DOC 思考的樂趣

思考的樂趣

頂尖數學家和你想的不一樣

數學最難的地方僅僅在於你覺得它很難。本書透過 生活中的實例讓我們了解到數學與我們息息相關，

即使是對於數學一點好感也沒有，甚至感覺被數學 折磨的人在此書也能藉由作者深入淺出的講解，感 受到解題和思考的樂趣。

班級 102 座號 16 施勝為

目錄

第 一 部 分 　 生 活 中 的 數 學

1 . 機 率 論 教 你 說 謊

2 . 找 東 西 背 後 的 機 率 問 題

3 . 設 計 調 查 問 卷 的 藝 術

4 . 統 計 資 料 的 陷 阱

5 . 為 什 麼 人 們 往 往 不 願 意 承 擔 風 險 ？

6 . 消 費 者 承 擔 消 費 稅 真 的 吃 虧 了 嗎 ？

7 . 價 格 裡 的 陰 謀

8 . 公 用 品 的 悲 劇

9 . 密 碼 學 與 協 定

1 0 . 公 平 分 割 問 題

1 1 . 中 文 自 動 分 詞 演 算 法

第 二 部 分 　 數 學 之 美

1 2 . 讓 你 立 刻 愛 上 數 學 的 8 個 算 術 遊 戲

1 3 . 最 折 磨 人 的 數 學 未 解 之 謎

1 4 . 那 些 神 秘 的 數 學 常 數

1 5 . 奇 妙 的 心 電 圖 數 列

1 6 . 不 可 思 議 的 碎 形

1 7 . 幾 何 之 美 ： 三 角 形 的 心

1 8 . 數 學 之 外 的 美 麗 ： 幸 福 結 局 問 題

第 三 部 分 　 幾 何 的 大 廈

1 9 . 尺 規 作 圖 問 題

2 0 . 單 規 作 圖 的 力 量

2 1 . 鏽 規 作 圖 也 瘋 狂

2 2 . 火 柴 棒 搭 成 的 幾 何 世 界

2 3 . 折 紙 的 學 問

2 4 . 萬 能 的 連 杆 系 統

2 5 . 探 索 圖 形 剪 拼

第 四 部 分 　 精 妙 的 證 明

2 6 . 我 最 愛 的 一 個 證 明

2 7 . 把 輔 助 線 作 到 空 間 中 去 的 平 面 幾 何 問 題

2 8 . 小 合 集 （ 一 ） ： 幾 何 問 題

2 9 . 皮 克 定 理 的 另 類 證 法 和 出 人 意 料 的 應 用

3 0 . 歐 拉 公 式 的 另 類 證 法 和 出 人 意 料 的 應 用

3 1 . 定 寬 曲 線 與 蒲 豐 投 針 實 驗

3 2 . 來 自 不 同 領 域 的 證 明

3 3 . 平 分 面積的直線

3 4 . 小 合 集 （ 二 ） ： 圖 形 證 明

3 5 . 生 成函數 的 妙 用

3 6 . 利用賭 博 求解 數 學 問 題

3 7 . 非 構 造 性證 明

3 8 . 小 合 集 （ 三 ） ： 數字問 題

第五部 分 　 思維的 尺度

3 9 . 史 詩 般 壯 觀的 數 學 證 明

4 0 . 停機 問 題 與「萬 能 證 明 方 法」

4 1 . 奇怪的函數 （ 一 ）

4 2 . 比 無 窮 更大 的無 窮

4 3 . 奇怪的函數 （ 二 ）

4 4 . 塔 珀自 我指 涉公 式

4 5 . 俄 羅 斯方塊可以 永 無 止 境地玩 下去 嗎?

