工程數學_Erin_243_01.pdf

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(1)(一) 選擇題(25%) 5 3 5 3  x1   2  已知矩陣 A =  ，且  3 5  x  = − 2 ，試回答以下各問題： 3 5   2   . 1. 矩陣 A 之行列式值(Determinant)為 (A) 3. (B) 4 (C) -16 (D) 16. (E) 以上皆非 2. 矩陣 A 之特徵值(Eigenvalue)為 (A) 3 和 5 (D) 2 和 3. (B) 1 和 2. (C) 2 和 8. (E) 以上皆非. 1  1  3. 矩陣 A 之特徵向量(Eigenvector)為 (A)   和   1 − 1 1  1  (C)   和   1 − 2. 1   1  (D)   和   2 − 1. 25 9  4. 矩陣 A2 之值為 (A)    9 25 (E) 以上皆非 x  1 5.  1  之值為 (A)    x2  − 1. 2  (B)    − 2. 1   1  (B)   和    2  − 2. (E) 以上皆非 34 30 (B)   30 34  − 2 (C)   2 . 25 15  (C)   15 25 − 1 (D)   1.  8 2 (D)    2 8. (E) 以上皆非. (二) 已知函數 f (t ) 的拉普拉斯轉換(Laplace Transform)之定義為 L{ f (t )} =. ∫. ∞. f (t )e −st dt ，. 0. 試回答下列各問題： 1. 若 f (t ) = t ，試證明 f (t ) 之拉普拉斯轉換為 L{ f (t )} = 2. 若 f (t ) =. 1 。(5%) s2. d 2 y (t ) ，試證明 f (t ) 之拉普拉斯轉換為 L{ f (t )} = s 2 L{y (t )} − sy(0) − y′(0 ) 。(5%) 2 dt. d2 y 3. 試以普拉斯轉換解初始值問題： 2 − y = t ， y(0) = 0 ， y′(0) = 0 。(15%) dt.

(2) （三）請求出以下一次微分方程式的通解 (general solution)（25%） y' = ( y − 1) cot x. （四）請解以下的初值問題 (initial value problem)（25%） y' '− 2 y '+ y = 2 x 2 − 8 x + 4 ， y(0) = 0. 3 ， y' (0) = 0.3.

(3)