PDF 主題：空間概念

主題：空間概念

1、空間與平面的比較

(1)平面可做出 條互相垂直之直線。

(2)空間可做出 條互相垂直之直線。

2、決定一直線 (1)相異兩點

(2)一點與直線方向 3、決定一平面

(1)不共線三點

(2)一直線與線外一點

(3)二相交直線（交於一點）

(4)二平行直線 4、直線與直線的關係

(1) (2) (3) (4)

 

 

 

 

 

 



相交 交於一點

重合

不相交 平行

歪斜（空間才有）

我

5、平面與平面的關係 (1)平行

(2)重合

(3)相交於一直線 6、直線與平面的關係

(1)平行

(2)直線落在平面上 (3)交於一點

7、垂直的性質

空間中，直線與平面有以下的垂直性質：

(1)若一直線L與平面E相交於A，而L與在E上且過A點之每一直線垂

直，則稱L與E垂直。（直線與平面垂直定義）

(2)若一直線L與平面E相交於A，而L與在E上且過A點之相異兩直線垂

直，則L與E垂直。（直線與平面垂直定理）

例題1：

下列敘述哪些是正確的？

(1)在平面上，若兩相異直線不相交，則它們必平行 (2)在空間中，若兩相異直線不相交，則它們必平行

(3)在平面上，任意兩相異直線一定有公垂線（仍在該平面上）

(4)在空間中，任意兩相異直線一定有公垂線

(5)在空間中，相交的兩相異平面一定有公垂面（公垂面是指與該兩平面都垂直 的平面）

Sol：

例題2：

下列有關空間的敘述，哪些是正確的？

(1)過已知直線外一點，「恰有」一平面與此直線垂直

(2)過已知直線外一點，「恰有」一平面與此直線平行

(3)過已知平面外一點，「恰有」一直線與此平面平行

(4)過已知平面外一點，「恰有」一平面與此平面垂直

(5)過已知平面外一點，「恰有」一平面與此平面平行

Sol：

例題3：

右圖為一正立方體，試問下列何者正確？

(1)EA EG

 

 

  

 

(5)EF EA EH

   