4 6 . 無 以 言 表的 大 數 ：古 德 斯 坦數 列

4 7 . 乘法 之 後 是乘方 ，乘方 之 後 是 什 麼 ？

4 8 . 不 同維 度的 對話：帶你進入 四維世 界

前言:

我從小對於數理領域很有好感，這次看到推薦閱讀的書單，我在第一時間就

把清單的書買回家，幾乎是迫不及待就開始翻閱，每一本都有很吸引我的地方，

當我不知道該挑選哪本作為我書寫的書目時，我無意中看到這本書封底附錄的 題目：

【圖1】

相疊的正方形與長方形，ABCD是正方形，DEFG是長方形，求DE長度。乍 看 之下就能想出答案的題目，作者卻在一旁寫道：

「台 大畢業生五分鐘後放棄了，碩士生十分鐘後

用了 一整張計算紙算出答案，但是聰明的小學

生 腦袋一轉，10秒就有答案。」

作 者的敘述勾起我挑戰之心，實際演算後，

雖 然看似容易，卻讓我苦思了許久，掙扎半天，

整張試算紙 寫得密密麻麻還是找不到答案，我實在憋不住就偷看 了解答。當看到解答的那一刻，有種「這麼簡單剛才怎麼想不出來」的奇妙感，

原來答案是使用小學就學過的面積相等的思考方式，但我因為想得太多陷入迷 思，一直想著要”算”出來，反而錯過觀察而與解答分道揚鑣，這個題目也讓 我有了想繼續看下去的念頭，書上寫的一句: 「數學之美不在複雜的觀念和超強 的運算能力，而是化繁為簡的思考方式。」讓我相當認同。

《思考的樂趣——頂尖術學家和你想的不一樣》收錄五個部分，從生活中的數 學、數學之美、幾何的大廈、精妙的證明到思維的尺度，作者跳脫教科書條例式 教法，舉例生活中看似兩難的消費稅問題，使得數學深入淺出又能富有人性。書

的特點就是將抽象，枯燥的數學知識，通過創造情景展現出來，使讀者在愉悅 中學習，又能領略數學的奧秘。

第一部分 生活中的數學

本書的第一部分—生活中的數學。從日常生活談起數學，原本以為數學是最為

理性、精準的象徵，但機率一開始就教你如何說謊，舉凡價格的決定、機率、公 用品還是調查問卷，處處都是與數學有關。

在第四節:統計資料的陷阱，提到「健康工人效應」：統計資料顯示，在鈾礦工

作的工人居然與其他人壽命相當，有時甚至更長!難道說統計結果是在表明鈾礦 工作對於身體無害?統計結果並沒有錯誤，但我們除了要看到結果外，更需要去 理解，從中找出正確資訊。事實上通常會去鈾礦工作的人大多身體條件比一般人 更加優良，他們的壽命本來就長一些，正是因為去鈾礦工作後才把壽命拉低到 了平均水準，造成資料的”偽獨立性”。

看了許多類似的例子，我發現兩個看似在統計資料上呈現相關性的事，有可 能根本就沒有因果關係。統計能讓一件事簡單化、明顯化，但它同樣具有誤導性 從統計資料的謬誤中，我領悟到當我們在看到一件事，不能光看表層，而是要 深入理解，才不會造成誤解。

【曼昆(Mankiw)圖】

第六節作者提到前陣子炒得沸沸揚揚的消費稅問題:

書裡引用的經濟學最經典的教材之一——曼昆(Mankiw) 的《經濟學原理》。

【圖2】

圖2是一張霜淇淋市場的需求曲線和供給曲線的圖表，當霜淇淋價

格太 高時，消費者會因為霜淇淋不值得此價錢

而退 出消費市場，反之，若霜淇淋價格太低，生產 商也會減少，兩條曲線會有一個交點，這個交點稱

之市 場均衡，對應的價格叫做市場均衡價格，

對應 的數量則叫做均衡數量。在均衡數

量下，買者的需求與賣家的供給數目正好相當，市場上的每個人都得到了滿足。 若市場價不等於均衡價格時，供給數量與需求數目將不再平衡；供不應求將導 致價格上漲，供給大於需求則導致價格下跌，最終還是會自發地調整到均衡價 格。

