13 等差數列與等差級數

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一、 等差數列

1. 數列：將數字排成一列，無論是否有規律性，都稱為數列。一般將數列以

1 2 3 _n a 、 a 、 a 、  、 a 表示，a¹

稱為第1項或首項，aⁿ

稱為第n項或末項。

2. 規律的數列：

(1) 奇數：1 3 5 7、 、 、 第n項可用 表示之 (2) 偶數：2 4 6 8、 、 、 第n項可用 表示之

(3) 次方：2 4 8 16、 、 、 第n項可用 表示之(此類數列又稱為 數列) (4) 費氏：1 1 2 3 5 8 13、 、 、 、 、 、 規則： 。

3. 等差數列：對於數列a¹ 、 a² 、 a³ 、  、 a_n¹ 、 a_n

，若任相鄰兩項其後項減去前項的差都一

樣，即a² a¹ a³a²=  a_na_n¹ d

，則稱此數列為 ，而後項減前項的差 (d)稱為 。(公差有可能是正數、負數、零。)

4. 設一等差數列的首項為a¹

，第n項為aⁿ

，公差為d：

(1) a_n    a¹ (n 1) d

 a_n a_m (n m)d

(2) ^nan_d^{a1 1}  公式的基本概念： 項數＝間隔數 + 1 (3) ^{d a}_n^n_1^a1  ^{d  a}_{n m}ⁿ_^am

5. 公差的變化：設一等差數列a 、 、b c的公差為d，且m為一個非零的任意數 (1) 各項加(減)m：a m 、b m 、c m 公差 。

(2) 各項乘以m倍：a m 、b m 、c m 公差 。

6. 等差中項：若a 、 、b c成等差數列，則b稱為a和c的等差中項。

(1) ^{b a c}₂^

(2) 2b a c   彩虹定理：a¹ 、a² 、a³ 、  、 a_n、² a_n¹ 、 a_n

二、 等差級數

1. 級數：將一個數列的各項依次用「＋」號連接，稱為級數

2. 等差級數：將一個等差數列的各項依次用「＋」號連接，稱為等差級數

班級 座號 姓名

1

2 3

4 5 6 8 7

9

10 11

12

13

…

… … …

14

…

3. 等差級數和公式：

(1) ^{Sn n a( 1}₂^an)

(2) ^{Sn n a[2 1(}₂^{n 1) d]}

(3) Sⁿ 、、、、、

例題：

1. 小如 發明一種方法來數數，從小拇指開始數 1，無名指數2，中指數3，食指數4，大拇 指數5，食指數6，中指數7，無名指數8，

小指數9，無名指數10，…，依照這樣的方 法一直數下去…，請問：

(a) 落在食指的前20個數的總和共是

(b) 1997這個數會落在哪一隻手指？答：

2. 如圖，用4根火柴可以圍成一個正方格，用

12根火柴可以圍成2×2正方格，按照這種方 法，要圍成10×10的正方格，需要多少根火柴？

3.設Sⁿ

表示一等差數列前n項的和

(1) 若S²⁰8

，S³⁰  12

，則S¹⁰ 、

(2) 若S²⁰5

，S³⁰ 8

，則S⁵⁰ 、

4.1 1 2 1 2 3 1 2 3

1 2 2 3 3 3 4 4 4、 、 、 、 、 、 、 、 則₁₅⁸ 是此數列第 幾項?

5.設 ,

為二次方程式

2 5 14 0

x  x 

之兩根在

 ,

之間插入x

,^y使其成等差級數,求以x

,^y為

兩根的的二次方程式。

6. (1)設有兩等差數列，它們的第n項的比為

(2n+3)：(3n+4)，試求它們的前9項和之比。

(2)設有兩等差數列，它們的前n項和之比為

(2n+3)：(3n+4)，，試求它們的第9項之比。