例題4：

如上圖，下列何者與AF 共平面？

(1)FC (2)EG (3)HB (4)HD (5)GD Sol：

例題5：

一個正立方體的八個頂點中，已知有四個頂點，彼此之間的距離都是1，求

此正立方體的體積？

Sol：

A B

C D

E F

G H

主題：三垂線定理

直線L在平面E上，點C在L上，點B在E上但不在L上，點A不在E上，

則：

(1)若ABE且BC L (2)若ABE且AC L

(3)不成立：ACL且BCL  AB垂直E

Pf：

例題1：

設A B C, , 三點在平面E上，且ABBC、PAE於點A。已知

3 , 4 , 12

PA AB BC ，求PC。 Sol：

L

A

C

B D

P

C

B A

例題2：

不共線三射線OX OY OZ  , ,

互成30度，P點在OX

上，且OP2。P至平 面OYZ的投影為Q，由Q至OY

之垂足為R。又直線QR

交OZ

於S點。試求：

(1)OR長 (2)RS長 (3)PS²PR² Sol：

例題3：

直角△ABC中，∠C為直角。AC＝15，BC＝20，自C點作平面ABC之垂

直線段PC，已知PC＝5，求P點到斜邊AB的垂直距離。

Sol：

O

Y

Z X

P

S

R Q

主題：兩面角

【定義】

在平面E與F之交線（稜）PQ

上取一點A，在E上作ABPQ

。在F上 作ACPQ

，則 。

【求法】

(1)餘弦定理（知三邊）cos 

(2)用向量（座標化）cos 

例題1：

設A B C, , 三點在平面E上，且ABBC、PAE於點A。已知

3 , 4 , 12

PA AB BC ，求PC。 Sol：

A

B

C

例題2：

兩平面E F, 交於一直線CD。A是平面E上一點，且A在F的正射影為B。

已知ACB為30度，E F, 所為成的兩面角為45度，求cosACD。 Sol：

例題3：

四面體ABCD中，令ABAC AD4，BCCDDE2，若為平面

ABC和平面BCD所夾之二面角，求：

(1) cos (2)四面體體積 Sol：

體積公式：

柱體體積＝底面積 × 高 錐體體積＝¹

3 × 底面積 × 高

例題4：

如下圖，將一張正方形的紙ABCD沿著對角線BD摺起，使得∠ABC = 60，

求二平面ABD與BCD的夾角。

Sol：

例題5：

有一各稜長均為8的金字塔形，其側面為四個等腰三角形，底面之邊長為6 的正方形，若相鄰兩側之夾角為，底面與側面之夾角為，試求：

(1)cos (2)cos (3)此五面體體積 Sol：

類題1：

下列敘述何者正確？

(1)空間中部相交的兩直線必會平行 (2)垂直於同一平面的兩直線必互相平行

(3)若空間直線L與平面E交於一點，則存在唯一平面包含L且和E垂直

(4)若空間直線L與平面E互相垂直，則包含L的平面必與E垂直

(5)給空間中兩相異直線，則必存在直線與此兩直線均垂直 Ans：245

類題2：

如圖，OA⊥平面E，且ABL，已知OA＝3，AB＝4，BC＝3，求OC長。

Ans： 34

類題3：

如圖，兩半平面E F, ，交於一直線OT，A是平面E上一點，令A在平面F

之正射影為B，已知∠AOB為45度，E F, 所夾之二面角度量為60度，設 AOT 

  ，求sin值。

Ans： 3

6

類題4：

右圖為一正立方體，被一平面截出一個四邊形ABCD，其中B D, 分別為稜的 中點，且EA：AF ＝1：2，求cos∠DAB。

Ans： ¹

37

類題5：

設二平面E F, 交於一直線L，平面E上有一點A，A在F的正射影點為B， 自B作L的垂線，垂足點為C。若AB＝6，AC＝12，試求：

(1)BC長 (2)兩平面之銳夾角 Ans：(1) 6 3 (2)30˚

類題6：

下圖正四面體ABCD中，若在AB AC AD, , 上分別取點P Q R, , 。已知AD垂 直平面PQR且AP＝6，求

(1)AR (2)△PQR的面積

Ans：(1)3 (2) 9 2

主題：正四面體的性質

【定義】

由四個正三角形所組成的立體圖形，稱為正四面體，設邊長為a。

【性質1】正四面體DABC，D點對ABC之投影點Q為ABC之 。

【性質2】正四面體DABC，其高為 ；其體積為

Pf：

【性質3】若正四面體DABC之兩面角為，則cos 

【性質4】正四面體DABC，歪斜兩稜（有三組）之距離d  =

Pf：

A

C

B D

【性質5】正四面體DABC，外接球之半徑R

【性質6】正四面體DABC，內切球之半徑r

Pf：

例題1：

已知正四面體DABC的稜長為6，回答下列問題：

(1)高 (2)體積 (3)內切球半徑

(4)外接球半徑 (5)兩歪斜稜距離 (6)設為兩面角，求sin Sol：

例題2：

設ABCD為一四面體，而ABACAD 1，∠DAB ∠DAC ∠BAC  30，

求△BCD的面積。

Sol：

例題3：

邊長為2的正立方體的八個頂點，若選取三個頂點連成正三角形，求此正三

角形面積。

Sol：

類題1：

如圖，若DABC為一正四面體，邊長為10，DH垂直平面ABC於H，則 下列何者正確？

(1) H為△ABC之內心

(2)BD

 

3 3 10

(4)若平面ABC與平面ADC的夾角為，則cos  

3 1

(5)AD與BC的距離為5 2

Ans：125

類題2：

如下圖，正方形ABCD的邊長為a，而P，Q各為BC，CD的中點，今將此

正方形沿虛線向上摺起，使B，C，D三點重合，令此重合點為R，求四面體A-PQR 之體積。

Ans：24

a3

類題3：

長方體的一頂點O，以O為頂點的三邊為OA，OB，OC，若AB= 3，AC

= 2，BAC = 60，試求

(1)OA² (2)OB² (3)OC² (4)O到平面ABC的距離 Ans：(1) 3 (2) 6 (3) 1 (4)

3 6

類題4：

下圖是一個正四角錐，它的底面是一個邊長為2的正方形，此正四角錐的高為1，

求兩相鄰側面的夾角之度數。

Ans：120

14 第1章 空間向量

習 題 1-1

Ａ. 基本能力題

1. 下列有關空間幾何的敘述，哪些是正確的？( 多選 )

(A) 平面上，若兩相異直線不相交，則它們必平行 (B) 空間中，若兩相異直線不相交，則它們必平行 (C) 空間中，過平面外一點，恰有一直線與此平面垂直 (D) 空間中，過直線外一點，恰有一直線與此直線垂直

(E) 設直線L1在平面E1上，直線L2在平面E2上，若E1 // E2，則L1 // L2

(F) 設L1，L2為相異直線，若L1與L為歪斜線，且 L2與L為歪斜線，則L1 與 L₂必是歪斜線

2. 阿榮、阿南、阿一在空間中測量 AB ， BC ，

CA 的長度，三人所得數據如右表：

(1) 你認為哪一人的數據有誤？

(2) 依他們所測量的數據，分別說明A，B，

C三點在空間的位置性質。

3. 如右圖，A，B，C，D，A'，B'，C'，D'為 正立方體的八個頂點，試問下列哪些線段會 與 A'B 共平面？( 多選 )

(A) BC' (B) AC (C) B'D (D) DD' (E) CD'

4. 如右圖，ABCD為四面體，已知 AD 垂直於平面

BCD， BC ⊥ BD ， AD ＝15， CD ＝20， AB ＝24。

(1) 求 BC 之長。

(2) 若平面ADB與平面ADC的夾角為θ，求 sinθ之值。

AB BC CA

阿榮 1 5 6.4

阿南 1 5 6

阿一 1 5 5.2

15 空間概念

1-1

5. 右圖為長方體ABCD-EFGH，其中 AB ＝12，

BC ＝9， CG ＝8。

(1) 求 BH 之長。

(2) 設半平面ADHE與半平面BDHF所成

二面角為θ，試求tanθ之值。

Ｂ.挑戰題

1. 右圖為一正立方體，A，B，C，D分別為所在的邊之中點。

(1) 通過A，B，C三點的平面與此立方體表面相截，試問下

列何者為其截痕的形狀？( 單選 )

(A) 直角三角形 (B) 鈍角或銳角三角形 (C) 正方形 (D) 非正方形的矩形 (E) 六邊形

(2) 通過A，B，D三點的平面與立方體表面相截，試問下列何者為其截痕的

形狀？( 單選 )

(A) 直角三角形 (B) 鈍角或銳角三角形 (C) 正方形 (D) 非正方形的矩形 (E) 六邊形

2. 如右圖，△ABC為等腰三角形， AB ＝ AC ＝13，

BC ＝10，G為其重心，D為 BC 中點，若 PG 垂直平面ABC且 PG ＝3，求 PD 與 PC 之長。

3. 右圖為一個四角錐體，其中底面為正方形ABCD，

且邊長是6，四個側面均為等腰三角形，且

PA ＝ PB ＝ PC ＝ PD ＝5。

(1) 設側面PAB與底面ABCD所成的二面角

為θ，求cosθ之值。

(2) 求此四角錐體的高 PO 之長。

16 第1章 空間向量

4. 右圖中 ABCDEF是一個房子的對稱狀屋頂，

ABCD是一長方形，其中AB ＝10公尺，

AD ＝8公尺，又上樑 EF ＝6公尺，且對稱 的放在長方形ABCD正上方3公尺處。

(1) 求 AE 之長。

(2) 設側面ADE與底面ABCD所成的二面角為θ，求cosθ之值。

x

y z

y

x z

主題：空間坐標系

1、空間坐標系：

在空間中任取一點O，過O點作兩兩互相垂直的三條直線，在這三條

直線上，各取一個方向做為正方向，並取適當長度做為單位長，這樣每條 直線就變成以O點為原點的數線，分別為x軸、y軸、z軸，統稱為坐標軸。

我們稱原點O、x軸、y軸與z軸組成了空間坐標系。

(1)右手系空間坐標 (2)左手系空間坐標

2、坐標平面：

在空間坐標中

(1)x軸與y軸所在的平面稱為xy平面 (2)y軸與z軸所在的平面稱為yz平面 (3)z軸與x軸所在的平面稱為zx平面

3、卦限：

三個坐標平面，將空間分成8個部分，每一個部分稱為一個卦限。

(1)第一卦限為





(2)其餘卦限之順序未明確規定

主題：坐標表示法

設P為空間中一點，過P點分別作一平面與x軸、y軸、z軸垂直，則這 三平面順次與x軸、y軸、z軸交點的坐標a b c, , 分別稱為P點的x坐標、y坐 標與z坐標。以P a b c( , , )表示P點的坐標為( , , )a b c 。

