中国科学院研究生院
2015 年招收攻读硕士学位研究生入学统一 考试试题
科目名称：量子力学
2
2 2
2
2 2 2
100 100
30
( ) ( 1 )
(1) ( ) ;
(2)
(3) 1 ;
l nlm
x
nlm
e r a l
V r r r
r r r
r a
r E
x p
nlm nlm nl r
一 、 （ 共 分 ） 质 量 为 的 氢 原 子 的 势 能 为 H
; 提 示 ： ;
写 出 径 向 波 函 数 R 满 足 的 方 程 ,写 出 氢 原 能 级 和 基 态 波 函 数 若 氢 原 子 处 于 基 态 ， 试 计 算 和 的 值 ,检 验 测 不 准 关 系 ； 若 氢 原 子 处 于 定 态 ， 试 计 算
2
2 2
2 2 2 2 2
0
1 1 1
1 .
30 ; , ,
( , )
(1) 1,
(2) 3, ,
2
1 1
30 ( ) ( )
2 2
( ), (
2 2
x z
z
x x x
x y
x
m nlm r
H a L bL cL a b c L L
l H
l L L L
H P P m x y
m
x a a P i m a
m
二 、 （ 共 分 ） 已 知 能 量 算 符 （ 其 中 为 实 常 数 ）
选 取 表 象 ；
若 试 写 出 矩 阵 形 式 ,并 求 能 级 和 相 应 的 归 一 波 函 数 ；
若 构 造 出 矩 阵 形 式 并 求 的 本 征 值 和 让 对 角 化 的 矩 阵 .
三 、 （ 共 分 ） 一 个 二 维 谐 振 子 ，
2 2 1
2 2 2 2
0
/ 2
2
4
1/ 3 0
)
( ), ( )
2 2
(1)
(2) ' 2 , .
30 ( , )
(1) 2
(2) 1.060
y
x
x
a
y a a P i m a a
m
H
H xy
x Ne N
H P x
m E
试 用 升 降 算 符 来 表 示 ,求 出 能 级 及 本 征 态 ；
若 谐 振 子 受 到 微 扰 计 算 第 一 激 发 态 的 能 量 （ 一 级 近 似 ）
四 、 （ 共 分 ） 利 用 变 分 原 理 ,选 取 试 探 波 函 数 ,其 中 为 待 定 参 数 ， 为 归 一 化 常 数 .
估 算 谐 振 子 的 基 态 能 量 将 你 的 结 果 与 精 确 值
2 2 / 3
1 2 1 2
1 2
1 2
( )
2 30
( ),
(1)
(2) t 0 , 2 t>0
2 2
, 2
2 2
x x y y
z x
z x
m
H S S S S
S S
S S
比 较 大 小 .
五 、 （ 共 分 ） 自 旋 均 为 1/2的 两 个 非 全 同 粒 子 之 间 存 在 相 互 作 用 其 中 为 实 常 数 ， 只 考 虑 自 旋 自 由 度 ，
求 体 系 能 量 本 征 值 与 本 征 态 ；
如 时 ,粒 子 1处 于 状 态 粒 子 处 于 状 态 ,求 时 状 态 粒 子 仍 处 于 状 态 的 概 率 .
