構、思考歷程與成人不同。

2.初學數學概念應主動操作，利於抽象能力之發展。

3.數學課程的安排應配合學生認知發展的水準和順序。

三、認知論

布魯納

（ Bruner）

1.以適合學生認知發展程度的表徵方式或用語呈現，教材結構配合認知結構，任何時候都可以準備好學習數學。

(29)

2.數學結構性教材因具有概括性和類化性，能助於學習遷移。

3.教學過程應多使用「發現教學法」由學生主動將最後形式發現出來。四、蓋聶學習階

層論

蓋聶（ Gagne） 1.確認目標，以「工作分析」（ task analysis）找出所需之附屬工作

（ subordinate task）或子技能

（ subskills），自下而上產生垂直遷移的「學習階層」。

2.教師用具體的「行為目標」表達出學生所欲獲得能力。

3.數學課程設計以計畫好的順序培養學生心智技能，重視過程甚於結果。五、訊息處理論 1.學習是獲取知識的歷程。

2.問題解決是一連串的心理運作，目的在改變知識的表徵而非學得新行為。 3.問題解決的教學應強調對認知結構的重視而非行為的目的。

資料來源：研究者整理

數學的認知過程，各學派均有不同的見解與看法，研究者認為，數學認知的起點應該建立在對基本概念的了解，從最早對數的認識到抽象概念的形成，教材的安排上應符合學生認知發展的水準和順序，課程的設計要能讓學生多做自我思考與先備知識的聯結，而教學的過程中需注意學生在建構認知過程中所遇到的困難點，並適時引導正確的觀念。反覆練習的方式雖然可以強化對正確反應的聯結，但因為數學的學習領域中，並非只有在操作能力的熟練，所以不是每個階段都適合用刺激－反應聯結的理論去解釋。

（二）數學學習理論

Baroody（1987）主張數學教育理論之「吸收論」（ absorption theory）

(30)

與「建構論」（ construction theory）。吸收論所關注的是孩子學什麼，建構論關注的則是孩子如何學習。吸收論即所謂以講述、灌輸、練習為主的傳統教學法，學習者通常被視為一空白接收器皿，被動吸收或抄襲知識。建構主義者主張「邏輯數學知識」無法由外在直接傳授，必須由學習者從內在心靈加以建構；他們認為學習者本身並非是空白接受器皿，有其既有之認知系統，學習者在學習新概念時，新概念非只是堆積於舊概念之上，它必須在心靈內部將此新概念與既有的概念整合成一個關係系統。

國內學者周淑惠（ 1999），也針對兩種理論提出以下的見解： 1. 吸收論

「吸收論」基本上是屬於行為主義觀（ Behaviorist

Theoris），以桑代克（ Edward L. Thorndike）、斯金納（ B. F.

Skinner）和新行為學派的葛聶（ Robert Gagne）為代表人物。吸收論者視數學是一組事實（ facts）與技能，提出數學學習中主要的目的是在獲得這些事實與技能。在行為主義觀點下，先將數學知識透過工作分析（ task analysis），做有組織、有順序地呈現，再運用外在的增強方式控制學習進度與行為，因此，課程之設計，必須要遵行清楚的行為目標。葛聶在學習要義（ Essentials of learning for Instruction）一書中就曾指出授課計畫的重點工作就是安排先決必要順序（ sequences of prerequisites）。在此種情況之下，學習者通常被視為一個空白的接收器皿，被動吸收或抄襲（ copy）知識，因之巴儒第（ Baroody）稱此種學習型態為吸收式學習。

(31)

此外，吸收論也認為學習數學內容與技能中，若要強化聯結關係之建立則必須要靠不斷地記誦和練習。所以兒童必須透過重覆性練習，如運用閃示卡、紙筆作業、背誦等，才能將技能「膠黏」

