北京化工大学攻读硕士学位研究生入学考试物理综合样题参考答案

(1)

北京化工大学

攻读硕士学位研究生入学考试物理综合样题参考答案

一、填空题

1.

E 3

₀

a





 

2. ₀ ₁ ₂ ₃

1 ( )

4 q q Q q

R R R



  

；

4

0 3

Q q



R



3. 0 N；0.157 N•m

4.

0

2

 

R

5.

6.86 10 V 

^5

6. 4π R⁰ 7. 2 8. ^r

；^r

9. _L _S

E dl B dS

t

    

 ^ ^   ^ ^

10. 496nm

11. 2.36μm 12. 3 13. 21 14. 3λ /2 n

二、计算题

15. 解（1）如图所示，在 P 点处，两相干光的光程差为

Δ=d (sin θ−sin ϕ)=±kλ

(2)

对于第 k 级明纹有

d (sin θ−sin ϕ)=±kλ

即

sin θ= kλ

d +sin ϕ

所以第 k 级明纹的位置为

x

_k

=D tan θ≈D sin θ=D( kλ

d +sin ϕ)

（2）明纹之间的间距为

Δx=x

_k+1

− x

_k ⁼

^D(

⁽

^{k +1) λ} _d

^{+sin ϕ)−D(}

^kλ _d

^{+sin ϕ)}

⁼ ^Dλ _d

（3）设在

S

₂

缝处放了厚度为 t，折射率为 n 的透明介质薄片后，则在 P 点处两光线的光程差为

Δ

^'

=d sin θ+(n−1)t−d sin ϕ

若使零级明纹回到屏幕中心的 O 点处，则有

sin θ=0

_{， Δ}^'=0 ，故有

( n−1 )t−d sin ϕ=0

因而折射率为 n 的透明介质薄片的厚度为

t= d sin ϕ

n−1

16. 解： (1) 单缝衍射明纹满足：

a sin ϕ=(2 k +1 ) λ 2

对于

λ

₁

=400nm

_，

^{sin ϕ}

¹

⁼³ _{2 a} ^λ

¹ _，

^x

¹

⁼ ^{f sin ϕ}

¹

⁼³ ^fλ _2a

¹

D

O P X

(3)

对于

λ

₂

=760 nm

_，

^{sin ϕ'}

¹

⁼³ _{2 a} ^λ

² _，

^{x '}

¹

⁼ ^{f sin ϕ'}

¹

⁼³ ^fλ _{2 a}

²

x '

₁

−x

₁

=3 f

2 a ( λ

₂

−λ

₁

)=2.7 mm

(2) 两种光入射 d=1.0×10⁻³

cm 的光栅，谱线的光栅方程 ^d ^sin ^ ^ ^k ^

对于

λ

₁

=400nm

_，

^{sin ϕ}

¹

⁼ ^λ _d

¹ _，

^x

¹

⁼ ^{f sin ϕ}

¹

⁼ ^fλ _d

¹ 对于

λ

₂

=760 nm

_，

^{sin ϕ '}

¹

⁼ ^λ _d

² _，

^{x '}

¹

⁼ ^{f sin ϕ '}

¹

⁼ ^fλ _d

² 所以，

^'

¹ ¹

⁽

² ¹

^{) 18}

x x f mm

d

 

   

17. 解：由高斯定理， ^S ⁰

E dS q

 



^ ^



首先做一个半径为

^r

的柱形高斯面（

^r ^ ^R

），则有

3 2

0 0 0

1 2 2

2 2

3

kl klr

E



rl kr l



r dr



r dr



       

 









，

所以电场强度为

2

3 0 ^r

E kr e

 

 

，（或者方向沿着

^r

的径向）。

再做一个半径为

^r

的柱形高斯面（

^r ^ ^R

）的柱形高斯面，得到

3

0 0

1 2

2 2

3

E



rl kr l



r dr



klR

    

 





，

所以电场强度为

3

3 0 ^r

E kR e



r

  

。

以柱体外任意一点为电势零点，设其距离柱体轴线的距离为

r ，则有柱体外部

⁰ 空间的电势：

0 3 0 3

0

0 0

3 3 ln

r r

r kR dr kR V E dl

r r

 

  ^  ^   

18. 解无限长直导线在金属棒转动平面内激发的磁场是非均匀的，方向垂直纸

面向外。

(4)