【性質1】坐標軸上的點

(1)x軸上的點坐標必型如  (2)y軸上的點坐標必型如  (3)z軸上的點坐標必型如 

【性質2】坐標平面上的點坐標

(1)xy平面上的點坐標必型如  (2)yz平面上的點坐標必型如  (3)zx平面上的點坐標必型如 

O

x

z

y ( , , ) P a b c

例題1：

如圖，試找出各點坐標及P a b c( , , )對各軸及各面的投影點及對稱點座標。

點 _{A B} C ^Q R S

坐標

正射影坐標 對稱點坐標 到軸(面)距離 x軸

y軸 z軸 xy平面 yz平面 zx平面 原點

x

z

O y

B

A S

C R

P

Q

主題：兩點距離公式及分點公式

1、兩點距離公式

(1)平面上兩點A x y( ,_{1 1})、B x y( ,_{2 2})d A B( , ) AB

(2)空間中兩點A x y z( ,_{1 1}, )₁ 、B x y z( ,_{2 2}, ₂) d A B( , ) AB 2、分點公式

(1)平面上兩點A x y( ,_{1 1})、B x y( ,_{2 2})，滿足P在AB上且AP PB: m n:

 P點坐標為

(2)空間中兩點A x y z( ,_{1 1}, )₁ 、B x y z( ,_{2 2}, ₂)，滿足P在AB上且AP PB: m n:

 P點坐標為

例題1：

如圖，已知F(1, 2, 3)，試求其餘各點坐標及F點到各處的距離。

x軸 y軸 z軸 xy平面 xz平面 yz平面 與F之距離

x

z

D y

C

A E

H _G

F

B

A點 B點 C點 D點 E點 G點 H點

例題2：

設P點在第一卦限，且P點到x軸、y軸、z軸的距離分別為5、 34、 41，

求P點坐標。

Sol：

例題3：

已知P(2, 3,1) ，試求

(1)P對xy平面的正射影 (2)P對yz平面的對稱點 (3)P對y軸的對稱點 Sol：

例題4：

一動點P與原點的距離為其與另一點(2, 0, 0)距離的一半，試求滿足此條件

之動點P所形成的軌跡圖形之方程式。

Sol：

例題5：

已知A(1, 2, 3)、B(2, 1, 1)  ，求滿足PAPB之點P所形成的軌跡方程式。

Sol：

動點軌跡方程式 (1)設動點P x y z( , , )

(2)依動點滿足之條件列式 (3)求動點P之x y z, , 的關係式

例題6：

設A B, 兩點坐標分別為A(2, 1, 2) 、B( 1, 5, ) z 且AB7，求z的坐標。

Sol：

例題9：

設P在xy平面上，且與三點A( 4,8, 2) 、B(2, 5, 6)、C(2, 0, 0)等距，求P值。

Sol：

例題10：

已知一正四面體其中三頂點(0, 0, 0)、(2, 0, 0)、(1,1, 2)，求另一頂點坐標。

Sol：

例題11：

空間中一點P至三軸之距離分別為2, 3, 4，試求點P至原點的距離。

Sol：

例題12：

如下圖，有一邊長為1的正方體。今置頂點A於空間坐標系中之原點(0, 0, 0)，

置頂點B於正z軸上，求頂點C之z坐標 Sol：

例題13：

設A(2, 6, 3)、B(2, 2, 1) ，已知C在AB

上且滿足AC3BC，求C點坐標。

Sol：

類題1：

一線段AB在xy平面，yz平面，zx平面上的正射影長分別為4， 15， 21，

求AB長。

Ans： 26

類題2：

正四面體ABCD，已知B C D, , 的坐標分別為B(0, 0, 0)、C(1, 0, 0)、D x y( , , 0)， 其中x，y皆為正，求

(1) D的坐標 (2) A的坐標 (3)設A在底面BCD正射影為H，則H的坐標

Ans：(1) ( 2 1,

2

3,0) (2) ( 2 1,

6 3,

3 6 )或(

2 1,

6 3,

3

6 ) (3) ( 2 1,

6 3 ,0)

類題3：

長方體ABCD - EFGH（如下圖）中，AB 1，AE 2，AD 3，PA 2，FQ

 1，求PQ的長。

Ans： 6

類題4：

設線段AB之長為5，此線段在xy平面，yz平面上之正射影長分別為 19，

21，求此線段在zx平面上之正射影長。

Ans： 10

類題5：

空間中兩點A(2, 1, 0) 、C(1,1,1)。已知B在AC上且AB BC: 1: 2，求B點 座標。

Ans：( ,^{5 1 1}, ) 3 3 3

主題：空間向量

1、空間向量

幾何部分，空間與平面運算性質相同。代數部分（坐標化），空間向量

比平面向量多個 。

設A x y z( ,_{1 1}, )₁ 、B x y z( ,_{2 2}, ₂)、



、



，則 (1) AB



(2) |AB



(3) 相等：若

 

(4) 加法：

 

(5) 係數積：r a



(6) 分向量：若 

_______________（O為任意點）

(7) 內積：

 

(8) 平行：若

 



(9) 垂直：若

 

 (10)柯西不等式

(11)夾角：cos  

(12)





的正射影＝ 

(13)ABC的面積＝

(14)



的單位向量＝ 

A P B

m n

例題1：

已知



、



，求(

   

。 Sol：

例題2：

已知ABC，A(1,1,1)、B(0, 3, 3)、C(3, 0, 2)，求 (1) sinA (2)ABC面積 (3)AB



在AC



的正射影 Sol：

例題3：

A(1, 2, 3)、B(2, 5, 3)、C(2, 6, 4)，已知D與此三點構成一平行四邊形，求D點 坐標。

Sol：

例題4：

空間中三點A(4,1,1)、B(0, 6, 0)、C( 1,1, 2) ，試求BA BC

 