（ cement）於腦中，所以此種理論又稱為「聯結論」（ Association Theory）。基本上，在形成聯結關係時，「理解」被視為非必要性條件，只要練習與記誦越多，技能與概念就越純熟穩固，累積的聯結實體也越多。新的技能與概念只是個別孤立地堆積、存放於既有的知識庫上，而不是與既有的知識結構串聯、整合。在這樣的學習模式中，學習者扮演著被動的角色，集中於刺激、反應的活動中，而學習動機只受外在控制，學習的本身沒有太多的內在報酬。 2. 建構論

「建構論」是屬於認知心理學的論點，主要代表人物是皮亞傑

（ Jean Piaget）與其追隨者卡蜜（ Constance Kamii）等人。此外，深受皮氏影響的數學教育家狄恩斯（ Zoltan Dienes）與認知心理學家布魯諾（ Jerome Bruner），在某些觀點上也有類似的看法。建構論者認為數學是一組「關係」，而這種關係必須由學習者內在心靈主動去創造，因此認為學習的過程重於結果的獲得，教學上則強調理解。皮亞傑主要論點為：認知發展是一種個人在環境中透過同化與調適二種功能以達成均衡，並解決認知衝突的內在自我規制過程；又「邏輯數學知識」（ logico-mathematical knowledge）之源起非存於物體也非存於主體，而是二者之間複雜的交互作用，最重要的是學習者對他自己操作行動的省思（ reflect on his own action）。正如他所說的：「要了解就必須去發現」（ To understand

(32)

is to invent），真正要了解某概念或某理論意指這個理論或概念重新被這學習者所發現，內在心靈的建構才是知識的來源。簡言之，建構論強調在學習過程中，兒童必須創造自己的內見（ insight）

與理解。

卡蜜延伸了皮亞傑的理論，大力強調數目是屬於「邏輯數學知識」，是由個人內心所創的「關係」所組成的，非存在於外在實體，實有別於「社會知識」（ social knowledge）之獨斷性與「物理知識」（ physical knowledge）之可觀察性。她指出一般人並未區分這三種知識，錯以為算術必須由人們傳授灌輸（好像社會知識一樣），完全忽略了算術的邏輯數學性。至於建構數概念涉及二種關係的合成：次序（ order）與層級包含（ class inclusion）；以上這二種關係各存在於兒童腦中，而非外在可觀察的實體中。

建構論者別於吸收論者，在於意識學習者並非是空白接受器皿，有其既有的認知系統；學習者欲真正理解某一新概念，則必須在心靈內部將此新概念與現有既存的概念連串互動。換言之，新概念不是僅僅堆積於舊概念之上，而是與舊概念整合為一關係系統。創造自己的理解、意義化自己的學習，才是有意義的學習方式，也才能持久。

而認知心理學家布魯納則認為概念理解有三個層次，第一個是

「操作層次」（ Enactive Level），學習涉及了操作活動與直接經驗；第二層次是「視像層次」（ Iconic Level），學習涉及了視覺媒體的運用；最後一個層次是以抽象符號表達實體的「符號層次」

（ Symbolic Level）。布魯納概念理解層次論主要在說明概念的演

(33)

化是始於與環境直接互動，先操作具體實物以發展概念，進而提昇至以抽象符號表達概念的層次。

在數學的學習中，教學者若能先將數學知識做有系統、有組織的呈現，必能幫助學習者去接收課程中的重點，增加學習效率，若再做適度的練習熟悉課程的內容，必能強化連結關係，但以國中的數學學習上，除了基礎運算與代數相關部份，較適用此方法外，過多的反覆練習，有時訓練出的是學生對題目做機械化的反應，反而缺少了自我思考歷程，所以在數學學習上，有許多部份仍需要由學習者自我發現與建構概念，例如國中的幾何學習中，若透過實際的操作過程，了解圖形或定義的來源，更能夠幫助學習者做完整的學習。