在金属棒上沿 OA 方向任取一线元 dl，dl 至 O 点距离为 l，距无限长直导线

距离为 r，由无限长直载流导线产生磁场的公式可知，该处的磁感应强度大小为

B= μ

₀

I

2 πr

（方向垂直纸平面向外）

当棒旋转至图示位置时，金属 OA 上各线元的速度方向均垂直各线元沿平面向

上，其夹角

θ= π 2

(⃗ v×⃗B)

的方向沿 OA 方向，即

(⃗ v×⃗B)

与 dl 间夹角为零。由于线元 dl 速度大

小

v=ωl

，所以 dl 上的动生电动势大小为

dε=(⃗v×⃗B)⋅d⃗l=(vB sin π

2 )cos 0 °dl=ω Bldl

金属棒上总的动生电动势大小为

ε

_OA

= ∫

_L

^dε= ∫

_L

(⃗v×⃗B)⋅d ⃗l ⁼ ∫

₀^L

^{ω Bldl=} ∫

₀^L

^ωμ _{2 πr}

⁰

^I ^ldl

_.

在上式中，r, l 均为变量，必须先统一变量后才能进行积分，由图示可知，

l=r−b, dl=dr

，

将其代入上式，故

ε

_OA

= ∫

_b^{b +L}

^ω _{2 πr} ^μ

⁰

^I ⁽ ^{r−b )dr=} ^μ _{2 π}

⁰

^ωI ∫

_b^b+L

⁽ ^{r −b)} _r ^dr

= μ

₀

ωI

2 π ( L−b ln b+L

B )

(5)

由

ε

_OA

>0

或由

(⃗ v×⃗B)

_{可知，电动势}

^ε

_OA 的方向从 O 指向 A，即 A 点电势 高。.

dl

北京化工大学 攻读硕士学位研究生入学考试 物理综合样题参考答案

E 3

a



 

1 ( )

4

q q Q q

R R R

  

4

Q q

R



2

R

6.86 10 V 

E dl B dS

t

    

      

Δ=d (sin θ−sin ϕ)=±kλ

d (sin θ−sin ϕ)=±kλ

sin θ= kλ

d +sin ϕ

x

=D tan θ≈D sin θ=D( kλ

d +sin ϕ)

Δx=x

− x

D(

k +1) λ d

kλ d

= Dλ d

S

Δ

=d sin θ+(n−1)t−d sin ϕ

sin θ=0

( n−1 )t−d sin ϕ=0

t= d sin ϕ

n−1

a sin ϕ=(2 k +1 ) λ 2

λ

=400nm

sin ϕ

=3 2 a λ

x

= f sin ϕ

=3 fλ 2a

λ

=760 nm

sin ϕ'

=3 2 a λ

x '

= f sin ϕ'

=3 fλ 2 a

x '

−x

=3 f

2 a ( λ

−λ

)=2.7 mm

cm 的光栅，谱线的光栅方程 d sin   k 

λ

=400nm

sin ϕ

= λ d

x

= f sin ϕ

= fλ d

λ

=760 nm

sin ϕ '

= λ d

x '

= f sin ϕ '

= fλ d

'

(

) 18

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 ^ ^   ^ ^

^D(

^{k +1) λ} _d

^kλ _d

⁼ ^Dλ _d

^{sin ϕ}

⁼³ _{2 a} ^λ

^x

⁼ ^{f sin ϕ}

⁼³ ^fλ _2a

^{sin ϕ'}

⁼³ _{2 a} ^λ

^{x '}

⁼ ^{f sin ϕ'}

⁼³ ^fλ _{2 a}

cm 的光栅，谱线的光栅方程 ^d ^sin ^ ^ ^k ^

^{sin ϕ}

⁼ ^λ _d

^x

⁼ ^{f sin ϕ}

⁼ ^fλ _d

^{sin ϕ '}

⁼ ^λ _d

^{x '}

⁼ ^{f sin ϕ '}

⁼ ^fλ _d

^'

⁽

^{) 18}

^r

^r ^ ^R

^r

^r

^r ^ ^R

  ^  ^   

^dε= ∫

(⃗v×⃗B)⋅d ⃗l ⁼ ∫

^{ω Bldl=} ∫

^ωμ _{2 πr}

^I ^ldl

^ω _{2 πr} ^μ

^I ⁽ ^{r−b )dr=} ^μ _{2 π}

^ωI ∫

⁽ ^{r −b)} _r ^dr

^ε