。 Sol：

例題5：



、



，設

  

，求當t為多少時，



的長度 最小。

Sol：

例題6：

已知ABC中，AB



、AC



，試求ABC的周長。

Sol：

例題7：

設



，求



同向之單位向量。

Sol：

例題8：

設A(1, 0, 1) 、B(2, 2,1) 、C(3, 2,1)，已知AB

 

且 |CD



，試求D點 坐標。

Sol：

例題9：

設



、



、



且

 

、

 

， 求( , , )x y z 。

Sol：

例題10：

空間中四點A B C D, , , ，若AB1、BC2、CD3且ABC BCD120， AB



與CD



夾角為60，求AD長。

Sol：

例題11：

設X Y Z, , 三點為別落於空間坐標x y z, , 軸上，求XOY在xy平面上之角平分

線與YOZ在yz平面上之角平分線的夾角。

Sol：

例題12：

如下圖，長方體之長，寬，高各為4，5，3，試求AG



與FD



的夾角。

Sol：

例題13：

如下圖，ABCD為正立方體的一個面，P、Q分別為BC、CD的中點，O為 正立方體的中心，求cos (∠POQ)。

Sol：

例題14：

如下圖，長方體ABCD-EFGH中，AB4，BC 2，AE3，求AG CH

 

。 Sol：

類題1：

設







Ans：35

類題2：

已知平行四邊形ABCD中，A(1，2，3)，B(4，5，6)，C( 5，8，7)，

求D點坐標。

Ans：( 8，5，4)

類題3：

設





c  a t b

  

， (1)若





，則t  。 (2)若



平分



、



。 Ans：(1)⁹

4 (2) 1

類題4：

設a，b，c均為正數且a  b  c  9，則

c b a

16 9

4  之最小值為 。 Ans：9

類題5：

一稜長為a的正四面體ABCD，CD之中點為M，BC之中點為N，則 (1)AB AM

 

(2) AM AN

 

2 a2

(2) 8 5a²

類題6：

空間中有三點，A(2， 1，1)，B(1， 2， 1)，C(4，1， 3)，試求ABC的 面積。

Ans：4 2 類題7：

設







，



同時垂直且長度 2的向 量。

Ans： )

7 1 7 3 7

( 2 

 ， ，

類題8：

設

 

b OB

 

與 之夾角為， 若cos 

3

1，求k之值。

Ans：

2 14 類題9：

若x，y  R，試求x²  y²  (2x  3y  2)²的最小值。

Ans：7

2

類題10：

如下圖所示，正立方體各邊（稜）長為1，求

(1)點P之坐標

(2)對角線AR與BS的一個夾角為，sin 之值

(3)點R至平面BCP的距離

Ans：(1) ( 1，1，1) (2)

3 2

2 (3)

3 1

30 高中數學(四)學習講義

!"

#$%

&

'( )%

*+ ,!

!-

#.%

&

/( )%

*+ ,!

!-

#.%

&

/( )%

*+ ,!

1-2 ^課後練習

基 本 題

1. 在空間坐標系中，下列哪一點與原點最近？

(A) A ( 2 , 1 , 0 ) (B) B (－1 , 0 , 3 ) (C) C ( 1 , 1 , 2 ) (D) D ( 1 , 1 ,－1 ) (E) E ( 3 , 0 , 0 )

答：_______(D) 。

2. 已知A ( 4 , 1 ,－3 )，B (－2 , 3 , 1 ) 為坐標空間中兩點，P為z軸上一點，且 AP＝ BP ，則P點 坐標為_______________( 0 , 0 ,－3

2 ) 。 【成功高中】

3. 設空間中一點P ( 10 , 12 ,－5 )。

(1) P點到xz平面的距離＝______12 。 (2) P點到x軸的距離＝______13 。

4. 已知空間中一點P ( 1 , 2 , 3 )，若P點在xy平面、zy平面、xz平面上投影點分別為A，B，C三

點，且△ABC的重心為G，則G點坐標為

_______________( 2 3 , 4

3 , 2) 。 【北一女中】

5. 設△ABC之三頂點坐標為A (－1 ,－2 , 6 )，B ( 2 , 4 , 4 )，C ( 4 , 1 ,－2 )，試問△ABC為何種三角 形？

答：__________________等腰直角三角形 。

6. 右圖為一長方體，其中 EH， EF ， EA 依次與x軸、y軸、z軸平行，

若A ( 0 , 2 , 3 )，G ( 1 , 5 , 1 )，則H點的坐標為____________( 1 , 2 , 1 ) 。 7. 若A ( 1 , 5 , 4 )，B ( 3 , 2 , 4 )，C ( k＋m , 3 , 2k－m ) 三點共線，

則數對 ( k , m ) 為

______________( 19 9 , 2

9 ) 。 【中山女中】

8. 設A ( 3 ,－1 , 2 )，B ( 5 , 3 ,－4 )，若P點在直線AB上，且AP ： BP ＝3：2，求P點坐標。

答：

__________________________________( 21 5 , 7

5 ,－8

5 ) 或 ( 9 , 11 ,－16 ) 。

9. 設 u ＝(－2 , 1 , 1 )， v ＝( 5 ,－5 , 2 )， w ＝6 u ＋k v ，k為實數，若 w 平分 u 和 v 的夾角，則k

之值為_____2 。 【高雄女中】

10. 坐標空間中三向量 a ＝( 1 , 1 , 0 )， b ＝( 2 ,－3 , 0 )， c ＝( 0 , 0 , 1 )。若 u ＝(－1 , 9 , 5 )可表成 x a ＋y b ＋z c 的形式，其中x，y，z是實數，則序組 ( x , y , z )＝_______________( 3 ,－2 , 5 ) 。【彰化女中】

挑 戰 題

11. 若空間中有一線段長為 29 ，此線段在xy平面與yz平面的正射影長分別為 13 ， 20 ，則此 線段在xz平面上的正射影長為_____5 。 【高雄中學】

12. 空間坐標系中第一卦限內 ( 即x，y，z坐標皆大於0 ) 一點P，若P到x軸、y軸及zx平面的距

離分別為 34 ， 61 及3，求P點坐標為_____________( 6 , 3 , 5 ) 。 【高雄女中】

1-2 空間向量的坐標表示法 31

!"