二、國中數學幾何教學分析

（一） van Hiele 幾何思考層次理論

van Hiele 幾何思考層次理論是由荷蘭的數學教育家 Dina van Hiele-Geldof 和她的丈夫 Pierre Marie van Hiele 在 1957 年提出。他們將學生幾何發展分成五個層次，依序由視覺辨識的基本層次發展至高層次嚴密系統的嚴密邏輯推理。各層次的思考行為如下說明。

1. 層次一視覺（ Visualization）：

學生依據外觀，辨認並操作各種形狀的圖形與其他的幾何構圖。學生將幾何概念視為整體的物件，但不含有組成成分或是屬性。

2. 層次二分析（ Analysis）：

學生能根據圖形間組成要素和這些要素間的關係分析圖形，

(34)

依據操作經驗來建立某類圖形的特性，並用這些特性解決問題。 3. 層次三非形式演譯 /抽象（ Informal deduction/Abstract）：

學生能形成並使用定義，能夠接受定義的等價形式，但是不能掌握公理化演譯的意義（例如不了解定義及基本假設的需要），

不能形式地需分敘述和其逆敘述。 4. 層次四演譯（ Deduction）：

學生在一個公設系統下以建立定理以及定理網路間的相互關係。學生確信幾何定理或是結論需經由正式的邏輯推演而建立。學生不再記憶定理證明而是建構出證明來。

5. 層次五嚴密（ Rigor）：

學生在不同的公設系統下嚴謹地建立定理並且分析、比較這些系統。學生能將幾何抽象出來，因此幾何在此階段是被視為抽象的。

一般國中的幾何教學後，學生應能透過課程的學習與自我練習後達到第三或第四的層次，但是因為第五層次需要有統整、理解及分析等能力，要能達到此層次，必須對課程有充分了解並能應用，而在國中的幾何教學中，較難培養出學生在此階段有顯著的成效。

（二）國中數學幾何教學

根據 van Hiele（ 1986）所提出的五階段學習模式（ Phases in Learning Process）， Hoffer（ 1983）指出為了促使學生從一個思考層次進階到下一個思考層次，van Hiele 理論不只論及幾何思考層次，同時也涉及教學的層面；van Hiele 認為各層次間的成長過程主要是依靠著指導，而非由於他們年齡的成熟度，因此，教學的組織與方法、教材

(35)

的選擇與使用是非常重要的（ Crowley,1987）。而學生在從一個思考層次進階到下一個思考層次的過程中，教學活動的安排上佔有重要的部份，藉由正確的教學活動可以使學生在進階到下一個層次更為容易。

van Hiele 將幾何的教學層面分為學前諮詢階段、引導學習方向階段、解說階段、自由探索階段及統整階段等五階段，對上述階段之說明闡述如下（ van Hiele,1984；Crowley,1987；Wu,1994；譚寧君，1993）：

1. 學前諮詢（ information）

教師在教學之前，針對此一層次的題目與目標，先與學生作溝通，經由觀察與發問，來確認學生已經具備了哪些先備知識，並作為教學準備之參考用，教師透過對話中的特殊字彙、用語和題目的標題，可以引入此層次。因此，教師使用的語彙或介紹的術語名詞對於此階段的學習格外的重要。

而這個階段活動的目的含有兩個層面：教師應學習去了解對於某一個主題學生所有的先備知識，和學生在此主題中應學到的是什麼，而進一步研究或指導重點，例如，教師問學生「什麼是質量的中心？質量的中心有什麼特性？固定這個質量的中心可以使一個物體保持平衡嗎？質量的中心一定是在物體的內部嗎？有沒有可能在物體的外部呢？你認為能不能從數學課本中找到一個定點，在支撐這個定點的同時可以平衡數學課本呢？這個定點是數學課本的質量中心嗎？為什麼你這樣說呢？」。

2. 引導學習方向（ bound orientation）

van Hiele（ 1984）認為在此階段，教師需正確的指引學生學習方向，學生藉由資料來深入探究的領域，他已經知道哪個方向是

(36)

