臺北市立建國高級中學第 135 期通訊解題題目解答與評析
13501 設
2017 4
1 k
P k
，求P的個位數字。【簡答】9
【詳解】首先注意到，142434 104的個位數字與
1 6 1 6 5 6 1 6 1 0 33 的個位數字相同為3。
若a b, 為正整數，則以下展開式可知：
10a b
4的個位數字與b4的個位數字相同。所以142434 20104的個位數字與3 201 的個位數字相同為3，
又20114201242013420144201542016420174的個位數字與
4 4 4 4 4 4 4
1 2 3 4 5 6 7 的個位數字相同為6，
故P的個位數字與3 6 9 的個位數字相同為9。
【評析】
1. 此題為簡易的數論問題，有5位同學用同餘(mod)的方法進行計算。
2. 只要能夠掌握142434 104的個位數字為3，即可往下推論出答案。
3. 本題有8位同學徵答，得到滿分的同學有：
台北市仁愛國中鐘景翰、台北市天母國小周誠亮、台北市興雅國中蔡承諺、
台北市麗山國中江子新、桃園市振聲國中劉賢傳、新北市中山國中王勻、
新北市文山國中沈執中、新竹市實驗高中鄭百里。
13502 , ,
A B C是三個有理數的集合。A是由 1 1 1 1
, ,..., , ,1, 2,3,...,999,1000
1000 999 3 2 共1999
個有理數的集合，從集合A中取一個數a，令
1 2 7 b
a
，得到集合B有1999個 有理數。令
1 2 7 c
b
，又得到集合C有1999個有理數。試問A B C, , 三組總計 5997個有理數中共有多少個負數？
【簡答】2991
【詳解】由b0，得 2
a7。所以當a取 1 1 1 , ,...,
1000 999 4這997個值時，b是負數，
故B集合有997個負數。
1
D
C 再由c0，得
1 2
2 7
a 7
。顯然，當 2
a7時，皆有c0，c取得997個
負值；當 2
a7時，若
1 2
2 7
a 7
，得 11
314
a ，即a取4, 5, …, 1000這 997個值時，c也取得負值。故C集合共有1994個負數。
故A B C, , 中共有2991個負數。
【評析】
1. 本題徵答人數共7人，全部答對得7分者有3人。滿分名單如下：
臺北市興雅國中蔡承諺、新北市文山國中沈執中、新竹市實驗高中鄭百里。
2. 本題中
1 2 7 b
a
，容易觀察出只要分母 2 7 0
a ，則b為負數。同理 1
2 7 c
b
也是依照分母大於0或是小於0分類討論，得C集合有1994個。
3. 有同學將
1 2 7 b
a
代入解不等式，知a取4, 5, …, 1000, 1 1 1 , ,..., 1000 999 4時c 為負數，故C集合有1994個，此亦為很好的方法。
13503
如下圖。四邊形ABCD中，已知∠DAC =∠CAB、點E在AB上，DE⊥AB，CB
⊥AB，DC⊥AC，求證：AD=AB+BE。
B C
A
D
E
【證明】(1) 延長AB與DC，相交於點F，如右圖；
(2) ∵AC⊥DC，
∴∠ACD、∠ACF都是直角，
即 ∠ACD =∠ACF，
H D
E B
C
A 又已知∠DAC =∠CAB =∠FAC，而 AC=AC， 故 △ACD 與△ACF全等，(ASA)
得 AD=AF ，CD=CF ； (3) △DEF中，
∵DE⊥AB，CB⊥AB ∴CB//DE
而點C為DF中點，得點B為EF 中點，即 BE=BF； (4) 因此，AD=AF =AB+BF=AB+BE。得證。
【另證】(1) 作CH 垂直DE於H，
∵DE⊥AB ∴CH //AB 得∠ACH =∠CAB；
(2) ∵DC⊥AC，CH⊥DE，∠DAC =∠CAB
∴∠CDH =∠CAB =∠DAC；
(3) ∵CH ⊥DE，CB⊥AB，DC⊥AC
∴∠CHD =∠CBA =∠DCA
而知 △CHD～△CBA～△DCA，
得 AD AC = AC
AB ，BC AB =CD
AC ，BC AC =HC
DC， 故 AD=
AC2
AB =
2 2
AB BC AB
=AB+BC ABBC =AB+CD
ACBC=AB+CH ； (4) ∵四邊形EBCH是矩形 ∴CH=BE
得證：AD=AB+BE。
【評析】
本題構思容易，證法不難。
以上列出兩種證法。第一種證法：從構造兩個全等三角形出發，搭配「經過 三角形之一邊的中點而與第二邊平行的直線，必定經過第三邊的中點」之基本而 廣為同學所知的性質，即可順利得證。第二種證法：從尋找相似三角形出發，透 過三角比的掌握，來確立所要求證之線段間的關係。
事實上，圖中之∠CHD =∠CBA =∠DCA，設這三個角之度量皆為θ，以後 同學學會了三角比，sin、cos將成為思考這類問題的有利工具。經由三角比來看 問題，參照本題附圖，得sinθ=