#$%

&

'( )%

*+ ,!

!-

#.%

&

/( )%

*+ ,!

!-

#.%

&

/( )%

*+ ,! 13. 右圖為一金字塔，底面為一邊長6的正方形，四個側面皆為

等腰三角形，且 PA＝ PB ＝ PC＝ PO ＝5，試求P點坐標。

答：________________( 3 , 3 , 7 ) 。

14. 空間中有四點A ( 1 , 5 , 2 )，B ( 3 , 2 ,－4 )，C ( 5 , 3 ,－7 )，

D ( x , y , z )，已知 AB // CD 且 CD＝14，求D點坐標為

____________________________( 9 ,－3 ,－19 ) 或 ( 1 , 9 , 5 ) 。 【中山女中】

15. 已知A ( 2 , 2 ,－2 )，B ( 1 , 4 ,－4 )，C ( 5 , 2 , 2 )，∠BAC之內角平分線交 BC於D，設E在射線 AD上，且滿足 AE ＝5 AB ＋α AC ，則實數α＝_____3 。 【松山高中】

大 考 題

16. 如右圖，ABCD-EFGH為一平行六面體，J為四邊形BCGF的中心，

如果 AJ ＝a AB ＋b AD ＋c AE ，試問下列哪些選項是正確的？

(A) 1

3 ＜b＜2

3 (B) a＋b＋c＝2 (C) a＝1 (D) a＝2c

(E) a＝b 【92.學測】

答：_______________(A)(B)(C)(D) 。

17. 如右圖所示，ABCD-EFGH為邊長等於1之正立方體。若P點在正 立方體之內部且滿足 AP ＝3

4 AB ＋1

2 AD ＋2

3 AE ，則P點至直 線AB之距離為

_______

5

6 。( 化成最簡分數 ) 【94.學測】

18. 假設 a ， b ， c 是空間中三個向量，r是一個實數。已知 a ＝( 1 , 1 , 0 )， b ＝( 0 , 1 , 1 )，且 a ，

b ， c 滿足 a ＋ b ＋r c ＝ 0 ，那麼r 不可能等於下列哪一個數值：

(A) － 2 (B) 0 (C) 1

(D) π( 圓周率 ) (E) 10¹⁰⁰ 【95.指考乙】

答：_______(B) 。

19. 令A (－1 , 6 , 0 )，B ( 3 ,－1 ,－2 )，C ( 4 , 4 , 5 ) 為坐標空間中三點。若D為空間中的一點且滿足 3 DA －4 DB ＋2 DC ＝ 0 ，則D點的坐標為________________(－7 , 30 , 18 ) 。 【97.學測】

20. 在坐標空間中，一正立方體的八個頂點分別為 ( 0 , 0 , 0 )，( 1 , 0 , 0 )，( 1 , 1 , 0 )，( 0 , 1 , 0 )，

( 0 , 0 , 1 )，( 1 , 0 , 1 )，( 1 , 1 , 1 ) 與 ( 0 , 1 , 1 )。若A，B分別為此正立方體兩稜邊的中點，則向 量 AB 可能為下列哪些選項？

(A) ( 1 , 0 , 0 ) (B) ( 1

2 , 0 , 0 ) (C) ( 1

2 , 0 , 1 ) (D) ( 0 ,－1 2 ,－1

2 ) 【98.指考甲】

答：_________(A)(D) 。

39 空間向量的內積

1-3

習 題 1-3

Ａ. 基本能力題

1. 設 a＝( 2，1，－1 )，b＝( 1，－1，－2 )，求：

(1) a‧b 之值。

(2) a 與 b 的夾角。

2. 如右圖，ABCD-EFGH為正立方體，其中

P，Q，R，S分別為 AB ， BC ， GH ， AE 的 中點，試求∠PQR與∠SPQ。

3. 如右圖的正立方體，EGBD是正四面體，

試問 EG 與 BD 是否垂直？並說明理由。

4. △ABC中，A ( 1，0，6 )，B ( 4，5，－2 )，

C ( 7，3，4 )，求：

(1) AB‧AC 之值。

(2) ∠A。

(3) △ABC的面積。

5. 已知 a＝(－2，3，1 )，b＝( 1，2，3 )，試求 a 在 b 方向上的正射影。

6. 設 a＝( 3，2，1 )，b＝( 4，1，－2 )，c＝( 1，2，5 )，若 ( a＋t b )⊥c， 試求實數t之值。

7. 已知 a＝(－2，1，2 )，b＝( x，y，z )，若 | b |＝6，求使 a‧b 的值最

大時之 b。

40 第1章 空間向量

8. 設x，y，z為實數，且3x＋2y＋2z＝12，試求9x²＋4y²＋z²的最小值，並求此

時之x，y，z值。

Ｂ.挑戰題

1. 設 a＝( 1，－1，－1 )，b＝( 1，－2，1 )，c＝( x，y，z )，且 c≠0，若

c⊥b，c⊥b。 (1) 求x：y：z。

(2) 若 | c |＝ 14 ，求 c。

2. 已知正三角形ABC的邊長為2，其內部一點P到三邊的距離分別為 x，y，z，

試求x²＋y²＋z²的最小值，又此時P點的位置在哪裡？

3. 設四面體OABC中，OA，OB，OC 兩兩垂直，若 OA ＝2，∠BAC＝60°，

試求△ABC的面積。

主題：公垂向量

1、公垂向量的定義 若

 

且

 

，則稱



為

 

的公垂向量。

※公垂向量不唯一，但均 2、公垂向量的運算

若已知



、



， 則其公垂向量



。

Pf：

設



，那麼

^{1 2 3}

1 2 3

0 0 0 0

a x a y a z

a n a n

b x b y b z

b n b n

        

   

     

    

 

   

   

※記法：去頭去尾法

1 1

a a

b b





 