若政府決定徵收消費稅，該由買方或賣方負擔消費稅勢必會吵成一團。假設每

賣出一隻霜淇淋要徵收0.5美元的稅，向消費者徵稅，因為消費者不關心市場 價格，只關心自己實際的支出，若原本能接受2美元的價格，會降低成1.5美元，

換句話說，需求曲線向下移動了0.5個單位。新的需求曲線與供給曲線產生了新 的交點，市場的均衡價格變少了，市場均衡價格也降低。換句話說，沒有徵稅的 市場均衡價格假設為3美元，現在的市場均衡價格為2.8美元，但是消費者要交 0.5美元的稅，因此消費者支付的實際價格是3.3美元，我們可以從圖3看到，

政府若向消費者徵稅，賣方會損失0.2美元的收益，買方則多付出0.3美元。這

0.5美元的稅實際上是雙方共同承擔，究竟哪一邊分擔得多些是由兩條線的斜率 決定的。

反之，向生產商徵稅，生產商為了要彌補0.5美元的損失，賣方只願意接受比

原來高0.5美元的市場價格，造成供給曲線上升0.5美元個單位，從而使得市場 均衡價格從3美元增加到了3.3美元，但這3.3美元並不全部歸賣方，賣方要交 給政府0.5美元的稅，因此實際上賣方只能得到2.8美元，從結果看來，不論是 向賣方或買方徵稅，效果是完全一樣的。

【圖3】

從生活看數學會發現許多事情和想像中並 不一樣， 數學就是這樣，無論什麼事情都能插進去說，並試圖把事情解釋清

楚、說 明白，力求你明白事情的兩面。數學

不只存在紙面上的公式解題，它更多的是讓我們 了解事物的全面與事實，並從中讓我們明白，

不可只 看表面就妄下定論，而是要多觀察，

撥開假 資訊再給予判斷，也能窺看

人性。

第二部分 數學之美

此章節收錄了一篇幸福結局的問題。看到標題時，實在無法將數學與”幸福”

最為聯想，作者說了一個小故事:

喬治‧賽凱賴什(George Szekeres)【圖】

1933年，匈牙利數學家喬治‧賽凱賴什

(George Szekeres)他時常和朋友們在布達佩斯討論數學。在一次數學聚會上，一

位叫埃絲特‧克萊因(Esther Klein)的女同學提出一個結論:在平面上隨意五個點 (其中任意三點不共線)，那麼一定有四個點，他們構成一個凸四邊形。當時喬治

‧賽凱賴什(George Szekeres)和另位數學家埃爾德什想了許久，依然無法證明這 個結論，於是埃斯特‧克萊因宣布了它的證明:如圖，這五個點的凸包(覆蓋整個 點集的最小凸多邊形)只可能是五邊形、四邊形和三邊形。三角形內的兩點連成一 條線，則三角形的三個頂點中一定有兩個頂點在這條直線的另一側，這四個點 便構成了一個凸四邊形。

【圖4】

眾人大呼精彩。喬治‧賽凱賴什

和 埃爾德什依然對這

題目念念不忘，最後他 們在1935年發表論文，成功證明一個更強的 結論:對於任意一個正整數

n≧3，總存在一個正整數m，使得只要平面上的點有m個(並且任意三點不共線)，

那麼一定能從中找到一個凸n邊形。埃爾德什把這個問題命名為”幸福結局問題

”因為這個問題讓喬治‧賽凱賴什和埃絲特‧克萊因走在一起，兩人在1936結 婚。

對於一個給定的n，不妨把需要得最少點數記作f(n)。求出f(n)的準確直是一個

不小的挑戰。由於平面上任意不共線三點都能確定一個三角形，因此f(3)=3。

克萊因的結論則可以簡單表示成f(4)=5

【圖5】

當n=5時，8個點是不夠的。圖5就是八個不

含凸 五邊形的點。

【圖5-2】

2006年，利用電腦，人 們終於證明了f(6)=17。不管 如何，最後的結局真的很幸 福，賽凱賴什和埃絲特‧克 萊因結婚後的近七十年，從 未分開過。2005年賽凱賴什 和埃絲特‧克萊因相繼離開 人世，相隔不到一小時。人若 能在人生裡找到一件衷心喜歡的事情並持續一輩子，那將是多麼幸運，而更加 幸運的是在進行這件事情時，一路上還能擁有同樣喜愛的伴侶，那麼不是幸福 還能是什麼。

