菁英數學–數列與級數

海山高中數學科菁英課程講義—數列與級數

1.數列:有限數列與無限數列 級數:有限級數 ^Sn=

∑

k=1 n

a_k=a₁+a₂+…+a_n

無限(無窮)級數 S ^¿

∑

k=1

∞

a_k=a₁+a₂+…

符號介紹: ∑讀作sigma, 為連加符號 2.等差數列與級數

公差d=後項-前項 ^an=a₁+(n−1)d

a₁ S_n=

∑

k=1 n

a_k=a₁+a₂+…+a_n=n

2¿ + ^an )=

2a₁ n

2¿ + ^(n−1)d ] 練習題

例1:費氏數列是以兩個1開始，接下來各項均為前二項之和，例

如:1,1,2,3,5,8,13…,試問在費氏數列各項中的個位數字，最後出現的阿拉伯數字為

例2：1＋11＋111＋……＋111111…1之和的最後4位數為 2010位數

例3： a1,a2,……,an與b1,b2,……,bn為兩等差數列，其首n項和的比為

（7n＋2）：（n＋3），則這兩個數列第5項的比為

例4：不大於300的自然數中，能被3或5整除的共有 個，其總和為

例5： 請問有 種不相似的三角形，它們三內角是相異的正整數且成等差數列?

例6：甲第一日走1公里，第二日走2公里，如此每日增加1公里進行，甲出發後

經5日，乙由同地同向每日走12公里。試問:

1. 幾日後兩人會相會? 日

2. 若二地相距135公里，則誰會先到?

例7：一等差數列共有150項，已知此級數前30項的和為120，第31項到60項 的和為300，求此級數的和為

例8：若有限級數中，每項均為3位數且具有下列性質:每一項的十位數字與個位數

字分別是下一項的百位數字與十位數字，最後一項的十位數字與個位數字是第一項 的百位數字與十位數字，例如:247，475，756，…，824，就是此種數列。用S

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(A) 3 (B) 7 (C)13 (D)37 (E)43

例9：已知甲、乙二等差數列的項數均為6，甲、乙的公差相等，且甲級數的和與乙

級數的和相差1.5，比較甲與乙的首項，較小的首項為1，請問較大的首項為 例10: 計算 ¹⁺₁₊₂^{1 +}₁₊₂¹₊₃⁺₁₊₂₊₃¹ ₊₄^+…+_1+2+3+4¹_+...+100 =

重點說明(二) 等比數列與級數 1. 公比r=後項/前項 2. ^an=a1rn−1

3. ^Sn=

∑

k=1 n

a_k=a₁+a₂+…+a_n=

{

4. 無窮等比級數 (r≠0，a、r ^∈R ) S ^¿

∑

k=1

∞

a_k = ^{a1+a1r+a1r2+…=a1}

∑

k=1

∞

r^k=

{

5. 若a、G、b三數成等比數列，則等比中項G= ^±√^ab ₍ G²=ab ) 例如: 1、3、9、27、81....為一個r=3的等比數列，S = ^+∞

例如: 1、- ¹₂ 、 ¹₄ 、 ⁻¹₈ 、 ₁₆¹ ....為一個r=- ¹₂ 的等比數列，S =

1 1−(−1

2 )

= ₃² 練習題

例1: 若 ^{20+21+22+...+2n=63， 求n=¿}

例2：已知a、b為正整數且a ¿ b ¿ 2009，若a、b、2009三數成等比數列，

求a=

例3：《複利計算》林老師向銀行辦理儲蓄存款，若年初存入10000元,年底結算得

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本利和11000元，試問若每年年初均存入10000元，則第四年年底結算得本利和

元

例4：無窮等比級數 S ¿2+2

7+ 4 49+ 8

343+… =

例5：若無窮級數0.11+0.0101+0.001001+0.00010001+....，化成最簡分數 為 _q^p ，求 ^q−2p =

例6：無窮級數

∑

k=1

∞ 2^k+3^k+1

5^k =

例7：在 ¹₂^與₈₁⁸ 之間插入a、b、c三個正數，使之成為等比數列，請問a+b+c=

例8：設＜ ^an ＞為一整數數列， ^a1=1 ， ^{am+n=am+an+mn} ，其中 ^m，n 均為正整 數，則 ^a12 =

例9：設＜ ^an ＞為一數列， ^{n ≥1} ，若 ^a1=1 ，且對所有 ^{n ≥1均有3an+1−3an=1} ， 求 ^a2002 =

例10: 若數列 ^{x1、x2、x3、、、x19、x20} 滿足 _x^x1

1+1= x₂

x₂+3= x₃

x₃+5=…= x₂₀ x₂₀+39 13=¿

，又x1+x2+x3+…+x19+x20=1200， 求x_¿ 解答: PART1

1. 6 2. 9900 3. 65:12

4. 140 21150 5. 59

6. 8 or15日 甲 7. 2400

8. D 9. ⁵₄

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PART 2 1. 5 2. 41 3. 51051 4. ¹²₅ 5. 25 6. ³¹₆ 7. ¹⁹₂₇ 8. 78 9. 668 10. 75

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