臺中區國立高級中學 102 學年度大學入學第二次學科能力測驗聯合模擬考
數學考科解析 考試日期: 102 年叫 2叫日
第壹部分:選擇題 一、單選題
1.
y=(IY
/1,
X• ~
y= 2"x
y = logl X 2
故 O=b<a<d<e=l<c' 選 (5)
2.
!
x
每一線段均相同，
... LAPBl = (900- 250) 一 (900-700) =45。
AIBl
=~(J2)2+32_2x J2 x3x ∞s45
0 =15故周長為 8)豆，故選(4) 3. AB =(1,1,4)
AC =(2,3,6) AD =(x-3, y-2, -I) 四面體 ABCD 的體積
=j| 五(矛AC)
1寸|戶 ， y-2 ， 一 1) 叭， 1)
1=il 一叫y+13
利用柯西不等式可知，
[(3X)2 + y2][(一2)2+ 22] 三(一6x+2y)2 二字 18.8 三 (-6x+2y)2
=> -12:0; -6x+2y:O; 12
再也 -6x+2y+13 三 25
則體積之最大值 =τ' 故選(3)25
4. 23 1O =2x3x5x7xll=> 所求相當於將 5 個相異物 (2 , 3 , 5 , 7 ， 11) 放入 3 個箱子徊，b, c) 中(但不用考慮順序) ,
35 -3
至多 1 個空箱 =τ 呦，故選 (3) 5 ..矽 +3x- y+2= 廿一 1)(y+ 3) + 5
-1~三 x :O; 5=>-2 :O; x-l~三 4 ' -3 三 y :O; 3=>O :O; y+3 :O; 6 貝 IJ -12 三廿一 1)(y+ 3) 三 24=>-7 丟你一 1)(y+ 3) + 5 三 29 故 M-m=29-(-7)=36 ' 故選(1)
6. r 的焦點 F(2 ， 0) ， 準線 L: x=-2
... AF =5=>A 點的 x 坐標 為一2+5=3 '
貝IJ l=8x3=>y=2)言，
... A(3,
2) 6)
同理， ... BF =3=>B 點的 x 主任標為 2+3=1 '
貝IJ l =8xl 二步 y=2)豆
,
... B(I , 2J2)
L:x=-2
互= (1 ， 2而) ，百=(一1 ， 2J2)
, 1 11 2'-'61故 aMBF= 手 11 立11= J2+品，故選(2)
L 1-1 2、 21
二、多選題
A
7. (1) 對: x; = 2013 - y; =今 Max(x;)= rnin(y);rnin(x;) = Max(y)
(2) 錯:不相同
(3) 對 :σσ2013-yσy
(4) 錯:不相同
(5) 錯: 丸. Y 丸， 2013-x 一丸 .X 一l
故選 (1)(3)
8. (1)對: ... f (1 + 2i) = 0 '即 f(x)=O 有兩虛根 1 士 2i 與另一 實根 ".2-i 不會是 f(x)= 0 之根
(2) 對: ... f(x)-x=O 亦為三次實係數方程式，員 IJ 至少有一 實根
(3) 錯:方程式必須為整係數才有此性質
(4) 錯:不確定是否沒有實根，有可能有偶數個實根 (5) 錯: f(x) = 0 也有可能有三個實根
故選 (1)(2)
lax-9y=b
9.
(1 )(2) 方程組 (L，): ~ 有解科主爭之(唯一解)或
1 x+3y=4 3
-9 b
=---::=--=.::...(無限多組解) 3 4
特 a*-3 或(α=-3 且 b= -12)
I-lx + cy
=
d """' h n -2 c d (3)(4) 方程組 (ιH--.
~ - J ，-無解∞ =一#1 x+3y=4 3 4
牢牢 c=-6 且 d*-8
(5) x+3y=4 與叫一 9y=b 可能重合或相交於一點，但 x+3y =4 與 -2x+cy=d 平行
叫一份 =b 與 -2x+cy=d 可能平行或相交於一點，不一定 無解，故選 (3)
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x
10.