針對這個研究，當獨特的結構逐漸呈現在他面前，相關的資料就因此浮現出來。而教師細心規劃具備次序性教材的研究主題，透過資料和活動，仔細的連續講解，引導學生探索、操作（例如：排列、折疊、尋找對稱、摺紙等活動），使其對所包含的幾何概念和結構更加熟悉；此階段的教學活動逐漸呈現這個層次架構的特徵，因此，大多數的教材是一些簡短的設計作業或操作任務，用以引導學生的特殊反應。

例如，教師可能要求學生利用自己的手指撐起數學課本和數學習作並保持平衡，一本書是比較大的長方形，另一本是比較小的長方形，觀察兩本書質量中心的位置，再觀察圖形彼此間的相同性或相異性。

3. 解說（ explication）

van Hiele（ 1984）指出，在第三個階段的過程中，經驗的獲得取決於正確的語言符號和學生們在課堂上學習透過討論去表達他們所觀察到的意見，教師只需注意這些討論所使用的習慣措詞。學生可以根據之前的經驗，將觀察到的現象彼此交換或發表他們的觀點，在教師最少的協助下，學生能正確且適當的使用語言互相討論（ Crowley,1987；譚寧君， 1993）。此階段教師最大的任務就是讓學生察覺到幾何圖形的關係後，指導學生能正確且適當的使用語言或術語名詞，使其幾何概念提升到理解的層次。

在這個階段層次間的關連系統變得較為明顯，以質量中心為例，學生會互相討論教師在活動中提供有關形狀或屬性的關係，而了解要找出長方形的質量中心作兩邊的對摺線，此對摺線的交點即

(37)

是，並引導至要如何做出三角形的質量中心。 4. 自由探索（ free orientation）

教師可以選擇適當的教材及幾何問題，鼓勵學生思考與解答這些幾何問題。在此階段，學生會面臨較複雜的課題，這個課題可能有許多步驟，或可能需以不同的方式完成，也可能是一個開放式的課題，學生經由活動中發現自己的方法或從完成的任務中獲取經驗

（ Crowley,1987；譚寧君， 1993）。

以三角形的質量中心為例，學生可能完成下面一個活動，將一個三角形紙張找出兩條中點連線，兩直線交於一點，如圖 2-2-1，

想想看，如果用手指撐住這個三角形能否保持平衡？如果可以，此點是不是三角形的質量中心，即三角形的重心？在頂住平衡之前可以修正你的答案。假如這個點就是重心，那連接第三條中線會交前兩線於什麼位置？三直線會相交於一點嗎？

圖 2-2-1 自由探索階段三角形重心的概念教學

有一 ABC

G

作三角形的另一條中線CE

，兩中線交於G點 D E

D

連接A、D，AD即為三角形的中點連線(中線)

D

圖三圖四

圖二

對摺BC，並找出BC的中點D 圖一

B C

A A

B C

A

B C

A

(38)

5. 統整（ integration）

學生經由觀察目標與各類關係的連結情形，能摘錄出他們學到了什麼，教師則藉著提供有關學生已知道的東西之整體概念來幫助學生整合他們所學習到的綜合概念；然而這些新的結論並不能呈現任何新的事物給學生，而是特徵與屬性仍與往常一樣被整理出

（ Wu,1994； Crowley,1987；譚寧君， 1993）。

藉由這五個階段的教學中，學生能夠學到一個新的 van Hiele 幾何概念思考層次，而新的思考範圍也會取代舊有的思考範圍，往後學生在學習幾何的課程中，也能在下一個層次重複上述五個學習階段；而教師在教學的過程中，可藉由這五個階段的教學方式，幫助學生在學習當中建立正確的觀念，與反思自我學習的過程。

