數學考科詳解

數學考科詳解

號一黨一號一案

題一起口聽一答

第覺部分：選擇題 一、單選題

1 (5)

難易度：巍

出處：第三冊第三章〈平路向蠶〉

目標：向蠱的線性組合與加減法、三點共線定理 解析 t 若 AP=xAB +yAC

則 x>O • y>O • x+y>I ==>PE I

x<O•y>O•x十y>I ＝辛 PE

II

x<O • y>O • x+y<I ：今 PE III x>O • y<O • x+y<I ：今 PEN x>O • y<o • x+y>I ＝今 PE V

故濯（ 5 ）。

2.

(1)

難易度：中

出處：第一冊第三章〈指數、對數函數〉

目標：對數的定義與海算

解析： (log9α）(log9b ) -log9α一 log9 b 三 0 且 b ＝ α2 二今（log9a)(log9 a2)…log9 a 一 log9a2 ~ 0 3 月log9 吋2-3log9 a~ 0

==> (log9α）（2 log9α … 3) ~ 0

均 0 ~lo叫：

＝今 1 ::;; a::;; 92

：今 1<a::;;21c ： 底數 a~l) 故選（ 1 ）。

3.

(3)

難易度：易

出處：第二冊第三章〈機率〉

目標：條件機率

解析：和為 10 之情形有 (1,3,6）、（1

'4'

5）、（2

'2,

6）、（2

'3,

5）、（2

'4'

4）、（3

'3 '4) ' 15 5

故有 6+6 十 3+6+3+3=27 種情形，所求機率為一：一 27 9

故選（ 3 ）。

生（ 5)

難易度：中

出處：第三冊第二章〈直線與閻〉

目標：直線點斜式及圓方程式 解析：＠若 m>O • k>O ，如嵐H

直線必通過一、二、三象限

＠若 m<O • k<O ，如圓的 直線必通過二、三、四象限

上組兩種情況發生時直線與 x 軸IE 向不相交亦不過原點，故潛（ 5 ）。

y y

x x

筒（一） 園口

一 13 一

5. (3)

難易度：中

出處：第一冊第一輩〈數與式〉、第三冊第二章〈直線與園〉

目標：絕對儷概念與直線斜串的應用

ly=-3 Ix十41+2

解析：考慮﹛ 之圖形交點

6.

(3)

1y=mx

無解仲…3 三 m<-.!.

^o

2

故選（ 3 ）。

〈另解＞ CDx ﹔三－4 峙， y咐 3x ＋ 口一 2=0 ，戶一一一10 m 十3

．．無解 ．．．一一＜…4 或 m+3=0 ，即一3 豆 m ＜ 一一-10

m 十3 2

®x<-4 峙， mx-3x-I2-2=0 'x＝：……一14 m-3

．無解

: ．……一這一4 或 m-3=0 ，即 m ：：三…一或 m ﹔三 314

m-3 2

．．．一3 三 m<-.!.

^o

2

難易度：中

出處：第二冊第二章〈排列、組合〉

目標：組合分析與排列

解析： CllO ×（ 103-93)=2710（種）

故潛（ 3 ）。

〈另解〉先考慮三位主持人的數字：王同、二同一異或三異

y

、 X

c--

¹

p 一了x

·y=-3x

y：一 3Jx+41 +2

C110 x

c： 巾。什）× cl2

⁺⁽

c~o ×3叭可＝叭叭的7喻。

二、多海聽

7.

(1)(3 ）（的 雞身度：中

出處：第二冊第四章〈數據分析〉

目標：迴篩竄線斜率與相關係數之關條、標準化數據之概念 解析：（ 1 ）。：觀察在 x 變大時， y 有變大的趨勢，自Ilb·>o

(2）×：由表可知 σ y=IO. 丸，又 x 與 y 不是完全正相關埠。 ＜r<I

.".m=r旦： I

^Or<

IO × 1 二＝＞

^m<IO

σx

(3）。：將丁、戌藏人的成績交換，則數據（x ,y） 在同一直線上，為完全正相關，故相關係數為 1 (4）。：將丁、戌藏人的成績交換，令， y） 落在 y=IOx+20 的直線上， l比直線即為過歸直線

＝今斜率為 10

(5）×：因標準仕後相關像數不變，又丸，： 1 、內，＝ 1'

可知Y’對 x’的酒館直線斜率 m’＝r i=r 刊

故潛（ 1)(3)(4）。

8.