2 3 3 1 1 2

2 3 3 1 1 2

____________________________________

( a a , a a , a a )

n  b b b b b b



二階行列式值的運算 a b

ad bc c d  

例題1：

設



、



，求





之公垂向量之單位向量。

Sol：

例題2：

已知一平面E//



且E//



，試求平面E的法向量。

Sol：

例題3：

已知xyz0且2x  y z 0、x  y z 0，求x y z: : 。 Sol：

類題1：

設



、



，求





之公垂向量之單位向量。

Ans： 1 1 5

( , , )

3 3 3 3 3 3

 

類題2：

設xyz0且滿足3x y 2z2x3y3z5x4y5z，試求 2

x y x z



 。 Ans：8

主題：外積（  a   b 是 ）

1、外積的定義

已知



、



，則兩向量的外積（

 

）仍是 向量，且滿足下列兩條件

(1)方向：

  

且滿足右手規則 （n

表示a 與b

之公垂向量）

(2)大小：|

 





所展開之平行四邊形面積值

那麼，

 

【說明】

2、行列式與面積的關係 (1)在平面上：



、



，則





所組成之

三角形面積為 平行四邊形面積為

(2)在空間中：



、



，則





所組成之

三角形面積為 平行四邊形面積為

例題1：

平面上有三點A(1, 2)、B( 1, 3) 、C(3, 7)，求ABC之面積。

Sol：

例題2：

空間中有三點A(1, 2, 3)、B( 1, 3, 2) 、C(3, 3,1)，求ABC之面積。

Sol：

類題1：

求



、



所圍成的平行四邊形的面積。

Ans：8 類題2：

(0, 0, 0)

A 、B(0, 2, 3)、C( 1, 3, 0) ，求ABC的面積。

Ans： ⁹⁴

2

1-1 空間概念 13

!"

#$%

&

'( )%

*+ ,!

!-

#.%

&

/( )%

*+ ,!

!-

#.%

&

/( )%

*+ ,!

1-1 ^課後練習

基 本 題

1. 右圖為正立方體ABCD-EFGH，試問下列哪些線段與DE共平面？

(A)AC (B) BH (C)BF (D) CF (E)DG

答：__________(D)(E) 。

2. 下列有關空間的敘述，哪些是正確的？

(A) 相異兩直線L1與L2不在同一平面上，則L1與L2必然歪斜 (B) 直線L1與平面E上的一直線L2垂直，則L1與E必然垂直 (C) 相異兩平面E1，E2都與一直線L垂直，則E1與E2必然平行 (D) 相異兩平面E1，E₂都與一直線L平行，則E1與E2必然平行

答：__________(A)(C) 。 【嘉義女中】

3. 設正四面體ABCD，稜長為4， AG與平面BCD垂直於G點，求 AG之長＝

__________

4 6

3 。

4. 設兩平面E1與E2交於一直線L，平面E1上一點A在

平面E2上的投影點為B，自B作直線L的垂線，垂足 為C，若 AB＝3， AC＝6，試求：

(1) BC 之長。 (2) E1與E2所夾的銳角。

答：___________________(1) 3 3 ；(2) 30° 。

5. 右圖四面體ABCD中， AB＝ AC ＝ AD＝5， BC＝

CD＝ DB ＝6，若平面ACD與平面BCD的兩面角為θ，

則sinθ＝

_________

13

4 。 【中山女中】

挑 戰 題

6. 如右圖，平面E與平面F交於一直線L，且E⊥F，

點P，Q分別在E，F上，且P，Q在L之投影點 各為R，S，已知 PR＝3， QS＝5， RS ＝7，求

PQ＝________ 83 。 【松山高中】

7. 如右圖，兩平面E1與E2交於一直線PQ，平面E1上

一點A在平面E2上的投影點為B，若∠APB＝45°，

且E1與E2所夾的二面角為60°，令∠APQ＝θ，求 sinθ之值為

________

6 3 。

14 高中數學(四)學習講義

!"

#$%

&

'( )%

*+ ,!

!-

#.%

&

/( )%

*+ ,!

!-

#.%

&

/( )%

*+ ,!

8. 若 PD 垂直矩形ABCD所在平面， PA ＝5， PB ＝3 3 ，

PC＝3 2 ，則：

(1) 若△PAB與△ABD所夾的二面角為θ，則cosθ＝

______

3 5 。

(2) PD ＝______4 。 【臺南女中】

9. 如右圖，四角錐O-ABCD，底面四邊形是邊長為1的正方形，

側稜 OA 垂直底面，且 OA＝ 7 ，令∠COD＝θ，則sinθ之 值為______

1 3 。

10. 空間中E1，E2兩平面的交角為30°，E1上一點A在E2平面上的投影點為B，若A到平面E2的距

離為3，A到E1，E2的交線L上一點D的距離為9，試求 BD＝_________6 2 。 【臺中女中】

大 考 題

11. 一正立方體的八個頂點中有四個頂點，各頂點彼此之間的距離都是1，則此正立方體的體積為 (A) 2 2 (B) 2

4 (C) 1 (D) 2。

答：_______(B) 。 【91.指考甲】

12. 右圖為一單位正立方體ABCDEFGH ( 即稜長1 )，則四面體 ACFH的表面積為_________2 3 。 【92.指考乙】

13. 承上題，四面體ACFH的體積為 ______

1

3 。( 以最簡分數表示 )

〔提示：錐體體積等於底面積乘以高除以3。〕【92.指考乙】

14. 設A、B、C、D為空間中四個相異點，且直線CD垂直平面ABC。已知 AB＝ BC ＝ CD＝10，

sin∠ABC＝ 4

5 ，且∠ABC為銳角，則 AD ＝_________6 5 。( 化成最簡根式 ) 【102.指考甲】

30 高中數學(四)學習講義

!"

#$%

&

'( )%

*+ ,!

!-

#.%

&

/( )%

*+ ,!

!-

#.%

&

/( )%

*+ ,!