AD CD =
CD
BE 、cosθ=
AD CD =
AC
AB ，而知
AD
BE
sin2 ，
AD
AB
cos2 ，因此，AD=AB+BE，也就是sin2 cos2 1， 這個公式導源自商高定理，是三角比的一個基礎性質，也是本題題目之設計的 主要依據。
再看圖中，由三角比定義，亦知cos2θ=
AD
AE ，因此，AEABBE，也 就是cos2cos2sin2 ，這一個公式稱為「倍角公式」，其證明無須文字，可 以根據附圖查知，所謂「以圖明之，不證自明」，同學以後在學習相關內容時，
要能慎思明辨才好。
3
本題共有7位同學應徵答題，證法多樣，論述清晰，邏輯明確，文字整齊，
表現優良。這7位同學都有好成績，都獲得滿分，可喜可賀！
滿分7分，得7分者名單如下：
台北市仁愛國中鐘景翰同學、台北市興雅國中蔡承諺同學、
台北市麗山國中江子新同學、桃園市振聲國中劉賢傳同學、
新北市中山國中王 勻同學、新北市文山國中沈執中同學、
新竹市實驗國中鄭百里同學。
13504
甲、乙、丙、丁四支籃球隊，由下列(a)(b)(c)三種賽程擇一進行單淘汰賽（輸一場 即出局）。
(a) (b) (c)
甲 乙 丙 丁 甲 丙 乙 丁 甲 丁 乙 丙 已知甲勝其他任何一隊的機率皆為2
3，乙勝其他任何一隊的機率皆為1
3，丙、丁 實力相當，且比賽沒有和局。試問對丙而言，採用(a)(b)(c)三種賽程中何者，其 獲得冠軍的機率最高？
【簡答】(c)
【詳解】
1 2 1 1 2 62 3 3 3 3 27
p a ,
1 1 2 2 1 53 3 3 3 2 27
p b
2 2 1 1 1 73 3 3 3 2 27
p c
故對丙而言，三種賽程中以(c)獲得冠軍的機率最高。
【評析】
本題為簡易機率問題，只要概念與計算正確，便可以迎刃而解。
此題共有8人作答，其中6人正確解出。而解題品質與寫作表達較佳者如 下：
台北市興雅國中蔡承諺同學、桃園市振聲國中劉賢傳同學、新北市中山國中王勻 同學、新北市文山國中沈執中同學、新北市文山國中陳彥睿同學、新竹市實驗高 中鄭百里同學等人。
13505
全班有50人參加合唱比賽，要排成三排，且每一排的人數要比前一排的人數多，
請問有多少種隊形排法？（例：第一排6人，第二排15人，第三排29人，視 為一種排法）
【簡答】144
【詳解】［法一］
將各排人數寫成數對，考慮第三排的人數，從最多的47人到最少的18 人分類如下：
(1, 2, 47) 共1種 (1,3, 46) 共1種
(1, 4, 45),(2,3, 45) 共2種 (1,5,44),(2, 4, 44) 共2種
(1,6, 43),(2,5, 43),(3, 4, 43) 共3種 (1,7, 42),(2,6, 42),(3,5, 42) 共3種
……
(1, 22, 27),(2, 21, 27), (3, 20, 27),...,(11,12, 27) 共11種 (1, 23, 26),(2, 22, 26),(3, 21, 26),...,(11,13, 26) 共11種
(1, 24, 25), (2, 23, 25),(3, 22, 25),...,(11,14, 25), (12,13, 25) 共12種 (3, 23, 24),...,(12,14, 24) 共10種
(5, 22, 23),...,(13,14, 23) 共9種 (7, 21, 22),...,(13,15, 22) 共7種 (9, 20, 21),...,(14,15, 21) 共6種 (11,19, 20),...,(14,16, 20) 共4種 (13,18,19),...,(15,16,19) 共3種 (15,17,18) 共1種
總共 (1 11) 11
2 12 10 9 7 6 4 3 1 184
2
種
［法二］
第一排人數是2k1人時，第二排人數將有2 ~ (25k k)，共(26 3 ) k 種可能；第一排人數是2k人時，第二排人數將有(2k1) ~ (24k)， 共(24 3 ) k 種可能。故所求為
8 7
1 1
(26 3 ) (24 3 )
k k
k k
8 71 1
26 8 3 24 7 3
k k
k k
(1 8) 8 (1 7) 7
208 3 168 3
2 2
208 108 168 84 184 共184種。
【評析】
本題需簡單按奇偶數分類，可觀察規律或使用Sigma加總運算而得。
本題共有7位同學作答，其中6位獲得滿分7分：
台北市仁愛國中鐘景翰同學、台北市興雅國中蔡承諺同學、
桃園市振聲國中劉賢傳同學、新北市文山國中沈執中同學、
新北市文山國中陳彥睿同學、新竹市實驗高中鄭百里同學。
其餘投稿的同學尚有下列1位：台北市麗山國中江子新同學。
5