y
'2x- Y = 7
x x+2y=6
令叫 +y=k 的圓形為斜率 m=-a' y 截距為 k•
故在 (4 ， 1) 處有最小值產生，貝則IJ j
宇 m <Ç:， 叫三臼2 苟〉一宇一吋G必叫豆<Ç:，2 勻刊 -2 三 α 三寸2 故嗨選ω
1扎1. (1) 對 \ζA>Lζ三B>Lζ三 C=司今 a>b>c=斗丰 s討inA>s討inB >s缸inC (2) 錯:若必為鈍角，則 tanA<0
(3) 錯: '.' tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC (4) 對: .: LB 必為銳角
:. cos(A + C) = cos(180。一的 =-cosB<O (5) 對 : ':tan(B+C)=tan(1 800-A)= 一個nA<O
B+tanC
二:> ' ._..- <O=>l-tanBtanC<O 1-tanBtanC
二今 tanBtanC> 1 故選 (1)(4)(5)
12. 點數為奇數有 4 種，點數為偶數有 2 種，
故 n= c~gg 4100 + C~~ 4揖22+...+C~∞ 2100 (4+2)l曲+ (4-2)l田 6l叩+2100
一一一一一一一 =3x699 +299
2 2
故 n 是偶數，末位數字 =6
又 1og(3X 699) = log 3 + 9910g 6 = 77 .509
=>3xlO77 <3x699 <4xlO77
log299 = 991og2 = 29.799 => 299 < 7 x1029
故n是78 位數
log4l個=10010g 4 = 60.2 < 77 => 4100 < n • 故選(2)(3)(5) 13+2t =7 -s... Q)
13. (1)(2) 解何 +4t=4+s...@ 由@與@解得 t=O • s=4
l4 -
t = -1 + 2s...0
代入@不合. :. ~、 ι 沒有交點
又 t =立且將 (3 ， 8 ， 4) 代入 ι 不合:. ~ //ι
(3) nEj //V2 XV3 =(-9, 3 , -6)
"勻守 -5
(4) L: 一一 .y 一=之一為過 ι 與 ι 交點 (4 ， 7 ， 5) 且
3 -1 2
(3 ，一 1 ， 2) 為平面冉的一個法向量
(5) 取~上點 A(3 ， 8 ， 4) • ι 上點 B(4 ， 7 ， 5)
|互×立 I 3M
則糾正吐， ι)= 一一一一一一一一一
i 可|
故選 (3)(4)
第貳部分:選墳題
6A(31:一
2x+ y=4x+3y=61..
… 5 8"一
哼，;)
故
x+y=--;:-M
y
心、~
(2,0) (6,0)x
B. X:A 、 B 箱總共放入 3 個球的事件 y:司A 箱放入 1 個球 叮叫(仲X
故P(YIX) Ix) =.f鬥(X 鬥 Y=一一一一一一=一昀) 3
1 " P(X)
C. Sn -Sn_l =an
= JS::; +JS:
D.
司 (JS: + 拉;二) (布拉二)
=JS::; + JS:
再(何一抗日 =1
:. (拉 -J，S;)=1 (江-仄)=1
(布拉)=1+(JS: -JS二)=1
:. (布拉)=
JS: -ra; = JS: 一 1=
(n-1)
三字 Sn= n2
=> S20 = 202
= 400
B
d三DAE= 3600 -1200 - LBAC = 2400 - A 52+72 _8 2 " 4~3 其中 cosA= - • si叫=二二
2x5x7 7
故 sin(LDAE)= sin(2400 - A)
= sin 2400 cos A - cos 2400 sin A = 一二二1、可
14
1 凡 1 貝IJMDE 面積=三 x5x7xsin(LDAE) = 寸二
E. .: AD=AB+3(AB+AC)=4AB+3AC
令互ZT=tAF=4tiE+3tit
又 p 、 B 、 c 共線 :. 4t + 3t
=
1 => t= .!.
7
AP BP 3
二字一
PD 6 CP 4 MCD面積 PCxPD
則一一一一一一--. - =8 MAB面積 PAxPB
F.
A
C
13 113 13
MNG 中 • AN= 一-=-a • NG= 一×一-a= 一-a
3 2 6
一-= 13a2 3a2 ~6 一一 :.AG= .1一一一一=之三 α ，又 M 為 AD 中點
4 36 3
1 - 1 .J言而 .'.MH=-=-xAG= 一×一-a= 一-a
2 2 3 6
第 2 頁共 3 頁
直線亡石與底面 BCD 的夾角即是 M1CH 中 LMCH= α
而
.
sinα 一站一 7α F2
一一一一頁c- .J3 - 3
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