1-2 ^課後練習

基 本 題

1. 在空間坐標系中，下列哪一點與原點最近？

(A) A ( 2 , 1 , 0 ) (B) B (－1 , 0 , 3 ) (C) C ( 1 , 1 , 2 ) (D) D ( 1 , 1 ,－1 ) (E) E ( 3 , 0 , 0 )

答：_______(D) 。

2. 已知A ( 4 , 1 ,－3 )，B (－2 , 3 , 1 ) 為坐標空間中兩點，P為z軸上一點，且 AP＝ BP ，則P點 坐標為_______________( 0 , 0 ,－3

2 ) 。 【成功高中】

3. 設空間中一點P ( 10 , 12 ,－5 )。

(1) P點到xz平面的距離＝______12 。 (2) P點到x軸的距離＝______13 。

4. 已知空間中一點P ( 1 , 2 , 3 )，若P點在xy平面、zy平面、xz平面上投影點分別為A，B，C三

點，且△ABC的重心為G，則G點坐標為

_______________( 2 3 , 4

3 , 2) 。 【北一女中】

5. 設△ABC之三頂點坐標為A (－1 ,－2 , 6 )，B ( 2 , 4 , 4 )，C ( 4 , 1 ,－2 )，試問△ABC為何種三角 形？

答：__________________等腰直角三角形 。

6. 右圖為一長方體，其中 EH， EF ， EA 依次與x軸、y軸、z軸平行，

若A ( 0 , 2 , 3 )，G ( 1 , 5 , 1 )，則H點的坐標為____________( 1 , 2 , 1 ) 。 7. 若A ( 1 , 5 , 4 )，B ( 3 , 2 , 4 )，C ( k＋m , 3 , 2k－m ) 三點共線，

則數對 ( k , m ) 為

______________( 19 9 , 2

9 ) 。 【中山女中】

8. 設A ( 3 ,－1 , 2 )，B ( 5 , 3 ,－4 )，若P點在直線AB上，且AP ： BP ＝3：2，求P點坐標。

答：

__________________________________( 21 5 , 7

5 ,－8

5 ) 或 ( 9 , 11 ,－16 ) 。

9. 設 u ＝(－2 , 1 , 1 )， v ＝( 5 ,－5 , 2 )， w ＝6 u ＋k v ，k為實數，若 w 平分 u 和 v 的夾角，則k

之值為_____2 。 【高雄女中】

10. 坐標空間中三向量 a ＝( 1 , 1 , 0 )， b ＝( 2 ,－3 , 0 )， c ＝( 0 , 0 , 1 )。若 u ＝(－1 , 9 , 5 )可表成 x a ＋y b ＋z c 的形式，其中x，y，z是實數，則序組 ( x , y , z )＝_______________( 3 ,－2 , 5 ) 。【彰化女中】

挑 戰 題

11. 若空間中有一線段長為 29 ，此線段在xy平面與yz平面的正射影長分別為 13 ， 20 ，則此 線段在xz平面上的正射影長為_____5 。 【高雄中學】

12. 空間坐標系中第一卦限內 ( 即x，y，z坐標皆大於0 ) 一點P，若P到x軸、y軸及zx平面的距

離分別為 34 ， 61 及3，求P點坐標為_____________( 6 , 3 , 5 ) 。 【高雄女中】

1-2 空間向量的坐標表示法 31

!"

#$%

&

'( )%

*+ ,!

!-

#.%

&

/( )%

*+ ,!

!-

#.%

&

/( )%

*+ ,! 13. 右圖為一金字塔，底面為一邊長6的正方形，四個側面皆為

等腰三角形，且 PA＝ PB ＝ PC＝ PO ＝5，試求P點坐標。

答：________________( 3 , 3 , 7 ) 。

14. 空間中有四點A ( 1 , 5 , 2 )，B ( 3 , 2 ,－4 )，C ( 5 , 3 ,－7 )，

D ( x , y , z )，已知 AB // CD 且 CD＝14，求D點坐標為

____________________________( 9 ,－3 ,－19 ) 或 ( 1 , 9 , 5 ) 。 【中山女中】

15. 已知A ( 2 , 2 ,－2 )，B ( 1 , 4 ,－4 )，C ( 5 , 2 , 2 )，∠BAC之內角平分線交 BC於D，設E在射線 AD上，且滿足 AE ＝5 AB ＋α AC ，則實數α＝_____3 。 【松山高中】

大 考 題

16. 如右圖，ABCD-EFGH為一平行六面體，J為四邊形BCGF的中心，

如果 AJ ＝a AB ＋b AD ＋c AE ，試問下列哪些選項是正確的？

(A) 1

3 ＜b＜2

3 (B) a＋b＋c＝2 (C) a＝1 (D) a＝2c

(E) a＝b 【92.學測】

答：_______________(A)(B)(C)(D) 。

17. 如右圖所示，ABCD-EFGH為邊長等於1之正立方體。若P點在正 立方體之內部且滿足 AP ＝3

4 AB ＋1

2 AD ＋2

3 AE ，則P點至直 線AB之距離為

_______

5

6 。( 化成最簡分數 ) 【94.學測】

18. 假設 a ， b ， c 是空間中三個向量，r是一個實數。已知 a ＝( 1 , 1 , 0 )， b ＝( 0 , 1 , 1 )，且 a ，

b ， c 滿足 a ＋ b ＋r c ＝ 0 ，那麼r 不可能等於下列哪一個數值：

(A) － 2 (B) 0 (C) 1

(D) π( 圓周率 ) (E) 10¹⁰⁰ 【95.指考乙】

答：_______(B) 。

19. 令A (－1 , 6 , 0 )，B ( 3 ,－1 ,－2 )，C ( 4 , 4 , 5 ) 為坐標空間中三點。若D為空間中的一點且滿足 3 DA －4 DB ＋2 DC ＝ 0 ，則D點的坐標為________________(－7 , 30 , 18 ) 。 【97.學測】

20. 在坐標空間中，一正立方體的八個頂點分別為 ( 0 , 0 , 0 )，( 1 , 0 , 0 )，( 1 , 1 , 0 )，( 0 , 1 , 0 )，

( 0 , 0 , 1 )，( 1 , 0 , 1 )，( 1 , 1 , 1 ) 與 ( 0 , 1 , 1 )。若A，B分別為此正立方體兩稜邊的中點，則向 量 AB 可能為下列哪些選項？

(A) ( 1 , 0 , 0 ) (B) ( 1

2 , 0 , 0 ) (C) ( 1

2 , 0 , 1 ) (D) ( 0 ,－1 2 ,－1

2 ) 【98.指考甲】

答：_________(A)(D) 。

34 高中數學(四)學習講義

!"