第三節腦波與數學學習相關研究

一、數學能力

對於數學能力的定義，以下提出數學教育研究者對於數學能力的定義：

Rogers（ 1974）區分數學能力為兩方面：再生的（與記憶功能有關）和創造的（與思維功能有關）數學能力。

瑞典心理學家韋爾德林（ 1985）發表了數學能力代表性的定義：理解數學（和類似的）問題、符號、方法、證明的本質，並在記憶中保持和再現他們，把他們與其它問題、符號、方法和證明聯繫起來以及運用它們解決數學（類似的）課題的能力。

Betz（ 1989）對數學能力所下的定義是清楚地認識數學關係的內部聯繫和用數學概念正確思維的能力。此外，心理學及教育學對數學能力也提出了描述性的（ descriptive）以及處方性（ prescriptive）兩種取向的看

(39)

法，認為數學能力包含以下幾種成分（游雅婷譯， 2004）：

（一）陳述性知識

個體的數學陳述性知識（ declarative knowledge）就是個體對於數學領域事實的知識（如：公式、定理等），陳述性知識被認為是數學才能必要但非充分的條件（ Byrnes, 1992）。

（二）程序性知識

擁有數學程序性知識（ procedural knowledge）的個體，知道如何使用一系列的行動、操作或步驟以達到特定的結果。心理學及教育學者更進一步假設程序能夠以不同層次的抽象概念存在於心智中

（ Byrnes, 1999）。而有些較高層次的抽象概念是策略和捷思法；策略是一種計畫，比那些以行動為基礎的程序較為抽象，因為在想到用特定方式達成每個次目標之前，策略可能都已規劃好了。另一種相關的程序性知識是捷思法（ heuristic），或稱為經驗法則（ rule of thumb）。

（三）概念的知識

擁有概念知識的個體了解數學事實與程序的意義並能夠適當的運用，還能夠將各種數學符號以適當的方式與其所指稱的事物形成關聯。概念知識包含了心智表徵與真實世界中的事物配對（稱之為延伸關係 extension relations）也包括在心智內、表徵間的互相配對。