第三部分 幾何的大廈

藤田文章(Humiaki Huzita)【圖】

本書的第三部分有一篇令我訝異的章節——折 紙的學問，折紙，是大家童年都玩過的，一張紙能 幻化成各種造型，從帽子到帆船；從紙飛機到房子

……，甚至精於折紙的達人能折龍，看似與數學毫 無關係的折紙，竟能解古希臘尺規作圖三大難題之

一，”倍立方體”要求把立方體的體積跨大道原來的兩倍，本質上是求做2的 立方根。由於尺規作圖做多只能開平方，因此無法完成解題倍立方體。但是，利 用藤田文章(Humiaki Huzita)提出折紙過程中的6種(圖)基本操作的理論，其中 折紙公理6相當於解三次方程，解決”倍立方體”難題似乎遊刃有餘。

【圖6】

更有趣的是，利用折紙解題，

會比想像中更加容易。取一張正 方形紙片，將它橫著劃分三等份，

然後將右邊界中下面那個三等分 點折到正方形內部的上面那條三 等分線上，同時將紙片的

右下角頂點折到正方形的左邊界。

那麼，紙片的做邊界就被分成了 : 1兩段。

【圖7】

利用畢氏定理和相似三角形 建立各線段長度的關係，我們不 難證明它的正確性。2001年，羽 鳥公士郎(Koshiro Hatori)發現藤田 文章的六個折紙公理並不是完整 的，他發現折紙的的第七種操作，

從形式上來看，第七種公理與前六種公理如出一轍，很難想像這個公理整整十 年竟然一直沒被發現。

【圖8】

看到這裡令我覺得，許多生活 中的難題，只要善用周遭的工具或 事物，或許會比正常的解決方法更 快、更有趣。

第四部分 精妙的證明

加斯帕德‧蒙日(Gaspard Monge)【圖】

第四部分收錄許多經典證明題，其中 我最喜歡的是一題幾何定理證明，他也稱 作蒙日定理，是法國數學家加斯帕德‧蒙 日(Gaspard Monge)首次發現，我第一次看 到這個定理就被他深深迷住，它空間證明 的方法實在太令人佩服。

問題:

如圖，平面上有三個互相分離的圓，其中任意兩個圓都有兩條公切線，而 兩條公切線交於一點。線然，這樣的交點共有三個。求證，這三個點共線。

【圖9】

證明:

如圖所示，在這個平面的三個原上放置三個球，每個球的半徑都等於它底 下的那個圓的半徑。顯然，這個平面是這三個球的一個公切面。再把三組公切線 想像成這三個球兩兩確定的三個圓錐在平面上的投影。顯然，三個圓錐的頂點都 在這個平面上，我們要證明的是，這三個頂點是共線的。注意到這三個求還有另 一個公切面(想像一塊薄玻璃版從上面蓋下去)，三個圓錐的頂點也都在這個公 切面上。而這兩個公切面的公共部分就是他們的交點，因此三個頂點必然都在這 條交線上。

【圖10】

證明好玩之處就是在明知結果 的情況下，去想出為什麼它正確或 不正確的理由，很像是看偵探小說 時，那種抽絲剝繭，在已知和未知

之間推理看猜測，這題原本看似只是平面的圖形，若只是不斷用平面思考，恐 怕坐上半日都未能解開這蒙日之謎，但從立體圖像思考，卻簡單得多，從證明 題目，讓我感覺到思考的途徑和最終得到解惑的舒暢感是這麼迷人。

