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臺北市立建國高級中學第 137 期通訊解題題目解答與評析

13701

有一個正整數n，已知_n²可以表示為兩個連續正整數的立方差，且(2n287) 是一個正整數的完全平方，求n的值。

【簡答】2521

【詳解】因 n² (m1)³m³ 3m²3m1，

所以 (2n1)(2n 1) 4n² 1 12m²12m 3 3 (2m1)²。

因2n1, 2n1互質，所以這兩個數一個是奇數平方，另一個是奇數平方乘以3。但若2n1是奇數平方乘以3且2n1是奇數平方，因

2n 1 0 (mod 3)，故知2n 1 2 (mod 3)，但因平方數除以3的餘

數必為0或1，得矛盾！所以2n1是奇數平方。

設₂_n_{ }₁ _b²（b1是奇數），因2n287是一個正整數的完全平方，

設₂_n_₂₈₇__a²（a是奇數），得_a²__b² _₂₈₈。所以a b 144, 2

a b  （因a b 與a b 均為偶數且2n1是奇數平方乘以3，故其他組合皆不合），得b71。而2n 1 5041, n2521，得

2n 1 5043 3 41  2，所以m1455。

【評析】

本題為難度較高的數論問題。不但概念需要正確，且要有較佳的數論解題技巧，特別是利用整數奇數與偶數特性進一步進行分析與解題。此題共有2人作答但均無法正確解出最後的答案。因此此題需要指導老師進一步講解與指導。

13702

甲、乙兩人同時解根式方程 _{x a}_{ } _{x b}_{ }₆，抄題時，甲錯抄成 6

x a  x b  ，結果得一根為9；乙錯抄成 _{x a}_{ } _{x d}_{ }₆，結果得一根為4，已知二人解題過程無誤，又a b d, , 均為整數，試求a b, 之值。

【簡答】( , ) (5,7)a b 

【詳解】據題設有 ₉_{ }_a ₉_{ }_b ₆, 4 a 4 d 6，即 9 6 9 (1)

4 6 4 (2)

a b

a d

    



   





 ，由(1)式平方可得_{a b}_{ }_{36 12 9}_ __b，

由a b, 均為整數，因而 ₉__b亦為整數，同理 ₄__d 也為整數。

設_p_ ₉_{  }_a ₆ ₉__b, q 4a（這裡^{p q}^, 均為非負整數），

從(1), (2)式中消去^a，可得p²q² 13，

於是，可得^{p q}^, 的兩組解為( , ) (2,3), (3, 2)p q  。因此，相應有a b, 的兩組解為( , ) (5,7), (0,0)a b  。

由於( , ) (0,0)a b  時，甲所抄題目與原式相同，則沒抄錯，故需刪去。

所以，( , ) (5,7)a b  。

1

(2)

【評析】

本題只要由a b, 為整數，得出p 9a、q 4a亦為整數，再加上討論

2 2 13

p q  的整數解，並刪去( , ) (0,0)a b  ，即可得出正確答案。大部分同學都能掌握題目重點，可惜在某部分的計算有失嚴謹，而被扣了一些分數實屬可惜，

希望同學們以後不論遇到什麼樣的題目，都要抱持著耐心謹慎的態度。

本題共6人參與徵答，只有1人獲得滿分7分，平均得分5.33分。

成績如下：

7分：新竹市實驗高中鄭百里同學，表達清晰完整獲得滿分；

6分：台中市大墩國中張修展同學、台北市仁愛國中鐘景翰同學、

新北市文山國中沈執中同學，都是因為未刪去( , ) (0,0)a b  而扣1分；

5分：新北市永和國中柯志恩同學，因為說明過程太過簡略酌扣2分，建議往後作答時，多嘗試交代流程細與細節，以求論述完整；

2分：台北市古亭國中陳承均同學，雖縮小a的範圍，卻沒討論出正確答案獲得2分。

13703

在△ABC中，BC21, AC14, _AB_₂₈，取邊_AB上的兩點D E, ，使得 7

AD ，ACD BCE，求_BE的長。

。

【簡答】12

【詳解】設BE x  DE21x

設_{CD m}_ , _{CE n}_ ，由ACD BCE

得^{AD BE}^: 