(1)(2) 難易度：中

出處：第三冊第一輩〈三角〉

目標：三角函數基本定義

解析：（1 ）。：若 LA=l20° • LB=60° ，則不可能成為三角形 .".ruBC 為正三角形 (2）。：依題意，可取LA=l0° 'LB=lO。，正 C=160。

似：若 A 為銳角昱啪 A ＞ 一均 LA>

-J ³

2

(4）×：若 LA=120° • LB=30° ，貝IJruBC 為鈍角三角形

叫8利A)=±±

(5 ）×： ＇.＂A 有可能為銳角或鈍角

故選（ 1)(2 ）。

9.

(1)(2)(3 ）但）

難易度：中

出處：第四冊第三章〈短陣〉

自謀：轉移矩陣

6

•X3=PX1=I 之

15 7 10

－i…句3呵，曲一句Jnu

卅一

1

…₃₂ 3

-

4

。

。 解析：轉移矩陣 P=I ﹔

3 5 ³ 4

。

假設長期而言小明選購水餃、便當、湯麵的機率分別為 α 、 b 、 c

H 仇恨1

^•

^tlx

^{(a, b,}

c）：位站）

llm

1 4

。

3 4 2

…53

-

₅

X 3

: PL

R只

叫lllIlli－－」G’。c「lttSEI－－Illi」一－

令

X

。

: .(1）。﹔（2）。﹔（ 3）。﹔（是）。﹔（5）×

故盤（ 1)(2)(3)(4）。

10.

(1)(2)(3) 難易度：中

出處：第四冊第四章〈二次曲線〉

目標：撤園和雙曲線的方程式與定義、三角形頭積公式、外心 解析：（1 ）。：兩國形的中心皆在原點（0'0),

雙曲線 I'1 ：半貫軸長 α＝ 3 、半共組軸畏 b：抗力 c=4 ，關口左右

精鷗几：半畏軸長 α’＝ 5 、半短軸畏 b’： 3 ：今 C’＝ 4 ，長軸在 x 軸上 故 I'1 與几兩闊形共焦點

(2）。： ·： PF; - PF; =2a=6（雙曲線定義）

PF;+ PF2 =2a’： 10（楠圈定義）

一一 一一

.".Pl于 － pp2"=60 ，其中 PF; =8 、 PF2

=2

(3 ）。： ＆F1F1 為邊長 8 、 8 、 2 的三角形，

根據海龍公式： ＆F1F1 面積＝ -J玄宗志于＝ 3-J于 一 21::::,PFF 面積

…

3./7

(4）×：丹： 」二 × 2…一一

F;F2 2

(5）×：四邊形 PQRS 的外接圓圓心在原點，

而＆F1F2 王海中還線交點位在＆F1凡的內部，故不為間一點 故選（ 1)(2)(3 ）。

一 15 一

11 (1)(2)(4)(5)

難易度：中

出處：第一冊第二軍〈多項式函數〉

目標：拉格朗日插﹛蔓多項式的應用

解析：（ 1）。： f(x） 遭遇（5'3) ' (6 '5) ' (8 ' 9），這五點怡在一竄線上 可推得f(x)=2x-7 ，因此圓形為一直線

(2）。： f(x)=2x 一 7=0 恰一實根為 3.5

(3）×： Q(x） 通過（5

'3) ' (6' 5），徊， 9) ' (9' 11) ' 可推得 Q(x)=2x一 7'

因此f(x） 關形和 Q(x） 關形重合 (4）。：餘式為／（7)=7

(5）。： 2x-7<-1 ，可得 x<3 故盤（ 1)(2)(4)(5 ）。

12

(3 ）（的（ 5) 難易度：易

出處：第四冊第一章〈空間向量〉

詞摔：空間主任標11:及其基本應用

解析：如右間坐標化， D(O, 0 , 0) • A(2 , 0 , 0) ' C(O , 2 , 0) • HI紗， 0'2)' F（包三， 2) • P(2, 0, 1 ）斗皇（0,2, 1 ），帥， 1'2)'

且 PQ=(-2, 2, 0) • PR ＝（ 一2' 1'1)

(1）×：王否可d

(2）×： M仰的面積＝~ i茍×Pi1=.J3

z

(3）。： DF=(2,2,2)// PQ × PR 二（2'2 '2)

．．．直線 DF 與平間 PQR 垂直

R G

Q

C(0,2,0)

一一y

D(0,0,0) x

. s

θl么止一－ .J3

(4）。： PQ ＝（ 一2,2, 0) • RP =(2, -1 ，一 1) .. co …了三寸τ … 尸υ × RP 2 _

10+0叫一31 … .J3

(5）。： PQR 平面方程式為 x+y+z-3=0=> d… ~ ……

J可 3

故盟（ 3 ）（是）（ 5 ）。

第貳部分：選填題

A. (6, 2)

難易度：中

出處：第一間第一黨〈數與式〉

目標：評靈雙璽根號的11:筒

解析： Ci5 ＝晶石布：“古＝ ./6 +..Ji.