#$%

&

'( )%

*+ ,!

!-

#.%

&

/( )%

*+ ,!

!-

#.%

&

/( )%

*+ ,!

基 本 題

1. 設 a ＝( 2 , 1 , 2 )， b ＝(－3 , 1 ,－2 )，求 ( 2 a ＋ b )．( b － a )。答：________－13 。

2. 設 a ＝( 1 , 0 ,－ 2 )， b ＝(－1 , 1 , 2 )，求 a 與 b 的夾角為________150° 。 【松山高中】

3. 設 a ＝( 1 ,－2 , 4 )， b ＝( 2 , 1 , 3 )， c ＝( 2 , 5 , 1 )。若 ( t a ＋ b )⊥ c ，求實數t之值。

答：_____3 。

4. a ＝( 2 , 5 , 3 )， b ＝( 1 , 2 , 2 )，試求 a 在 b 方向上的正射影為____________( 2 , 4 , 4 ) 。 【北一女中】

5. 空間中三點A ( 10 ,－10 , 7 )，B ( 2 , 0 , 3 )，C ( 4 ,－4 , 7 )，則：

(1) BA 在 BC 方向上的正射影為_______________( 4 ,－8 , 8 ) 。

(2) A在 BC 上之投影點坐標為_______________( 6 ,－8 , 11 ) 。 【臺中一中】

6. 如右圖，長方體ABCD-EFGH的長、寬、高分別為 AB＝2，

AD＝6， AE＝4，若M為 DH 的中點，N為 FG 的中點，

則 AN ． BM ＝______22 。 【松山高中】

7. 設 OA ＝(－1 , 2 , 1 )， OB ＝( 1 , 3 , 2 )，若 OC ⊥ OB 且 BC // OA ，則 OC 為______________( 3 ,－1 , 0 ) 。

【高雄中學】

8. a，b，c為正數，則 ( a＋b＋c ) ( 1 a ＋ 4

b ＋ 9

c ) 之最小值為______36 。 【嘉義女中】

挑 戰 題

9. 已知 u ＝( 2 , 1 , 3 )， v ＝( 1 , 0 , 2 )， w ＝(－1 , 1 ,－3 )，若 a ＝ u ＋α v ， b ＝ u ＋β v

(α，β )，且 a ⊥ w ， b // w ，則序對 (α,β)＝_______________(－¹⁰/7 ,－3 ) 。 【臺南女中】

10. 若ABCD-EFGH是正立方體，而P，Q，R，S分別為 AD， AB ， DH， FG的中點，如圖所示，試問下列 何者為直角？

(A) ∠PQS (B) ∠PRS (C) ∠PSQ (D) ∠QRS (E) ∠QPR。

答：_________(A)(B) 。 【嘉義女中】

11. 設直角三角形ABC的三邊長為 AB ＝3， BC ＝4， CA ＝5，

若△ABC內部一點P到 AB， BC ， CA三邊之距離分別為

x，y，z，則x²＋y²＋z²的最小值為

_______

72

25 。( 提示：利用面積 )

【建國中學】

12. 設x，y，z∈ ，x＋y＋z＝4，求x²＋y²＋z²＋2x－4y之最小值為_______－2 。 【新竹高中】

13. 已知三實數x，y，z滿足x²＋y²＋4z²＝16，若6x＋6z＝k＋2y中k之最大值為M，且此時

( x , y , z )＝(α,β,γ)，則M×β之值為________－32 。 【臺南女中】

1-3 ^課後練習

1-3 空間向量的內積 35

!"

#$%

&

'( )%

*+ ,!

!-

#.%

&

/( )%

*+ ,!

!-

#.%

&

/( )%

*+ ,! 大 考 題

14. 右圖為一正立方體，被一平面截出一個四邊形ABCD，

其中B，D分別為稜的中點，且 EA： AF ＝1：2。則 cos∠DAB＝________¹/37 。( 化成最簡分數 ) 【91.學測】

15. 在坐標空間中給定兩點A ( 1 , 2 , 3 ) 與B ( 7 , 6 , 5 )。令S為xy-平面上所有使得向量 PA 垂直於向 量 PB 的P點所成的集合，則

(A) S為空集合 (B) S恰含一點 (C) S恰含兩點 (D) S為一線段 (E) S為一圓。【93.學測】

答：_______(A) 。

16. 如右圖，O-ABCD為一金字塔，底是邊長為1的正方形，頂點O 與A，B，C，D之距離均為2。試問下列哪些式子是正確的？

(A) OA ＋ OB ＋ OC ＋ OD ＝ 0 (B) OA ＋ OB － OC － OD ＝ 0 (C) OA － OB ＋ OC － OD ＝ 0 (D) OA ． OB ＝ OC ． OD

(E) OA ． OC ＝2 【93.學測】

答：_________(C)(D) 。

17. 如右圖所示，設一正立方體的中心為O，而A，B為此正方體同一面上的 兩個對頂點，則cos∠AOB＝

________－1

3 。( 化為最簡分數 ) 【94.指考乙】

18. 右圖為一正立方體，若M在線段AB上， BM＝2 AM ，N為線段BC 之

中點，則cos∠MON＝

____________

4

15 10 。 【95.學測】

19. 如右圖所示，正立方體ABCD-EFGH的稜長等於2 ( 即AB ＝2 )，K為 正方形ABCD的中心，M，N分別為線段 BF ， EF 的中點。試問下列 哪些選項是正確的？

(A) KM ＝1

2 AB －1

2 AD ＋1

2 AE (B) KM ． AB ＝1

(C) KM ＝3 (D) △KMN為一直角三角形 (E) △KMN之面積為 10

2 【98.學測】

答：_________(A)(D) 。

20. 空間中，以 AB 為共同邊的兩正方形ABCD、ABEF，其邊長皆為4。

已知內積 AD ． AF ＝11，則 AC ． AE ＝______27 。 【101.指考甲】

21. 如圖，設ABCD-EFGH為空間中長、寬、高分別為2、3、5的長方體。

已知 AB ＝2、 AD ＝ BC＝3，且DH ＝5，則內積 AH ． AC 之值為 ______9 。 【103.指考甲】