數學考科解析

第

1

頁共

3

頁

) 5 , 4 , 0

( 



BQ BD(3,4,0) BD

BQ

BD BQ

) 5 , 0 , 0

( OA

) 5 , 4 , 3

( OC

OC OA





B C

A

D E

F

360

270

全國公私立高級中學 102 學年度學科能力測驗第四次聯合模擬考試

數 學 考 科 解 析

^{考試日期：}

102

年

12

月

19~20

日

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4 4 4 2 1 45 23 123 145 3 45 1 8 8 3 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

5 5

-

2 3 1 5 2 1

-

1

-

2 1 4

31 32 33

4 3 4

第壹部分：選擇題 一、單選題

1. 原式=

1 2 1 1

2 2







 

x x x x x

=

2 ) 1 )(

1 (

1

2 2







  x x

x x x

=

) 2 )(

1 (

) 1 )(

1 )(

1 (

1









 

x x

x x x x

=

2 ) 1 (

1

2



  x x x

=

2 ) 1 ( ) 2 (

1

2







 x

x x x

= 1

1 2



 x

= x 2，故選(4)

2. 63.6 64

11 700 22 200 7

200     



 AB

AB  ，故選(4)

3. x²10x1,2,3

∴

2 1 6 ) 3 (A   P

考慮AB即x²10且x²y²40 y

x 6

~ 1

1 5

~ 1

2 5

~ 1

3

∴

9 4 6 ) 16 (AB  ₂  P

由 所求條件機率

9 8 2 1 9 4 ) (

) ) (

(    

A P

A B A P B P

故選(4)

4. 全體平均 90.2 90

5 451 5

182 108 78 54

29      

 (萬元)

故選(2)

5. 如圖：連結BD，並由A向DE作垂直線，垂足為F 450

270 360² ² 



BD AF

0867 . 450 0

39 450

96

tan  135  

AF

 EF

∴最接近5

故選(1)

二、多選題

6. 依題意，可令等差數列a_n前3項0,d,2d 則b₁ f(a₁) f(0)2

2 )

( )

( ₂ ²

2 f a  f d d d b

2 2 4 ) 2 ( )

( ₃ ²

3 f a  f d  d  d b

∵數列b_n為等比數列

∴(d²d2)²2(4d²2d2) 0

3

2 ^{3 2}

4  

d d d

0 ) 1 )(

3

2(   

d d d

1 , 3 ,

0  



d d d

(不合) (不合) 可得數列an前3項0,3,6 數列b_n前3項2,8,32 (1) ╳：應為a₂3 (2) ╳：應為b₃32

(3) ╳：a₁₀₃a₁102d01023306 b₅b₁4⁴24⁴512，∴a₁₀₃b₅ (4) ○：數列a_n前n項和

 

2 ) 3 3 3 ( ) 1 ( 0 2 2

 









 n n

n n S_n

100 2 84

21 8

8   

 S

100 2 108

24 9

9   

S ，∴n至少為9

(5) ○：b₁₀₀24⁹⁹2¹⁹⁹

8990 . 0 59 3010 . 0 199 2 log 199 2 log

logb₁₀₀ ¹⁹⁹    

∴logb₁₀₀的首數為59

∴b₁₀₀為60位數 故選(4) (5) 7. (1) ╳：應為C(3,4,5)

(2) ○：B(3,0,5),D(0,4,5),Q(3,4,0)

 ， 外積

4 5 5 0 0 4

, , (20 , 15 , 12)

4 0 0 3 3 4

   

   

(3) ○：內積

16 ) 0 , 4 , 3 ( ) 5 , 4 , 0

(    



(4) ╳：平面BDQ方程式

0 ) 5 ( 12 ) 0 ( 15 ) 3 (

20 x  y  z 

0 120 12 15

20    

 x y z

∴d(C,平面BDQ)

2 2

2 15 12

20

120 5 12 4 15 3 20















 

2 900 60 769

60  

 (5) ╳：

外積

0 5 5 0 0 0

, ,

4 5 5 3 3 4

 

  

  ( 20 , 15 , 0)

內積

即平面BDQ與平面OAC的法向量沒有垂直

∴兩平面沒有互相垂直，故選(2) (3) 8. (1) ○：

84 56 4 7 3

4 7 2 3

2 







  1

2

1 2

第

2

頁共

3

頁 A(1,13)

B(2,11) E(3,9)

C(6,3) D(4,5)

B C

A

1 P



60 

84 60 4 3 7

4 3 5 7

5 







 

84 63 7 3 4

7 3 3 4

3 







 

∴

4 3 7 5 3 2 

(2) ○：算幾不等式

2 2 1 2)

(1 2

2  



 

ab ab b ab

a

柯西不等式

2 ) 1

( ) 1 1 )(

(a²b^{2 2} ²  ab²a²b²

∴ ^{2 2}

2 2ab1a b

(3) ○： f(x)(0.2)^x為減函數，由ab(0.2)^a(0.2)^b (4) ╳： f(x)log₂x為增函數

由

b a b

b a

a 1

1 log 1 log

0 1

0    ₂  ₂





(5) ╳： ^{2 2 2 2}

2

2 2 1 1

1 2

1 x x x x

x x













 