（四）估算能力

一個數學能力好的個體需要知道如何運用數學事實、程序、概念及策略產生一個最接近且有用的答案；也就是說估算能力被認為是數學感（ math sense）的一種形式。

（五）繪圖與形成模式的能力

國立臺東大學教育學系 教育行政碩士在職專班

國立臺東大學教育學系 教育行政碩士在職專班

碩士論文

指導教授：鄭承昌 博士

國民中學 國民中學

國民中學 國民中學學生 學生 學生幾何解題與 學生 幾何解題與 幾何解題與 β 幾何解題與 β β β 腦波變化 腦波變化 腦波變化 腦波變化 率 率 率

率之個案 之個案 之個案 之個案研究 研究 研究 研究

研 究 生： 劉夷倩 撰

中 華 民 國 一 ○ ○ 年 六 月

國立臺東大學教育學系 教育行政碩士在職專班

碩士論文

國民中學 國民中學 國民中學

國民中學學生 學生 學生幾何解題與 學生 幾何解題與 幾何解題與 β 幾何解題與 β β β 腦波變化 腦波變化 腦波變化 腦波變化 率

率 率

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研 究 生： 劉夷倩 撰 指導教授：鄭承昌 博士

中 華 民 國 一 ○ ○ 年 六 月

國 立 臺 東 大 學

學 位 論 文 考 試 委 員 審 定 書 系 所 別 ： 教 育 學 系 一 教 育 行 政 碩 士 班

本 班 劉 夷 倩 君

所 提 之 論 文 ： 民 中 學 學 生 何

與 8 波 化 率 之 個 案 研 究

業 經 本 委 員 會 通 過 合 於 碩 士 學 位 論 文

博 士 學 位 論 文

論 文 學 位 考 試 委 員

論 文 學 位 考 試 日 期 ： 1 0 0 年 0 6 月 3 0 日

國 立 臺 東 大 學

博碩士論文授權書

0

謝 誌

國民中學 國民中學 國民中學

國民中學學生 學生 學生 學生幾何解題與 幾何解題與 幾何解題與 幾何解題與 β β β 腦波變化 β 腦波變化 腦波變化 腦波變化 率

率 率

率之個案 之個案 之個案研究 之個案 研究 研究 研究

作 者 作 者

作 者 作 者 ： ： ： 劉 夷 倩 ： 劉 夷 倩 劉 夷 倩 劉 夷 倩

摘 摘 摘

摘 要 要 要 要

受試 者 數學 幾 何認 知 理 解運 作 區大 部 份在 後 腦；三、受試 者 數學 幾何 解 題之 腦 波變 化 率 會隨 著 試題 難 度不 同 而有 顯 著差 異 ； 四、

作答 不 同難 度 的數 學 幾 何試 題 ，大 腦 運作 分 區會 有 顯著 不 同 。

Case Study on the Effects of Relationships Between Geometry Problem Solving and Change Rates of Beta

Waves

Yi-Chien Liu

Abstract

In order to probe the effects of relationships between geometry problem solving and change rates of beta waves, six subjects of 9- graders were divided into two groups, high proficiency group and low proficiency group, based on subjects' semester grades of math.

Keywords: Electroencephalography, EEG, mathematics geometry,

Fourier analysis

目次

表目次

圖目次

第一章 緒論

第一 節 研究 背 景與 動 機

第二 節 研究 目 的與 問 題

第三 節 名詞 釋 義

第四 節 研究 範 圍與 限 制

第二章 文獻探討

第一 節 腦波

http://zh.wikipedia.org/zh-tw/File:Brain_diagram_ja.svg）

。早 在 1875 年，英 國 利 物 浦 的 生 理

第二 節 數學 學 習

第三 節 腦波 與 數學 學 習相 關 研 究

國立臺東大學教育學系教育行政碩士在職專班

國立臺東大學教育學系教育行政碩士在職專班

指導教授：鄭承昌博士

國民中學國民中學

國民中學國民中學學生學生學生幾何解題與學生幾何解題與幾何解題與 β 幾何解題與 β β β 腦波變化腦波變化腦波變化腦波變化率率率

率之個案之個案之個案之個案研究研究研究研究

研究生：劉夷倩撰

中華民國一 ○ ○ 年六月

國立臺東大學教育學系教育行政碩士在職專班

國民中學國民中學國民中學

國民中學學生學生學生幾何解題與學生幾何解題與幾何解題與 β 幾何解題與 β β β 腦波變化腦波變化腦波變化腦波變化率

率率

率之個案之個案之個案之個案研究研究研究研究

研究生：劉夷倩撰指導教授：鄭承昌博士

中華民國一 ○ ○ 年六月

國立臺東大學

學位論文考試委員審定書系所別：教育學系一教育行政碩士班

本班劉夷倩君

所提之論文：民中學學生何

與 8 ^波 ^{化率之個案} 研究

業經本委員會通過合於碩士學位論文

博士學位論文

論文學位考試委員

論文學位考試日期： 1 0 0 年 0 6 月 3 0 日

國立臺東大學

謝誌

國民中學國民中學國民中學

國民中學學生學生學生學生幾何解題與幾何解題與幾何解題與幾何解題與 β β β 腦波變化 β 腦波變化腦波變化腦波變化率

率率

率之個案之個案之個案研究之個案研究研究研究

作者作者

作者作者：：：劉夷倩：劉夷倩劉夷倩劉夷倩

摘摘摘

摘要要要要

受試者數學幾何認知理解運作區大部份在後腦；三、受試者數學幾何解題之腦波變化率會隨著試題難度不同而有顯著差異；四、

作答不同難度的數學幾何試題，大腦運作分區會有顯著不同。

第一章緒論

第一節研究背景與動機

第二節研究目的與問題

第三節名詞釋義

第四節研究範圍與限制

第二章文獻探討

第一節腦波

。早在 1875 年，英國利物浦的生理

第二節數學學習

第三節腦波與數學學習相關研究