第五部分 思維的尺度

本章節問了一個饒富趣味的問題:俄羅斯方塊可以永無止境地玩下去嗎?乍看

之下，在俄羅斯方塊都會向玩家展示下一方塊圖形的前提之下，我認為答案是 可能，但整本書看到第五章節，直覺就認為這題目有陷阱。若一開局給了S形方 塊，結果第二個還是S形方塊，或許會讓完美主義者感到異常彆扭，於是我們 猜測遊戲機將給你無窮個S形方塊，玩家是否沒有解?但是答案是否定的，如圖

11，因為從第十個S形方塊開始，整個局面會產生迴路，只要機器一直給S形

方塊玩家就永遠能進行遊戲下去。這迴路告訴我們遊戲能永無止境的進行，那是 否有必死的情況呢?

【圖11】

1988年，約翰‧布茹斯托斯基(John Brzustowski)的一篇論文給出了肯定的答案

它給出了一種演算法，可以保證遊戲機能夠害死玩家，即使要求他必須提前向 玩家展示下一個方塊的形狀。構造的關鍵在於，整個遊戲的局面個數是有限的(2

的200次方)。雖然John Brzustowski的證明對於現在的我而言實在太艱澀難懂，

但想到原來經典遊戲俄羅斯方塊也蘊含能必贏和必輸的解題，就令我精神為之 一振，想要再知道更多的數學解題方式和觀察方法。

結語:

《思考的樂趣——頂尖術學家和你想的不一樣》的封底刻印著一句話：「數學 之美不在複雜的觀念和超強的計算能力，而是化繁為簡的思考模式。」有些人會 去硬背公式，但事實上，公式是從你對數學的基礎觀念一步一步推出來的，不 是死背而是去理解，就像是你在看畫時，不會強記畫裡的輪廓，而是了解背景，

搭配想像和抽象思考，明白涵意後，才能真正去欣賞它的美，對我來說數學亦 是如此。當我和數學有了接觸後，我的待人、處事、想法慢慢轉變為數學的思考 模式，對生活的感覺也開始改變，枯燥乏味的事也能變得生動有趣，即使是機 械性反覆不斷的事，也能變得具挑戰性，回過頭來發現學習數學對我受益匪淺。

看了這本書，我彷彿沉浸在廣大無垠的數學世界裡，在博大精深的數學面前，

我感受到個體得渺小，這讓我學會謙虛，覺得敬佩，因為世上還有無數個比妳 厲害的數學家，窮極一生的努力，不論是發現或是實踐，他們熱愛著數學的解 題，並樂此不疲，孔子曾說：「朝聞道，夕死可矣。」每道數學公式或理念都是 包含許多人的結晶，我站在巨人的肩膀上，學習這些公式，從當初只是強記到 感受樂趣，我也透過理解數學，瞭解了自己的不足。

知名首相Chancellor.WE說過：「學習數學是為了探索宇宙的奧秘，如果說語

言反映和揭示了造物者的心聲，那麼數學就反映和揭示了造物主的智慧。」數學 不僅只是在書本裡的知識，它更是靈活的存在我們的生活中，數學集中並引導 我們的精力、自尊和願望去認識真理，在算數學時，我不僅有智慧和力量增長之 感，還有彷彿思想解放的感覺，當我最終解惑了題目，得到的是一種心靈震撼

和無與倫比的滿足。

參考資料:

維基百科

%89%E6%96%AF%C2%B7%E6%A0%BC%E9%87%8C%E9%AB

%98%E5%88%A9%C2%B7%E6%9B%BC%E6%98%86

http://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E6%8A%98%E7%BA%B8%E5%85%AC

%E7%90%86

http://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E8%92%99%E6%97%A5

http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%96%AC%E6%B2%BB%C2%B7%E5%A1%9E

%E5%87%B1%E8%B3%B4%E4%BB%80