得 α ＝ 6' b=2 ，故數對徊， b)=(6 '2）。

B. 9

雞身度：中

出處：第四冊第二章〈空間中的平面與軍線〉

鼠標：直線方程式，空閩中間車線垂直

jx十3y-z=3 一…， A 一

解析：直線 L1 ：﹛ 二字 x-2y…－ 3 7( y立之t 二今 X：一 3 ＋泣， z=-6 ＋ 針， t 為實數

· ^l2x+y-z且0 ; ;

L1 與 L1 蠶直 :.(2' 1 '5) .怕， 4 ，…2)=0 均 2α十4一 10=0 均 α＝ 3

l-3+2t=4+3s r

且 L1 與 L1 交於一點＝＞ ~ 叫十船， s 為寶數均 ~t=2 .力 b=6

I IS ＝一戶i

1-6十5t=2-2s 、

:.a+b=9 °

c. ~位

1024

難易度：易

出處：第二冊第一輩〈數列與級數〉

目標：觀察規律並以等比級數求解 解析：令 Sn 為第 n 圖黑色區域的面積，員H

s. ：土， s,= ＿！＿…土， sl= ＿！＿一土＋土

. 4 “ 4 16 - 4 16 64

可發現為首項 j ，公比為寸的等比級數

41 l 4 J I

所以品＝ ^{L ;}

1\

^_j

l 4 J D. 9

難易度：中

出處：第二冊第四章〈數據分析〉

目標：評量標準差公式海算

205 1024

解析：方陣A 的元素中有竺但二立個 1

^•

m 個 0 ，史包=!2. 個－ 1 ，共有 m2 個

2 2

其平均數為 µ＝ 0

標準差為 σ ＝

平＝：↓平牛的

E. 49 3

難易度：易

出處：第三冊第一章〈三角〉

目標：正弦定理與餘弦定璋的運用

解析：直角ii.ABC 中， AC 斗，勾結＝ 60 。 f::::ACD 中， LDAC=l20。… 60。： 60 。

由餘弦定理知， en ＝ ~s2 十82-2·5·8·cos60。：7

自正弦定帥， ＿｝＿＝2R 叫： --2=

sin60°

.J3

以ω 的外接圓面積為于z 。

F. (5 ，一 1) 難易度：中

出處：第三冊第三章〈平面向量〉

目標：向量生標，正射影

解析：過（3 '9）且垂直於 L 的直線為 3x-2y=-9 12x 十3v=7

A 對 L 的投影點 C ：﹛ .r ：今 q … 1 '3)

[3x一2y=-9

若 B 對 L 的投影點 D ，直線 L 的一個方向向量 v =(3 ，一2)

＿....一…→＿ 12×3+5×(-2)

AB 在 v 上的正射影一 ω 一 (3 ，… 2）：刃，一2)=(6'

-4) 32+(…2)2

·:cc 一 1 '3）且 CD=(6 ，…4) .".D(5 ，… 1 ）。

一 17

B

4{3 D

c

G. 150

難易度：中

出處：第二冊第二章〈據列、組合〉

目標： j頓序問題之排列方法

解析：先排0 、 0 、 0 、。、衣、裙，再將 4 個0的位置安排洗臉、刷牙、吃早餐、戴隱形眼鏡四件事情，其 方法共有 5 種：

牙臉↑早餐↑或 臉↑牙↑早可

眼鏡

共 2 ×引50 種方法。

H. 2

難易度：中

出處：第四冊第一輩〈空間向蠶〉

目標：空闊概念與向蠶外積

解析：五－；＝（一 1'4 ，… 1)

^•

I 五 i：“二茄

.. 一＿＿，.＿ ^－」...

BP=(2 ，一2 ，… 1)

•I

BP i=3

直筒三魚游 OPE 中， Pd 三 OB2

-

BP2 三9

”圓圓姐姐品』 棚”閻明... 幽幽幽幽...：.. 帽鬧鬧鬧鬧4

"."POll(AB

×

BP)=> PO II （一6 ，一 3' -6）以（2' 1'2)

．．．設頂點。（a,b, c)=(2t+2 , t+ 1 , 2t) ' t>O

=> Pd

=(2t)2十 r ＋οt/=9

=> t之二k 1 （負不合）=> t=l

所以 c=2t=2 。

。

B