2 2

2 2

2

2 2 1 1

1

1 x x x x

x x





















故選(1) (2) (3) 9. (1) ○：

4 ) 3 2 ( 1 1 )

(x x²x  x ² f

當 2

1



x 時，f(x)有最小值 4 3

(2) ╳：

4 ) 3 2 ( 1 1 )

(x x⁴x²  x² ² f

∵ 0

2

21

x ∴f(x)有最小值不是 4 3

(3) ╳：

4 ) 3 2 2 1 ( 1 2 ) 2 ( )

(x  ^{x 2} ^x  ^x ² f

∵ 0

2

2^x1 ∴f(x)有最小值不是 4 3

(4) ○：

4 ) 3 2 (log 1 1 ) (log ) (log )

(x  ₂x² ₂x   ₂x ² f

當 ²

1

2 0 2

2

log x1 x ^ 時，f(x)有最小值 4 3

(5) ○：

4 ) 3 2 (sin 1 1 sin sin )

(x  ²x x  x ² f

當

2 sin 1 2 0

sin 1 







 x

x 時，f(x)有最小值

4 3 故選(1) (4) (5)

10. 2

2 1

11

13 



  mAB

6 2 1

3 13 



  mAC

∵m_ABm_AC

∴A,B,C三點共線，由A,B,C三 筆資料可知x與y為完全負相

關，且r1,b2，再由A(1,13)代入L:ya2x 15

1 2

13    

 a a

(1) ╳：應為r1 (2) ╳：應為b2 (3) ○：a15

(4) ╳：如圖：A,B,C,D4筆資料中x與y的相關係數必大於

1

(5) ╳：如圖：點E(3,9)亦是L上一點，A,B,C,E4筆資料中，

y對於x的迴歸直線斜率等於b

故選(3)

11. 依題意₄:yx²1

3 5:y(x3)



2 2

6: ( ) 1

3x  

 y

作圖如右：

(1) ╳：應為₄:yx²1 (2) ╳：應為 ₆: ( )^{2 2} 1

3x  

 y

(3) ╳：解

2

2 3

3

1

1 ( 3) ( 3)

  

    

  

 y x

x x

y x

三次方程式至少有一實根，∴₄^和₅^{至少有一交點} (4) ○：交點為(0,1)

(5) ○：如圖，恰有兩個交點 故選(4) (5)

第貳部分：選填題

A. x23 5(x2)²(3 5)²x²4x410

1 ) 41 4 (

12 6 ) 41 4 )(

1 ( 40 4

53 39 3

2 2 2

2 3















 











x x

x x

x x x

x

x x x

5 18 12 ) 5 3 2 ( 6 12 1 6

0 12 6

0      





  x x

B. 對數有意義







 











 

4 3 0

4 0 3

b a b

a

依題意

5 ) 4 )(

3 ( 5 log 2 ) 4 log(

) 3

log(a  b   a b 

b a b a



 4

3

1 4 5 1



3 8 1 5

∵a,b均為正整數

∴序對(a,b)(8,3)

C. 2紅球+另一色球C₂²C₁⁷7 2白球+另一色球C₂³C₁⁶18 2黃球+另一色球C₂⁴C₁⁵30 綜合 共有55種情形

D. ABC面積 sin60 3

2

1   

 AB BC

2 3 1 3 2

1   

 AB AB4

如圖： 2 3

2 4 3 60 sin

4   

 AP

2 2 4 1 60 cos

4   

 BP

令ACP

則tanACBtan(180)



tan



CP

AP

 2 3

1 3

2 





E. 斜率為正的有 3 ,3 3 ,2 3 ,1 2 ,3 2 ,2 2 ,1 1 ,3 1 ,2 1 1

扣除相同者，剩下有

3 ,2 3 ,1 2 ,3 2 ,1 3 , 2 ,

1 等7種

同理，斜率為負的有 1

2 3

1 2 3

1

2

第

3

頁共

3

頁 D(0, 1)-

A( ,0) C(0,3)

B( ,0)- 3 3

3 , 2 3 , 1 2 , 3 2 , 1 3 , 2 ,

1    





 等7種

亦可斜率為01種 綜合 有15種不同的值 F. 如圖，圓C:x²(y1)²4

與坐標軸之交點分別為

) 1 , 0 ( ), 3 , 0 ( ), 0 , 3 ( ), 0 , 3

( B  C D 

A

又L:2xyk斜率為2 )

0 , 3 (

A 代入

k

L:2 30 k2 3 )

3 , 0 (

C 代入

k

L:203 k3 由 可知3k2 3 所求²²21

G. 



 







 







 









 ^

1 0

0 1 3

2 3

2 2

1

y x y I x

A A A



 







 











 

1 0

0 1 3

3 6

2 3 4

y2

x y

xy x x











 



























 2

1 1

3

0 2

0 3 6

1 3 4

2

y x

y x

xy x

y x

∴數對(x,y)(1,2)

H. 如圖：重疊區域LM 的面積



6 (平行四邊形OADB面積)

) 2 12 ( 6 



144

I. :y²4x6y250 16 4 ) 3

(  ² 

 y x

) 4 )(

1 ( 4 ) 3

(  ²  

 y x

 ^頂點(4,3)且c1開口向左

∴焦點F(5,3)

所求OF (5)²3²  34 1 2 3

3

1 2

1 2