△面^ACD積 △面積

 

^: ^BCE



CA CD CB CE ^:  則7 :x14 : 21m n2 : 3m n ……(1)

又由ACD BCE 得ACE BCD

   

: : :

AE DB △面ACE積 △面積 BCD CA CE CB CD  則(28x) : 21 14 : 21 n m2 : 3n m ……(2)

由(1)(2)兩式可得

7 28 2 2 28 4

21 3 3 3 9 12

x m n x

x n m x x

 

       ，故_BE=12。

【評析】

1. 本題為簡易的幾何問題，大部份的同學皆由△△ABC~ ACD及

~

CDE ACE

△△ 兩個相似的關係求出答案。

2

(3)

2. 張修展同學由 1 2 cos BE BC

  CBE

 ，搭配餘弦定理求出答案。

3. 本題共8人徵答，得到滿分的同學有：台中市大墩國中張修展、台北市仁愛國中鐘景翰、新北市文山國中沈執中、新北市文山國中陳彥睿、新北市永和國中柯志恩、新竹市實驗高中鄭百里。

13704

某國中二年級有四個班，從每班挑選桌球男女選手各一人，組成四對男女混雙。試問：在這四對男女混雙中，沒有任何一對選手是同班同學的組合方式有幾種？

【簡答】9

【詳解】設一、二、三、四班的男女選手分別為a1、b1、a2、b2、a3、b3、a4、b4，則四對男女混雙中沒有一對選手是同班同學的組合方式有

(a1b2)(a2b1)(a3b4)(a4b3) (a1b2)(a2b3)(a3b4)(a4b1) (a1b2)(a2b4)(a3b1)(a4b3) (a1b3)(a2b1)(a3b4)(a4b2) (a1b3)(a2b4)(a3b1)(a4b2) (a1b3)(a2b4)(a3b2)(a4b1) (a1b4)(a2b3)(a3b2)(a4b1) (a1b4)(a2b3)(a3b1)(a4b2) (a1b4)(a2b1)(a3b2)(a4b3) 共9種組合方式。

【評析】

本題屬偏易的組合題，也有同學用排容（取捨）原理來算。大多數的同學跟詳解一樣是用列舉的方式來處理。要注意的是用列舉的方式時分類要細心，並小心對付重覆的情況。多數的同學都能算出正確的答案，但還是有少數的同學需再謹慎些。本題共62位同學參與徵答，有42位同學獲得滿分。

13705

已知n為正整數，正整數a1, a2 , a3 ,…, an 均為合數，且兩兩互質，

證明：

1 2

1 1 1 1 1

n 2 4

a a   a   n。

【命題】游明俐

【證明】設ak的最小質因數為pk (k＝1,2,…, n)，

因為a1, a2 , a3 ,…, an 均為合數，所以a_k  p_k²，

又a1, a2 , a3 ,…, an為兩兩互質的合數，因此p1, p2 , p3 ,…, pn兩兩相異，

故 2 2 2

1 2 1 2

1 1 1 1 1 1

n n

a a   a  p  p   p

3

(4)

2 2 2 2

1 1 1 1

2 3 5 (2 n 1)

   

  

2

1 1 1 1

2 2 2(2 2 2) 2 3(2 3 2) 2 (2n n 2)

   

        

＝ 1₂ 1 1 1 1 1 1 1

[ ... ]

2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 3    2 n 2 2 n

         ＝1 1

2 4n

【評析】

1. 先說明此題的解題想法：

除了2以外的質數都是奇數，因此此題講白了就是：兩兩互質的n個合數的倒數和不大於2和從3開始的前⁽n ¹⁾個奇數的平方的倒數和，接著再找較大一些的上界，然後分拆、對消。

2. 本題參與徵答者有4人：

臺中市大墩國中張修展同學、臺北市仁愛國中鐘景翰同學、

新北市永和國中柯志恩同學、新竹市實驗高中國中部鄭百里同學。

其中得7分者有2人：

臺北市仁愛國中鐘景翰同學、新北市永和國中柯志恩同學。

其中得6分者有2人：

新竹市實驗高中國中部鄭百里同學、臺中市大墩國中張修展同學。

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